Bài giảng Cơ học công trình - Chương 5: Tính chuyển vị của hệ thanh - Trần Minh Tú

CƠ HỌC CÔNG TRÌNH
TRẦN MINH TÚ – KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP 
ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Chương 5
TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Chương 5. Tính chuyển vị của hệ thanh
NỘI DUNG
5.1. Các khái niệm
5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp
tích phân trực tiếp
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu
đồ (Vêrêxaghin)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.1. Các khái niệm
Khái niệm về biến dạng
Là sự thay đổi hình dạng, kích thước của phân tố dưới
tác dụng của các nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ,
)
• Các thành phần biến dạng
Một phân tố thanh bất kỳ có chiều
dài ds, khi biến dạng có thể phân
thành ba thành phần
 Biến dạng xoay jds giữa hai
tiết diện cách nhau chiều dài ds, j
gọi là biến dạng xoay (góc xoay) tỉ
đối – góc giữa hai tiêt diện khi
ds=1 đ.v dài
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.1. Các khái niệm
 Biến dạng dọc trục (biến dạng dài)
eds giữa hai tiết diện cách nhau chiều
dài ds, e là biến dạng dài tỉ đối
 Biến dạng trượt gds giữa hai tiết
diện cách nhau chiều dài ds; g – góc
trượt tỉ đối
 Chiều dương của các thành phần biến
dạng qui ước như trên các hình vẽ.
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.1. Các khái niệm
Khái niệm chuyển vị
Là sự thay đổi vị trí của các tiết diện của thanh khi
thanh bị biến dạng
Một tiết diện của thanh có ba khả năng:
 Không chuyển vị nhưng có biến dạng (tiết diện 1)
 Vừa có biến dạng, vừa có chuyển vị (tiết diện 2)
 Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (tiết diện 3)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.1. Các khái niệm
 Phân loại chuyển vị
Chuyển vị trong hệ thanh bao gồm: chuyển vị thẳng (chuyển vị dọc theo
phương trục thanh , chuyển vị ngang theo phương vuông góc trục
thanh) và chuyển vị quay (phương vòng).
 Kí hiệu chuyển vị là Dkm : chuyển vị theo phương k do nguyên nhân m
Trên (a) phương k, m là phương thẳng đứng tại tiết diện C, D; j là
phương vòng tại gối tựa B.
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Dkm
Phương và vị trí của chuyển vị
Nguyên nhân gây ra chuyển vị
 Khi nguyên nhân gây ra chuyển vị bằng đơn vị => chuyển vị đơn vị dkm
 dkm – chuyển vị theo phương k, tại k, do nguyên nhân m bằng 1 đ.v gây nên
5.1. Các khái niệm
 Khái niệm về đường đàn hồi
Đường đàn hồi: Đường cong của
trục dầm sau khi chịu uốn
Trọng tâm mặt cắt ngang của dầm
K - trước biến dạng
K’ – sau biến dạng
KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt
ngang.
B
F
L
K
K’
z
K
K’
v(z)
u(z)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.1. Các khái niệm
Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường
đàn hồi, đường vuông góc với
tiếp tuyến t tại K’ =>
- Mặt cắt ngang dầm sau biến
dạng tạo với mặt cắt ngang dầm
trước biến dạng góc j => góc
xoay j(z)
KK’
v(z) - chuyển vị đứng
u(z) - chuyển vị ngang
 Biến dạng bé: u(z)<<v(z)
v(z) => độ võng – ký hiệu: y(z)
 Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phươngthẳng đứng của
trọng tâm mặt cắt ngang
B
F
L
j
K
K’
z
j
Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng
Biến dạng bé: j(z) = tgj = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất của độ võng là
góc xoay
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
• Gt: Khi chịu uốn vật
liệu thanh làm việc trong
miền đàn hồi:
5.2.1. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi
( )1 x
x
M z
EI 
3
2 2
1 "( )
"( )
(1 ' )
y z
y z
y 
• Hình học giải tích:
• Biến dạng bé
'' ( )x
x
M z
y
EI
z
M
M>0
''( ) 0y z 
z
M ''( ) 0y z 
M<0
( )
"( ) x
x
M z
y z
EI
 - Phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.2.2. Phương pháp tích phân trực tiếp
Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích phân lần thứ
nhất ta được góc xoay.
Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng
trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định
nhờ vào điều kiện biên chuyển vị .
( )j 
x
x
Mdy
z dz C
dz EI
x
x
M
y(z) dz C .dz D
EI
5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
P
A BC
Điều kiện liên tục:
C C
y y 
C C
j j 
 Điều kiện biên chuyển vị
5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
VD 5.1: Xác định độ võng tại đầu
tự do của dầm công-xôn chịu tác
dụng của tải tập trung như hình
vẽ
Ta có: ( )M F L z 
B
F
L-z
L
EI
z
( ) 
 '' x
x x
F L zM (z)
y (z)
EI EI
( )
( ) 
j 
2
x x
F L z) F z
z dz C Lz C
EI EI 2
( )
2 3
x
F z z
y z L Cz D
EI 2 6
0 0 0z Cj 
0 0 0z y D 
( )j j 
2
B
x
FL
z L
2EI
 Điều kiện biên
( ) 
3
B
x
FL
y y z L
3EI
5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
5.3.1. Công khả dĩ, nguyên lý công khả dĩ
 Chuyển vị khả dĩ: Là bất cứ dạng chuyển vị nào mà hệ có
thể thực hiện được do nguyên nhân nào đó gây ra, sao
cho với chuyển vị này các điều kiện liên kết nội và ngoại
vẫn được đảm bảo.
 Chuyển vị thực: do nguyên nhân thực gây nên (lực, mô
men,..) - là một trong các chuyển vị khả dĩ.
 Định nghĩa công khả dĩ: Công khả dĩ là công sinh ra bởi
các lực trên những chuyển vị và biến dạng vô cùng bé do
một nguyên nhân bất kỳ (tải trọng, nhiệt độ, chuyền vị
cưỡng bức) nào đó gây ra
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 Xét hai trạng thái của hệ đàn hồi:
 Trạng thái 1- Trạng thái thực “k”, khi hệ chịu lực F1, F2,.
Fk; các thành phần nội lực trong hệ là Sk(Nk,Qk,Mk)
 Trạng thái 2 - Trạng thái khả dĩ “m”, khi hệ chịu các nguyên
nhân m (có thể là lực Fm) gây ra những thay đổi nhỏ của
chuyển vị và biến dạng; các thành phần nội lực trong hệ là
Sm(Nm,Qm,Mm)
Dkm - là chuyển vị khả dĩ theo phương của lực Fk do các nguyên nhân ở 
trạng thái m gây nên
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
• Công khả dĩ ngoại lực
Công khả dĩ của ngoại lực ở trạng thái thực k trên các chuyển vị khả dĩ
tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi:
1
.
n
ik ikm
i
T F
 D
 Công khả dĩ nội lực:
Công khả dĩ của các nội lực ở trạng thái thực k trên các biến dạng khả
dĩ tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi:
( )
1
n
k sm
i
A S dze
  
• Nguyên lý công khả dĩ:
Nếu một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực thì
tổng công khả dĩ của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ bất kỳ
vô cùng bé và công khả dĩ của các nội lực trên những biến dạng đàn hồi
khả dĩ tương ứng phải bằng không (T + A = 0)
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 5.3.2. Công thức Maxwell – Mohr
 Xét bài toán phẳng, thí dụ một khung phẳng. Gọi trạng thái chịu lực
của khung đã cho là trạng thái “m”, lực và chuyển vị ở trạng thái này
biểu diễn bởi chỉ số m.
 Giả sử cần xác định chuyển vị theo phương k của trọng tâm mặt cắt
ngang A, muốn vậy ta tạo cho khung một trạng thái “k” bằng cách bỏ
tất cả ngoại lực và đặt lên khung một lực tập trung đơn vị đ.v tại A,
theo phương k có chiều tuỳ ý, ứng lực phát sinh trong hệ ở trạng thái
này là ., ,kk kN M Q
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 Công thức Maxwell - Mohr tính chuyển vị của hệ phẳng
 Đối với hệ dầm, khung phẳng - bỏ qua ảnh hưởng của lực
cắt
 Đối với hệ thanh, dàn phẳng - lực dọc trên mỗi thanh là
hằng số
 Đối với hệ gồm các thanh thẳng như dầm hoặc khung ta có
thể tính các tích phân một cách đơn giản - Phương pháp
nhân biểu đồ do Vêrêxaghin đề xuất
i i i
kk mm m k
km
l l l
Q Q dzN N dz M M dz
EA EI GA
D    
i
k m
km
l
M M dz
EI
D  
1
i
n
k km m i
km
il
N N dz N N l
EA EA 
D   
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
5.3.3. Phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin
 Cơ sở toán học: Giả sử trên đoạn chiều dài thanh L, hàm
số F(z) là đường cong bất kỳ, còn f(z) là một đường
thẳng có phương trình: (hình vẽ)
 - Diện tích biểu đồ hàm số bậc
bất kỳ F(z). 
zC - hoành độ trọng tâm của diện
tích . 
f(zC) tung độ của hàm bậc nhất f(z)
ứng với hoành độ zC. Biểu thức tích
phân tính theo:
0
( ) ( ) . ( )
L
CI F z f z dz f z  
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 Như vậy các biểu thức tích phân trong công thức Maxwell-Mohr có trị
số bằng tích của diện tích  của biểu đồ nội lực (Nm, Mm ,Qm) với
tung độ của biểu đồ nội lực do tải trọng đơn vị gây ra ( ) tại vị
trí tương ứng với toạ độ trọng tâm của diện tích .
(*)
trong đó, là diện tích các biểu đồ (Nm, Mm ,Qm)
 là giá trị của các biểu đồ tại những vị trí tương
ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ
Chú ý:
 Nếu biểu đồ F(z) và f(z) đều là những đường thẳng thì phép nhân
trên đây có tính chất hoán vị.
 Tích mang dấu + nếu hai biểu đồ ở cùng một phía với trục thanh.
 Nếu biểu đồ có hình dạng phức tạp thì chia thành các hình đơn giản
để dễ xác định diện tích và trọng tâm.
, ,kk kN M Q
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
kkkm m m m kN N c M M c Q Q c
EA EI GA
D     
( ) ( ) ( ), ,m m mN M Q  
( ) ( ) ( ), ,kk c c ckN z M z Q z
, ,kk kN M Q
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Các bước thực hiện phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin:
 Bước 1: Tạo trạng thái “m” - trạng thái chịu lực của hệ,
vẽ biểu đồ nội lực.
 Bước 2: Tạo trạng thái “k” - vẽ biểu đồ nội lực cho trạng
thái này
 Cần xác định chuyển vị thẳng tuyệt đối của một điểm theo
phương nào đó thì đặt lực Fk=1đ.v tại điểm đó theo phương
chuyển vị.
 Nếu cần xác định góc xoay thì đặt mô men mk=1 đ,v
 Nếu cần xác định chuyển vị tương đối giữa hai điểm thì đặt hai
lực Fk=1 tại hai điểm theo phương nối hai điểm đó.
 Bước 3: Tiến hành nhân biểu đồ và thay vào công thức
(*)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
 Diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình thường gặp
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Ví dụ 5.2. Xác định độ võng và góc xoay tại đầu D của một dầm chịu lực
như hình vẽ, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.
 Biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây ra như hình vẽ.
 Để tính độ võng tại D, ta đặt tại D một lực Fk=1 =>Biểu đồ mô men
uốn. Theo (*) ta có
( )
1
( )kD my M M c
EI
 
( )
2 31
3 2 6
m
qL qL
M L 
3
( )
4
kM c L 
3 41 3
6 4 8
D
qL qL
y L
EI EI
kết quả mang dấu dương
chứng tỏ độ võng tại D cùng chiều
với Fk.
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 Để tìm góc xoay ta đặt tại D mô men Mk=1. Biểu đồ mô men như trên
hình vẽ. Theo công thức, ta có
( )
1
( )kD mM M c
EI
 
( ) 1kM c 
3 31
1
6 6
D
qL qL
EI EI
 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Ví dụ 5.3. Cho khung có độ cứng EI=const. Xác định chuyển vị theo
phương ngang tại D và góc xoay tại B. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt
và lực dọc.
 Biểu đồ mô men do tải trọng gây ra biểu diễn trên hình (b).
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 Để xác định chuyển vị ngang ta đặt lực Fk=1 (hình c). Biểu đồ mô men
như trên hình (d). Ta chia biểu đồ làm hai phần, phần chữ nhật 1 và
phần tam giác 2. Ta có
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
 Để xác định góc xoay tại B, ta đặt mô men Mk=1 (chiều tùy ý, hình
(e), Biểu đồ mô men như trên hình (f). ta có
dấu dương chứng tỏ chiều góc xoay cùng chiều với chiều mô men Mk
kM
1 2( ) ( ) 1k kM c M c ( )
3
3 31
2
B
qa
qa qa
EI EI
 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Câu hỏi ???
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com