Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 1

PhD. D.H.Đẩu 
1 
Hint 
Sử dụng phương trình 1.32 ta tìm các trị riêng 
PhD. D.H.Đẩu 
2 
Các vector riêng 
Sử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm các vector riêng 
PhD. D.H.Đẩu 
3 
Các vector riêng 
Sử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm các vector riêng với trị riêng bằng i (còn lại tự giải) 
PhD. D.H.Đẩu 
4 
BÀI TẬP 19 phép quay 
Xét matrix 2x2x biểu diễn phép quay của mp oxy (quay quanh oz) có dạng: 
Chứng tỏ rằng matrix này có trị riêng là ảo trừ một số góc đặc biệt. 
Tìm các góc này? 
Xây dựng matrix phép quay trong không gian 3 chiều 
PhD. D.H.Đẩu 
5 
Bài tập 20 
Tìm trị riêng và vector riêng của matrix biểu diễn phép biến đổi: 
Matrix này có thể chuẩn hóa đơn vị theo đường chéo không? 
PhD. D.H.Đẩu 
6 
 Phép biến đổi này tác động lên phần tử đầu của một tích trong thì nó bằng với khi tác dụng nó lên phần tử sau của tích trong 
Phép biến đổi Hermitian T 
Biến đổi tuyến tính 
Lưu ý: trong cách xác định này ta có tích trong 
của 2 vector 
Vế trái 1.35 là tích trong của vector tạo bởi MXT 
nhân vector anpha tích trong với vector beta 
Vế phải 1.35 là tích trong của vector tạo bởi anpha 
nhân với MXT và vector anpha 
PhD. D.H.Đẩu 
7 
Các tính chất trị riêng hàm riêng của T 
Trị riêng là thực (Chứng minh) giả sử 
Khi đó ta có: 	 
Nhưng vì T là Hermitian nên: 	 
Vì vector anpha khác không: từ 2 pT trên cho ta: 	 	 
PhD. D.H.Đẩu 
8 
Các vector riêng của biến đổi Hermitian ứng trị riêng khác nhau là trực giao 
Chứng minh: Giả sử 
Khi đó ta có: 
Vì T là Hermitian: 
Theo tính chất trị riêng 
(tích trong 2 vector =0) 
PhD. D.H.Đẩu 
9 
Các vector riêng của biến đổi Hermitiantạo ra không gian vector cơ sở 
Nếu biến đổi Hermitian có n vector riêng ứng với n các trị riêng khác nhau, theo hệ thức 2: các vector riêng đó là trực giao nhau vì thế 
Chúng tạo thành hệ vector cơ sở 
Giả sử có suy biến: tức là một trị riêng  , có nhiều (m) vector riêng khác nhau: khi đó bất kỳ một tổ hợp tuyến tính của m vector riêng nói trên đều là các vector riêng với cùng trị riêng là  
Kết luận: 
PhD. D.H.Đẩu 
10 
Bài tập 21 W 
Cho biến đổi T 
1- Chứng minh rằng T là hermitian 
2- Tìm các trị riêng thực của T 
3- Tìm các vector riêng và chứng minh các vector riêng ứng với các trị riêng trên là trực giao 
 Kiểm tra định thức của T và của tr(T) là như nhau. 
PhD. D.H.Đẩu 
11 
Không gian Hàm số 
Là không gian vector trong đó vector được xem là hàm phức theo biến (thông thường) là x 
Tích trong của 2 vector là tích chập (tích phân vô cùng của 2 hàm) 
Đạo hàm của vector là phép biến đổi tuyến tính 
Hàm số tương tự vector vì : 
A-Tổng của 2 hàm số là một hàm 
B- Các hàm cũng thỏa các tính chất giao hoán và kết hợp. 
Tồn tại một hàm bằng không “null” để hàm đó trừ hàm ngược của nó bằng hàm null 
PhD. D.H.Đẩu 
12 
Nhân hàm với số phức ta được hàm phức 
Tổ hợp tuyến tính của các hàm là một hàm (như tổ hợp tuyến tính của các vector là vector) 
Các hàm có tính chất như vector 
Tích trong của hai hàm là tích phân của tích hai hàm theo CT: 
Cận của tích phân có thể thu hẹp lại tùy vào điều kiện xác định của các hàm để cho tích trong là xác định. 
Để tích trong là xác định: 
PhD. D.H.Đẩu 
13 
23- Bài tập – W 
Tìm các hàm cơ sở của một đa thức bậc n <N: Giả sử ta có đa thức: 
Xác định các hàm cơ sở 
Tính các tích của hàm cơ sở: 
PhD. D.H.Đẩu 
14 
Bài tập 24 : hàm cơ sở lượng giác 
Cho biết hàm f(x) được khai triển ở dạng: 
Chứng tỏ rằng các hàm cơ bản: 
Là trực chuẩn 
Tìm số chiều của không gian này? 
PhD. D.H.Đẩu 
15 
Toán tử xem như một biến đổi tuyến tính 
1 . Toán tử thực hiện phép biến đổi lên các hàm cho ra các hàm mới nên giống như một phép biến đổi tác dụng lên vector cho ra vector mới nhưng phải thỏa là phép biến đổi tuyến tính (không gian của vector sau thỏa ĐK tuyến tính). 
Thí dụ : Biến đổi theo cách đạo hàm theo x là toán tử tuyến tính trong không gian các hàm cơ sở của đa thức x bậc N. 
Biến đổi bằng phép nhân cho x thì không phải là toán tử tuyến tính trong không gian các hàm cơ sở của đa thức x bậc N vì nó chuyển thành đa thức bậc N+1. 
PhD. D.H.Đẩu 
16 
Bài tập 25-w 
Chứng minh là hàm exp(-x 2 /2 ) là hàm riêng của toán tử: 
Tìm trị riêng tương ứng? 
PhD. D.H.Đẩu 
17 
Hint 
PhD. D.H.Đẩu 
18 
Toán tử Hermitian 
Định nghĩa: Toán tử tuân theo hệ thức: 
PhD. D.H.Đẩu 
19 
3. Các lý giải về thống kê 
Vi hạt là tương đương với sóng, biểu diễn bằng hàm sóng (r,t) mà bình phương là mật độ xác suất 
 Nên phải có sự chuẩn hóa hàm sóng (để xs=1) 
Cơ cổ điển biểu diễn các đại lượng đặc trưng của hạt là các vector (tọa độ, vận tốc, xung lượng, lực ) được xem là các hàm của tọa độ x và xung lượng p (p=mv x =m(dx/dt)), 
Cơ Lượng tử: Mỗi quan sát (đo đạc) đại lượng vật lý a được biểu diễn qua tác dụng của toán tử tương ứng A lên hàm (r,t) 
PhD. D.H.Đẩu 
20 
3. Các lý giải về thống kê 
Đây là giá trị kỳ vọng và khi đo đại lượng vật lý A 
Nó phải có trị thực (nghĩa là A là toán tử Hermitian) 
Công thức trị trung bình Tính qua tích trong của hàm trạng thái 
PhD. D.H.Đẩu 
21 
Bài tập 26 W 
PhD. D.H.Đẩu 
22 
Về mặt tính toán, ta có thể dùng biểu thức trị kỳ vọng để tìm ra giá trị trung bình khi đo của một ĐLVL a qua toán tử A tương ứng. 
Tuy nhiên thực tế khi đo A, ta không thể biết giá trị có được là trị riêng nào 
 Vì vậy, khi có nhiều trị riêng ta phải xác định xác suất ứng với các trị riêng đó 
Trị quan sát (đo được) là trị riêng của toán tử ưng với hàm riêng của nó 
Giải bài toán hàm riêng và trị riêng, kết quả: trị riêng là giá trị đo của đại lượng vật lý ứng với toán tử ở trạng thái của hàm riêng: 
PhD. D.H.Đẩu 
23 
Bài tập 27 
PhD. D.H.Đẩu 
24 
PhD. D.H.Đẩu 
25 
Luận điểm thống kê 
Nếu đo một đại lượng vật lý a của một vi hạt ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng , ta luôn được một trị riêng của toán tử A. 
Xác suất để đo, nhận một trị riêng  bằng với trị số tuyệt đối của bình phương hàm sóng nếu các hàm riêng của toán tử A là hệ hàm trực chuẩn 
Với phổ hàm riêng rời rạc có n hàm riêng (n chỉ số nguyên): 
Xác suất để đo 
cho một giá trị  J 
PhD. D.H.Đẩu 
26 
Bài tập 28: chuẩn hóa xác suất 
Chứng minh rằng: 
PhD. D.H.Đẩu 
27 
Phổ hàm riêng liên tục 
Gọi các hàm riêng liên tục k (k chỉ số): 
Không có xác suất tại một điểm, chỉ có xác suất trong khoảng dk xác định là: 
PhD. D.H.Đẩu 
28 
Bài tập 29 : Hàm riêng của toán tử tọa độ 
Hàm riêng là hệ hàm chuẩn hóa có dạng: 
Các trị riêng x’có hệ số C x tính bởi: 
Tính xác suất tìm hạt trong khoảng dx’ quanh x’? 
PhD. D.H.Đẩu 
29 
Bài toán 30: Xung lượng 
Hàm riêng của toán tử xung lượng là hệ hàm trực giao có dạng: 
Các giá trị xung lượng p có các hệ số là c p 
Tính các hệ số c P chúng tạo ra hàm sóng trong không gian xung lượng. 
PhD. D.H.Đẩu 
30 
4. Nguyên lý bất định 
Bất kỳ đại lượng a ứng toán tử A, có độ lệch chuẩn là: 
Tương tự đại lượng b ứng toán tử B, độ lệch chuẩn là: 
PhD. D.H.Đẩu 
31 
Sử dụng bất đẳng thức Schwarz 
PhD. D.H.Đẩu 
32 
Bài tập 31 : Hệ thức vector 
Chứng minh hệ thức cho số phức: 
PhD. D.H.Đẩu 
33 
Nguyên lý bất định - Uncertaity 
Đưa 1.54 vào 1.52 
Bạn thử xem vế phải có âm không ? 
Nếu A là toán tử tọa độ x và B là toán tử xung lương thì hệ thức trên thế nào? 
PhD. D.H.Đẩu 
34 
Phát biểu: Nguyên lý Heisenberg 
Tổng quát : Nếu một cập hai toán tử không gian hoán nhau Tích 2 sai số của hai đại lượng vật lý ứng với 2 toán tử đó không thể nhỏ hơn một giá trị giới hạn xác định không xác định chính xác đồng thời. Như vậy: 2 Đại lượng quan sát trên không thể đo chính xác đồng thời (incompatible Observables) 
Hệ quả: một cập hai toán tử gian hoán nhau thì hai lượng quan sát tương ứng có thể đo chính xác đồng thời chúng có cùng hệ hàm riêng 
PhD. D.H.Đẩu 
35 
Bài tập 32 - Nguyên lý bất định của bạn 
Chứng minh hệ thức bất định tọa độ X và năng lượng H thỏa : 
Với trạng thái dừng biểu thức có ý nghĩa thế nào? 
PhD. D.H.Đẩu 
36 
Bài tập 33 – Hệ thức giao hoán 
Chứng minh hệ thức sau: 
PhD. D.H.Đẩu 
37 
Nguyên lý bất định năng lượng 
Liên quan đến bất định năng lượng và thời gian trong bài toán không tương đối tính: 
Nếu nghiên cứu bài toán đo sự thay đổi của một hệ, ta cần xác định đạo hàm theo thời gian của giá trị kỳ vọng của một số biến động học quan sát là Q (x,p,t) 
PhD. D.H.Đẩu 
38 
Giải với H là Hermitian 
Ở vế phải : nếu toán tử không phụ thuộc tường minh vào t khi đó sự thay đổi phụ thuộc vào giao hoán tử Q và H: 
PhD. D.H.Đẩu 
39 
Bài tập 34 – Sử dụng CT 1.55 cho H 
Chúng ta thay ký hiệu độ lệch năng lượng H là E 1.66 
PhD. D.H.Đẩu 
40 
Ý nghĩa của độ bất định t 
Đây là một thời gian cần thiết mà trị trung bình của của đại lượng Q thay đổi một độ lệch chuẩn, thực sự t phụ thuộc vào đại lượng cần đo Q thay đổi nhanh hay chậm. 
Tuy nhiên biểu thức 1.63 cho thấy nếu E là nhỏ thì t là rất lớn hay nói khác đi đại lượng quan sát có giá trị đo như nhau (không đổi) 
Ngược lại: Nếu đại lượng quan sát có trị đo thay đổi liên tục ( tốc độ thay đổi rất nhanh) năng lượng đang có sự dao động lớn. 
PhD. D.H.Đẩu 
41 
Bài tập 35 Nguyên lý bất định 
Trường hợp đặc biệt của trạng thái dừng là năng lượng được xác định duy nhất. Tất cả giá trị kỳ vọng khi đo các đại lượng vật lý là không đổi ( t là rất lớn vô cùng ). Hàm sóng tổng quát là tổ hợp tuyến tính của 2 trạng thái có năng lượng khác nhau: 
Cho biết a, b, 1 2 là các giá trị thực. Tính 
Chu kỳ dao động của giá trị năng lượng : 
PhD. D.H.Đẩu 
42 
Bài tập 36 – tổng hợp 
Dùng công thức 1.61 chứng minh rằng: 
Ở trạng thái dừng: vế trái là bằng không nên ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
43 
Discussion 
Misunderstand: 
Questions: 
Problems: 
Calculations: