Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 1: Các phương pháp toán nâng cao cho cơ lượng tử

PhD. D.H.Đẩu 
1 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO 
 Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ 
 Chương hai: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO CÁC NGUYÊN TỬ ĐƠN GiẢN 
 Chương ba : NHIỄU LOẠN DỪNG – Suy Biến 
 Chương bốn: CÁC ỨNG DỤNG CỦA NHIỄU L0ẠN 
PhD. D.H.Đẩu 
2 
 Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ 
1. Ôn tập Đại số tuyến tính 
2. Biến đổi tuyến tính và Matrix biến đổi 
 Giải thích khái quát về tính thống kê 
 Nguyên lý bất định 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO 
PhD. D.H.Đẩu 
3 
Lecturer: 
Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com 
Tel: 84.71. 832061 
01277 270 899 
Giới thiệu môn học 
EP 
PhD. D.H.Đẩu 
4 
Trọng tâm chương 1 
Chương này trình bày các kiến thức toán nâng cao về đại số: 
Như vector – tích trong – phép biến đổi 
Vector, Ma trận 
Để tiếp cận với các phép tính phức tạp 
ở các chương sau vì thế cần Lưu ý: 
1- Thống nhất các ký hiệu 
2- Phương pháp tính toán cụ thể. 
PhD. D.H.Đẩu 
5 
1. Ôn tập: Đại số tuyến tính 
1.1 Không gian vector: là một tập hợp các vector được ký hiệu là: 
 kèm theo một bộ (cùng số phần tử với số vector) các giá trị vô hướng (thường là các số phức) : 
 Thỏa hai phép toán cộng vector và nhân vô hướng vector 
Phép cộng: 
Tính giao hoán 
PhD. D.H.Đẩu 
6 
Tính kết hợp 
Phép cộng có tính kết hợp: 
Tồn tại một vector không (Null vector) thỏa hệ thức: 
Mỗi vector khác không tồn tại một vector ngược : 
Tính khử nhau: 
PhD. D.H.Đẩu 
7 
Vector liên hiệp phức 
Là lấy liên hợp phức của các thành phần tạo nên vector: 
PhD. D.H.Đẩu 
8 
Phép nhân vector 
Phép nhân vector với vô hướng cho ra vector: 
Phép nhân của tổng vector có tính phân phối: 
Phép nhân tổng hai số với 1 vector có tính phân phối: 
Tính kết hợp: 
PhD. D.H.Đẩu 
9 
Bài tập 
Cho vector: 
PhD. D.H.Đẩu 
10 
Tổ hợp tuyến tính 
Tổ hợp tuyến tính: của một tập hợp Z các vector : 
được ký hiệu là: 
số chiều không gian là số vector trong tập Z 
Một vector gọi là độc lập tuyến tính với hệ Z khi chúng không thể biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của Z: 
Hệ Vector cơ sở của một không gian K: 
	là một bộ Z của các vector, sao cho bất kỳ vector đều được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong bộ Z. EX: trong hệ 3D Descartes ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
11 
Bài tập 1 W 
Vector đơn vị theo phương z trong hệ tọa độ Descartes 3D có độc lập tuyến tính trong không gian oxy hay không? 
Giải thích? 
Không gian của tổng 2 vector (một biểu diễn trong hệ KD và một biễu diễn trong hệ 3D) sẽ có số chiều là bao nhiêu? Giải thích? 
Không gian ảo 
Độc lập tuyến tính 
K chiều (KD) 
PhD. D.H.Đẩu 
12 
Bài tập 2 W 
Cho các vector: 
PhD. D.H.Đẩu 
13 
Chiều của không gian 
Chiều của không gian là số vector cấu thành, với hệ nD 
Vector khác không viết trong hệ nD – là ma trận một hàng và n cột: 
Cộng hai vector khác không trong hệ nD là cộng 2 ma trận 
Và vector 
không: 
PhD. D.H.Đẩu 
14 
Bài tập 3 w 
Xét một vector 3 chiều 
Các thành phần a n là phức 
a) Các vector có thành phần 
a z =0 có tập hợp thành không 
gian vector không? Nếu có thì 
chiều của nó là bao nhiêu ? 
b) Các vector có các thành phần 
a n bằng nhau có tập hợp thành 
Không gian vector không? 
Cho Ví dụ 
Có – 1 D 
PhD. D.H.Đẩu 
15 
Bài tập 4 W 
Xét tập hợp các đa thức bậc n (n< N) của x có các hệ số phức. 
a) Các đa thức đó có tạo nên một không gian vector không? Vector cơ sở được cấu thành như thế nào cho thuận tiện? Số chiều của không gian này là bao nhiêu? 
b) Điều kiện để đa thức là hàm chẳn và là hàm lẻ ? 
c) Điều kiện để hệ số trước x n có giá trị bằng 1.0 
d) Điều kiện để đa thức bằng 1 khi x=0 và bằng 0 khi x=1. 
PhD. D.H.Đẩu 
16 
Hương dẫn 
Đa thức bậc n: a 0 + a 1 X + a 2 X 2 ++ a n X n 
Không gian :.? Chiều 
Vector cơ sở chọn: 
Hàm chẳn : F(x) =F(-x) 
Hàm Lẻ: F(x) = -F(x) 
PhD. D.H.Đẩu 
17 
Bài tập 5W 
Cho biết 
PhD. D.H.Đẩu 
18 
Ôn Đại số - Tích trong 2 vector 
Trong KG 3 chiều, có 2 loại tích vector là tích vô hướng và 
tích có hướng. Tổng quát tích trong 2 vector trong nD: 
Tích trong của 2 vector là xác định 
mặc dù không gian của 2 vector có thể 
là không cùng số chiều 
Lưu ý: tích trong của 2 vector giống nhau là một số dương nên căn bậc 2 của nó (gọi là Norm-modune) là số thực 
PhD. D.H.Đẩu 
19 
Tích trong 2 vector 
Trực giao: Hai vector là trực giao khi tích trong của nó =0 
Trực chuẩn: là một bộ các vector đều trực giao nhau và mỗi 
Vector có Modune =1 
Nếu chọn một cơ sở vector trực chuẩn e và khai triển vector theo các thành phần e, thì tích trong 2 vector là: 
Và Bình phương modune là: 
PhD. D.H.Đẩu 
20 
Bài tập 7 w 
Viết tường minh tích trong của 2 vector từ đó chứng minh bất đẳng thức Schwarz 
Hint 
PhD. D.H.Đẩu 
21 
Bài tập 6: Tích trong 2 vector 
a) Tính: 
b) Tính: Modun của 2 vector trên 
PhD. D.H.Đẩu 
22 
Bài tập 8 - W 
Cho hai vector 
a) Tìm các giá trị m, n để hai vector trên là trực giao ? 
b) Với các giá trị m, n bằng bao nhiêu thì tích trong của hai vector đó là bằng 1.0 
PhD. D.H.Đẩu 
23 
Góc giữa 2 vector 
Các hệ số a 1 a n của một vector được tính lại là: 
Góc hợp bởi 2 vector được tính bởi: Hệ thức Schwarz: 
PhD. D.H.Đẩu 
24 
Bài tập 9 w: Góc giữa 2 vector 
Dùng hệ thức Schwarz: xác định góc của 2 vector 
b) Chứng minh bất đẳng thức của tam giác 
PhD. D.H.Đẩu 
25 
2. Phép biến đổi tuyến tính 
Biến đổi : Là thay đổi một vector thành một vector khác trong cùng một không gian vector . Sự thay đổi do tác nhân của một toán tử T được viết: 
Ví dụ: 
Thế nào là biến đổi tuyến tính: Toán tử là toán tử tuyến tính: Nếu có 2 số khác không là a và b và 2 vector thì: 
PhD. D.H.Đẩu 
26 
Bài tập 10 
Hãy cho biết các dạng toán tử sau đây có tạo ra phép biến đổi tuyến tính cho vector không? 
1-Nhân vector (3D) với một số phức khác không 
2-Quay một vector (3D) quanh trục ox hoặc oy. 
PhD. D.H.Đẩu 
27 
2. Phép biến đổi tuyến tính 
Vì khi T tác dụng lên một vector nó cho ra một vector mới, nên khi T tác dụng lên các vector cơ sở Nó cũng tạo các vector mới theo hệ thức: 	 	 
Ví dụ : 
Khi khai triển một vector bất kỳ 
trong cơ sở e 
PhD. D.H.Đẩu 
28 
2. Matrix của toán tử tuyến tính 
Theo công thức 1.14 ta thấy sau biến đổi T, vector mới được xem là tổ hợp của các cơ sở e với các hệ số là: 
Matrix của T được định nghĩa là: 
Vecto mới là: 
PhD. D.H.Đẩu 
29 
Bài tập 11 W Tính Matrix chuyển vị 
Đối với phép quay  quanh trục OX - 3D 
Phép quay  quanh đường y = x 3D 
PhD. D.H.Đẩu 
30 
Hướng dẫn 
X 
Y 
 
Khai triển công thức A 1 , A 2 A 3 theo ma trận chuyển vị 1.15 sau đó viết lại vector mới tạo ra. 
PhD. D.H.Đẩu 
31 
Các tính chất của biến đổi tuyến tính 
Cộng hay trừ 
Matrix liên hợp phức của T được định nghĩa là: 
Matrix là thực khi các thành phần của nó đều là thực 
Matrix là ảo khi các thành phần của nó đều là ảo 
PhD. D.H.Đẩu 
32 
MATRIX TỰ LIÊN HỢP PHỨC (TLHP)Matrix HERMITiAN 
 Định nghĩa TLHP: là matrix chuyển vị và sau đó lấy liên hợp phức của Matrix T: 
Dr. Hermitte 
Matrix HERMITIAN VÀ SKEW HERMITIAN 
PhD. D.H.Đẩu 
33 
Thí dụ 
Xét matrix: 
(MXã) 
(MXa) * 
PhD. D.H.Đẩu 
34 
Bài tập 12 w: Chứng minh hệ thức 
Xem tích trong của 2 vector: 
Chứng minh rằng: 
PhD. D.H.Đẩu 
35 
Bài tập 13 w 
Cho biến đổi T 
1- Chứng minh rằng T là Hermitian 
2- Phải thay đổi T như thế nào để nó là Skew - Hermitian 
PhD. D.H.Đẩu 
36 
Ôn tập matrix nghịch đảo 
Tính A -1 dựa vào: 
với A ij ma trận bỏ hàng j cột i 
Thí dụ tính a -1 từ 
Tính : detA =3 
PhD. D.H.Đẩu 
37 
Nói chung tích matrix là không 
giao hoán nên MXa.MXb # MXb.MXa 
TÍNH CHẤT GIAO HOÁN TỬ 
2. Giao hoán tử của 2 matrix: 
 [Mxa.MXb]=Mxa.MXb – MXb.Mxa 
3. Tích chuyển vị của tích 2 Matrix bằng 
Tích ngược của 2 Matrix chuyển vị: 
PhD. D.H.Đẩu 
38 
Bài tập 14 w : Phép tính Matrix 
PhD. D.H.Đẩu 
39 
Matrix nghịch đảo:(MXa) -1 chỉ tồn tại khi định thức của matrix a là khác không. 
Tính chất Matrix nghịch đảo: 	 
Matrix đơn vị 
là một bất biến với mọi vector 
PhD. D.H.Đẩu 
40 
Bài tập 15 tự giải 
1- Chứng minh các hệ thức matrix 1.25 
2- Chứng minh các hệ thức matrix 1.26 
PhD. D.H.Đẩu 
41 
Track (a) = Tr(MXa) 
Định nghĩa Tr(MXa): là tổng các thành phần 
trên đường chéo của matrix a 
PhD. D.H.Đẩu 
42 
Bài tập 16 : Chứng minh hệ thức Tr(x) 	 
Hướng dẫn (Hint): 
1- Tính 
2- Tính 
3- Tính Tr() 
4- So sánh 
PhD. D.H.Đẩu 
43 
Bài tập 17 W 
Cho vector 3D có 3 vector đơn vị là 
Hãy xác định các thành phần Matrix biểu diễn phép quay 45 độ cùng chiều Kim đồng hồ tại góc 0 quanh trục oz 
Xét một phép biển đối từ x x + x 0 , y y+y 0 , 
z= z + z 0 . Đây có phải phép biến đổi tuyến tính ? 
Nếu không thì giải thích, nếu có tính matrix biểu diễn 
PhD. D.H.Đẩu 
44 
Ví dụ: Phép quay vector quanh một trục trùng với chính nó 
Dùng định nghĩa ta thấy:	 
Lúc đó là các vector riêng ứng với trị riêng là 1 của phép biến đổi T (lưu ý ta có vô số vector riêng khác vector không thỏa mãn PT 1.29)	 
CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG 
1. Định nghĩa: 
PhD. D.H.Đẩu 
45 
Phương trình dạng Matrix; 	 	 
Chuyển vế ta có phương trình Matrix: 
CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG 
PhD. D.H.Đẩu 
46 
Phương trình Đinh thức 
Từ PT 2.22, vế phải là Matrix không Định thức của Matrix phải bằng không nên có n nghiệm của  để phương trình bằng 0 
PhD. D.H.Đẩu 
47 
Bài tập 18W- trị riêng và vector riêng 
Tìm trị riêng và vector riêng của phép biến đổi qua matrix: