Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 4: Các ứng dụng cơ học lượng tử (Phần 2)

1 
Zeeman effect 
Photo of pietez Zeeman 
1 
2 
Ôn lại: các hiệu ứng Zeeman 
Nếu B ex << B in : Ta có cấu trúc mức năng lượng tinh tế. Lúc đó toán tử nhiễu loạn H’ được xem là rất bé hay không có nhiễu loạn. Trường yếu (vẫn tính bổ túc năng lượng TDT và tương tác Spin-quỹ đạo) 
Nếu B ex >> B in : Ta có hiệu ứng Zeeman và bài toán xem là nhiễu loạn. Trường mạnh. 
Nếu B ex  B in : Ta cần xét đến lý thuyết nhiễu loạn có suy biến và cần dùng đến bài toán trị riêng và vector riêng của ma trận H’ 
2 
3 
c. Hiệu ứng Zeemann trường trung bình 
Trường hợp này thì cả hai bổ chính năng lượng về Zeemann và non Zeemann (TDT + SO) đều có tác dụng gần như nhau 
Bài toán xem như sự nhiễu loạn có suy biến năng lượng. 
Xét cụ thể mức năng lượng n = 2, bài tập 6wa cho ta 8 trạng thái khác nhau và được mô tả như sau: 
4 
Thống nhất ký hiệu các trạng thái 
5 
Ôn lại 8 mức năng lượng 
6 
Bài tập 7w: Giải tìm trị riêng và vector riêng của matrix H’ 
=H’ 
Giải phương trình 4.14 ta xác định 8 trị riêng  là năng lượng: 
7 
Các nghiệm về năng lượng tương ứng với 8 hàm sóng theo thứ tự trên 
Kiểm tra với 8 nghiệm khác nhau ta có 8 mức năng lượng : 
Kết quả tổng hợp các trị riêng 
8 
Bài tập 8: Tính toán cụ thể 
Tính ra giá trị 8 mức năng lượng cụ thể cho bài toán Hydrogen với n=2 và từ trường ngoài là B= 1T 
(không giải vector riêng vì không cần xác định các tổ hợp hàm sóng) 
9 
Mô phỏng 
Cho biết việc xếp 8 trạng thái suy biến có theo thứ tự tăng hay giảm của các mức năng lượng tương ứng vừa tính ở câu trên không? 
10 
Bài tập 9 
Giải lại tường minh bài toán nhiễu loạn suy biến cho nguyên tử Hydrogen ở mức (n=3). Giả sử từ trường bên ngoài cùng cấp với từ trường quỹ đạo của electron. 
Tính chính xác các mức năng lượng bằng phương pháp giải bài toán trị riêng và vector riêng 
 (Hint: giải ma trận có 18 thành phần) 
11 
2. Cấu trúc tách vạch siêu tinh tế 
Thực ra, proton cũng tạo một momen từ Spin do chuyển động tự quay của nó, độ lớn là khá nhỏ so với momen từ của electron vì khối lượng của nó lớn hơn e nhiều lần. 
P + 
12 
2. Cấu trúc tách vạch siêu tinh tế 
Hằng số g P trong 4.16 thức ra là số hạt Quarks tạo thành 1 hạt proton và gần đúng có thể tính là 5,592. 
Theo Điện động lực học cổ điển, với momen từ 4.16 nó tạo ra một cảm ứng từ tại nơi cách nó một khoảng r (tâm e) là : 
Hàm delta 
13 
Đưa biểu thức 4.16 (cho electron và cả proton) vào 4.17 rồi biến đổi và chứng minh là: 
Bài tập 9w : Xác định Hamiltoian 
Phụ thuộc vào lý thuyết nhiễu loạn cho bổ chính bậc nhất của năng lượng đó là giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn ở trạng thái không NL 
Xét electron khi có từ trường tạo bởi Spin proton 
14 
Bài tập 9w : Xác định Hamiltoian 
Với trạng thái cơ bản hay bất kỳ trạng thái mà l là bằng không, hàm sóng là đối xứng cầu. Do đó số hạng đầu trong 4.18 là bằng không, số hạng thứ hai có phần trong dấu tuyết đối là 1/( a 3 ) 
15 
Kết quả tính toán 
Hình ảnh mô tả sự tách vạch năng lượng do có nhiễu loạn Spin của proton 
16 
Tương tác Spin -Spin 
Ở đây là tích vô hướng của 2 vector Spin của e và của proton nên khác với tích 2 vector Spin và quỹ đạo . Vì có tương tác 2 Spin này nên momen Spin từng thành phần là không bảo toàn Cần tính tổng các momen Spin 
Đây là đại lượng bảo toàn: 
Bình phương 2 vế và sau đó chuyển vế: 
17 
Độ lệch năng lượng 
Ở trạng thái bội, hai Spin của e và p là song song nên tổng Spin =1 
Ở trạng thái đơn, hai Spin là đối song nên tổng Spin =0 và S 2 =0 vì thế: 
Như vậy, tương tác Spin- Spin phá vỡ sự suy biến. Do khác nhau về Spin của trạng thái cơ bản làm tách vạch cấu trúc bội ra xa vạch ở trạng thái đơn s inh ra một độ lệch năng lượng 
18 
Bài tập 10W: Tính tần số và bước sóng của bước xạ chuyển mức 
Sử dụng công thức Einstein: 
19 
Nhiễu loạn theo thời gian 
Vật chất luôn thay đổi theo thời gian 
20 
 LASER= L ight 
	 A mplification 
	 by S timulated 
	 E mission 
	 of R adiation 
	là khuếch đại ánh sáng bằng 
BỨC XẠ CƯỠNG BỨC 
 Xuất phát điểm: Ánh sáng LASER 
21 
Vấn đề kỹ thuật Laser 
Môi trường hoạt tính có thể là chất Rắn –Laser rắn: hồng ngọc, đá rubi, cẩm thạch, chất bán dẫnlà chất khí-laser khí : He-Ne, Ar, Co 2  Chất lỏng như dung dịch hữu cơ laser thay đổi màu 
Điều kiện tạo laser: Tính đơn sắc (chỉ phát một bước sóng) Cấu trúc môi trường nguyên tử chỉ hai mức năng lượng Môi trường hoạt tính Không suy biến về 2 mức năng lượng 
Ánh sáng có bước sóng từ 360 nm đến 780 nm . 
22 
HOẠT ĐỘNG LASER 
Bình thường: không có năng lượng cung cấp, sự chuyển mức E A E B xảy ra thưa thớt không có laser 
Khi có Pumb: có sự chuyển mức E A E B (Đảo ngược mật độ) 
Ngoài ra còn quá trình chuyển xuống tự phát không tạo laser. 
Tóm lại trong Laser có quá trình thay đổi theo thời gian của mật độ hạt ở 2 mức năng lượng, đây là vấn đề nhiễu loạn thay đổi theo thời gian của 2 trạng thái trong môi trường hoạt tính 
Môi trường 
hoạt tính 
Tác nhân kích thích 
Gương 
phản 
xạ 
Buồn cộng hưởng 
Tia Laser 
23 
Laser ứng dụng- khoan sâu răng 
24 
Dao Laser – xóa vết xâm- cắt bỏ các khối thịt mở thừa- chân lông 
25 
Máy cắt laser 
26 
Laser giải trí và vũ khí 
27 
Laser và bài toán nhiễu loạn 
Đây là bài toán chuyển mức của e giữa hai trạng thái có năng lượng khác tạo ra một photon ánh sáng. Ta giới thiệu một thế năng nhiễu loạn phụ thuộc thời gian (nhiễu loạn khá bé) từ đó khảo sát quá trình bức xạ và hấp thụ của nguyên tử gọi là bước nhảy lượng tử 
Tóm lại: Do có nhiễu loạn theo thời gian mà có sự chuyển mức trạng thái lượng tử. Điều này không có qui luật tương ứng nào trong cổ điển 
28 
Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 
Xét 2 trạng thái (không nhiễu loạn) ứng với hai mức năng lượng khác nhau của Hamiltion H 0 không NL: 
Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của 2 hàm sóng này cũng là nghiệm riêng của H 0 : 
29 
Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 
4.23 là các hàm sóng không gian, còn hàm sóng tổng quát gồm cả hai thành phần không gian và thời gian 
30 
Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 
Lần lượt là xác suất mà hạt ở trạng thái có năng lượng là E A và ở năng lượng là E B Điều kiện chuẩn hóa cho ta: 
Khi bật thế nhiễu loạn phụ thuộc thời gian H’(t). Hàm sóng có thể biểu diễn ở tổ hợp tuyến tính có dạng 4.24 nhưng các hệ số c là phụ thuộc thời gian 
Như vậy mục đích của bài toán là giải tìm các hàm c(t). 
31 
Vấn đề liên quan đến hoạt động laser 
Nếu chưa có bơm kích thích c A (t=0)=1, c B (t=0)=0 : 
Hạt không ở mức năng lượng cao E B mà ở mức E A 
 Nếu bật bơm kích thích sau thời gian đủ lớn c A (0)=0, c B (0)=1 : Mật độ bị đảo lộn 
Khi phát laser xong mật độ về trạng thái đầu kích thích tiếp cần giải tìm nghiệm chính xác của các hàm c A (t), c B (t) theo thời gian với điều kiện là:các hàm sóng thỏa phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: 
Từ các phương trình 4.26, 4.27, 4.28 
32 
Bài tập 11W 
Từ các phương trình 4.26, 4.27, 4.28 đưa vào 2.1 dẫn ra phương trình xác định sự biến đổi theo thời gian của mật độ xác suất của các trạng thái 
Hoạt động của tim cũng thay đổi theo thời gian 
33 
Hướng dẫn: tìm phương trình 
nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 
Hai số hạng đầu ở vế thứ nhất thì khử hai số hạng cuối ở vế thứ hai 
Vế trái 
Vế phải 
34 
Phương trình còn lại 
Lấy tích trong  A với 2 vế 4.29 ta sau đó dùng điều kiện trực giao ta có A A =1 , A B =0, 
35 
Phương trình còn lại 
Tương tự lấy tích trong  B với 4.29 ta có: 
36 
Sử dụng tích chất Hermitian H’ 
Hai phương trình 4.33 và 4.34 xác định các hàm c(t) gọi là các phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian cho e có hai mức năng lượng. 
37 
Sử dụng tích chất Hermitian H’ 
Ở điều kiện bình thường các thành phần nằm trên đường chéo của matrix H’ là bằng không: H’ AA = H’ BB =0 Phương trình trở thành: 
38 
Bài tập 12w: Bước sóng photon  của Laser 
Chứng minh từ công thức Einstein, cho c là vận tốc ánh sáng thì: 
Lưu ý ; Trong các trường hợp tổng quát thì các thành phần trên đường chéo của matrix H’ là không triệt tiêu 
39 
Bài tập 13 W 
Giải hệ phương trình 4.37 và 4.38 trong điều kiện ban đầu: c A (t=0) =1, c B (t=0) =0, và toán tử H’ là một nhiễu loạn nhỏ. Tính gần đúng bậc nhất và bậc hai của nhiễu loạn. 
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa là: 
40 
Hướng dẫn 
Trong điều kiện không có nhiễu loạn 
Trong điều kiện có nhiễu loạn, xét gần đúng bậc nhất 
khi đạo hàm bằng không thì hàm đạt cực đại. 
Thay vào 4.38 
41 
Hướng dẫn 
Trong điều kiện có nhiễu loạn, xét gần đúng bậc hai 
(Đưa kết quả 4.39 vào 4.37) 
Thay vào 4.35 
42 
Bài tập 14 (*)Nhiễu loạn với dạng hình sin 
Giả sử toán tử nhiễu loạn là một thế tuần hoàn hình sin theo thời gian: 
Xác định các phương trình c(t) của các hệ số xác định xác suất của hai trạng thái ứng với 2 mức năng lượng 
E A và E B 
43 
Các lưu ý 
Sử dụng các phương trình 4. 
44 
Thảo luận 
Các vấn đề quan trọng 
1- Đại số vector – Ma trận – Trị riêng vector riêng 
2- Nhiễu loạn bậc 1,2,..k Không suy biến 
Nhiễu loạn suy biến bậc 2 
3- Ứng dụng tính năng lượng e trong NT Hydrogen với các HC Einstein – Spin-Orbital – Zeemann 
4- Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.