Bài giảng Cơ học lý thuyết - Tuần 11 - Nguyễn Duy Khương

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 1
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, con lăn khối lượng m2, các bán kính
R=3r và bán kính quán tính đối với trục qua tâm là . Biết con lăn lăn
không trượt, bỏ qua khối lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu
đứng yên. Xác định vận tốc, gia tốc tải A.
A
B 
I
H
M
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
Giải
*Quan hệ động học
A
B 
I
H
M
h

,
2
h
r
 ,
2
AV
r
 ,
2
AW
r
 
*Động năng T của hệ
A BT T T 
2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2A B B
m V J m V 
2 2
2 2
1 2 22
1 1 1
2 2 4 2 4
A A
A
V VmV m m
r
2
A
B
VV r 
2 2 2
21 2
2
4 ( )1
2 4 A
r m r m V
r
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
A
B 
I
H
M
h

*Công của hữu hạn trên độ dời tương ứng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ek I B ms AA A N A P A F A P A M      
AP
BP
IN
msF
( ) ( ) ( ) 0I B msA N A P A F 
   
mà
(Do ma sát tĩnh không sinh không)
( ) ( )ek AA A P A M   
1m gh M 
1 2
hm gh M
r
12
2
M rm g h
r
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
* Để tính gia tốc ta sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm
2 2 2
1 2 1
2
4 ( ) 2
4 2A A A
r m r m M rm gV W V
r r
e i
k kdA dAdT
dt dt dt
  
1
2 2 2
1 2
22
4 ( )A
M rm gW r
r m r m 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
* Để tính vận tốc ta sử dụng định lý động năng dạng hữu hạn
1 0
1 1
N N
e i
k k
k k
T T T A A
  
1
1 1
N N
e i
k k
k k
T A A
   (Do hệ ban đầu đứng yên nên động năng T0=0)
2 2 2
21 2 1
2
4 ( ) 21
2 4 2A
r m r m M rm gV h
r r
2 1
2 2 2
1 2
24
4 ( )A
M rm gV r h
r m r m 
1
2 2 2
1 2
22
4 ( )A
M rm gV r h
r m r m 
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, con lăn B đặc khối lượng m3, các bán
kính R1= 2R2= 2R0 và ròng rọc O khối lượng m2, bán kính quán tính đối
với trục qua O là . Biết con lăn lăn không trượt, bỏ qua khối lượng dây
và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định gia tốc tải A.
B 
I
H
M
A
O
1R
1R
2R
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
Giải
B 
I
M
A
O
*Quan hệ động học giữa tải 
A, ròng rọc O và con lăn B
h
B 
O 
0
,
2O
h
R
0
0 0 02 2 4
OB
B
Rs h
R R R
Bs
Bs
0 2B O
hs R 
0
,
2
A
O
V
R
 
2
A
B
VV 
0
,
4
A
B
V
R
 
*Động năng T của hệ
A B OT T T T 2
1
1
2A A
T mV 
 2 22 2 23 0 3 0 31 1 1 1 3, 2 22 2 2 2 8B I B B AT J m R m R m V 
2
2 2
2
0
1 1 1,
2 2 4O O O A
T J m V
R
  
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
2
2 2 2
1 3 2
0
1 1 3 1 1
2 2 8 2 4A A A
T mV m V m V
R
2 2 2
21 0 2 3 0
2
0
8 2 31
2 8 A
m R m m R V
R
*Công của hữu hạn trên độ dời tương ứng
( ) ( ) ( )ek A BA A P A P A M 
1 3 sinB Bm gh s m g M 
1 3
0
sin
2 4
h hm gh m g M
R
0 1 0 3
0
4 2 sin
4
R m g R m g M h
R
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bài tập áp dụng
* Để tính gia tốc ta sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm
e i
k kdA dAdT
dt dt dt
  
2 2 2
1 0 2 3 0 0 1 0 3
2
0 0
8 2 3 4 2 sin
8 4A A A
m R m m R R m g R m g MV W V
R R
0 1 0 3
0 2 2 2
1 0 2 3 0
4 2 sin2
8 2 3A
R m g R m g MW R
m R m m R
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
NỘI DUNG
1. Khái niệm cơ bản
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Liên kết và cơ hệ không tự do
Liên kết là điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không phụ
thuộc vào lực tác dụng lên nó và các điều kiện đầu của chuyển động.
Những điều kiện ràng buộc đó thường được diễn tả dưới dạng những
hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của các chất điểm hay
vật rắn thuộc hệ và thời gian. Người ta gọi đó là những phương trình
liên kết và viết dưới dạng:
 1, 2,3..., , 0 1, 2,3...j k k kf r V t j 
  
Trong đó k là số thứ tự của các chất điểm thuộc cơ hệ, j là số thứ tự
của các hệ thức biểu thị các liên kết.
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ
1- Vật rắn là một cơ hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết và liên
kết đó được biểu thị bằng đẳng thức: MN=const với MN là khoảng
cách của cặp điểm M, N bất kì thuộc vật.
0(1) (1) (2)0, A Ar r r 
   
2- Hệ tay quay thanh truyền như hình
M
N
1 2
3O
A
B
x
y
(3) (2) (3)0, B B By r r 
  
Cơ hệ không tự do
Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu các liên kết được biểu diễn bằng
biểu thức 1 2 1 2, , ..., ; , , ..., ; 0j n nf r r r V V V t       
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Di chuyển khả dĩ – Bậc tự do của hệ
Di chuyển khả dĩ (DCKD) của cơ hệ là tập di chuyển vô cùng bé của
các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà vẫn
thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét.
Để phân biệt dị chuyển thực vô cùng bé và DCKD người ta kí hiệu
như sau
Di chuyển thực vô cùng bé : kd r 
Di chuyển khả dĩ: kr  
Để xác định chuyển động cơ hệ ta chỉ cần xác định số DCKD độc lập
bằng với số bậc tự do của cơ hệ
Tại mỗi vị trí cơ hệ có vô số DCKD . Các DCKD này không độc
lập tuyến tính do phải thỏa mãn các phương trình. Ta có thể chọn
trong tập một hệ vector cơ sở các DCKD độc lập tuyến tính.
 kr  
 kr  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ta có thể thấy di chuyển thực của hệ này là bằng 0 nhưng hệ có thể
diu chuyển ảo một góc δθ
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tọa độ suy rộng
Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ:
Tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính vừa đủ để xác định vị trí cơ hệ gọi
là hệ đầy đủ, kí hiệu là {q1, q2, q3,, qn}
3s dof N R 
Ví dụ
A
1q 
 A
1
2
q
q

  
 B
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ hệ có 1 bậc tự do
1q x 1q  1q 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ hệ có 2 bậc tự do
1 1
2 2
q
q


  1 1
2 2
q s
q s
  
1 1
2 2
q
q


  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ
Ds
C 
C
D
A
B
Con lăn lăn không trượt
1
2
D
C
q s
q 
  
s



5dof 
1
2
3
4
5
q
q
q
q s
q



     
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Lực suy rộng
Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực hoạt động .
Cho cơ hệ thực hiện một DCKD , các lực sẽ thực hiện
công trên độ dời đó:
( )akF
 
( )akF
 
{ }kr
 
1 1
N N
a
k k k
k k
A F r 
     
Được gọi là công khả dĩ. Chọn hệ tọa độ suy rộng {qi}, i=1,n
1 2
1
( , , ..., )
n
k
k k n i
i i
rr r q q q q
q
  
 
   
1 1 1
N N n
a k
k k i
k k i i
rA F q
q
 
   
  
1 1
N n
k i i
k i
A Q q 
  
1 1
n N
a k
k i
i k i
rF q
q

    
  
Với
1
N
a k
i k
k i
rQ F
q 
 
  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Cách tính lực suy rộng
1 – Áp dụng trực tiếp định nghĩa:
1
N
a k
i k
k i
rQ F
q 
 
  
2 – Áp dụng tính công khả dĩ
Cho hệ di chuyển khả dĩ sao cho:
1 1
N n
k ji i j
k i
A Q q qQ  
  
Hệ số tính công chính là hệ lực suy rộng tương ứng
3 – Áp dụng tính công khả dĩ trong trường hợp lực hoạt động là lực thế
i
i
Q
q
 
Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta 
có thể tính
(luc khong the)i i
i
Q Q
q
 
Là hàm thế năng
0( 0)j jq q  0iq còn
Các DCKD phải độc lập tuyến tính
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ
1
2
q
q

  
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b
1/ Tính lực suy rộng bằng định nghĩa
1
N
a k
i k
k i
rQ F
q 
 
  
Biểu diễn vector
1 (0, )F P P
  
2 (0, )F Q Q
  
3 ( , 0)F F F
  
1 sin cosIr r a i a j  
  Q
 A
 B
O
F
Py
x
I
H
2 (2 sin sin ) (2 cos cos )Hr r a b i a b j   
  
3 (2 sin 2 sin ) (2 cos 2 cos )Br r a b i a b j   
  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1 1
1
cos sinr r a i a j
q
   
  
Tính các đạo hàm riêng
1 1
2
0r r
q 
   
  
2 2
1
2 cos 2 sinr r a i a j
q
   
  
2 2
2
cos sinr r b i b j
q
 
   
  
3 3
1
2 cos 2 sinr r a i a j
q
   
  
3 3
2
2 cos 2 sinr r b i b j
q
 
   
  
1 (0, )F P P
  
2 (0, )F Q Q
  
3 ( , 0)F F F
  
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
3
1
1
a k
k
k
rQ Q F 
 
  
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
3
1
1
a k
k
k
rQ Q F 
 
  
[0 cos ( sin )]
[0 2 cos ( 2 sin )]
[ 2 cos 0 ( 2 sin )]
a P a
a Q a
F a a
1 sin 2 sin 2 cosQ aP aQ aF 
3
2
1
a k
k
k
rQ Q F  
 
  
[0 0 0]
[0 cos ( sin )]
[ 2 cos 0 ( 2 sin )]
P
b Q b
F b a
 
 
2 sin 2 cosQ bQ bF  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
2/ Tính lực suy rộng bằng công khả dĩ
Di chuyển khả dĩ của hệ 1
2
q
q
  
 
  
1 20, 0q q  
Để tính Q1 ta cho hệ chuyển động theo tọa độ suy rộng 1, tọa độ suy
rộng 2 bằng 0:
(1) ( ) ( ) ( )kA A P A Q A F        
( )
1
N
j
k jj
k
A qQ 
 
( ) sin sin ( )A P P h P a     
O
P
2I 
1I
hTa thấy lực P làm vật chuyển động từ I1 I2đoạn đường di chuyển là δh
( ) sinA P aP   
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
(1) ( ) ( ) ( )kA A P A Q A F        
sin 2 sin 2 cosaP aQ aF      
( sin 2 sin 2 cos )aP aQ aF  
Q
 A

B
O
I
H
 
k
Ta thấy lực Q làm vật chuyển động từ
H1 H2 đoạn đường di chuyển là δk
( ) sin sin (2 )A Q Q k Q a     
( ) 2 sinA Q aQ   
Tương tự ta cũng được
( ) 2 cosA F aF   
Vậy ta được tổng công khả dĩ
1 sin 2 sin 2 cosQ aP aQ aF 
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1 20, 0q q  
Để tính Q2 ta cho hệ chuyển động theo tọa độ suy rộng 2, tọa độ suy
rộng 1 bằng 0:
(2) ( ) ( ) ( )kA A P A Q A F        
( ) sin sin ( )A Q Q t Q b       
Ta thấy lực Q làm vật chuyển động từ
H1 H2 đoạn đường di chuyển là δt
( ) sinA Q bQ    Q
A 
B
O
H
t
Ta thấy lực P không làm thanh AB chuyển
động nên ( ) 0A P  
Tương tự ta cũng được
( ) 2 cosA F bF    
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 14
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
(2) ( ) ( ) ( )kA A P A Q A F        
0 sin 2 cosbQ bF     
Vậy ta được tổng công khả dĩ
( sin 2 cos )bQ bF   
2 sin 2 cosQ bQ bF  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
3/ Tính lực suy rộng bằng công của lực có thế và không thế
Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta có thể
tính
(luc khong the)i i
i
Q Q
q
  Là hàm thế năng
(1 cos ) 2 (1 cos ) (1 cos )P a Q a Q b     
Tính hàm thế năng của hệ
1 1 2P Q QP y Q y Q y   
sin 2 sinP a Q a 
  
Đạo hàm của thế năng theo tọa độ suy rộng
sinQ b 
 

P
Q
Q
cosPy a 
2 cosQy b  
0
1I
2I
1 2 cosQy a 
1J
2J
3J
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 15
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tính lực suy rộng do lực F gây ra
1 ' 2 cosQ aF 
2 ' 2 cosQ bF  
Vậy ta được lực suy rộng của hệ
1 1
1
'Q Q
q
  ( sin 2 sin ) 2 cosP a Q a aF   
1 sin 2 sin 2 cosQ aP aQ aF 
2 2
2
'Q Q
q
  sin 2 cosQ b bF   
2 sin 2 cosQ bQ bF  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ Tính các lực suy rộng biết con lăn lăn không trượt
Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ và độc lậpDs
C 
C
D
A
B
1
2
D
C
q s
q 
  
M
DP
AP
BP
Tính Q1
Cho hệ DCKD với
1 20, 0q q  (Ròng rọc C không quay)
(1) ( ) ( ) ( )
( )
k A B DA A P A P A P
A M
   

    
sin DA D B D D D
E
sP s P s P s M
r
   
E
( sin )A B D D
E
MP P P s
r
  
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 16
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
(1)
1( sin )k A B D
E
MA P P P q
r
  
1 sinA B D
E
MQ P P P
r
Tính Q2
Cho hệ DCKD với
1 20, 0q q  (Con lăn D đứng yên)
(2) ( ) ( ) ( ) ( )k A B DA A P A P A P A M         
0 0A C C B C CP r P r  ( )A B C CP P r  
(2)
2( )k A B CA P P r q  
2 ( )A B CQ P P r 
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Liên kết lý tưởng
Cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công của tất cả các
phản lực liên kết đặt vào cơ hệ trên mọi DCKD đều bằng 0
1
0
N
r k k
k
A R r 
     
Trong thực tế các hệ gồm vật rắn, dây mêm không dãn, bỏ qua ma
sát đều là cơ hệ chịu liên kết lý tưởng.
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 17
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dĩ
Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý
tưởng cân bằng ở vị trí đang xét là tổng công của tất cả các lực
hoạt động trên mọi DCKD kể từ vị trí đó đều bằng không
1 1
0
N r
k k i i
k i
F r Q q 
    
Nếu các tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta được
0iQ 
Các loại bài toán áp dụng nguyên lý DCKD
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ
- Tìm các thành phần phản lực liên kết của cơ hệ
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ
1
2
q
q

  
Q
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b. Tính góc ϕ và ψ theo
P, Q, F khi hệ cân bằng
Điều kiện để hệ cân bằng A
 B
O
F
Py
x
I
H
1
2
0
0
Q
Q
sin 2 sin 2 cos 0
sin 2 cos 0
aP aQ aF
bQ bF
 
2tan
2
2tan
F
P Q
F
Q

2arctan
2
2arctan
F
P Q
F
Q

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 18
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ Cho hệ có cơ cấu như hình vẽ. Tính lực P để hệ cân bằng nếu
ta tác dụng moment ngẫu lực M vào thanh OA biết khối lượng
các vật không đáng kể)
Giải
Hệ có một bậc tự do nên ta chọn θ là
góc quay của thanh OA là tọa độ suy
rộng của hệ như hình vẽ dưới.
Ta có độ dịch chuyển của A là
y a  
Tam giác bên phải nối thanh AB
2 2 2b x y 
Lấy vi phân 2 vế ta được
0 2 2 x x y y  
yx y
x
  a yx
x
  
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tính lực suy rộng Q1
Tính công suy rộng
(1) ( ) ( )kA A P A M     
 P x M  
 yP a M
x
  
(1)
k
yA P a M
x
  
1
yQ P a M
x
Để hệ cân bằng 1 0Q 
0yP a M
x
x xP M M
a y a h