Bài giảng Cơ học lý thuyết - Tuần 13 - Nguyễn Duy Khương

Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 1
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, con lăn khối lượng m2, các bán kính
R=3r và bán kính quán tính đối với trục qua tâm là . Biết con lăn lăn
không trượt, bỏ qua khối lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu
đứng yên. Xác định vận tốc, gia tốc tải A.
A
B 
I
H
M
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Cơ hệ một bậc tự do nên ta chọn hệ tọa độ suy
rộng q1=h
*Tính lực suy rộng Q1
Cho hệ một DCKD từ vị trí ban đầu: tải A đi lên
2
h
r
 
Công di khả dĩ
( ) ( ) ( )k A BA A P A P A M    
A
B 
I
H
M
h

AP
BP
IN
msF
0AP h M  
2A
hP h M
r
 
12 2k A A
M MA P h P q
r r
    1 2 A
MQ P
r
Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Tính động năng
A BT T T 
2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2A B B
m V J m V 
2 2
2 2
1 2 22
1 1 1
2 2 4 2 4
A A
A
V VmV m m
r
2 2 2
21 2
2
4 ( )1
2 4 A
r m r m V
r
2 2 2
21 2
2
4 ( )1
2 4
r m r m h
r

*Tính các đạo hàm
2 2 2
1 2
2
1
4 ( )
4
r m r mT T h
q rh
     

2 2 2
1 2
2
1
4 ( )
4
r m r md T h
dt q r
   


1
; 0T
q
 
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Áp dụng phương trình Lagrange II
i
i i
d T T Q
dt q q
     
2 2 2
1 2
2
4 ( ) 0
4 2 A
r m r m Mh P
r r

1
1 1
d T T Q
dt q q
     
1
2 2 2
1 2
22
4 ( )A
M rm gh W r
r m r m 

Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ: Cho tải A trọng lượng PA, con lăn trụ tròn B khối lượng PB, ròng
rọc C khối lượng PC các bán kính R1=2R2=2R0 và bán kính quán tínhđối với trục qua tâm là . Biết con lăn lăn không trượt, bỏ qua khối
lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định vận
tốc, gia tốc tải A.
Bs
B
A
M
BP
AP
C
1R
1R
2R
h
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Cơ hệ một bậc tự do nên ta chọn hệ
tọa độ suy rộng q1=h
*Tính lực suy rộng Q1
Cho hệ một DCKD từ vị trí ban đầu:
tải A đi xuống
02
h
R
 
Công di khả dĩ
( ) ( ) ( )k A BA A P A P A M     sinA B BP h P s M   
0
sin
2 2A B
h hP h P M
R
  
1
0 0
sin sin
2 2 2 2k A B A B
M MA P P h P P q
R R
    
1
0
sin
2 2A B
MQ P P
R
Bs
B A
M
BP
AP
C
1R
1R
2R
h
0; 2B
hs R   
Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Tính động năng
A B CT T T T 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2
A B
A B B B C C
P PV V J J
g g
  
*Tính các đạo hàm
2 2 2
0 0
2
1 0
32 9 8
32
A B CR P R P PT T h
q R gh
     

2 2 2
0 0
2
1 0
32 9 8
32
A B CR P R P Pd T h
dt q R g
   


1
; 0T
q
 
2 2 2
2 2
2 2
0
1 1 1 1 1
2 2 4 2 2 4 2 4
CA B A B A A
A
PP P V P V VV
g g g g R
2 2 2
20 0
2
0
32 9 81 ( )
2 32
A B C
A
R P R P P V
R g
2 2 2
20 0
2
0
32 9 81 ( )
2 32
A B CR P R P P h
R g
 
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Áp dụng phương trình Lagrange II
i
i i
d T T Q
dt q q
     
2 2 2
0 0
2
0 0
32 9 8 sin0
32 2 2
A B C
A B
R P R P P Mh P P
R g R

1
1 1
d T T Q
dt q q
     
0 0
0 2 2 2
0 0
2 sin16
32 9 8
A B
A B C
R P R P Mh gR
R P R P P

Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ: Cho lăng trụ A như hình vẽ khối lượng m1 con lăn trụ tròn đồng
chất tâm B khối lượng m2, con lăn lăn không trượt, bỏ qua ma sát trượt
giữa A và nền, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định gia tốc A và B.
A
B
M
x
s
BP
AP
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Cơ hệ hai bậc tự do nên ta chọn hệ tọa độ suy
rộng q1=x độ dời lăng trụ A, q2=s độ dời tươngđối của tâm B với lăng trụ A
*Tính lực suy rộng Q1
Cho hệ một DCKD đặc biệt
1 0q x  
( ) ( ) ( )k A BA A P A P A M    
0 0 0 0 1 0Q 
A
B
M
x
s
BP
AP
2; 0q s  
(Gắn chặt B vào lăng trụ A)
*Tính lực suy rộng Q2
Cho hệ một DCKD đặc biệt 1 0q x  2; 0q s  
( ) ( ) ( )k A BA A P A P A M     0 sinB sP s M R 
( sin )B
MP s
R
  2 2 sin MQ m g R 
Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Tính động năng
*Quan hệ động học
AV x  ; B sR 

Tâm B chuyển động phức hợp e r
B B BV V V 
   
e
B AV V x  ; rBV s 
2 2 2 2 2( ) ( ) 2 cos ( ) ( ) 2 cose r e rB B B B BV V V V V x s xs    
A BT T T 2 2 21 2
1 1 1
2 2 2A B B
m V m V J  
2
2 2 2 2
1 2 2 2
1 1 1 1( 2 cos )
2 2 2 2
sm x m x s xs m R
R
     
2 2
1 2 2 2
1 3( ) cos
2 4
m m x m s m xs    
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Tính các đạo hàm
1 2 2
1
( ) cosT T m m x m s
q x
        1 2 21 ( ) cos
d T m m x m s
dt q
   
 
1
0T T
q x
    2
; 0T T
q s
   
2 2
2
3 cos
2
T T m s m x
q s
        2 22
3 cos
2
d T m s m x
dt q
   
 
Phương trình Lagrange II
1
1 1
2
2 2
d T T Q
dt q q
d T T Q
dt q q
         


1 2 2
2 2 2
( ) cos 0
3cos sin
2
m m x m s
Mm x m s m g
R
 
 
Giải hệ phương trình trên ta được gia
tốc của A và gia tốc tương đối của B
Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ: Cho khối trụ đặc bán kính r có trọng lượng P1 được cuốn bằng
một sợi dây vắt qua ròng rọc O, đầu kia buộc vào vật A có trọng lượng
P2. Vật A có thể trượt trên mặt phẳng nằm ngang với hệ số ma sát
trượt f. Tìm gia tốc của A và tâm C của khối trụ khi hệ chuyển động. Bỏ
qua các khối lượng của dây và ròng rọc O.
B
1P
2P
C
A
O
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Hệ có 2 bậc tự do nên ta chọn 2 tọa độ suy rộng q1=x là độ dời vật A
theo phương ngang và q2= là góc quay của khối trụ C như hình vẽ
B
1P
2P C
A O
x
* Tính Q1: Cho δx>0, δϕ=0
1( ) ( )k msA A P A F   
1 msxP xF  
1 2( )P f P x 
1 1 2Q P f P 
* Tính Q2: Cho δx=0, δϕ>0
1( )kA A P  
1r P 
2 1Q rP 
Bài giảng Cơ Lý Học Thuyết - Tuần 13 5/25/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
* Tính động năng của hệ
A CT T T 
Với: 221
2A
PT x
g
 
2 211 1
2 2C C C
PT V J
g
 
211
2C
PJ r
g
 22 2 22 1 11 1 1
2 2 4
P P PT x x r r
g g g
   
mà CV x r  (chuyển động hợp)
 2 2 21 11 1
2 4C
P PT x r r
g g
  
2
2 21 1
1 2
1 3( )
2 4
Pr PxP P x r
g g g
   
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
* Tính các đạo hàm của động năng
1 2 1P P PrT x
x g g
   
1 2 1P P Prd T x
dt x g g
   
0T
x
 
21 13
2
Pr PT x r
g g
  
21 13
2
Pr Pd T x r
dt x g g
   
0T 
 
* Phương trình Lagrange II
1
2
d T T Q
dt x x
d T T Q
dt 
         


1 2 1
1 2
21 1
1
3
2
P P Prx P f P
g g
Pr Px r rP
g g
  


1 2
1 2
2
1 2
3
3
2(1 )
( 3 )
P fPx g
P P
f P g
r P P

