Bài giảng Cơ học lý thuyết - Tuần 7 - Nguyễn Duy Khương

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 1
Phần 3: ĐỘNG LỰC HỌC
 Vấn đề chính cần giải quyết là:
• Lập phương trình vi phân chuyển động
• Xác định vận tốc và gia tốc khi có lực tác động vào hệ
Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động
Chương 11: Nguyên lý D’Alembert
Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học
Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Chương 14: Phương trình tổng quát động lực học và
phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất
điểm
NỘI DUNG
1. Khái niệm cơ bản động lực học
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
1. Khái niệm cơ bản động lực học
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
1. Khái niệm cơ bản động lực học
Nhắc lại một số công thức động học
Gia tốc: dVW
dt
  
Vận tốc: d sV
dt
  
Nếu gia tốc là hằng số:
0 CV V W t 
2
0 0
1
2 C
s s V t W t 
2 2
0 02 ( )CV V W s s 
Wdz vdv Quan hệ giữa gia tốc và vận tốc
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
1. Khái niệm cơ bản động lực học
Động Lực Học
Tĩnh học Động học
Lực
Moment
Vận tốc 
gia tốcĐịnh luật 
Newton II
F mW   
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Định luật Newton II F mW    
Mô hình vật thể tự do Mô hình động học
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Tiến sĩ John Paul Stapp thí nghiệm tác động của lực G lên cơ thể
Vận tốc không đổi
0W 
Tăng tốc Giảm tốc
246,2 453,2 /W g m s 
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Định luật Newton II trong hệ trục tọa độ Descarte
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Ví dụ: Cho quả đại bác nặng 10kg bắn thẳng đứng với vận tốc ban 
đầu V0=50m/s. Tính chiều cao tối đa của quả đại bác khi:
1. Bỏ qua lực cản không khí.
Giải
Phân tích các lực tác động lên quả đạn
2. Lực cản không khí là FD=0,01V2(N)
10 9,81 98,1( )C CP m g N 
1. Bỏ qua lực cản không khí
CP O
z
CWĐịnh luật Newton II
C C CWP m 
  
(1)
Chiếu (1) lên Oz: CC CWP m 
29,81( / )C mW g s 
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
*Bài toán động học:
Điều kiện ban đầu: Tại z0 = 0 : V0 = 50 m/s
zmax = h : V = 0 m/s
Do quả đại bác chuyển động với gia tốc là hằng số nên:
2 2
max 0 0max2 ( )CV V W z z 20 50 2( 9,81)( 0)h 
127( )h m 
2. Lực cản không khí là FD=0,01V2(N)
Phân tích các lực tác động lên quả đạn
98,1( )CP N 20,01 ( )D CP V N 
CP O
z
CW
DP
Định luật Newton II C D C CWP P m 
   
(2)
Chiếu (2) lên Oz: C D CCWP P m 
20,01C C C Cm g V m W 20,001 9,81C CW V 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
*Bài toán động học:
Điều kiện ban đầu: Tại z0 = 0 : V0 = 50 m/s
zmax = h : V = 0 m/s
Do gia tốc không phải là hằng số nên ta sử dụng quan hệ giữa gia 
tốc và vận tốc:
114( )h m 
C C CW dz V dV 2( 0,001 9,81)C C CV dz V dV 
20,001 9,81
C
C
C
Vdz dV
V
0
20 50 0,001 9,81
h C
C
C
Vdz dV
V
02
50
500ln( 9810)Ch V 
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Giải
Phân tích các lực tác động lên quả đạn
Ví dụ: Cho quả đại bác bắn nghiêng với phương ngang một góc và
vận tốc ban đầu V0. Tính phương trình chuyển động của đạn (bỏ qua
ma sát không khí)
CP
Chỉ có trọng lực tác động lên quả đạn
Định luật Newton II trong hệ 
trục tọa độ Descarte
0
0 0
0 0
0; 0
0; cos
0; sin
x x
y y V
z z V



Điều kiện ban đầu:
0
0
C
C
C C
m x
m y
m z m g


*Bài toán động học
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
z
x
y
0V0
2
0
0
( cos )
1( sin )
2
x
y V t
z V t gt
Lấy tích phân ba phương trình vi phân trên với điều kiện ban đầu ta được:
Quỹ đạo của đạn là:
2
2 2
0
tan
2 cos
gz y y
V
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Tính vận tốc của thùng tại thời điểm 3s 
tính từ lúc bắt đầu kéo thùng.
Ví dụ: Cho thùng hàng nặng 50kg. Hệ số ma sát động 0,3k 
Giải
Phân tích các lực tác động lên thùng
T
030
CN
msF
Khi giải phóng liên kết ta có:
50 9,81 490,5( )C CP m g N 
400( )T N 
0,3ms Ck CF N N 
CW
 
y
x
CP
C
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Định luật Newton II:P T
030
N
msF
W
 
y
x
C CF m W    
Một phương trình vector trong 2 chiều ta 
có 2 phương trình chiếu. 
Chiếu lên 2 phương Ox, Oy ta được:
Ox:
(1)C sC m CCP T mN F W 
    
0cos30 s CCmF WT m 
0cos30 Ck CCT mN W (2)
Oy: 0sin 30 0CC P TN (3)
Từ (2) và (3) ta tính được
2
290,5( )
5,19( / )
C
C
N N
mW s
*Bài toán động học: Vì gia tốc là hằng số nên ta có
0 0 5,19 3 15,6( / )CV V W t m s 
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Ví dụ: Cho con chạy C nặng 2kg trượt trên thanh đứng không ma sát,
con chạy C được nối với lò xo có độ cứng k=3 N/m, độ dài của lò xo
không co giản là 0,75m. Cho con chạy chuyển động từ vị trí C đến vị
trí A dừng lại với quảng đường di chuyển 1m. Tính gia tốc của con
chạy C và phản lực của trục tác dụng lên con lăn C.
Giải
Phân tích các lực tác dụng lên con chạy C 
tại vị trí y bất kỳ
CW
 
y
x
CP
C
SF

CN
Định luật Newton II: (1)CC CCSN FP Wm 
    
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
CW
 
y
x
CP
C
SF

CN
(1)CC CCSN FP Wm 
    
Chiếu pt (1) lên 2 phương Ox, Oy ta được:
Ox:
Oy:
cos 0C SN F  
cosC SN F  (2)
sin CS CCP F Wm (3)
Với : 2 9,81 19,62( )C CP m g N 
SF k l  2 2( ) ( ( ) )k CB AB k y AB AB 
2 23( (0,75) 0,75)SF y 
tan
0,75
y y
AB
  Thế y=1m ta được1,5( )SF N 53,1o 
Thế FS và θ vào pt (2) và (3) ta được 2
0,9( )
9,21( / )
C
C
N
m
N
W s
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm
i i i iF f mW      
+ Fi là ngoại lực tác động vào vật thứ i
+ fi là nội lực tác động qua lại giữa vật i 
với các vật khác
Định luật Newton II
Mô hình vật thể tự do Mô hình động học
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm
Ví dụ: Cho tải A và tải B có khối lượng lần lượt là 100kg và 20kg. Tính
vận tốc của tải B tại thời điểm 2s (Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây
và ròng rọc không đáng kể)
Giải
*Xét ròng rọc C ta có:
*Xét tải A ta có:
A A AF m W    AW
A
*Xét tải B ta có:
B B BF m W    
BW B
C
981 2 100 AT W (1)
196,2 BBT Wm (2)
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm
*Bài toán động học:
2 A Bs s l 
Quan hệ chuyển động giữa tải A và tải B
Lấy đạo hàm 2 lần biểu thức trên ta được
2 A BW W (3)
Từ (1), (2) và (3) ta giải được:
327( )
3,27( / )
6,54( / )
A
B
T
W
N
m
m sW
s
Tải A sẽ chuyển động tăng tốc đi xuống, tải B
chuyển động tăng tốc đi lên
0B BVV W t 0 ( 6,54)(2)BV 
13,1( / )B sV m 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm
Ví dụ: Cho mô-tơ kéo dây cáp với gia tốc 3m/s2. Tính phản lực liên kết
tại A và B. Biết dầm có khối lượng phân bố đều là 30 kg/m và thùng
chứa C có khối lượng 200kg, bỏ qua khối lượng mô-tơ và ròng rọc.
Giải
*Xét thùng chứa C ta có:
CP 2T
CW
 
x
C C CF m W    
2 C CCWPT m 
Mà ta có
2 21 3( / ) 1,5 /
2C
W m s m s 
200 1,5 200 9,81
2 2
C C CT m W P   Nên
1131( )N 
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm
TT
yB
yA
xA
Do chỉ có một lực Ax theo phương ngang nên ta suy ra
0
0
y
A
F
M


 
 
Hệ lực còn lại là hệ lực song song nên ta có điều kiện cân bằng của
hệ lực song song:
0xA 
0
6 2,5 3 0
y y
y
A T T
TB T
B    
1225,25( )
1036,75( )
y
y
N
N
A
B
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12
CHƯƠNG 10 Phương trình vi phân chuyển động
3. Phương trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm
*Nhận xét:
- Ta sử dụng được định luật Newton II cho vật rắn chuyển động
để tính được gia tốc của vật do ngoại lực tác động vào hệ.
- Tuy nhiên nếu dùng định luật Newton II cho những bài có
chuyển động tròn và song phẳng thì sẽ rất khó khăn nên ta sẽ sử
dụng Nguyên lý D’Alembert ở chương sau để giải quyết những
bài toán chuyển động song phẳng cho việc giải bài toán dễ dàng
hơn.
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
2. Lực quán tính, nguyên lý D’Alembert
3. Thu gọn hệ lực quán tính
NỘI DUNG
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Khối tâm của cơ hệ
M1(m1)
1r
M2(m2)
2r
Mk(mk)
kr
Cr
C
k k
C
k
m r
r
m
 
Điểm C có bán kính vectơ
k k
C
k k
C
k k
C
m x
x
M
m y
y
M
m z
z
M



Với
kM m 
x
y
z
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Theo định luật 2 Newton, phương trình chuyển động của
vật chuyển động của vật chuyển động tịnh tiến:
F mW    
Tiếp theo ta sẽ xét một vật
chuyển động quay quanh trục
cố định được gây ra bởi
moment nên phương trình có
dạng:
 M J    
Với: J Là mô ment quán tính
khối lượng của vật rắn
 Là gia tốc góc của vật
rắn
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 14
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính của vật rắn đối với một trục
x
y
z
zk
xk
yk
2
k kJ m h  
kh Xét trong hệ tọa độ Oxyz
2 2( )x k k kJ m y z 
2 2( )y k k kJ m x z 
2 2( )z k k kJ m x y 
mk
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính của vật rắn đối với trục z
2
z
m
J r dm 
rVới: Là cánh tay đòn vuông góc với trục z
dm dV Là vi phân khối lượng
Nên ta được
2
z
V
J r dV 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 15
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính của vật rắn đối với tâm O
kr
x
y
z
zk
xk
yk
2
O k kJ m r 
Trong hệ tọa độ Oxyz
1 ( )
2O x y z
J J J J 
2 2 2 2 2 2
( )
2 2 2
k k k k k k
k
x y y z x zm 
2 2 2 2( )O k k k k k kJ m r m x y z  
O
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính của thanh thẳng đối với trục ( ) khối
lượng M dài L như hình vẽ
1. Trục ( ) đi qua đầu thanh.
2. Trục ( ) đi qua trọng tâm của thanh.
L
(M)
A B
xk xk
mk
x
2
3
MLJ 
.k km x ML Với
Theo định nghĩa
2 2
k k k kJ m x x x  
3
2
0 3
L LJ x dx  
Giải
1. Trục ( ) đi qua đầu thanh: Xét một phân tố nhỏ ta có
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 16
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
( )
L/2
(M)
A Bxk xk
mk
x
2
12
MLJ 
/ 2
/2
3
2
12
L
L
LJ x dx 
2. Trục ( ) đi qua trọng tâm của thanh : Xét một phân tố nhỏ ta có
Tương tự như trên
L/2
Có thể sử dụng công thức trên cho tấm hình chữ nhật
( )
L/2
(M)
A B
x
L/2
D C
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính của vành tròn và mặt trụ tròn đối với
trục ( ) đi qua tâm của vành và mặt trụ tròn khối lượng M, bán
kính R như hình vẽ
Theo định nghĩa
Giải
R
(M)
O mk
(M)
R O
2 2
k kJ m R R m  
2J MR 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 17
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính của tấm tròn và trụ tròn đối với trục ( ) đi
qua tâm của tấm và trụ tròn khối lượng M, bán kính R như hình vẽ
Giải
(M)
(M)
R OR Or
dr
21
2
J MR 
2 (2 . )k k k
Mm r r
R
3
2
2
2 k
k k k
MrJ m r r
R 
  
Theo định nghĩa
3
2
0
2R MrJ dr
R 
Xét một phân tố nhỏ ta có
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
( )
2J M 
Với M là khối lượng toàn vật(kg)
 là bán kính quán tính(m)
Trong kỹ thuật, moment quán tính khối lượng thường được biểu diễn
dưới dạng
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 18
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
2
CJ J Md 
Liên hệ mômen quán tính giữa 2 trục song song
Với M là khối lượng vật
d là khoảng cách giữa 2 trục song song
J C là mômen quán tính của trục qua khối tâm
Định lý liên hệ giữa các trục song song
( C)
C
d
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính khối lượng của vật đối với trục đi qua một điểm
có hướng cho trước
O
x
y
z L


2 2 2cos cos cos
 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos
L x y z
xy yz xz
J J J J
J J J
  
    
Với , ,   xy k k k yz k k k xz k k kJ m x y J m y z J m x z
Là moment tích quán tính khối lượng
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 19
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính của thanh thẳng đối với trục ( ) đi
qua trọng tâm của thanh khối lượng M dài L như hình vẽ
Giải
( C)
L/2
(M)
A B
x
2
12C
MLJ 
Ta có moment quán tính của thanh đối 
với trục đi qua đầu thanh là
L/2
2
3A
MLJ 
Sử dụng công thức đổi trục song song
2
A CJ J Md 2 2
2
3 4C A
ML MLJ J Md 
C
( A)
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính khối lượng của một số vật đồng chất đơn giản
Thanh thẳng đồng chất khối lượng M chiều dài L
1. Trục ( ) đi qua đầu thanh tại A
2
3
 A MLJ
2. Trục ( ) đi qua khối tâm C cách A L/2
A B
C
2
12
 C MLJA B
C
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 20
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Vành tròn (ống tròn) đồng chất khối lượng M bán kính R
R O
2
 OJ MR
R O
Mặt tròn (trụ tròn) đồng chất khối lượng M bán kính R
R O
R O
21
2 
 OJ MR
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính của hệ nhiều vật
2
Ci i i
i
J J m d 
Với CiJ là moment quán tính của vật thứ i tại khối tâm C
im là khối lượng của vật thứ i
id là khoảng cách từ khối tâm của vật thứ I đến điểm
muốn tính moment quán tính
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 21
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính tại trục vuông góc với mặt phẳng
cảu hình vành khăn và đi qua O như hình vẽ. Biết vật này có
khối lượng riêng là 8000kg/m3 và bề dày 10mm.
Giải
Vành vành khăn sẽ bao gồm đĩa hình
tròn lớn trừ đi lỗ tròn nhỏ nên ta được
như sau
Xét đĩa tròn lớn:
3 28000 / [ (0, 25 ) (0, 01 )] 15, 71d d dm V kg m m m kg 
2 2 2 2 21 3 3 15, 71(0, 25)
2 2 2dO dG d d d d d d
J J m d m r m r m r  
21, 473dOJ kg m 
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Xét lỗ tròn nhỏ:
3 28000 / [ (0,125 ) (0, 01 )] 3,927h h hm V kg m m m kg 
2 2 2
2 2
3
1
2
1 (3,927 )(0.125 ) (3,927 )(0, 25)
2
0, 276
hO hG h h h d
hO
hO
J J m d m r m r
J kg m kg
J kg m
  
 
Moment quán tính cua vật bị khoét một lỗi tròn
21, 473 0, 276 1, 20O dO hOJ J J kg m 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 22
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính của khung hình chữ nhật OABC đối
với trục O biết AB=2BC=2L và khối lượng thanh AB, BC lần
lượt là 2M và M. Giải
Ta có moment quán tính của từng thanh đối với O
/ / / /O OA O AB O BC O CO OJ J J J J 
(Do trục đi qua đầu thanh OA và OC)
2
/ / (2 )( )AB O AB EJ J M EO 
O
A
B
C
2
/ ;3OA O
MLJ 
2 2
/
(2 )(2 ) 8
3 3OC O
M L MLJ 
Sử dụng công thức ta có
Sử dụng công thức đổi trục ta cóE
2
2(2 )(2 ) (2 )( 2 )
12
M L M L 
214
3
ML 
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Moment quán tính của khung OABC đối với O
O OA AB BC COJ J J J J 
O
A
B
C
F
2
/ / ( )BC O BC FJ J M FO 
213
3
ML 
2 2 2 214 13 8
3 3 3 3
ML ML ML ML 
212ML 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 7 4/28/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 23
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Ví dụ: Tính Moment quán tính đối với trục O của thanh và tấm tròn
sau biết OA=L, bán kính tấm tròn là R=L/4 và khối lượng thanh
OA bằng khối lượng tấm tròn bằng M.
Giải
Ta có
/ /O OA O C OJ J J 
O
A
2
/ /C O C CJ J Md 
(Do trục đi qua đầu thanh OA)
2
/ 3OA O
MLJ 
Sử dụng công thức ta có
Sử dụng công thức đổi trục ta có
2
2( )
2
MR M L R 
C
251
32
 ML 2/ / 18596 O OA O C OJ J J ML
1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
CHƯƠNG 11 Nguyên lý D’Alembert
Bài tập về nhà
JOABC/ O=?
O
A
B
C
AC=OB=L
A
B
O
AB=3AO=L
JAB/ =?
O
A
B
C
OA=AB=L
JOABC/ O=?