Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 6: Lý thuyết đàn hồi tuyến tính - Trần Minh Tú

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
1(39)
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
 I LI 
 L I
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
®
¹
i
h
ä
c
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
2(39)
Chương 6
Lý thuyết đàn hồi tuyến tính
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
3(39)
NỘI DUNG
6.1. Định luật Hooke6.1. Định luật Hooke
6.2. Biểu thức nội năng6.2. Biểu thức nội năng
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
4(39)
6.1. Định luật Hooke
6.1. Định luật Hooke6.1. Định luật Hooke
Tĩnh học: trạng thái ứng suấtTĩnh học: trạng thái ứng suất
Hình học: trạng thái biến dạngHình học: trạng thái biến dạng
Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất -
biến dạng ??? 
Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất -
biến dạng ??? 
Chương 3:
Chương 4:
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5(39)
6.1. Định luật Hooke
Tổng quát: các ứng suất có thể biểu diễn bằng hàm của các biến dạng
( )ij ijfσ ε=
Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính khi bỏ qua những mất mát nhiệt
năng, quan hệ ứng suất – biến dạng là các quan hệ thuần nhất
tuyến tính
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
11
22
33
12
23
13
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 45 55 56
61 62 63 64 65 66
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
11
22
33
12
23
13
ε
ε
ε
ε
ε
ε
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
=
.
[Cij]6x6 -ma trận các
hằng số đàn
hồi – 36 phần
tử
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6(39)
1
2
11 12 13
3
21 22 23
4
31 32 33
5
6
σ
σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ
σ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⇒⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
1
3
4
56
1 11
2 22
3 33
4 23
5 13
6 12
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
=
=
=
=
=
=
6.1. Định luật Hooke
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7(39)
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
333231
232221
131211
γ
γ
γ
ε
ε
ε
εεε
εεε
εεε
2
1
3
4
56
126
135
234
333
222
111
2
2
2
εγ
εγ
εγ
εε
εε
εε
=
=
=
=
=
=
γ = 2ε
6.1. Định luật Hooke
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8(39)
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
σ
σ
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
Dị hướng: ứng suất đơn có thể gây nên biến dạng dài và biến dạng góc
Tương tác kéo - cắt
Tương tác cắt - cắt
Tương tác kéo - kéo
6.1. Định luật Hooke
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9(39)
Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh trong nền
epoxy, và (d) a tinh thể khối lập phương. 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10(39)
6.2. Biểu thức nội năng
6.2. Biểu thức nội năng6.2. Biểu thức nội năng
Khi phân tố biến dạng, các nội lực (ứng suất) trên các mặt của phân tố
sẽ thực hiện các công (A) trên các chuyển vị đường và chuyển vị góc
tương ứng của phân tố. 
Vật thể đàn hồi lý tưởng: năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo
toàn do vậy công của nội lực trên phân tố sẽ hoàn toàn chuyển hoá
thành thế năng biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong trong phân tố: 
A W= δ δ⇒ =A W
11 11 22 22 33 33 12 12 13 13 13 13 ij ijAδ σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε= + + + + + =
Mặt khác thế năng biến dạng đàn hồi là hàm của các thành phần biến dạng
Mà:
( )ijW W ε= ij
ij
WWδ δεε
∂⇒ = ∂
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11(39)
Công thức Clapeyron xác định thế năng biến dạng đàn hồi
1
2 ij ij
W σ ε=
Định lý Castigliano
ij
ij
Wε σ
∂= ∂
Định lý Green: các thành phần nội lực (ứng suất) bằng đạo hàm riêng của
thế năng biến dạng đàn hồi đối với biến dạng tương ứng
ij
ij
Wσ ε
∂= ∂ (5.5) 
(5.6) 
(5.7) 
6.2. Biểu thức nội năng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12(39)
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.3.1. Vật liệu đàn hồi dị hướng
Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, các tính chất
đối xứng hình học làm giảm đi số lượng các hằng số độc lập của ma 
trận độ cứng hay ma trận độ mềm. => 21 hằng số
[ ]
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
44 45 46
55 56
66
§ X
C C C C C C
C C C C C
C C C C
C C C
C C
C
C
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13(39)
Trục đối xứng đàn hồi:
Trong hệ trục toạ độ Ox1x2x3 và Ox’1x’2x’3
(x3≡x’3) tại 1 điểm xác định nếu các hằng
số đàn hồi Cij không thay đổi khi chuyển
từ hệ trục này sang hệ trục khác bằng phép
quay => x3 (x’3) là trục đối xứng đàn hồi
Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:
Nếu phép biến đổi là đối xứng gương của
các trục đối với một mặt phẳng nào đó thì
mặt phẳng này gọi là mặt phẳng đối xứng
đàn hồi (mặt phẳng x1x2)
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14(39)
Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ:
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
15(39)
Nếu tồn tại một mặt phẳng đối xứng đàn
hồi (mặt phẳng vuông góc với e3) thì gọilà vật liệu đơn nghiêng, khi đó số các
hằng số độc lập trong ma trận độ cứng
và độ mềm là 13. 
6.3.2. Vật liệu đơn nghiêng (monoclinic)
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
c
b a
e3
e1
e2
e’1
e’3e’2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
16(39)
6.3.3. Vật liệu trực hướng (orthotropic)
Vật liệu có 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc với nhau từng
đôi một, khi đó ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn 9 
hằng số độc lập. 
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
ca
b
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
100
010
001
100
010
001
100
010
001
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
17(39)
6.3.4. Vật liệu đẳng hướng ngang
Nếu một trong các mặt phẳng đối xứng đàn hồi của vật liệu trực
hướng là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng ngang. 
Ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn lại 5 hằng số độc lập.
)(
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
66
66
2322
222312
232212
121211
00000
00000
00
2
1000
000
000
000
C
C
CC
CCC
CCC
CCC
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
][ θθ
θθ
Q
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
18(39)
6.3.5. Vật liệu đẳng hướng
Nếu mọi mặt phẳng đối xứng vật liệu trong vật liệu trực hướng đều là
đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng. Tính chất của vật liệu theo
mọi phương là như nhau, lúc này số các hằng số độc lập chỉ còn 2
)(
)(
)(
11 12 12
12 11 12
12 12 11
11 12
11 12
11 12
0 0 0
0 0 0
0 0 0
10 0 0 0 0
2
10 0 0 0 0
2
10 0 0 0 0
2
C C C
C C C
C C C
C C
C C
C C
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
12C λ=
)( 11 1212 C C μ− =
λ, μ - hằng số Lamé
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
19(39)
Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng có thể viết dưới dạng sau: 
11 112σ με λθ= +
22 222σ με λθ= +
33 332σ με λθ= +
12 122σ με=
13 132σ με=
23 232σ με=
2ij ij ijσ με δ λθ= +
( )2 1
Eμ ν= +
11 22 33iiθ ε ε ε ε= = + +
λ- hằng số Lamé
( )( )1 1 2
Eνλ ν ν= + −
(5.13a) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
00000
00000
00000
0002
0002
0002
γ
γ
γ
ε
ε
ε
μ
μ
μ
μλλλ
λμλλ
λλμλ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
μ – modul đàn hồi trượt
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
20(39)
Dạng biểu diễn biến dạng qua ứng suất của định luật Hooke
( )11 11 22 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
( )22 22 11 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
( )33 33 11 221Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
12 12
1
E
+= νε σ
13 13
1
E
+= νε σ
23 23
1
E
+= νε σ
1
ij ij ij kkE E
ν νε σ δ σ+= −
ν - hệ số Poisson
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
100000
010000
001000
0001
0001
0001
τ
τ
τ
σ
σ
σ
μ
μ
μ
νν
νν
νν
γ
γ
γ
ε
ε
ε
/
/
/
E/E/E/
E/E/E/
E/E/E/
6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
( )2 1
Eμ ν= +
G (Sức bền Vật liệu)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
21(39)
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
6.4.1. Các phương trình cơ bản
Vật thể đàn hồi tuyến tính có thể tích V, mật độ vật chất ρ bề mặt
giới hạn S, nằm cân bằng dưới tác động của ngoại lực thể tích có
cường độ f trong toàn bộ hay một phần thể tích V, của ngoại lực bề
mặt có cường độ f* trên phần S1 của mặt giới hạn, và của các
chuyển vị cưỡng bức cho trước u0 trên phần S2 của mặt giới hạn. 
V
S1
S2
Mục đích: Xác định ứng suất, 
chuyển vị và biến dạng của vật thể
đàn hồi
• Bài toán tĩnh: gia tốc các chuyển vị
bằng không
• Bài toán động: gia tốc các chuyển
vị khác không
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
22(39)
Phương hướng giải quyết: 
• Các phương trình cân bằng: quan hệ giữa các ứng suất với nhau, giữa
các ứng suất và các ngoại lực.
• Các phương trình hình học: quan hệ giữa các biến dạng và chuyển vị, 
các quan hệ giữa các biến dạng với nhau.
• Các phương trình vật lý: quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng
(định luật Hooke).
• Tìm cách giải hệ thống các phương trình kể trên.
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
Các phương trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
23(39)
a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy (3.7) 
1
11
1
u
x
ε ∂= ∂
2
22
2
u
x
ε ∂= ∂
3
33
3
u
x
ε ∂= ∂
2 1
12 21 12
1 2
2 u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
3 2
23 32 23
2 3
2
u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
3 1
13 31 13
1 3
2 u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
11 21 31
1
1 2 3
0f
x x x
σ σ σ
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
12 22 32
2
1 2 3
0f
x x x
σ σ σ
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
31 32 33
3
1 2 3
0f
x x x
σ σ σ
b. Hệ phương trình hình học Cauchy (4.15)
(5.16) 
(5.17) 
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
24(39)
c. Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34)
2 2 2 2
11 22 12 12
2 2
2 1 1 2 1 2
2
x x x x x x
ε ε ε γ∂ ∂ ∂ ∂+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 22
33 13 1311
2 2
3 1 1 3 1 3
2
x x x x x x
ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 22
33 23 2322
2 2
3 2 2 3 2 3
2
x x x x x x
ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
23 3111 12
2 3 1 1 2 3x x x x x x
ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
31 2322 12
3 1 2 2 3 1x x x x x x
ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
33 23 3112
1 2 3 3 1 2x x x x x x
ε ε εε⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(5.18) 
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
25(39)
d. Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b)
11 112σ με λθ= +
22 222σ με λθ= +
33 332σ με λθ= +
12 122σ με=
13 132σ με=
23 232σ με=
( )11 11 22 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
( )22 22 11 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
( )33 33 11 221Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
12 12
1
E
+= νε σ
13 13
1
E
+= νε σ
23 23
1
E
+= νε σ
Hệ gồm 15 phương trình
vi phân và đại số: 
(5.19a) 
(5.19b) 
• 3 phương trình (5.16) 
• 6 phương trình (5.17)
hoặc (5.18) 
• 6 phương trình (5.19a)
hoặc (5.19b) 
15 hàm ẩn: 6 ứng
suất + 6 biến dạng + 
3 chuyển vị
Điều kiện biên ???
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
26(39)
6.4.2. Điều kiện biên
a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học)a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học)
+ + = *11 1 21 2 31 3 1l l l fσ σ σ
+ + = *12 1 22 2 32 3 2l l l fσ σ σ
+ + = *13 1 23 2 33 3 3l l l fσ σ σ
Trên bề mặt S1 của vật thể
chịu lực bề mặt cường độ *if
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
27(39)
b. Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học)b. Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học)
Trên phần bề mặt S2 chịu các chuyển vị hoặccác đạo hàm của chuyển vị cưỡng bức
usi = u0i ; vsi = v0i (hoặc các đạo hàm của chuyển vị) 
u0, v0 là các thành phần chuyển vị đã biết trên bề mặt. 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
28(39)
c. Nguyên lý Saint-Venantc. Nguyên lý Saint-Venant
Khi giải các bài toán biên, để giảm bớt khó khănkhi
tính toán người ta thường sử dụng một nguyên lý nổi
tiếng là nguyên lý Saint-Venant:
Nếu trên một miền nhỏ của vật thể đàn hồi có
tác dụng một hệ lực trong trạng thái cân bằng , 
thì ở những nơi đủ xa miền đặt lực đó, trạng thái
ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào hợp
lực đặt vào, mà không phụ thuộc vào hình thức
phân bố của các lực đó.
Áp dụng nguyên lý này, ta có thể thay thế các điều
kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng các điều
kiện biên tích phân viết theo hợp lực.
6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
29(39)
Saint-Venant’s Principle
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
30(39)
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
Nếu giải cùng lúc 15 phương trình trên để nhận được 15 ẩn số: cồng
kềnh về mặt toán học
Thu gọn về một số phương trình để tìm một số hàm ẩn chính - các
phương trình để giải của bài toán
ƒ Cách giải theo chuyển vị: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần chuyển vị
ƒ Cách giải theo ứng suất: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần ứng suất
ƒ Cách giải hỗn hợp: Chọn một phần ẩn chuyển vị, một phần ẩn ứng suất
Các ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi đã xác định được các ẩn số chính. 
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
31(39)
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
6.5.1. Cách giải theo chuyển vị
Ẩn số là các thành phần chuyển vị ui , để xác định chúng cần 3 phương trình
Từ 3 phương trình cân bằng, biểu diễn ứng suất qua biến dạng, rồi biến
dạng qua chuyển vị ta nhận được hệ phương trình Lamê.
2
2 1
1 1 2
1
( ) 0 d uu f
x dt
θμ μ λ ⎛ ⎞∂∇ + + + = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
2
2 2
2 2 2
2
( ) 0 d uu f
x dt
θμ μ λ ⎛ ⎞∂∇ + + + = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
2
2 3
3 3 2
3
( ) 0 d uu f
x dt
θμ μ λ ⎛ ⎞∂∇ + + + = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
31 2
1 2 3
uu u
x x x
θ ∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
2 2 2
2
2 2 2
1 2 3x x x
∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂
Nabla kép
(5.21) 
Giải (5.21) Pt quan hệ cvị-bdạngu i Định luật Hookeε i σi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
32(39)
6.5.2. Cách giải theo ứng suất
Sáu ẩn ứng suất cần 6 phương trình. Ba phương trình cân bằng (hoặc
chuyển động) và điều kiện biên không đủ xác định trạng thái ứng suất
một cách duy nhất
=> Bài toán siêu tĩnh => Cần bổ sung phương trình : biến đổi phương
trình tương thich biến dạng
Từ các pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ các pt định
luật Hooke, chú ý đến 3 pt cân bằng ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel
2
2
11 2
1
(1 ) 0Sv
x
σ ∂+ ∇ + =∂
2
2
22 2
2
(1 ) 0Sv
x
σ ∂+ ∇ + =∂
2
2
33 2
3
(1 ) 0Sv
x
σ ∂+ ∇ + =∂
2
2
12
1 2
(1 ) 0Sv
x x
σ ∂+ ∇ + =∂ ∂
2
2
13
1 3
(1 ) 0Sv
x x
σ ∂+ ∇ + =∂ ∂
2
2
23
2 3
(1 ) 0Sv
x x
σ ∂+ ∇ + =∂ ∂
11 22 33S σ σ σ= + +
là hàm tổng ứng suất
(5.22) 
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
33(39)
6.5.3. Các phương pháp giải - Lời giải giải tích và lời giải số
Bài toán thuận: xác định ứng suất, biến dạng xuất hiện trong vật thể
có hình dáng cho trước, chịu tác dụng của lực ngoài cho trứơc => 
Tích phân phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động với điều
kiện biên và điều kiện ban đầu
Bài toán ngược: cho biết trước biến dạng hay ứng suất, cần phải xác
định lực ngoài tác dụng lên vật thể để sinh ra biến dạng đó
¾ Phương pháp thuận: Tích phân trực tiếp các phương trình, các hằng
số xác định theo điều kiện biên. Khó khăn về mặt toán học.
¾ Phương pháp ngược: Cho nghiệm, thử các điều kiện của bài toán. 
Nếu đúng thì nghiệm ban đầu cho là đúng, nếu sai thì chọn lại
nghiệm khác. Khó khăn về mặt thời gian (chỉ dùng trong một số bài
toán đơn giản).
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
34(39)
¾ Phương pháp nửa ngược (Saint-Venant): Cho dạng nghiệm, dạng này
có thể đã thoả mãn một vài điều kiện nào đó của bài toán nhưng dạng
nghiệm còn chứa một số hằng số hoặc hàm số chưa xác định. Những
hàm số, hằng số này có thể tìm được từ những điều kiện còn lại của bài
toán. (đa số các bài toán sử dụng phương pháp này)
Phần lớn các bài toán quan trọng của kỹ thuật đều giải bằng phương
pháp nửa ngược
™Các dạng lời giải:
• Lời giải giải tích: cho kết quả nghiệm là những hàm số giải
tích - biết nghiệm tại mọi điểm của vật thể => Phương pháp
giải tích.
• Lời giải số: cho kết quả nghiệm bằng số tại một số điểm
của vật thể. => Phương pháp số.
• Cùng với sự phát triển của công cụ tính toán, phương pháp
số ngày càng được ứng dụng rộng rãi và tỏ ra rất hữu hiệu
trong việc giải quyết các bài toán thực tế kỹ thuật (phương
pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn...)
6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
35(39)
*
*
( ) ( )
( ) ( )
x s xy s x
y s xy s y
l m f
m l f
σ τ
σ τ
+ =
+ =
1,0 −== ml
* *
00, ( )x y
xf f p x p
l
= = − = −
Bài toán phẳng
A B
C
x
y
β
h
p(x)
p0
l
AB（y = 0）：
)(0)1(
0)1(0
xpyxy
xyx
−=⋅+−⋅
=−⋅+⋅
τσ
τσ 0
0
==yxyτ
00
)( p
l
xxp
yy
===σ
Ví dụ (điều kiện biên ứng suất )
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
36(39)
A B
C
x
y
β
h
p(x)
p0
l
Biên AC
cos( , ) cos(90 )
sin
l N x β
β
= = +
= −
D
βcos),cos( == yNm
0)sin(cos
0cos)sin(
=−⋅+⋅
=⋅+−⋅
βτβσ
βτβσ
yxy
xyx
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
37(39)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
ww
vv
uu
s
s
s
A B
C
x
y
β
h
p(x)
p0
l
Điều kiện biên chuyển vị
BC（x = l）：
0|,0| == == lxlx vu
0,0 =∂
∂=∂
∂
== lxlx x
v
y
u
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
38(39)