Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 8: Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn - Trần Minh Tú

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
1(53)
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
 I LI 
 L I
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
®
¹
i
h
ä
c
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
2(53)
Chương 8
Nhập môn
phương pháp phần tử hữu hạn
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
3(53)
NỘI DUNG
8.1. Mở đầu8.1. Mở đầu
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
4(53)
8.1. Mở đầu8.1. Mở đầu
Trong chương trước, ta đã giải bài toán phẳng theo ứng suất với việc
sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức hoặc chuỗi lượng giác –
các lời giải này là lời giải giải tích. Số bài toán cho nghiệm giải tích là
rất ít, đặc biệt là những bài toán không gian. 
Với các bài toán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìm
cách giải gần đúng – kết quả không phải là hàm giải tích mà là giá trị
của các đại lượng cần tìm tại một số điểm nhất định trong vật thể và
trên biên => Phương pháp số
Phương pháp số:
9Giải các phương trình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời
rạc hóa toán học, đưa các phương trình vi phân về các phương trình
đại số)
9Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH): rời rạc hoá mô hình vật
thể - mô hình tương thích, mô hình cân bằng và mô hình hỗn hợp.
8.1. Mở đầu
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5(53)
• Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
• Các ứng dụng
‰ Cơ học/Hàng không/Xây dựng/ Công nghiệp ô tô
‰ Phân tích kết cấu (tĩnh, động,tuyến tính/phi tuyến)
‰ Nhiệt/dòng chảy
‰ Điện từ
‰ Cơ học đất đá
‰ Sinh học
‰ ...
8.1. Mở đầu
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6(53)
8.1. Mở đầu
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7(53)
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
Miền xác định V của vật thể chia thành một số hữu hạn các miền con -
phần tử hữu hạn (finite element), liên kết với nhau tại các nút (node).
e
2
3
1
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8(53)
Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ bởi một
hàm đơn giản nào đó gọi là hàm dạng (shape function) hoặc hàm nội suy
(interpolation function). Các hàm này được biểu diễn qua giá trị của hàm
tại các điểm nút phần tử. Số lượng các giá trị này tại mỗi nút gọi là bậc tự
do của nút. Tổng số bậc tự do của các nút trong phần tử là số bậc tự do 
của phần tử và là ẩn số cần tìm của bài toán.
Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ mà người ta có thể phân tích bài
toán theo các mô hình:
• Mô hình tương thích: ẩn số cơ bản là chuyển vị (được sử dụng
rộng rãi hơn).
• Mô hình cân bằng: ẩn số cơ bản là ứng suất.
• Mô hình hỗn hợp: ẩn số vừa là ứng suất vừa là chuyển vị.
Giả thiết: Các phần tử chỉ liên kết với nhau tại các nút. Tại nút có
chuyển vị nút và lực nút. Lực nút bao gồm lực tương tác giữa các phần
tử và tải trọng nút (tải tập trung tại nút, tải trọng phân bố qui đổi về nút)
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9(53)
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát
Miền khảo sát V được chia thành các phần tử Ve có hình dạng thích
hợp. Số phần tử, hình dạng hình học, kích thước phần tử được xác định. 
Số điểm nút từng phần tử được lất tùy thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định
chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản.
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10(53)
Solid
Planar
One-dimensional
Mesh Elements
Shell
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11(53)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12(53)
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Giả thiết dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản khi lập trình máy tính nhưng
đồng thời phải thỏa mãn điều kiện hội tụ.
Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử [Ke] và vec tơ tải phần tử {Pe}
bằng nhiều cách: trực tiếp, sử dụng nguyên lý biến phân,... Phương trình
phần tử có thể biểu diễn dưới dạng
[ ]{ } { }e e eK q P= { }eq - vec tơ các bậc tự do của phần tử.
Bước 4: Ghép nối các phần tử để có hệ thống phương trình
[ ]K - ma trận độ cứng tổng thể
{ }q - vec tơ chuyển vị nút tổng thể
{ }P - vec tơ tải tổng thể.
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
[ ]{ } { }K q P=
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13(53)
{ } { }* * *K q P⎡ ⎤ =⎣ ⎦
Bước 5: Giải hệ phương trình (*) để tìm các chuyển vị nút => Xác định
ứng suất, biến dạng trong từng phần tử.
Sử dụng các điều kiện biên để nhận được hệ phương trình để giải
(*)
1
2
3
4 5 11
1234
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14(53)
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.1. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị (mô hình tương thích)
• Các nút: i, j, k –
đánh số theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
• Toạ độ các nút : 
( ) ( ) ( ), , , , ,i i j j k kx y x y x y
• Chiều dày phần tử: t
• Diện tích phần tử:
1 1 1
1
2 i j k
i j k
Det x x x
y y y
Δ =
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
15(53)
• Vec tơ chuyển vị nút: mỗi nút có hai thành phần chuyển vị theo hai
phương x, y là u, v
{ }
displacements at node i
 displacements at node j
displacements at node k
i
i
i
j
je
j
k
k
k
u
v
q
u
q q
v
q
u
v
⎫⎧ ⎫ ⎬⎪ ⎪ ⎭⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎪ ⎬⎩ ⎭ ⎭
• Vec tơ chuyển vị nút phần tử
{ } { } { }1 2 3 4 5 6
k
i
T T
j i i j j k ke
q
q q u v u v u v q q q q q q
q
⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
16(53)
Chuyển vị tại điểm bất kỳ bên trong phần tử: u, v
{ } { }( , ) ( , ) ex y x y q=U N
31 2
31 2
Node 2Node 1 Node 3
00 0
00 0
NN N
NN N
⎤⎡= ⎥⎢⎣ ⎦
N
	
	
 	
Hàm dạng
(shape function)
Hàm nội suy
(interpolation function)
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
17(53)
• Vec tơ lực tương tác tại nút phần tử : Tại các nút đều có lực tương tác
giữa các phần tử ta gọi chúng là các lực nút. Tại mỗi nút có 2 thành phần
lực nút theo hai phương x, y là U, V, chúng tạo thành vec tơ lực nút phần
tử
{ } { }i Tj i i j j k ke
k
R
R R U V U V U V
R
⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
18(53)
• Vec tơ tải trọng nút phần tử : tại các nút có tải trọng tác dụng (tải trọng
tập trung hoặc tải trọng phân bố qui đổi về tải trọng tập trung tại nút) mà
2 thành phần theo hai phương là X và Y
{ } { } { }1 2 3 4 5 6i T Tj i i j j k ke
k
F
F F X Y X Y X Y F F F F F F
F
⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
19(53)
Khi ghép các phần tử thành vật thể thì theo điều kiện cân bằng, tổng
các lực tương tác phần tử tại mỗi nút sẽ triệt tiêu và chỉ còn tổng các
tải trọng tại từng nút.
Cũng do vật thể ở trạng thái cân bằng nên tại các nút các lực cũng
phải cân bằng, và do vậy tại nút thứ i ta có (e là số phần tử tại nút i):
{ } { }i i
e
R F=∑
Trên mỗi phần tử, các tải trọng nút phần tử có thể biểu diễn qua 
chuyển vị nút (từ điều kiện cân bằng phần tử): 
{ } [ ]{ }ee eF K q= [ ]eK
- ma trận độ cứng phần tử
{ }eq - vec tơ chuyển vị nút phần tử
{ }eF - vec tơ tải trọng nút phần tử.ẩn số cần tìm
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
20(53)
8.4.2. Hàm xấp xỉ chuyển vị
Giả thiết chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử là hàm bậc nhất của toạ độ.
( ) 1 2 3,u x y x yα α α= + +( ) 4 5 6,v x y x yα α α= + +
Như vậy giá trị chuyển vị nút tại các đỉnh i, j, k sẽ là:
1 2 3i i iu x yα α α= + +
1 2 3j j ju x yα α α= + +
1 2 3k k ku x yα α α= + +
4 5 6i i iv x yα α α= + +
4 5 6j j jv x yα α α= + +
4 5 6k k kv x yα α α= + +
iα
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
21(53)
Biểu thức của chuyển vị.
( ) [ ] [ ]{ }1, 2 i i i i j j j j k k k ku x y a b x c y u a b x c y u a b x c y u⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦Δ
( ) [ ] [ ]{ }1, 2 i i i i j j j j k k k kv x y a b x c y v a b x c y v a b x c y v⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦Δ
trong đó: 
i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − +
j k i i ka x y x y= −
k i j j ia x y x y= −
j k ib y y= −
k i jb y y= −
j k ic x x= − +
k i jc x x= − +
(8.10) 
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
22(53)
8.4.3. Biểu thức biến dạng
,xx
u
x
ε ∂= ∂ ,yy
v
y
ε ∂= ∂ xy
u v
y x
γ ∂ ∂= +∂ ∂
Theo quan hệ chuyển vị - biến dạng :
{ }
0 0 0
1 0 0 0
2
2
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎢ ⎥Δ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦
xx i j k
T
yy i j k i j j j k k
xy i i j j k k
b b b
c c c u v u v u v
c b c b c b
ε
ε ε
ε
{ } [ ]{ }⇒ = eB qε [ ] 0 0 01 0 0 0
2
i j k
i j k
i i j j k k
b b b
B c c c
c b c b c b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦Ma trận hình học
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
23(53)
8.4.4. Biểu thức ứng suất
[ ][ ]{ }2
1 0
1 0
1
10 0
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦
xx xx
yy yy e
xy xy
E D B q
σ ν ε
σ σ ν ενσ ν ε
Quan hệ ứng suất – biến dạng :
[ ] 2
1 0
1 0
1
10 0
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
ED
ν
νν ν
[ ]
1 0
1 0
(1 )(1 2 )
1 20 0
2
ED
ν ν
ν νν ν ν
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Ma trận đàn hồi
(biến dạng phẳng) (ứng suất phẳng) 
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
24(53)
8.4.5. Quan hệ lực nút - chuyển vị nút - Ma trận độ cứng phần tử
Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange 
Ở trạng thái cân bằng nếu hệ có thêm các chuyển vị khả dĩ thì trị tuyệt
đối của công ngoại lực và của công nội lực bằng nhau: A U=
Ở trạng thái cân bằng phần tử có: - vec tơ lực nút { }eF
- vec tơ chuyển vị nút { }eq
- vec tơ biến dạng { } [ ]{ }eB qε =
- vec tơ ứng suất { } [ ][ ]{ }eD B qσ =
Khi cho các nút phần tử một chuyển vị khả dĩ { }*eq
phần tử có biến dạng khả dĩ là { } [ ]{ }* *eB qε =
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
25(53)
Công của ngoại lực trên các chuyển vị khả dĩ là: { }eF
{ } { }* Te eA q F=
Công nội lực trên toàn bộ phàn tử: 
{ } { } [ ]{ }( ) { } { } [ ] [ ][ ]{ }* * *TT T Te e e
S S S
U t dS t B q dS t q B D B q dSε σ σ= = =∫ ∫ ∫
{ } [ ] [ ][ ]{ }*⇒ = Δ T Te eU t q B D B q
Cân bằng với công A, ta thu được biểu thức:
{ } [ ] [ ][ ]( ){ } [ ]{ }T ee e eF t B D B q K q= Δ =
k
F = k.u
Độ cứng lò xoMa trận độ cứng phần tử [Ke]
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
26(53)
Ma trận độ cứng phần tử
[ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ
Với phần tử tam giác ma trận độ cứng phần tử là ma trận (6x6):
[ ]
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
61 62 63 64 65 66 6 6
e ij
k k k k k k
k k k k k k
K k
k k k k k k ×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
# # # # # #
[ ] [ ] [ ] [ ]6 6 6 3 3 3 3 6Te e e e
V
K B D B dV× × × ×= ∫Tổng quát:
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
27(53)
8.4.6. Ma trận độ cứng tổng thể (kết cấu)
™ Thế năng biến dạng đàn hồi toàn kết cấu
∑
=
=+++=
N
e
eN UUUUU
1
21 "
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }uKudkdUU TN
e
ee
T
e
N
e
e 2
1
2
1
11
∑∑
==
===
™ Ghép nối
Tăng kích thước ma trận™ Ma trận độ cứng tổng thể
[ ] [ ] [ ] [ ]NkˆkˆkˆK +++= "21
Kích thước ma trận độ cứng tổng thể phụ thuộc vào kích thước của vec
tơ chuyển vị nút tổng thể (DOF)
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
28(53)
8.4.6 Qui đổi tải trọng về các nút:
- Trong phương pháp phần tử hữu hạn người ta giả thiết các tải trọng
đều đặt tại các nút để thuận tiện khi lập các phương trình cân bằng
giữa ngoại lực và nội lực tại các nút. 
- Nếu trong phần tử có những tải trọng tập trung không đặt tại các nút, 
hoặc là tải trọng phân bố thì cần phải qui đổi chúng về nút một cách
đơn giản theo nguyên lý tương đương tĩnh học. 
- Nếu trên biên của phần tử có lực phân bố bề mặt{ } { }Tx yp p p=
thì vec tơ lực nút qui đổi sẽ là: 
{ } [ ] { }TpeF N p tds= ∫ ds là vi phân chiều dài biên của phần tử
- Nếu tại điểm bất kỳ có toạ độ (x, y) trong phần tử có tác dụng của
lực tập trung { } { }x yP P P=
vec tơ lực nút qui đổi: { } [ ] { }TpeF N P=
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
29(53)
với [N] là ma trận các hàm dạng và tính theo:
[ ] 0 0 00 0 0i j ki j k
N N N
N
N N N
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
( )
( )
( )
/ 2
/ 2
/ 2
i i i i
j j j j
k k k k
N a b x c y
N a b x c y
N a b x c y
= + + Δ
= + + Δ
= + + Δ
Tổng hợp vec tơ lực nút qui đổi và vec tơ tải trọng đặt tại các nút ta
được vec tơ tải trọng nút phần tử
{ } { } { }pe e eP F F= +
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
30(53)
• Nguyên tắc chung để qui đổi dựa trên cơ sở tương đương về công: 
Công sinh ra bởi các lực đã cho trên các chuyển vị của điểm đặt của
chúng theo phương, chiều đã cho bằng công sinh ra do các lực nút
tương đương trên các thành phần chuyển vị nút có cùng phương, 
chiều đã chọn.
• Trong thực hành tính các lực nút tương đương của PTHH do tải
trọng phân bố ta có thể tiến hành như tính phản lực của một dầm tựa
đơn, chịu tải trọng phân bố tương ứng.
L
q
VA=qL/2 VB=qL/2
L
q
VA=qL/6 VB=qL/3
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
31(53)
8.4.7. Phương trình chung toàn kết cấu
Sau khi rời rạc hoá kết cấu để thu được phương trình cho từng phần tử, 
bây giờ ta sẽ ghép nối các phần tử lại để có hệ phương trình chung cho
toàn kết cấu.
¾ Các chuyển vị nút phải thoả mãn điều kiện liên tục của biến dạng: chuyển vị ở
cùng một nút thuộc các phần tử khác nhau phải như nhau. Với bài toán phẳng, 
nếu hệ có n nút => 2n ẩn chuyển vị => Vec tơ chuyển vị nút tổng thể (toàn kết
cấu): { } { }1 2 3 2 1 2 Tn nQ q q q q q−= "
¾ Các lực nút phải thỏa mãn điều kiện cân bằng => sau khi ghép các phần tử, 
các lực liên kết giữa các phần tử triệt tiêu nhau, ở nút chỉ còn tải trọng. Vec tơ tải
trọng nút toàn kết cấu cũng có 2n số hạng:
{ } { }1 2 3 2 1 2 Tn nP P P P P P−= "
¾ Sau khi ghép nối ta nhận được hệ phương trình chung cho toàn kết cấu có dạng:
[ ]{ } { }K Q P= [ ]2 2n nK × - ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
32(53)
8.4.8. Hệ phương trình để giải
Sau khi ghép nối để nhận được hệ phương trình (8.20), trước khi giải cần
áp đặt các điều kiện biên theo chuyển vị để khử bớt các ẩn số và khử
dạng suy biến của ma trận [K]
- Nếu ẩn số chuyển vị qi = 0 bỏ dòng i của vec tơ {Q}, và {P}, đồng thời
gạch bỏ dòng i và cột i của ma trận [K]
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
33(53)
Ví dụ 8.1
1. Thiết lập ma trận độ cứng của một PTHH tam giác phẳng ở trạng thái
ứng suất phẳng có toạ độ các đỉnh là (1,2), (1,4), (3,3). Khi tính lấy hệ
số Poisson ν=0.25.
Gợi ý các bước thực hiện:
ƒ Biểu diễn toạ độ các đỉnh tam giác trong hệ trục vuông góc xy
ƒ Đánh số các nút theo thứ tự i, j, k ngược chiều kim đồng hồ.
ƒ Xác định toạ độ các đỉnh, tính diện tích phần tử theo (6.1)
ƒ Tính các hệ số a, b, c theo (8.10) => Tính ma trận hình học [B] theo (8.12)
ƒ Xác định ma trận đàn hồi [D] theo (8.14)
ƒ Tính ma trận độ cứng phần tử [Ke] theo (8.15)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
34(53)
Ví dụ 8.2
Cho tấm có hình dạng, kích thước, liên kết và chịu tải trọng như hình
vẽ. Tính trường ứng suất phát sinh trong tấm. Khi tính lấy ν = 0,25
q
q
2a
2a
a
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
35(53)
2a
a
Bước 1: chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số
• Chia làm 3 phần tử tam giác: 1, 2. và 3
1
2 3
5
1 2
3 4
• Đánh số thứ tự các nút: 1, 2, 3, 4, 5
• Mỗi nút có 2 thành phần chuyển vị u, v
X1
X2
X3
X10
X4
X5
X6
X7
X8
X9aa
Bảng định vị các phần tử:
1 2 3 4 5 6
1 2 5 6 3 4
3 4 5 6 7 8
3 4 7 8 9 10
Bậc
tự doPhần tử
1
2
3
Vec tơ chuyển vị nút tổng thể: { } { }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , , TX X X X X X X X X X X=
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
36(53)
i
j
k
2a
a
1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
x
yBước 2: Xác định các ma trận độ cứng phần tử [Ke]Phần tử 1:
xi = 0 yi = 2a
xj = 0 yj = 0
xk = a yk = 2a
i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − +
j k i i ka x y x y= −
k i j j ia x y x y= −
j k ib y y= −
k i jb y y= −
j k ic x x= − +
k i jc x x= − +
bi= -2a bj= 0 bk= 2a
ci= a cj= -a ck= 0
Diện tích phần tử: 2aΔ =
1 1 1
1
2 i j k
i j k
Det x x x
y y y
Δ =
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
37(53)
Ma trận hình học:
[ ]
0 0 0
1 0 0 0
2
i j k
i j k
i i j j k k
b b b
B c c c
c b c b c b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] 21
2 0 0 0 2 0
1 0 0 0 0
2
2 0 0 2
a a
B a a
a
a a a a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Ma trận vật lý:
[ ] 2
1 0
1 0
1
10 0
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
ED
ν
νν ν
[ ]
1 0,25 0
16 0,25 1 0
15
0 0 0,375
ED
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]
8 2 0
2 2 8 0
15
0 0 3
ED
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]1
2 0 0 0 2 0
1 0 1 0 1 0 0
2
1 2 1 0 0 2
B
a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
38(53)
i
j
k
2a
a
1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
x
yMa trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ
[ ]1
35 10 3 4 32 6
10 20 6 8 4 12
3 6 3 0 0 6
4 8 0 8 4 030
32 4 0 4 32 0
6 12 6 0 0 12
e
EtK
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Vec tơ chuyển vị nút phần tử: { } { }1 2 5 6 3 41 , , , , , TX X X X X X X=
1 2 5 6 3 4
1
2
5
6
3
4k61
k46
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
39(53)
35 10 3 4 32 6
10 20 6 8 4 12
3 6 3 0 0 6
4 8 0 8 4 0
32 4 0 4 32 0
6 12 6 0 0 12
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1 2 5 6 3 4
1
2
5
6
3
4
1 2 5 6 8 93 4 7 10
35 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10
-3
-3 4-32 6
-10 20 6 -84 -12
6 3 00 -6
4 -12 0 8
-32 4 0 -432 0
-4 0
6 -12 -6 00 12
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
40(53)
Phần tử 2:
i
j
k
2a2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
a
x
y
xi = a yi = 2a
xj = 0 yj = 0
xk = a yk = 0
i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − +
j k i i ka x y x y= −
k i j j ia x y x y= −
j k ib y y= −
k i jb y y= −
j k ic x x= − +
k i jc x x= − +
bi= 0 bj= -2a bk= 2a
ci= a cj= 0 ck= -a
Diện tích phần tử: 2aΔ =
1 1 1
1
2 i j k
i j k
Det x x x
y y y
Δ =
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
41(53)
Ma trận hình học:
[ ]
0 0 0
1 0 0 0
2
i j k
i j k
i i j j k k
b b b
B c c c
c b c b c b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] 22
0 0 2 0 2 0
1 0 0 0 0
2
0 0 2 2
a a
B a a
a
a a a a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Ma trận vật lý:
[ ] 2
1 0
1 0
1
10 0
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
ED
ν
νν ν
[ ]
1 0,25 0
16 0,25 1 0
15
0 0 0,375
ED
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]
8 2 0
2 2 8 0
15
0 0 3
ED
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]2
0 0 2 0 2 0
1 0 1 0 0 0 1
2
1 0 0 2 1 2
B
a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
42(53)
Ma trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ
[ ]2
3 0 0 6 3 6
0 8 4 0 4 8
0 4 32 0 32 4
6 0 0 12 6 1230
3 4 32 6 35 10
6 8 4 12 10 20
e
EtK
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
Vec tơ chuyển vị nút phần tử: { } { }3 4 5 6 7 82 , , , , , TX X X X X X X=
3 4 5 6 7 8
3
4
5
6
7
8k63
k86
2a2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
a
x
y
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
43(53)
Phần tử 3:
i
j k
2a
a
3
X3
X10
X4
X7
X8
X9
x
y
a
xi = a yi = 2a
xj = a yj = 0
xk = 2a yk = 0
i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − +
j k i i ka x y x y= −
k i j j ia x y x y= −
j k ib y y= −
k i jb y y= −
j k ic x x= − +
k i jc x x= − +
bi= 0 bj= -2a bk= 2a
ci= a cj= -a ck= 0
Diện tích phần tử: 2aΔ =
1 1 1
1
2 i j k
i j k
Det x x x
y y y
Δ =
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
44(53)
Ma trận hình học:
[ ]
0 0 0
1 0 0 0
2
i j k
i j k
i i j j k k
b b b
B c c c
c b c b c b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] 23
0 0 2 0 2 0
1 0 0 0 0
2
0 2 0 2
a a
B a a
a
a a a a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Ma trận vật lý:
[ ] 2
1 0
1 0
1
10 0
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
ED
ν
νν ν
[ ]
1 0,25 0
16 0,25 1 0
15
0 0 0,375
ED
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]
8 2 0
2 2 8 0
15
0 0 3
ED
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]3
0 0 2 0 2 0
1 0 1 0 1 0 0
2
1 0 1 2 0 2
B
a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
45(53)
Ma trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ
[ ]3
3 0 3 6 0 6
0 8 4 8 4 0
3 4 35 10 32 6
6 8 10 20 4 1230
0 4 32 4 32 0
6 0 6 12 0 12
e
EtK
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −= ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Vec tơ chuyển vị nút phần tử: { } { }3 4 7 8 9 102 , , , , , TX X X X X X X=
3 4 7 8 9 10
3
4
7
8
9
10k83
K10,8
2a
a
3
X3
X10
X4
X7
X8
X9
x
y
a
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
46(53)
Bước 3: Xác định ma trận độ cứng toàn kết cấu [K]
[ ]10 10 ijK K× ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ eij ijK k=∑
35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0
-10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0
-32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6
6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0
-3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0
4 -8 -10 0 0 20 6 -12 0 0
0 0 -6 0 -32 6 70 0 -32 -6
0 0 0 -16 4 -12 -32 40 -4 -12
0 0 0 4 0 0 -32 -4 32 0
0 0 6 0 0 0 -6 -12 0 12
[K] =
30
Et
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
47(53)
Bước 3: Xác định vec tơ tải trọng nút toàn kết cấu
{ } { }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , , TP P P P P P P P P P P=
2a
a
5
1 2
3 4
P1
P2
P3
P10
P4
P5
P6
P7
P8
P9aa
q
q
P2=qa/2 P4=qa/2
P3=qa
P9=qa
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
48(53)
P2=qa/2 P4=qa/2
P3=qa
P9=qa
Ta có: 
2 2
qaP = − 3P qa= −
4 2
qaP = −
9P qa= −
1 5 6 7 8 10 0P P P P P P= = = = = =
{ } { }0 1 2 1 0 0 0 0 2 0
2
TqaP = −
Phương trình viết cho kết cấu: [ ] { } { }.K X P=
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
49(53)
Bước 5: Áp đặt điều kiện biên
Từ đặc điểm liên kết, ta có:
1 5 6 9 10 0X X X X X= = = = =
2a
a
1
2 3
5
1 2
3 4
X1
X2
X3
X10
X4
X5
X6
X7
X8
X9aa
=> Loại bỏ
1 5 6 9 10, , , ,X X X X X trong vec tơ các ẩn số
=> Loại bỏ
1 5 6 9 10, , , ,P P P P P trong vec tơ tải trọng
=> Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K]
2
3
4
7
8
1 20 4 12 0 0
2 4 38 0 6 0
1 12 0 28 0 16
2 30
0 0 6 0 70 0
0 0 0 16 0 40
X
X
qa Et X
X
X
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
50(53)
35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0
-10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0
-32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6
6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0
-3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0
4 -8 -10 0 0 20 6 -12 0 0
0 0 -6 0 -32 6 70 0 -32 -6
0 0 0 -16 4 -12 -32 40 -4 -12
0 0 0 4 0 0 -32 -4 32 0
0 0 6 0 0 0 -6 -12 0 12
30
Et
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K]
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
51(53)
2
3
4
7
8
1 20 4 12 0 0
2 4 38 0 6 0
1 12 0 28 0 16
2 30
0 0 6 0 70 0
0 0 0 16 0 40
X
X
qa Et X
X
X
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Phương trình để giải: 
Nghiệm của phương trình:
2
3
4
7
8
0,104
0,042
15 0,104
0,004
0,042
X
X
qaX
Et
X
X
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
52(53)
Ứng suất trong các phần tử:
Phần tử 1
[ ][ ] { } [ ][ ] { }1 1 2 5 6 3 411 1 TD B X D B X X X X X Xσ = =
1
0
0,104
16 2 0 2 16 0 0,884
0
4 8 0 8 4 0 1,001
0
3 6 3 0 0 6 0,001
0,042
0,104
xx
yy
xy
q q
t t
σ
σ σ
σ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ − −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = − − − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Phần tử 2, 3
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
53(53)
Ứng suất tại các nút:
Ứng suất tại nút i ri n
σσ = ∑
n - số phần tử có nút I, r – tên phần tử có nút i
Ví dụ 8.2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
54(53)
Example 1:
Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension (
FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress
Ansys application
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
55(53)
Example 2:
Circular Disk Under Diametrical Compression
Distribution of x-stressFEM Mesh and load condition 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
56(53)
Distribution of x-stressFEM Mesh and load condition 
Abaqus application
Example 1:
Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
57(53)
BÀI TẬP LỚN
Giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi bằng phương pháp phần tử
hữu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo. 
Trình tự thực hiện
1. Vẽ lại tấm với các kích thước, liên kết và tải trọng theo các sơ đồ được
giao.
2. Chia tấm thành 4 phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ. Đánh số tên các
phần tử, tên các nút.
3. Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết véc tơ chuyển vị nút.
4. Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các
thành phần trong ma trận.
5. Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm.
6. Tìm véc tơ lực nút.
7. Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn
dạng phương trình để giải.
8. Giải phương trình. Viết lại các kết quả của véc tơ chuyển vị nút.
9. Tính các ứng suất trong từng phần tử
10.Tính ứng suất tại các nút theo các giá trị trung bình.
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
58(53)
Sơ đồ liên kết
Số sơ đồ Điểm A Điểm B Điểm C Điểm D Điểm E
1 u=v=0 v=0 v=0 u=0
2 u=0 u=v=0 v=0 v=0
3 v=0 u=v=0 v=0 u=0
4 u=0 u=0 u=0 v=0 u=0
5 u=0 v=0 u=v=0 u=0
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
59(53)
Sơ đồ hình học
Trong các sơ đồ dưới đây, các phần tử là những hình tam giác vuông cân có
cạnh bên là a
BA C
D E
I
BA
C D E
II
BA C
D E
III
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
60(53)
Sơ đồ tấm
q
q
q
2q
A
Sơ đồ tấm
q
q
2q
2q
B
Sơ đồ tải trọng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
61(53)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
62(53)