Bài giảng Kỹ thuật số - Chương 1: Các hệ thống số & mã - Nguyễn Trung Lập

________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỐNG SỐ & MÃ 
 U NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ 
U CÁC HỆ THỐNG SỐ 
Ò Hệ cơ số 10 (thập phân) 
 Ò Hệ cơ số 2 (nhị phân) 
Ò Hệ cơ số 8 (bát phân) 
 Ò Hệ cơ số 16 (thâp lục phân) 
 U BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ 
Ò Đổi từ hệ b sang hệ 10 
 Ò Đổi từ hệ 10 sang hệ b 
Ò Đổi từ hệ b sang hệ bk & ngược lại 
Ò Đổi từ hệ bk sang hệ bp 
 U CÁC PHÉP TOÁN Số NHị PHÂN 
Ò Phép cộng 
Ò Phép trừ 
Ò Phép nhân 
Ò Phép chia 
U MÃ HÓA 
Ò Mã BCD 
 Ò Mã Gray 
Nhu cầu về định lượng trong quan hệ giữa con người với nhau, nhất là trong những 
trao đổi thương mại, đã có từ khi xã hội hình thành. Đã có rất nhiều cố gắng trong việc tìm 
kiếm các vật dụng, các ký hiệu . . . dùng cho việc định lượng này như các que gỗ, vỏ sò, số 
La mã . . . Hiện nay số Ả rập tỏ ra có nhiều ưu điểm khi được sử dụng trong định lượng, tính 
toán. . . .. 
Việc sử dụng hệ thống số hằng ngày trở nên quá quen thuộc khiến chúng ta có thể đã 
quên đi sự hình thành và các qui tắc để viết các con số. 
Chương này nhắc lại một cách sơ lược nguyên lý của việc viết số và giới thiệu các hệ 
thống số khác ngoài hệ thống thập phân quen thuộc, phương pháp biến đổi qua lại của các số 
trong các hệ thống khác nhau. Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến hệ thống nhị phân là hệ 
thống được dùng trong lãnh vực điện tử-tin học như là một phương tiện để giải quyết các vấn 
đề mang tính logic. 
Phần cuối của chương sẽ giới thiệu các loại mã thông dụng để chuẩn bị cho các 
chương kế tiếp. 
1.1 Nguyên lý của việc viết số 
Một số được viết bằng cách đặt kề nhau các ký hiệu, được chọn trong một tập hợp xác 
định. Mỗi ký hiệu trong một số được gọi là số mã (số hạng, digit). 
 Thí dụ, trong hệ thống thập phân (cơ số 10) tập hợp này gồm 10 ký hiệu rất quen 
thuộc, đó là các con số từ 0 đến 9: 
S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
______________________________________________________________
Khi một số gồm nhiều số mã được viết, giá trị của các số mã tùy thuộc vị trí của nó 
trong số đó. Giá trị này được gọi là trọng số của số mã. 
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
Thí dụ số 1998 trong hệ thập phân có giá trị xác định bởi triển khai theo đa thức của 
10: 
199810 = 1x103 + 9x102 +9x101 + 9x100 = 1000 + 900 + 90 + 8 
Trong triển khai, số mũ của đa thức chỉ vị trí của một ký hiệu trong một số với qui ước 
vị trí của hàng đơn vị là 0, các vị trí liên tiếp về phía trái là 1, 2, 3, ... . Nếu có phần lẻ, vị trí 
đầu tiên sau dấu phẩy là -1, các vị trí liên tiếp về phía phải là -2, -3, ... . 
Ta thấy, số 9 đầu tiên (sau số 1) có trọng số là 900 trong khi số 9 thứ hai chỉ là 90. 
Có thể nhận xét là với 2 ký hiệu giống nhau trong hệ 10, ký hiệu đứng trước có trọng 
số gấp 10 lần ký hiệu đứng ngay sau nó. Điều này hoàn toàn đúng cho các hệ khác, thí dụ, 
đối với hệ nhị phân ( cơ số 2) thì tỉ lệ này là 2. 
Tổng quát, một hệ thống số được gọi là hệ b sẽ gồm b ký hiệu trong một tập hợp: 
Sb = {S0, S1, S2, . . ., Sb-1} 
Một số N được viết: 
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b với ai ∈ Sb
Sẽ có giá trị: 
N = an bn + an-1bn-1 + an-2bn-2 + . . .+ aibi +. . . + a0b0 + a-1 b-1 + a-2 b-2 +. . .+ a-mb-m. 
 = ∑
−=
n
mi
i
iba
aibi chính là trọng số của một ký hiệu trong Sb ở vị trí thứ i. 
1.2 Các hệ thống số 
1.2.1 Hệ cơ số 10 (thập phân, Decimal system) 
Hệ thập phân là hệ thống số rất quen thuộc, gồm 10 số mã như nói trên. 
Dưới đây là vài ví dụ số thập phân: 
N = 199810 = 1x103 + 9x102 + 9x101 + 8x100 = 1x1000 + 9x100 + 9x10 + 8x1 
N = 3,1410 = 3x100 + 1x10-1 +4x10-2 = 3x1 + 1x1/10 + 4x1/100 
1.2.2 Hệ cơ số 2 (nhị phân, Binary system) 
Hệ nhị phân gồm hai số mã trong tập hợp 
S2 = {0, 1} 
Mỗi số mã trong một số nhị phân được gọi là một bit (viết tắt của binary digit). 
Số N trong hệ nhị phân: 
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)2 (với ai∈ S2) 
Có giá trị là: 
N = an 2n + an-12n-1 + . . .+ ai2i +. . . + a020 + a-1 2-1 + a-2 2-2 + . . .+ a-m2-m 
 an là bit có trọng số lớn nhất, được gọi là bit MSB (Most significant bit) và a-m là bit 
có trọng số nhỏ nhất, gọi là bit LSB (Least significant bit). 
Thí dụ: N = 1010,12 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 = 10,510 
1.2.3 Hệ cơ số 8 (bát phân ,Octal system) 
Hệ bát phân gồm tám số trong tập hợp 
S8 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
Số N trong hệ bát phân: 
 N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)8 (với ai ∈ S8) 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
Có giá trị là: 
 N = an 8n + an-18n-1 + an-28n-2 +. . + ai8i . . .+a080 + a-1 8-1 + a-2 8-2 +. . .+ a-m8-m 
Thí dụ: N = 1307,18 = 1x83 + 3x82 + 0x81 + 7x80 + 1x8-1 = 711,12510 
1.2.4 Hệ cơ số 16 (thập lục phân, Hexadecimal system) 
Hệ thập lục phân được dùng rất thuận tiện để con người giao tiếp với máy tính, hệ 
này gồm mười sáu số trong tập hợp 
S16 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } 
(A tương đương với 1010 , B =1110 , . . . . . . , F=1510) . 
Số N trong hệ thập lục phân: 
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)16 (với ai∈ S16) 
Có giá trị là: 
N = an 16n + an-116n-1 + an-216n-2 +. . + ai16i . . .+a0160+ a-1 16-1 + a-2 16-2 +. . .+ a-m16-m 
Người ta thường dùng chữ H (hay h) sau con số để chỉ số thập lục phân. 
Thí dụ: N = 20EA,8H = 20EA,816 = 2x163 + 0x162 + 14x161 + 10x160 + 8x16-1 
 = 4330,510 
1.3 Biến đổi qua lại giữa các hệ thống số 
Khi đã có nhiều hệ thông số, việc xác định giá trị tương đương của một số trong hệ 
này so với hệ kia là cần thiết. Phần sau đây cho phép ta biến đổi qua lại giữa các số trong bất 
cứ hệ nào sang bất cứ hệ khác trong các hệ đã được giới thiệu. 
1.3.1 Đổi một số từ hệ b sang hệ 10 
Để đổi một số từ hệ b sang hệ 10 ta triển khai trực tiếp đa thức của b 
Một số N trong hệ b: 
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b với ai ∈ Sb
Có giá trị tương đương trong hệ 10 là: 
 N = an bn + an-1bn-1 +. . .+ aibi +. . . + a0b0+ a-1 b-1 + a-2 b-2 +. . .+ a-mb-m. 
Thí dụ: 
* Đổi số 10110,112 sang hệ 10 
 10110,112 = 1x24 + 0 + 1x22 + 1x2 + 0 + 1x2-1 + 1x2-2 = 22,7510
 * Đổi số 4BE,ADH sang hệ 10 
 4BE,ADH=4x162+11x161+14x160+10x16-1+13x16-2 = 1214,67510
1.3.2 Đổi một số từ hệ 10 sang hệ b 
Đây là bài toán tìm một dãy ký hiệu cho số N viết trong hệ b. 
Tổng quát, một số N cho ở hệ 10, viết sang hệ b có dạng: 
 N = (anan-1 . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b = (anan-1 . . .a0)b + (0,a-1a-2 . . .a-m)b
Trong đó 
(anan-1 . . .a0)b = PE(N) là phần nguyên của N 
và (0,a-1a-2 . . .a-m)b = PF(N) là phần lẻ của N 
Phần nguyên và phần lẻ được biến đổi theo hai cách khác nhau: 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
Š Phần nguyên: 
Giá trị của phần nguyên xác định nhờ triển khai: 
 PE(N) = anbn + an-1bn-1 + . . .+ a1b 1+ a0b0
Hay có thể viết lại 
 PE(N) = (anbn-1 + an-1bn-2 + . . .+ a1)b + a0
Với cách viết này ta thấy nếu chia PE(N) cho b, ta được thương số là PE’(N) = (anbn-
1 + an-1bn-2 + . . .+ a1) và số dư là a0. 
Vậy số dư của lần chia thứ nhất này chính là số mã có trọng số nhỏ nhất (a0) của 
phần nguyên. 
Lặp lại bài toán chia PE’(N) cho b: 
PE’(N) = anbn-1 + an-1bn-2 + . . .+ a1= (anbn-2 + an-1bn-3 + . . .+ a2)b+ a1
Ta được số dư thứ hai, chính là số mã có trọng số lớn hơn kế tiếp (a1) và thương số 
là PE”(N)= anbn-2 + an-1bn-3 + . . .+ a2. 
Tiếp tục bài toán chia thương số có được với b, cho đến khi được số dư của phép chia 
cuối cùng, đó chính là số mã có trọng số lớn nhất (an) 
Š Phần lẻ: 
Giá trị của phần lẻ xác định bởi: 
 PF(N) = a-1 b-1 + a-2 b-2 +. . .+ a-mb-m 
Hay viết lại 
 PF(N) = b-1 (a-1 + a-2 b-1 +. . .+ a-mb-m+1 ) 
Nhân PF(N) với b, ta được : bPF(N) = a-1 + (a-2 b-1 +. . .+ a-mb-m+1 ) = a-1+ PF’(N). 
Vậy lần nhân thứ nhất này ta được phần nguyên của phép nhân, chính là số mã có 
trọng số lớn nhất của phần lẻ (a-1) (số a-1 này có thể vẫn là số 0). 
PF’(N) là phần lẻ xuất hiện trong phép nhân. 
Tiếp tục nhân PF’(N) với b, ta tìm được a-2 và phần lẻ PF”(N). 
Lặp lại bài toán nhân phần lẻ với b cho đến khi kết quả có phần lẻ bằng không, ta sẽ 
tìm được dãy số (a-1a-2 . . .a-m). 
Chú ý: Phần lẻ của số N khi đổi sang hệ b có thể gồm vô số số hạng (do kết quả của 
phép nhân luôn khác 0), điều này có nghĩa là ta không tìm được một số trong hệ b có giá trị 
đúng bằng phần lẻ của số thập phân, vậy tùy theo yêu cầu về độ chính xác khi chuyển đổi mà 
người ta lấy một số số hạng nhất định. 
Thí dụ: 
* Đổi 25,310 sang hệ nhị phân 
 Phần nguyên: 25 : 2 = 12 dư 1 ⇒ a0 = 1 
 12 : 2 = 6 dư 0 ⇒ a1 = 0 
 6 : 2 = 3 dư 0 ⇒ a2 = 0 
 3 : 2 = 1 dư 1 ⇒ a3 = 1 
 thương số cuối cùng là 1 cũng chính là bit a4: 
 ⇒ a4 = 1 
Vậy PE(N) = 11001 
Phần lẻ: 0,3 * 2 = 0,6 ⇒ a-1 = 0 
 0,6 * 2 = 1,2 ⇒ a -2 = 1 
 0,2 * 2 = 0,4 ⇒ a-3 = 0 
 0,4 * 2 = 0,8 ⇒ a-4 = 0 
 0,8 * 2 = 1,6 ⇒ a-5 = 1 . . . 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
Nhận thấy kết quả của các bài toán nhân luôn khác không, do phần lẻ của lần nhân 
cuối cùng là 0,6, đã lặp lại kết quả của lần nhân thứ nhất, như vậy bài toán không thể kết thúc 
với kết quả đúng bằng 0,3 của hệ 10. 
Giả sử bài toán yêu cầu lấy 5 số lẻ thì ta có thể dừng ở đây và 
PF(N) = 0,01001. 
Kết quả cuối cùng là: 
 25,310 = 11001,010012
* Đổi 1376,8510 sang hệ thập lục phân 
 Phần nguyên: 1376 : 16 = 86 số dư = 0 ⇒ a0 = 0 
 86 : 16 = 5 số dư = 6 ⇒ a1 = 6 & ⇒ a2 = 5 
 137610 = 560H 
Phần lẻ: 0,85 * 16 = 13,6 ⇒ a-1 = 1310=DH 
 0,6 * 16 = 9,6 ⇒ a -2 = 9 
 0,6 * 16 = 9,6 ⇒ a-3 = 9 
 Nếu chỉ cần lấy 3 số lẻ: 0,8510= 0,D99H 
 Và kết quả cuối cùng: 
 1376,8510 = 560,D99H 
1.3.3 Đổi một số từ hệ b sang hệ bk và ngược lại 
Từ cách triển khai đa thức của số N trong hệ b, ta có thể nhóm thành từng k số hạng từ 
dấu phẩy về hai phía và đặt thành thừa số chung 
N = anbn +. . . +a5b5 + a4b4 +a3b3 +a2b2 +a1b1 +a0b0 +a-1 b-1 +a-2 b-2 +a-3 b-3. . .+a-mb-m
Để dễ hiểu, chúng ta lấy thí dụ k = 3, N được viết lại bằng cách nhóm từng 3 số hạng, 
kể từ dấu phẩy về 2 phía 
N = ...+ (a5b2 + a4b1 + a3b0)b3 + (a2b2 + a1b1 + a0b0 )b0+ (a-1 b2 + a-2 b1 + a-3b0)b-3 +... 
Phần chứa trong mỗi dấu ngoặc luôn luôn nhỏ hơn b3 , vậy số này tạo nên một số 
trong hệ b3 và lúc đó được biểu diễn bởi ký hiệu tương ứng trong hệ này. 
Thật vậy, số N có dạng: 
N = ...+A2B2+A1B1+A0B0 + A-1B-1 +... 
Trong đó: 
B=b3 (B0=b0; B1=b3; B2=b6, B-1=b-3 ....) 
A2= a8b2 + a7b1 + a6b0 = b3(a8b-1 + a7b-2 + a6b-3) < B=b3
A1= a5b2 + a4b1 + a3b0 = b3(a5b-1 + a4b-2 + a3b-3) < B=b3
A0= a2b2 + a1b1 + a0b0 = b3(a2b-1 + a1b-2 + a0b-3) < B=b3
Các số Ai luôn luôn nhỏ hơn B=b3 như vậy nó chính là một phần tử của tập hợp số tạo 
nên hệ B=b3
Ta có kết quả biến đổi tương tự cho các hệ số k khác. 
Tóm lại, để đổi một số từ hệ b sang hệ bk, từ dấu phẩy đi về hai phía, ta nhóm từng k 
số hạng, giá trị của mỗi k số hạng này (tính theo hệ b) chính là số trong hệ bk . 
Thí dụ: 
* Đổi số N = 10111110101 , 011012 sang hệ 8 = 23 
Từ dấu phẩy, nhóm từng 3 số hạng về hai phía (nếu cần, thêm số 0 vào ở nhóm đầu và 
cuối để đủ 3 số hạng mà không làm thay đổi giá trị của số N): 
N = 010 111 110 101 , 011 0102
Ghi giá trị tương ứng của các số 3 bit, ta được số N trong hệ 8 
N = 2 7 6 5 , 3 2 8 
* Đổi số N trên sang hệ 16 = 24
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
Cũng như trên nhưng nhóm từng 4 số hạng 
N = 0101 1111 0101 , 0110 10002
 N = 5 F 5 , 6 8 16 
Từ kết quả của phép đổi số từ hệ b sang hệ bk, ta có thể suy ra cách biến đổi ngược 
một cách dễ dàng: Thay mỗi số hạng của số trong hệ bk bằng một số gồm k số hạng trong hệ 
b. 
Thí dụ để đổi số N = 5 F5, 6816 (hệ 24) sang hệ nhị phân (2) ta dùng 4 bit để viết cho 
mỗi số hạng của số này: 
 N = 0101 1111 0101 , 0110 10002
1.3.4 Đổi một số từ hệ bk sang hệ bp 
Qua trung gian của hệ b, ta có thể đổi từ hệ bk sang hệ bp. Muốn đổi số N từ hệ bk 
sang hệ bp, trước nhất đổi số N sang hệ b rồi từ hệ b tiếp tục đổi sang hệ bp. 
Thí dụ: 
- Đổi số 1234,678 sang hệ 16 
1234,678 = 001 010 011 100,110 1112 = 0010 1001 1100,1101 11002 = 29C,DCH 
- Đổi số ABCD,EFH sang hệ 8 
ABCD,EFH = 1010 1011 1100 1101,1110 11112 = 1 010 101 111 001 101,111 011 
1102 = 125715,7368
Dưới đây là bảng kê các số đầu tiên trong các hệ khác nhau: 
Thập 
phân 
Nhị 
phân 
Bát 
phân 
Thập lục 
phân 
Thập 
phân 
Nhị 
phân 
Bát 
phân 
Thập lục 
phân 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
0 
1 
10 
11 
100 
101 
110 
111 
1000 
1001 
1010 
1011 
1100 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
10 
11 
12 
13 
14 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
A 
B 
C 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
1101 
1110 
1111 
10000 
10001 
10010 
10011 
10100 
10101 
10110 
10111 
11000 
11001 
15 
16 
17 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
17 
30 
31 
D 
E 
F 
10 
11 
12 
12 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
 Bảng 1.1 
1.4 Các phép tính trong hệ nhị phân 
Các phép tính trong hệ nhị phân được thực hiện tương tự như trong hệ thập phân, tuy 
nhiên cũng có một số điểm cần lưu ý 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
1.4.1 Phép cộng 
Là phép tính làm cơ sở cho các phép tính khác. 
Khi thực hiện phép cộng cần lưu ý: 
0 + 0 = 0 ; 
0 + 1 = 1 ; 
1 + 1 = 0 nhớ 1 (đem qua bít cao hơn). 
Ngoài ra nếu cộng nhiều số nhị phân cùng một lúc ta nên nhớ : 
- Nếu số bit 1 chẵn, kết quả là 0; 
- Nếu số bit 1 lẻ kết quả là 1 
- Và cứ 1 cặp số 1 cho 1 số nhớ (bỏ qua số 1 dư, thí dụ với 5 số 1 ta kể là 2 cặp) 
Thí dụ: Tính 011 + 101 + 011 + 011 
 1 1 ← số nhớ 
 1 1 1 ← số nhớ 
 0 1 1 
 + 1 0 1 
 0 1 1 
 0 1 1 
 -------- 
 1 1 1 0 
1.4.2 Phép trừ 
Cần lưu ý: 
0 - 0 = 0 ; 
1 - 1 = 0 ; 
1 - 0 = 1 ; 
0 - 1 = 1 nhớ 1 cho bit cao hơn 
Thí dụ: Tính 1011 - 0101 
 1 ← số nhớ 
1 0 1 1 
 - 0 1 0 1 
 --------- 
 0 1 1 0 
1.4.3 Phép nhân 
Cần lưu ý: 
0 x 0 = 0 ; 
0 x 1 = 0 ; 
1 x 1 = 1 
Thí dụ: Tính 1101 x 101 
 1 1 0 1 
 x 1 0 1 
 --------- 
 1 1 0 1 
 0 0 0 0 
 1 1 0 1 
 --------------- 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 1 0 0 0 0 0 1 
1.4.4 Phép chia 
Thí dụ: Chia 1001100100 cho 11000 
Lần chia đầu tiên, 5 bit của số bị chia nhỏ hơn số chia nên ta được kết quả là 0, sau đó 
ta lấy 6 bit của số bị chia để chia tiếp (tương ứng với việc dịch phải số chia 1 bit trước khi 
thực hiện phép trừ) 
 Kết quả : (11001.1) 2 = (25.5)10 
1.5 Mã hóa 
1.5.1 Tổng quát 
Mã hóa là gán một ký hiệu cho một đối tượng để thuận tiện cho việc thực hiện một 
yêu cầu cụ thể nào đó. 
Một cách toán học, mã hóa là một phép áp một đối một từ một tập hợp nguồn vào 
một tập hợp khác gọi là tập hợp đích. 
 (H 1.1) 
Tập hợp nguồn có thể là tập hợp các số, các ký tự, dấu, các lệnh dùng trong truyền dữ 
liệu . . . và tập hợp đích thường là tập hợp chứa các tổ hợp thứ tự của các số nhị phân. 
Một tổ hợp các số nhị phân tương ứng với một số được gọi là từ mã. Tập hợp các từ 
mã được tạo ra theo một qui luật cho ta một bộ mã. Việc chọn một bộ mã tùy vào mục đích 
sử dụng. 
 Thí dụ để biểu diễn các chữ và số, người ta có mã ASCII (American Standard Code 
for Information Interchange), mã Baudot, EBCDIC . . .. Trong truyền dữ liệu ta có mã dò 
lỗi, dò và sửa lỗi, mật mã . . .. 
Vấn đề ngược lại mã hóa gọi là giải mã. 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
Cách biểu diễn các số trong các hệ khác nhau cũng có thể được xem là một hình thức 
mã hóa, đó là các mã thập phân, nhị phân, thập lục phân . . . và việc chuyển từ mã này sang 
mã khác cũng thuộc loại bài toán mã hóa. 
Trong kỹ thuật số ta thường dùng các mã sau đây: 
1.5.2 Mã BCD (Binary Coded Decimal) 
Mã BCD dùng số nhị phân 4 bit có giá trị tương đương thay thế cho từng số hạng 
trong số thập phân. 
Thí dụ: 
Số 62510 có mã BCD là 0110 0010 0101. 
Mã BCD dùng rất thuận lợi : mạch điện tử đọc các số BCD và hiển thị ra bằng đèn 
bảy đoạn (led hoặc LCD) hoàn toàn giống như con người đọc và viết ra số thập phân. 
1.5.3 Mã Gray 
Mã Gray hay còn gọi là mã cách khoảng đơn vị. 
Nếu quan sát thông tin ra từ một máy đếm đang đếm các sự kiện tăng dần từng đơn vị, 
ta sẽ được các số nhị phân dần dần thay đổi. Tại thời điểm đang quan sát có thể có những lỗi 
rất quan trọng. Thí dụ giữa số 7(0111) và 8 (1000), các phần tử nhị phân đều phải thay đổi 
trong quá trình đếm, nhưng sự giao hoán này không bắt buộc xảy ra đồng thời, ta có thể có 
các trạng thái liên tiếp sau: 
 0111 → 0110 → 0100 → 0000 → 1000 
Trong một quan sát ngắn các kết quả thấy được khác nhau. Để tránh hiện tượng này, 
người ta cần mã hóa mỗi số hạng sao cho hai số liên tiếp chỉ khác nhau một phần tử nhị phân 
(1 bit) gọi là mã cách khoảng đơn vị hay mã Gray. 
Tính kề nhau của các tổ hợp mã Gray (tức các mã liên tiếp chỉ khác nhau một bit) 
được dùng rất có hiệu quả để rút gọn hàm logic tới mức tối giản. 
Ngoài ra, mã Gray còn được gọi là mã phản chiếu (do tính đối xứng của các số hạng 
trong tập hợp mã, giống như phản chiếu qua gương) 
Người ta có thể thiết lập mã Gray bằng cách dựa vào tính đối xứng này: 
- Giả sử ta đã có tập hợp 2n từ mã của số n bit thì có thể suy ra tập hợp 2n+1 từ mã của 
số (n+1) bit bằng cách: 
- Viết ra 2n từ mã theo thứ tự từ nhỏ đến lớn 
- Thêm số 0 vào trước tất cả các từ mã đã có để được một phần của tập hợp từ mã mới 
- Phần thứ hai của tập hợp gồm các từ mã giống như phần thứ nhất nhưng trình bày 
theo thứ tự ngược lại (giống như phản chiếu qua gương) và phía trước thêm vào số 1 thay vì 
số 0 (H 1.2). 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
(H 1.2) 
Để thiết lập mã Gray của số nhiều bit ta có thể thực hiện các bước liên tiếp từ tập hợp 
đầu tiên của số một bit (gồm hai bit 0, 1). 
Dưới đây là các bước tạo mã Gray của số 4 bit. Cột bên phải của bảng mã 4 bit cho giá 
trị tương đương trong hệ thập phân của mã Gray tương ứng (H 1.3). 
 Trị thập 
phân 
tương 
đương 
0 
1 
⎯→ 
0 
0 
0 
1 
⎯⎯→ 
0
0
0 
0 
0 
1 
 0
0
0 0 0 
0 0 1 
 → 0 
 → 1 
1 
bit 
 ⏐ 
⎯→ 
1 
1 
1 
0 
 ⏐ 
 ⏐ 
0
0
1 
1 
1 
0 
⎯⎯→ 
0
0
0 1 1 
0 1 0 
 → 2 
 → 3 
 2 bi
t 
 ⏐ 
 ⎯⎯→ 
1
1
1 
0 
1 
1 
 ⏐ 
 ⏐ 
0
0
1 1 0 
1 1 1 
 → 4 
 → 5 
 1
1
0 
1 
0 
0 
 ⏐ 
 ⏐ 
0
0
1 0 1 
1 0 0 
 → 6 
 → 7 
 3 bi
t 
 ⏐ 
 ⏐ 
1
1
1 0 0 
1 0 1 
 → 8 
 → 9 
 ⏐ 
 ⎯⎯→ 
1
1
1 1 1 
1 1 0 
 → 10 
 → 11 
 1
1
0 1 0 
0 1 1 
 → 12 
 → 13 
 1
1
0 0 1 
0 0 0 
 → 14 
 → 15 
 4 bit 
(H 1.3) 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 Nhận xét các bảng mã của các số Gray (1 bit, 2 bit, 3 bit và 4 bit) ta thấy các số gần 
nhau luôn luôn khác nhau một bit, ngoài ra, trong từng bộ mã, các số đối xứng nhau qua 
gương cũng khác nhau một bit. 
Bài Tập 
1. Đổi các số thập phân dưới đây sang hệ nhị phân và hệ thập lục phân : 
 a/ 12 b/ 24 c/ 192 d/ 2079 e/ 15492 
 f/ 0,25 g/ 0,375 h/ 0,376 i/ 17,150 j/ 192,1875 
2. Đổi sang hệ thập phân và mã BCD các số nhị phân sau đây: 
a/ 1011 b/ 10110 c/ 101,1 d/ 0,1101 
e/ 0,001 f/ 110,01 g/ 1011011 h/ 10101101011 
3. Đổi các số thập lục phân dưới đây sang hệ 10 và hệ 8: 
a/ FF b/ 1A c/ 789 d/ 0,13 e/ ABCD,EF 
4. Đổi các số nhị phân dưới đây sang hệ 8 và hệ 16: 
a/ 111001001,001110001 b/ 10101110001,00011010101 
c/ 1010101011001100,1010110010101 d/ 1111011100001,01010111001 
5. Mã hóa số thập phân dưới đây dùng mã BCD : 
a/ 12 b/ 192 c/ 2079 d/15436 e/ 0,375 f/ 17,250 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ