Bài giảng Phương pháp số ứng dụng - Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn - Nguyễn Thống

1PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: 
Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
2
NỘI DUNG MÔN HỌC
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp. Sai phân hữu hạn.
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán.
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán.
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn.
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
uốn).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. 
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad 
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB 
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. 
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. 
RAO 1989.
7. Bài giả g PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
4
KIEÅM TRA
- Trong tröôøng hôïp coù kieåm tra giöõa kyø
 thôøi gian laø 60 ph.
- Thi tự luận cuoái moân hoïc 90ph.
Chuù yù:
 Mang theo maùy tính laøm baøi taäp trong
lớp.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
5
MỤC ĐÍCH MÔN HỌC
 Giới thiệu các phương pháp số xác
định gần đúng lời giải của các bài
toán vi phân đạo hàm riêng (tuyến
tính hoặc phi tuyến) mà ta KHÔNG thể
tìm được lời giải giải tích chính xác.
 Trong số các phương pháp số có:
Phương pháp Sai phân hữu hạn
(SPHH) & Phần tử hữu hạn (PTHH), &
Thể tích hữu hạn (TTHH).
 .
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
6
CƠ SỞ 
PHƯƠNG PHÁP 
SAI PHÂN HỮU HẠN
(SPHH)
2PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
7
Hiện tượng vật lý biểu diễn
toán học bằng phương trình
đạo hàm riêng lời giải
cho phép nghiên cứu hiện
tượng.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
8
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Đạo hàm riêng (ĐHR)
f (x,y,z,t): hàm xác định trong một miền
không gian R3
x, y, z: ba biến không gian độc lập ; t:
biến thời gian độc lập.
* ĐHR cấp 1 của f:
đối với x :
Tương tự với y & z
xfor
x
f


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
9
* ÑHR caáp 2 cuûa f :
2f/ x2 = (/ x)(f/ x) = f
xx 
, 2f/ y2 = 
(/ y)(f/ y) = f
yy
2f/ t2 = (/ t)(f/ t) = f
tt
, 2f/ xy 
= (/ x)(f/ y) = f
xy 
ÑHR caáp 2 lieân tuïc f
xy
= f
yx
, f
xz
= f
zx
, f
yz
= f
zy
, ....
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
10
ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG
Dạng tổng quát:
F(x, y, z, t, U, Ut, Ux, Uy, Uz, Uxy, Uxz, 
Uyz, ) = 0 
Biến phụ thuộc U (ẩn số phải tìm)
* Cấp của PTĐHR là cấp cao nhất 
của các ĐHR có trong PT
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
11
ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG
* PTĐHR là tuyến tính nếu:
 Tất cả các ĐHR có mặt trong PT đều ở
dạng tuyến tính
 Không có hệ số liên kết với các ĐHR
chứa biến phụ thuộc.
Nếu không PTĐHR là phi tuyến.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
12
PHÂN LOẠI PT ĐHR
 Theo ý nghĩa vật lý
 Theo toán học
3PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
13
Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý
 Bài toán cân bằng (giá trị biên) 
miền kín thỏa mãn các điều kiện
biên cho sẵn:
Ví dụ:
 Bài toán thấm ổn định
 Bài toán phân bố ứng suất tỉnh
trong kết cấu.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
14
Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý
 Bài toán lan truyền miền hở thỏa
mãn các điều kiện biên cho sẵn và
điều kiện ban đầu:
Ví dụ:
 Bài toán khuếch tán, đối lưu chất
trong môi trường.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
15
Phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính bậc 2 dạng tổng quát:
u(x,y) hàm ẩn số cần tìm
x,y các biến độc lập chỉ không gian
a, b,c,d,e,f : các hàm số tuyến tính của
x,y
g(x,y) hàm đã xác định
)y,x(gu.f
y
u
e
x
u
d
y
u
c
yx
u
b
x
u
a
2
22
2
2










PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
16
Phân loại về mặt toán học
b2 – 4ac > 0 bài toán dạng
hyperbol
b2 – 4ac < 0 bài toán dạng
ellip
b2 – 4ac = 0 bài toán dạng
parabol
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
17
DẠNG TOÁN HỌC ELLIP
 Mô tả vấn đề kỹ thuật: Cân bằng
. Dr. Nguyễn Thống
Laplacet/P0
y
u
x
u
2
2
2
2




Poissont/P
y
u
x
u
2
2
2
2
  




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
18
DẠNG TOÁN HỌC HYPERBOL
 Mô tả vấn đề kỹ thuật: Lan truyền
Songt/P
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2




luuDoit/P
x
u
t
u


 


4PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
19
DẠNG TOÁN HỌC PARABOL
 Mô tả vấn đề kỹ thuật: Khuếch tán
Fouriert/P
x
u
t
u
2
2




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
20
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN LAN
TRUYỀN NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG MÔI
TRƯỜNG DÒNG CHẢY U
PT đối lưu (không khuếch tán) :
ft + ufx = 0
f(x,t): nồng độ chất, u(x, t): thành phần
lưu tốc theo phương x.
PTĐHR tuyến tính cấp 1, loại hyperbolic.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
21
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN
KHUẾCH TÁN CHẤT f TRONG MÔI
TRƯỜNG (TỈNH)
PT khuếch tán (không đối lưu) ft = fxx
 : hệ số khuếch tán (> 0).
a = , b = c = 0 = b2 – 4ac = 0
 PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại
parabolic.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
22
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN
LAN TRUYỀN & KHUẾCH TÁN (ĐỒNG
THỜI) CỦA NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG
MÔI TRƯỜNG DÒNG CHẢY
PT đối lưu - khuếch tán:
ft + ufx = fxx
PTĐHR tuyến tính cấp 2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
23
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN LAN
TRUYỀN SÓNG
ftt = c
2 fxx
c: tốc độ truyền sóng.
a = c2, b = 0, c = -1
 b2 – 4ac = 4c2 > 0
 PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại hyperbolic.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
24
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN
THẤM
PT Laplace fxx + fyy = 0
PT Poisson fxx + fyy = G(x, y)
G(x,y): số hạng nguồn
a = 1, b = 0, c = 1
 b2 – 4ac = - 4 < 0
PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại elliptic.
5PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
25
MIỀN KÍN & 
MIỀN HỞ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
26
MIỀN KÍN
Miền lời 
giải
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
X
Y
Biên
Điều kiện 
biên U(x,y) =???
O
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
27
MIỀN HỞ Miền lời 
giải
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU
X, Y
t
Biên
Điều 
kiện 
biên
U(x,y,t) =???
O
Điều 
kiện ban 
đầu
Phương lan truyền
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
28
ĐIỀU KIỆN BIÊN
 Khi giải các phương trình đaọ hàm
riêng biểu diễn một hiện tượng vật lý
bất kỳ đều cần phải có ĐIỀU KIỆN
BIÊN.
 ĐIỀU KIỆN BIÊN là giá trị (hoặc
gradient) của biến nghiên cứu đã
được xác định tại các vị trí biên
(không còn là ẩn số của bài toán).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
29
THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH
ĐIỀU KIỆN BIÊN
H=z+p/ Biết
H=?
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
30
CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN
 Biên Dirichlet: Giá trị trên biên
của hàm ẩn U đã biết tại vị trí
biên
)t,z,y,x(fu 
6PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
31
Miền lời giải 
U cần tìm
X
Y
Biên
U(bien)=
Know U(x,y) =???
O
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
32
CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN
 Biên Neuman: Giá trị đạo hàm
theo phương (thẳng góc với
biên) của hàm ẩn U đã biết.
)t,z,y,x(f
n
u



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
33
Miền lời giải 
U cần tìm
X
Y
Biên
U(x,y) =???
O )t,z,y,x(f
n
u



n
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
34
THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH
ĐIỀU KIỆN BIÊN 
Neuman 0n
H


H(x,y)=?
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
35
CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN
 Biên Cauchy: Là tổ hợp 2 loại
biên trên.
 , , f đã biết
)t,z,y,x(f
n
u
)z,y,x(u)z,y,x( 


 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
36
Chú ý:
Biên C thường gồm nhiều phần
và trên mỗi phần phải có một
và chỉ một loại ĐKB.
Tuy nhiên ĐKB này có thể thay
đổi trong quá trình nghiên cứu.
7PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
37
ĐIỀU KIỆN 
BAN ĐẦU
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
38
ĐKBĐ chỉ cần khi xét bài toán lan truyền
(PT parabolic hay hyperbolic với biến thời 
gian t).
 PTĐHR cấp 1:
t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z)
 PTĐHR cấp 2:
t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z)
và ft (x,y,z,0) = h(x,y,z) (x,y,z)
g(x,y,z) , h(x,y,z): hàm số đã biết.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
39
TÓM TẮT
Giải bài toán ĐHR cần có:
 Điều kiện biên
 Điều kiện ban đầu (khi bài
toán có biến thời gian
trong ẩn số phải tìm)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
40
SAI PHÂN HỮU HẠN
(SPHH)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
41
SPHH là phương pháp số ứng dụng
để giải các phương trình đạo hàm
riêng với các bước cơ bản sau:
 Rời rạc hoá miền tính toán 1D
hoặc 2D (ô lưới chử nhật), hoặc 3D
(khối chử nhật)
 Chỉ xét tính toán biến nghiên cứu
tại các điểm nút ô lưới.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
42
1D x
y=f(x)
y1
y2
y3
Yn-1
yn
Yn+1
 x
Số giá trị Y (vô cực) trên miền liên tục X giảm xuống 
chỉ còn một số vị trị hữu hạn trên X
Vị trí xác định giá trị biến 
nghiên cứu (hữu hạn vị trí)
8PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
43
1D
i =0 N nút mạng lưới: vị trí xác
định giá trị biến cần tìm
 xi : bước lưới khoảng cách 2 nút
kế tiếp (có thể khác nhau từ vị trí
này sang vị trí khác).
i (i+1) (i+2)(i-1)(i-2)
X
( xi)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
44
2D
X, i
Y, j
(i,j) (i+1,j)(i-1,j)
(i,j+1)
(i,j-1)
 xi
 yi
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
45
3D
X, i
Z, k
(i,j+1,k)
(i-1,j,k)
(i,j,k+1)
(i,j,k-1)
 xi
 yi
(i+1,j,k)
(i,j,k)
(i,j-1,k)
Y, j
 zi
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
46
Tại các nút ô lưới Các đạo hàm
riêng (hoặc đạo hàm) được xấp xỉ
bằng các sai phân phương trình
đại số.
 Áp dụng cho “tất cả” các nút ô
lưới nhận được hệ phương
trình tuyến tính của các ẩn số đại
lượng nghiên cứu tại nút lưới.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
47
 Hệ phương trình này
KẾT HỢP với các
phương trình biểu thị
các ĐIỀU KIỆN BIÊN sẽ
đủ hệ gồm có N phương
trình độc lập tuyến tính
để xác định N ẩn số.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
48
 Bài toán cân bằng: hệ
phương trình được giải 1 lần
 Bài toán mô phỏng hiện
tượng theo thời gian: hệ
phương trình được giải một
lần & kết quả tương ứng tại 1
thời điểm & sau đó tiếp tục
tiến lên theo thời gian.
9PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
49
CHÚ Ý
 Bài toán PHI TUYẾN (các hệ số hệ
phương trình phụ thuộc giá trị biến
nghiên cứu !) CẦN PHẢI GIẢI LẶP
 Lời giải là một xấp xỉ tốt của lời giải
chính xác (về nguyên tắc KHÔNG
BIẾT) CẦN XEM XÉT: xét sai số
cắt bỏ, tính nhất quán, tính ổn định.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
50
Ví dụ xét bài toán 2D
 Thiết lập lưới chử nhật và thay thế
U(x,y) bởi U(i x,j y).
 Định vị các nút theo i, j Phương
trình sai phân được viết theo i, j và
các điểm lân cận của nó.
 Giả thiết xem Ui,j như là U(x0,y0):
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
51
Quy ước:
Ui+1,j = U(x0+ x,y0) &
Ui-1,j = U(x0- x,y0)
Ui,j+1 = U(x0,y0 + y ) &
Ui,j-1 = U(x0,y0- y )
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
52
CHÚ Ý
 Thông thường người ta hay
chọn x= y
 Thường ta hay dùng chỉ số
dưới để chỉ KHÔNG GIAN & chỉ
số TRÊN để chỉ biến THỜI GIAN.
t
j,iU
Chỉ thời gian
Chỉ không gian
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
53
SAI PHÂN TIẾN -
FORWARD
(KHÔNG GIAN)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
54
Định nghĩa về đạo hàm riêng của
U(x,y) tại vị trí (x0,y0):
 Hy vọng rằng [U(x0+ x,y0)-
U(x0,y0)]/ x sẽ là một xấp xỉ “hợp
lý” của
0x
)y,x(U)y,xx(U
lim
x
U 0000


x
U


10
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
55
Triển khai chuỗi Taylor của
U(x0+ x,y0) chung quanh (x0,y0):
xxxwith
!n
x
x
U
)!1n(
x
x
U
...
!2
x
x
U
x
x
U
)y,x(U)y,xx(U
00
n
n
n
1n
x
1n
1n2
x
2
2
x
0000
00
0
  









PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
56
Sơ đồ sai phân “tiến” (không gian):
(Forward)
....
!2
x
x
U
x
)y,x(U)y,xx(U
x
U
0
00
x
2
2
0000
y,x





PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
57
Viết dưới dạng chỉ số:
 sai số cắt bỏ
Ta gọi
 biểu thức SAI PHÂN của
 

 
x
UU
x
U j,ij,1i
j,i
  x/UU j,ij,1i 
j,i
x/U 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
58
CHÚ Ý
Sai số cắt bỏ  được hiểu là:
[Sai số cắt bỏ] = [Đạo hàm riêng] –
[Biểu thức SPHH]
Người ta hay sử dụng ký hiệu 0
cho sai số cắt bỏ :
)x(0
x
UU
x
U j,ij,1i
j,i

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
59
GỈA THIẾT & TÍNH CHẤT
 Khi x đủ nhỏ:
Với K là số thực dương
 Không biết giá trị chính xác của
0( x) & chỉ xét được nó thay đổi
thế nào khi x 0.
 Thừa nhận:
xK)x(0 
    x0x0 2 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
60
SAI PHÂN LÙI -
BACKWARD
(KHÔNG GIAN)
11
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
61
Triển khai chuỗi Taylor của U(x0-
 x,y0) chung quanh (x0,y0):
 ...
x
U
1...
!2
x
x
U
x
x
U
)y,x(U)y,xx(U
00
0
x
1n
1n
n
2
x
2
2
x
0000






PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
62
Sơ đồ sai phân “lùi” (không gian):
Dưới dạng chỉ số:
)x(0
x
)y,xx(U)y,x(U
x
U 0000
y,x 00


)x(0
x
UU
x
U j,1ij,i
j,i

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
63
TÓM TẮT
x0 (x0+ x)(x0- x)
X,i
UI,J
UI+1,JUI-1,J
Sơ đồ sai phân 
Forward theo 
không gian
Sơ đồ sai phân 
Backward theo 
không gian
Vị trí khai 
triển Taylor
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
64
BÀI TẬP 1
Chứng minh:
(Sơ đồ sai phân trung tâm)
2j,1ij,1i
j,i
)x(0
x2
UU
x
U

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
65
TÓM TẮT
Sai phân tiến:
Sai phân lùi:
Sai phân trung tâm:
)x(0
x
UU
x
U j,1ij,i
j,i

 
)x(0
x
UU
x
U j,ij,1i
j,i

 
2j,1ij,1i
j,i
)x(0
x2
UU
x
U

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
66
BÀI TẬP 2
Hãy dùng ý nghĩa đồ thị để giải thích
về xấp xỉ sai phân của đạo hàm bậc
1 tại C:
x0 (x0+ x)(x0- x)
X
U
A
BC
 x x
12
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
BÀI TẬP 3
Trong không gian 2D, tìm xấp xỉ
của đạo hàm riêng bậc 2:
?
x
U
)y,x(K
x
&?
x
)y,x(U
j,i
2
00
2






PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
68
BÀI TẬP 4
Trong không gian 2D, tìm xấp xỉ
của đạo hàm riêng bậc 2:
?
y.x
)y,x(U
j,i
00
2


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
69
XẤP XỈ THEO 
THỜI GIAN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
70
 Các nghiên cứu trên chỉ tập trung
xem xét đạo hàm riêng theo không
gian của biến nghiên cứu U(x,y,z,t).
 Trong phương trình đạo hàm riêng
còn gặp các số hạn:
 cần xấp xỉ trong p/p SPHH.
2
2
t
U
;
t
U




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
71
 Tương tự như khai triển Taylor
áp dụng với biến không gian,
với biến thời gian ta cũng có sai
phân tiến, sai phân lùi cho xấp
xỉ :
t
U


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
72
SAI PHÂN THEO THỜI GIAN
Sai phân tiến:
Sai phân lùi:
 Xem giải thích bằng đồ thị sau 
)t(0
t
UU
t
U
t
j,i
1t
j,i
t
j,i


)t(0
t
UU
t
U
1t
j,i
t
j,i
t
j,i


13
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
73
GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D)
Sai phân tiến:
time
tt+1
tt
 Unknown
 Known
Ut+1(i,j)
Ut(i,j) U
t(i+1,j)
Ut(i-1,j)
Ut(i,j-1)
Ut(i,j+1)
X
Y
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
74
GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D)
Sai phân lùi:
time
tt
tt-1
 Unknown
 Known
Ut(i,j)
Ut-1(i,j)
Ut(i+1,j)U
t(i-1,j)
Ut(i,j-1)
Ut(i,j+1)
X
Y
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
75
SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN
& SAI PHÂN SƠ ĐỒ ẨN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
76
SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN
Sơ đồ sai phân hiện (Explicit)
được gọi khi ta dùng sơ đồ SAI
PHÂN TIẾN (forward difference)
khi xấp xỉ theo thời gian.
 Các số hạng sai phân trong
các số hạn đạo hàm (riêng)
theo không gian đều lấy ở thời
điểm cũ.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
77
Ví dụ: Xét phương trình truyền nhiệt
1D:
Dùng sai phân tiến đối với đạo hàm
theo thời gian & sai phân trung tâm
cho số hạng đạo hàm theo không gian
 Phương trình sai phân viết cho
điểm (j):
2
2
x
)t,x(T
t
)t,x(T




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
78
Hay:
 Giá trị xác định “trực tiếp” từ
các giá trị của nó & các nút lân cận
trong “quá khứ”
 2
t
1j
t
j
t
1j
t
j
1t
j
x
TT2T
t
TT
 2
t
1j
t
j
t
1jt
j
1t
j
x
TT2T
tTT
1t
jT
14
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
79
Bài tập
Hãy xác định sai số cắt bỏ cho
phương trình truyền nhiệt 1D nói
trên.
Chú ý: Theo định nghĩa:
[Sai số cắt bỏ] = [P/t đạo hàm riêng]
– [P/t sai phân]
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
80
Bài tập
Hãy viết phương trình sai phân HIỆN
cho phương trình nước ngầm bão
hoà và có áp 2D trong môi trường
không đồng chất và không đẳng
hướng:
S hệ số phụ thuộc tính chất nước & đất
(g/t hằng số), hệ số thấm.
)
y
h
K(
y
)
x
h
K(
xt
)t,y,x(h
S yx










)y,x(K y,x
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
81
SAI PHÂN SƠ ĐỒ ẨN
Sơ đồ sai phân ẩn (Implicit) được
gọi khi ta dùng sơ đồ SAI PHÂN
LÙI (backward difference) khi xấp
xỉ theo thời gian.
 Các số hạng sai phân trong các
số hạng đạo hàm (riêng) theo
không gian đều lấy ở thời điểm
MỚI.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
82
Ví dụ: Lấy lại phương trình truyền
nhiệt 1D nói trên và viết phương
trình sai phân ẩn:
 Dùng sai phân lùi đối với số
hạn
 Dùng sai phân trung tâm cho
t
)t,x(T


2
2
x
)t,x(T


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
83
 Các giá trị
 Hình thành 1 PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
 2
1t
1j
1t
j
1t
1j
t
j
1t
j
x
TT2T
t
TT
1t
1j
1t
1j
1t
j T,T,T
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
84
NHẬN XÉT
Sự khác biệt giữa sơ đồ hiện & sơ đồ ẩn:
 Sơ đồ hiện Mỗi ẩn số tại nút (theo thời
gian) được xác định “trực tiếp” từ giá trị
của bản thân và các nút chung quanh ở
thời điểm CŨ.
 Sơ đồ ẩn Các ẩn số nút tạo thành một
hệ phương trình tuyến tính & nó chỉ sẽ
được xác định khi giải hệ phương trình
này (phối hợp với điều kiện biên).
15
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
85
Bài tập
Hãy viết phương trình sai phân
theo sơ đồ ẨN (i,j,t+1) cho
phương trình nước ngầm bão hoà
và có áp 2D trong môi trường
không đồng chất và không đẳng
hướng:
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
86
Trường hợp 1: Mạng lưới tính K trùng
với mạng lưới tính h (Ki,j)
Trường hợp 2: Mạng lưới tính K so le
với mạng lưới tính h (ví dụ Ki+1/2,j)
S hệ số phụ thuộc tính chất nước & đất
(g/t hằng số), K hệ số thấm.










y
h
y,xK
yx
h
y,xK
xt
)t,y,x(h
S
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
87
Hướng dẫn:
Xác định biểu thức tính ai và b theo
K, h(t).
bh.ah.a
h.ah.ah.a
1t
1j,i5
1t
1j,i4
1t
j,1i3
1t
j,1i2
1t
j,i1
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
88
CHÚ Ý
 Chỉ tìm được lời giải phương trình
sai phân hữu hạn ([P/t đạo hàm riêng]-
[Sai số cắt bỏ]) với hy vọng là sai số
làm tròn là bé & bỏ qua.
 Chấp nhận lời giải sai phân với điều
kiện sai phân phaỉ thỏa tính NHẤT
QUÁN & tính ỔN ĐỊNH (theo định lý
Lax hội tụ).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
89
TÍNH NHẤT QUÁN (Consistency)
Định nghĩa: Sự khác biệt giữa biểu
thức sai phân hữu hạn và
phương trình đạo hàm riêng sẽ
BIẾN MẤT khi ta thu nhỏ lưới
MỘT CÁCH BẤT KỲ.
 Lim lưới 0 [P/t đaọ hàm riêng]-[P/t sai
phân hữu hạn] = Lim lưới 0 [Sai số cắt
bỏ] 0
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
90
TÍNH CHẤT
 Sai số làm tròn dạng 0( t),
0( x), có tính NHẤT QUÁN
 Sai số cắt bỏ dạng 0( t/ x),
 không có tính NHẤT QUÁN
do t/ x bất định khi t 0 &
 x 0, trừ khi lưới thu nhỏ
theo cách mà t/ x 0.
16
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
91
TÍNH ỔN ĐỊNH
Ta nói sơ đồ sai phân ổn định (dùng khi
bài toán giải lặp hoặc bài toán giải theo
thời gian):
 Sai số vì bất kỳ lý do nào KHÔNG
ĐƯỢC PHÉP tăng liên tục qua các
bước giải từ thời điểm này sang thời
điểm kế.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
92
TÍNH ỔN ĐỊNH
Chứng minh tính ổn định đòi hỏi khối lượng
tính toán lớn & phức tạp.
Quan hệ giữa tính NHẤT QUÁN, HỘI TỤ & ỔN
ĐỊNH Định lý tương đương của Lax:
Với một bài toán giá trị ban đầu được thiết lập
thỏa đáng & một xấp xỉ sai phân hữu hạn
của nó thỏa đ/k nhất quán, tính ổn định là
điều kiện cần & đủ để lời giải hội tụ.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
93
TÍNH HỘI TỤ 
LỜI GIẢI THEO 
THỜI GIAN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
94
Khi sơ đồ sai phân hội tụ Lời
giải của phương trình sai phân
TIẾN VỀ lời giải phương trình
đạo hàm riêng khi kích thước
lưới thu nhỏ
 Thông thường khi sơ đồ là
nhất quán & ổn định lời giải
nói chung là hội tụ theo thời
gian.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
95
CÁC LOẠI 
SAI SỐ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
96
 Sai số làm tròn số: Độ
chính xác máy tính là hữu
hạn các giá trị số sẽ “bị”
làm tròn.
17
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
97
 Sai số rời rạc hoá: Do việc thay thế
miền nghiên cứu là một miền “liên tục”
thành một miền “rời rạc” (chỉ chú ý tại
một số hữu hạn điểm nút) gây nên sai
số và được định nghĩa BẰNG: [Lời giải
chính xác (không có sai số làm tròn số)
của p/t đạo hàm riêng] - [Lời giải chính
xác (không có sai số làm tròn số) của
p/t sai phân hữu hạn]
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
98
TỔNG HỢP
[Lời giải chính xác của pt. đạo
hàm riêng]
- [Lời giải máy tính của pt. sai
phân hữu hạn]
=
[Sai số rời rạc hóa]+[Sai số làm
tròn số]
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
99
BÀI TẬP
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP 
SAI PHÂN XÁC ĐỊNH NỘI 
LỰC MỘT SỒ KẾT CẤU 
ĐƠN GIẢN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
100
Bài tập 1: Xác định momen uốn & độ
võng của một dầm đơn giản.
Lý thuyết: Xét một dầm đơn giản
chịu tải trọng phân bố sau:
q0
L
A B
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
101
Phương trình vi phân xác định
momen như sau:
 Phương trình vi phân xác định độ
võng trường hợp tiết diện không
đổi:
 1q
dx
Md
2
2
 2
EJ
M
dx
yd
2
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
102
Trong đó:
M momen uốn (+ nếu thớ dưới bị
căng)
q cường độ tải phân bố (+ từ
dưới lên)
y độ võng (+ hướng lên trên)
E module đàn hồi dầm khi kéo
hoặc nén
J momen quán tính tiết diện
18
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
103
Yêu cầu: Dùng pp. SPHH chia
chiều dài dầm thành 4 đoạn
bằng nhau và xác định
Momen & độ võng của dầm
tại các vị trí này.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
104
Hướng dẫn: Giải M trước với M0=M4=0
 Viết pt. sai phân với sơ đồ trung tâm cho
pt. đạo hàm riêng của M, pt (1).
 Áp dụng pt. này lần lượt cho các điểm 1,
2, 3 có 3 pt. biểu diễn quan hệ Mi
q0
L
h=L/4 h h h
0
1 2 3 4
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
105
Đáp số:
Momen M1 = 0.0391q0L
2
M2 = 0.0625q0L
2
M3 = 0.0547q0L
2
Độ võng y1 = -0.00463q0L
4/EJ
y2 = -0.00682q0L
4/EJ
y3 = -0.00513q0L
4/EJ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
106
Bài tập 2: Xét một dầm có tiết diện
không đổi trên nền đàn hồi. Phương
trình vi phân chuyển vị y có dạng:
k hệ số nền, q tải trọng phân bố, E
module đàn hồi, J momen quán tính
qky
dx
yd
EJ
4
4
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
107
a. Gọi m là số đoạn chia dầm, viết phương
trình sai phân tại nút i.
b. Biết rằng momen M & lực cắt Q trong
dầm có quan hệ với chuyển vị y như sau:
Giả thiết 2 đầu dầm là tự do (M=0, Q=0). Viết
phương trình sai phân ở 2 đầu dầm.
3
3
2
2
dx
yd
EJ
dx
dM
Q&M
dx
yd
EJ 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
108
HD: L chiều dài dầm, h=L/m
i
4
2i1ii4
4
1i2i q
EJ
h
yy4y
m
6y4y 
 
4
EJ
h
L 
0yy2y2y&0yy2y 2112101 
2m1mm2m1mm1m yy4y4y&yy2y 
19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
109
Chú ý: Với m đoạn (m+1) ẩn
số phải có (m+1) phương
trình.
 Có yi sẽ xác định được M & Q
theo phương trình vi phân.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
110
Áp dụng Xem sơ đồ sau. Cho m=4, =L(h/EJ)1/4= 4:
q0
L
h=L/4h
1 2 3 4
x
y
0-1-2
EJ
hq
y;
EJ
hq
751.0y
;
EJ
hq
493.0y;
EJ
hq
245.0y;
EJ
hq
007.0y
4
0
4
4
0
3
4
0
2
4
0
1
4
0
0
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
111
HEÁT CHÖÔNG