Bài giảng Phương pháp số ứng dụng - Chương 2: Bài toán khuếch tán - Nguyễn Thống

1PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döï g - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: 
Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
2
NỘI DUNG MÔN HỌC
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn.
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán.
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán.
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn.
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
uốn).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. 
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad 
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB 
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. 
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. 
RAO 1989.
7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
4
BÀI TOÁN 
KHUẾCH TÁN
 Khuếch tán chất
 Khuếch tán nhiệt
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
5
NỘI DUNG
 Giới thiệu hiện tượng & cơ 
sở lý thuyết
 Phương pháp giải SPHH
 Sơ đồ khối bài toán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
6
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Quá trình vật lý quan sát mô
tả thực nghiệm biểu diễn bằng
các phương trình toán học 
Kiểm tra tính hiệu lực về mặt vật
lý của nghiên cứu từ phương
trình toán học
2PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
7
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
8
KHUẾCH 
TÁN NHIỆT
X-Y
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
9
KHUẾCH TÁN NHIỆT X-Z
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
10
CÁC HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN 
CƠ BẢN
 Khuếch tán nhiệt Định luật
Fourier về truyền nhiệt (1822)
 Trong một môi trường dẫn nhiệt
(không khí, nước, kim loại,.) khi có
sự khác biệt về nhiệt độ trong không
gian Hiện tượng khuếch tán nhiệt.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
11
ĐỊNH LUẬT FOURIER
“Flux nhiệt đi ngang qua một đơn vị
diện tích trong một đơn vị thời gian
theo phương cho trước thì tỷ lệ với
gradient của nhiệt theo phương
đó” .
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
12
KHUẾCH TÁN 
CHẤT
3PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
13
Hiện tượng khuếch tán chất Định 
luật Fick (1855).
Trong một môi trường lan truyền
chất (chất lỏng, không khí,.) khi
có sự khác biệt về nồng độ chất
trong không gian Hiện tượng
khuếch tán chất.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
14
ĐỊNH LUẬT FICK VỀ QUÁ TRÌNH 
KHUẾCH TÁN PHÂN TỬ
“Khối lượng chất đi ngang qua một
đơn vị diện tích trong một đơn vị
thời gian theo phương cho trước
thì tỷ lệ với gradient của nồng độ
chất theo phương đó” .
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
15
Định luật Flick
(Khuếch tán 1D theo phương x)
q khối lượng chất đi qua 1 đvdt trong
1 đơn vị thời gian (kg/m2/s)
C0
C1
X
x
C
Dq


Nồng 
độ chất 
C0 > C1
 Flux q
 x
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
16
C nồng độ chất (khối lượng chất trong
1 đv thề tích (kg/m3, mg/l,)
D(m2/s) hệ số tỷ lệ = hệ số khuếch tán
phân tử.
Chú ý: Cần phân biệt với “hệ số khuếch
tán” do các nguyên nhân khác gây nên
như: khuếch tán số, khuếch tán rối,
khuếch tán do vận tốc dòng chảy phân
phối không đều trong mặt cắt ngang,
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
17
NOTES
Giá trị hệ số khuếch tán (diffusion
coefficient):
 D của các ions với nhiệt độ trong
phòng:
(0.6.10-9 2.0.10-9) m2/s
 D của các phân tử sinh học:
(10-11 10-10) m2/s
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
18
THIẾT LẬP PT. KHUẾCH TÁN 1D
Gọi C(x,t) khối lượng chất trong 1 đv
thể tích
Khảo sát thể tích kiểm soát vi phân sau:
X X
q x)x/q(q  
Thể tích 
kiểm soát
1 Đơn vị 
diện tíchA
B
C
D
E
F
G
H
4PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
19
Ta có:
Tổng khối lượng chất có trong thể tích
kiểm soát:
C(x,t)* x*1
Tốc độ thay đổi chất trong thể tích
kiểm soát:
x).t/C( 
Volume
Tốc độ thay đổi tính 
cho 1 đv thể tích
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
20
Xét trong 1 đv thời gian:
Khối lượng chất đi qua mp tại x:
q(x,t)
Khối lượng chất đi qua mp tại
(x+ x):
x).x/q()t,x(q  
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
21
Chênh lệch chất khi đi qua mp tại x &
tại (x+ x) 
Điều kiện bảo toàn khối lượng vật
chất trong thể tích kiểm soát:
x).x/q( 
0
t
C
x
q
x).t/C(x).x/q(




  
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
22
Áp dụng định luật Flick, q, vào pt 
 Phương trình mô tả chất được vận
chuyển như thế nào bởi quá trình
khuếch tán Flick (Flick’s second law).






x
C
D
xt
C
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
23
Giả thiết D là hằng số theo
phương x 
2
2
x
C
D
t
C




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
24
BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 2D & 3D
Ta định nghĩa:
Với qx, qy, qz khối lượng chất đi qua
1 đv thể tích trong 1 đv thời gian.
z
C
Dq;
y
C
Dq;
x
C
Dq zyx




















2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
C
D
t
C
D3
y
C
x
C
D
t
C
D2
5PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
25
BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 2D & 3D
Viết dưới dạng toán tử:
Với toán tử Nabla:
CD
t
C 2 


k
z
j
y
i
x






 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
26
KHUẾCH TÁN 
NHIỆT
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
27
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
KHUẾCH TÁN NHIỆT
 Về các bước giống như thiết lập
bài toán khuếch tán chất.
 Dùng định luật Fourier cho
khuếch tán nhiệt.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
28
Định luật Fourier
qx flux nhiệt – Flux head (W/m
2)
T nhiệt độ
K thermal conductivity W/(m-0C)
dx
dT
Kqx 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
29
Tương tự bài toán khuếch tán chất ta có:
Phương trình đạo hàm riêng dạng
Parabol.
q nội năng
T(x,y,z,t) nhiệt độ theo không gian & thời
gian
q
z
T
y
T
x
T
t
T
2
2
2
2
2
2








PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
30
THIẾT LẬP 
PHƯƠNG TRÌNH
6PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
31
LỜI GIẢI GIẢI TÍCH BÀI TOÁN LAN 
TRUYỀN CHẤT 1D
Xét bài toán 1D (trục x) & gọi C(x,t) là
nồng độ chất tại vị trí x ở thời điểm t.
Tại x=0, duy trì một nồng độ chất
không đổi C(0).
Nồng độ chất tại một vị trí bất kỳ x và
thời điểm t là:
Dt2
x
erfc).0(C)t,x(C
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
32
Với:
 chiều dài khuếch tán
(diffusion length)
. Dr. Nguyễn Thống
Dt2
x
0
t dte
2
)x(erf
2
x
t dte
2
)x(erf1)x(erfc
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
33
HÀM erf(x)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
34
ĐẶC TRƯNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
KHUẾCH TÁN
x
T
0
t=n t
Miền tìm lời giải C?
Biên hở
Phương giải bài toán theo t
Đ/k ban đầu
Đ/k biên
 t
X0
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
35
Bước giải
 Biết C(x,0) - Điều kiện ban đầu – Và
C(0, t), C(X0, t) - Điều kiện biên 
Tìm C(x, t)
 Dùng kết quả C(x, t) & điều kiện biên
C(0,2 t), C(x,2 t) Tìm C(x,2 t).
 Tiếp tục với 3 t, 4 t, , n t, ..., T (T
là thời gian cần mô phỏng hiện
tượng)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
36
PHƯƠNG PHÁP 
SPHH GIẢI 
BÀI TOÁN 
KHUẾCH TÁN 1D
7PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
37
Phương trình lý thuyết (kết
quả trước):
2
2
x
C
D
t
C




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
38
SƠ ĐỒ SAI PHÂN
 Sai phân sơ đồ HIỆN
- Sơ đồ cơ bản
- Sai phân sơ đồ Richardson
(nhảy cóc – Leapfrog)
- Sai phân sơ đồ Dufort – Frankel
 Sai phân sơ đồ ẨN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
39
SƠ ĐỒ 
SAI PHÂN HIỆN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
40
SƠ ĐỒ 
SAI PHÂN HIỆN
 Sai phân tiến 
theo thời gian
 Sai phân trung tâm 
theo không gian
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
41
Phương trình sai phân viết tại điểm (j,t):
 2
t
1j
t
j
t
1j
t
j
1t
j
x
CC2C
D
t
CC
(t+1)
t
j (j+1)(j-1) x x N1
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
42
Đặt:
 Sơ đồ hiện tính dựa trực
tiếp từ các giá trị trong quá khứ của
bản thân & của các nút lân cận !
t
1j
t
j
t
1j
t
1j
t
j
t
1j
t
j
1t
j
2
CC)21(C
CC2CCC
x/t.D
   
  
 
 hệ số khuếch tán 
 (không thứ nguyên)
1t
jC
8PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
43
TRÌNH TỰ GIẢI C(j,t)
Bước 1: C(j,0) đã biết từ đ/k ban đầu với mọi j
Bước 2: Với giá trị biên đã có C(1,1) & C(N,1) và
các giá trị Bước 1 Tính C(j,1) với j=2,(N-1).
Bước 3: Với giá trị biên đã có C(1,2) & C(N,2) và
các giá trị Bước 2 Tính C(j,2) với j=2,(N-1).
---------------------------------------------------------
Bước k: Với giá trị biên đã có C(1,k) & C(N,k) và
các giá trị Bước (k-1) Tính C(j,k) với j=2,(N-1).
 Tiếp tục cho đến k=T thời gian cần mô phỏng
hiện tượng. PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
44
. Dr. Nguyễn Thống
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
45
ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH
 Sơ đồ nêu trên chỉ ổn
định khi :
5.0
x
t
.D
2
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
46
PHÂN TÍCH 
LÝ THUYẾTTÍNH 
ỔN ĐỊNH SƠ ĐỒ 
SAI PHÂN HIỆN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
47
 lời giải đúng tại điểm i,
thời điểm n+1
 lời giải thực tại điểm i,
thời điểm n+1 (do sai số
làm tròn)
1n
iT
 n1i
n
i
n
1i
1n
i TT21TT 
    
1n
it
 n 1i
n
i
n
1i
1n
i tt21tt 
    
2x
t
with
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
48
Đặt:
Sai số ở nút i vào thời điểm n viết
dưới dạng:
Với G là hàm phức chứa thời gian,
j số phức với j2=-1 và = x
  1ni
1n
i
1n
i tT
 n 1i
n
i
n
1i
1n
i 21 
    
   ijnni eG
9PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
49
  
  
  
  
1ijnijn
1ijnji1n
eGeG21
eGeG
      21eeeGeG jjjinji1n
2cos
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
50
  
 
 
  

 
2
sin41eG
cos121eGeG
2jin
jinji1n
 
 
2
sin41G
G
G
2
n
1n
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
51
Các sai số sẽ bị chận nếu abs(G)
<=1, với mọi  
 
 


2
sin41G
G
G
2
n
1n
n
1n
 11
2
sin411 2 
 
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
52
vế trái (1) luôn luôn thoả, vế phải
chỉ thoả khi:
  


 
 
2
1
2
2
sin4
2
sin411
2
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
53
Kết luận: Sơ đồ sai phân hiện chỉ
ổn định khi:
 
2
x
t
2
1
x
t
2
1
2
2
Điều kiện Courant –
Féderich – Lévy CFL
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
54
XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN 
TRONG PHƯƠNG 
TRÌNH SAI PHÂN
 Loại Dirichlet
 Loại Neumann
10
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
55
BIÊN DẠNG DIRICHLET
 Đó là dạng C(N,t) =giá trị
đã biết với mọi thời điểm t
tại vị trí biên N
 Áp dụng trực tiếp vào
phương trình sai phân
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
56
BIÊN DẠNG NEUMANN
 Tại vị trí biên, phương
trình của C có dạng :
 Có thể xử lý như sau:
]1[)know(f
x
C


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
57
Cách 1: Tính C(N,t+1)
Sai phân lùi theo không gian hàm
[1] với giả thiết giá trị f đã biết và
C(N-1,t+1) đã biết:
 C(N,t+1)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
58
Cách 2: Tính C(N,t+1)
Sử dụng thêm nút ảo (N+1) nằm ngoài
miền tính toán. Sai phân trung tâm
theo không gian hàm [1] với giả thiết
giá trị f đã biết tại t
 Tính C(N+1,t)
 Tính C(N,t+1) theo p/t sai phân
f
x2
CC t 1N
t
1N 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
59
Tại thời điểm t tính C(N+1,t)
theo C(N,t) & C(N-1,t) theo sơ đồ
trung tâm không gian 
(t+1)
t
N (N+1)(N-1) x1
Nút ảo
C(N,t+1)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
60
Bài tập: Xét bài toán lan truyền chất 1D.
Dùng phương trình sai phân theo sơ
đồ hiện để xác định lời giải tại các
thời điểm t= t, 2 t, 3 t, 4 t, 5 t với các
các giá trị khác nhau của =1/4, 1/2. Giá
trị biên của C tại x=0 & x=4 là C=0.
Giá trị của hàm C tại thời điểm t=0, tại
các vị trí x=0, x=1, x=2, x=3, x=4 như
sau :
11
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
61
Sơ đồ lưới sai phân 1D & lời giải ban
đầu như sau:
0 1 2 3 4 X
t
C=1.0
C=0.5C=0.5
Giá trị hàm C 
tại t=0
C(x=4,t)=0C(x=0,t)=0
Điều kiện 
biên
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
62
DẠNG LỜI GIẢI
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
63
PHÂN TÍCH ĐỘ 
CHÍNH XÁC
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
64
Để nghiên cưú vấn đề, ta sử dụng khai triển chuỗi
Taylor cho hàm  :
2 2
1 3
2
0( )
2!
t t
j j
t
t t
t t
 
  
 
 
2 2 3 3 4 4
5
1 2 3 4
0( )
2! 3! 4!
t t
j j
x x x
x x
x x x x
   
  
   
   
2 2 3 3 4 4
5
1 2 3 4
0( )
2! 3! 4!
t t
j j
x x x
x x
x x x x
   
  
   
   
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
65
Từ 3 phương trình trên ta có:
2 2 4 4
6
1 1 2 4
0( )
1 12
t t t
j j j
x x
x
x x
 
   
  
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
66
&
2 2
1 3
1 1 2
2 0( )
2!
t t t t t
j j j j j
t
t t
t t
 
      
 
 
-
2 2 4 4
6
2 4
0( )
1 12
x x
x
x x
 

  
  
2 2 2 4
2 2 42 12
t x
t K K
t t x x
       
    
=
12
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
67
 1 1 12t t t t tj j j j j      =
2 2 2 4
2 2 42 12
t x
t K K
t x t x
       
    
2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2 4
K K K K K
t t t t x x t x x x
                
           
Ngoài ra:
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
68
Thay vào ta có:
Từ phương trình trên thấy sơ đồ
có K t- x2/6=0 (hay =1/6) ta có
sai số cắt bỏ là nhỏ nhất
 1 1 12t t t t tj j j j j      
2 2 4
2 42 6
K x
t K K t
t x x
     
   
Pt. sai phân
Cắt bỏ
Pt. gốc
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
69
SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN
 Sơ đồ Richardson (Leapfrog 
- nhảy cóc)
Sơ đồ hiện với 3 thời điểm. Phương
trình sai phân viết tại điểm (j,t):
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
70
 2
t
1j
t
j
t
1j
1t
j
1t
j
x
CC2C
D
t2
CC
(t+1)
(t-1)
j (j+1)(j-1) x x N1
t
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
71
 Sai số cắt bỏ của sơ đồ
Richardson là:
 Sơ đồ KHÔNG ỔN ĐỊNH VÔ
ĐIỀU KIỆN
  22 x,t0 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
72
SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN
 Sơ đồ Dufort - Frankel
Thay thế Cj
t trong sơ đồ Richardson
bởi giá trị trung bình theo thời gian
tại nút j:
(Cj
t+1+Cj
t-1)/2 Sơ đồ hiện 3 thời
điểm.
Phương trình sai phân viết tại điểm
(j,t):
13
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
73
 2
t
1j
1t
j
1t
j
t
1j
1t
j
1t
j
x
CCCC
D
t2
CC
(t+1)
(t-1)
j (j+1)(j-1) x x N1
t
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
74
Bài tập
Hãy chứng minh sai số cắt bỏ của
sơ đồ Dufort – Frankel là:




...
x
C
...
3
t
D
x
C
x
t
D
12
x
D
6
62
3
4
4
2
2
3
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
75
NHẬN XÉT
 Sai số cắt bỏ 0[( t)2,( x)2, ( t/ x)2]
 Sơ đồ Dufort – Frankel KHÔNG THỎA
MÃN TÍNH NHẤT QUÁN vì t 0 & x 
0 thì tỷ số t/ x BẤT ĐỊNH
 Phương trình sai phân theo sơ đồ Dufort
– Frankel KHÔNG XẤP XỈ một cách nhất
quán p/t khuếch tán nguyên thủy.
 Sơ đồ Dufort – Frankel ổn định vô điều
kiện.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
76
SƠ ĐỒ 
SAI PHÂN ẨN
(Sơ đồ Preissmann)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
77
Phương trình sai phân viết tại điểm (j,t):
 

2
t
1j
t
j
t
1j
2
1t
1j
1t
j
1t
1j
t
j
1t
j
x
CC2C
)1(
x
CC2C
D
t
CC
0<=  <= 1 hệ số gia trọng
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
78
Quan hệ dạng đồ thị:
(t+1)
t
j (j+1)(j-1) x x
 tăng
14
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
79
Ý NGHĨA
 > 0.5 Đặt trọng số chủ yếu vào
thời điểm mới (t+1)
 < 0.5 Đặt trọng số chủ yếu vào
thời điểm cũ t
 = 0.5 Đặt trọng số bằng nhau cho
thời điểm cũ và thời điểm mới Sơ
đồ Crank-Nilcolson
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
80
Ý NGHĨA
=0 Đặt toàn bộ trọng số vào
thời điểm cũ Sơ đồ sai
phân hoàn toàn HIỆN
=1 Đặt toàn bộ trọng số vào
thời điểm MỚI Sơ đồ sai
phân hoàn toàn ẨN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
81
NHẬN XÉT
Khi  > 0 Phương trình sai phân ẩn tại
(j,t) chứa 3 ẩn số có dạng tuyến tính:
j
1t
1jj
1t
jj
1t
1jj ECCCBCA 
t
1j
t
j
t
1jj
jjj
C)1(
C)]1(21[C)1(E
C;21B;A
 
     
   
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
82
NHẬN XÉT
Khi x=constant, các hệ số Aj , Bj , Cj
là giống nhau đối với mọi nút j ngoại
trừ nút kề biên với điều kiện:
 cho trước
x
C


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
83
XÁC ĐỊNH C(j,t+1)
 Tại mỗi nút j, viết phương trình sai
phân (không kể tại vị trí biên)
 Bổ sung phương trình biểu thị tại
các biên (điều kiện biên)
 Nhận được hệ N phương trình
tuyến tính với N ẩn số Giải hệ
phương trình xác định C(j,t+1).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
84
ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH
0.5 <=  <= 1 Sơ đồ ổn định vô điều
kiện
0 <=  < 0.5 Sơ đồ ổn định có điều
kiện với điều kiện sau:
)21(D2
x
t
2
 
15
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
85
Sai số cắt bỏ:
  2x,t05.0 
  22 x,t0
shemaNicolsonCrank:5.0
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
86
PHÂN TÍCH TÍNH 
ỔN ĐỊNH 
SƠ ĐỒ 
SAI PHÂN ẨN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
87
 lời giải đúng tại điểm i,
thời điểm n+1
 lời giải thực tại điểm i,
thời điểm n+1 (do sai số làm
tròn)
1n
iT
 1n1i1ni1n1ini1ni TT2TTT  
1n
it
2x
t
with
 
 1n 1i1ni1n 1ini1ni tt2ttt  
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
88
Đặt:
Sai số ở nút i vào thời điểm n viết
dưới dạng:
Với G là hàm phức chứa thời gian,
j số phức với j2=-1 và = x
  1ni
1n
i
1n
i tT
 1n 1i1ni1n 1ini1ni 2     
   ijnni eG
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
89
     
 
 
1ij1nij1n1ij1n
jinji1n
eGeG2eG
eGeG
      jj1nn1n eeGGG21
2cos
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
90
Với mọi >0 ta thấy abs(G) <=1 
Sơ đồ ẩn luôn luôn ổn định.
  
    


   
cos121
1
G
G
G
GGcos121
n
1n
n
1n
n1n
16
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
91
Bài tập 1: Xét một thanh kim loại dài L chia I
nút thành (I-1) đoạn dài bằng nhau L/(I-
1). Phương trình tuyền nhiệt 1D như sau:
Cho biết =0.2m2/s, I=5 nút, x=1m, t=1s
Nhiệt độ ban đầu toàn thanh là 300C , nhiệt
độ biên đầu thanh là 600C và cuối thanh
là 300C.
2
2
x
T
t
T




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
92
a. Dùng phương pháp SPHH với
sơ đồ hiện, tính nhiệt độ thanh
sau 10s. Vẽ kết quả lên đồ thị.
b. Tương tự câu (a) và dùng sơ đồ
hoàn toàn ẩn (=1).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
93
HD: t
1i
t
i
t
1i
1t
i T2.0T6.0T2.0T 
3630.2.030.6.060.2.0T12 
3030.2.030.6.030.2.0T13 
3030.2.030.6.030.2.0T14 
6.3930.2.036.6.060.2.0T22 
2.3130.2.030.6.036.2.0T23 
3030.2.030.6.030.2.0T24 
 Tiếp tục tăng t cho đến 
khi nhiệt độ T ổn định.
t.1t 
t.2t 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
94
HD:
t
i
1t
1i
1t
i
1t
1i TTT)21(T    
 2x
t
 
09,30T;64,30T;38,34T 14
1
3
1
2 
 Tiếp tục tăng t cho đến khi nhiệt độ T ổn định.
36
30
42
T
T
T
4.12.00
2.04.12.0
02.04.1
1
4
1
3
1
2
:t.1t 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
95
Bài tập 2: Dùng phương trình sai
phân theo sơ đồ ẩn Preissmann
(=2/3) để xác định lời giải tại
các thời điểm t=1, 2, 3, 4. Cho
biết =1/2. Giá trị của hàm C tại
thời điểm t=0 như sau. Giá trị
biên tại x=0 & x=4 là C=0:
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
96
Sơ đồ lưới sai phân 1d & lời giải ban
đầu như sau:
0 1 2 3 4 X
t
C=1.0
C=0.5C=0.5
Giá trị hàm C 
tại t=0
17
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
97
Bài tập 3: Xét hiện tượng khuếch tán chất 1D
trong 1 kênh. Kênh có L=1000m, tại x=0 nồng độ
chất bẩn không đổi C=1000g/m3. Tại cuối kênh
luôn có C=0. Nồng độ chất bẩn ban đầu của
kênh là C=0. Giả thiết D=25m2/s. Dùng x=250m,
 t=250s. Dùng sai phân sơ đồ ẩn hoàn toàn, sai
phân trung tâm theo không gian.
a. Tính nồng độ bẩn trong kênh tại các thời điểm
 t, 2 t, 3 t.
b. Trình bày kết quả lên đồ thị
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
98
Bài tập 4: Trong một kênh một chiều có chiều 
dài vô hạn và mặt cắt ngang là A. Một nguồn
chất bẩn dạng điểm và liên tục chảy vào với 
lưu lượng Q (m3/s), nồng độ c* (mg/l). Yêu cầu 
tính C(x,t).
• Giả sử nguồn điểm có nồng độ hòa tan hoàn 
toàn trong thời đoạn t và phân bố đều trong 
thể tích lòng dẫn :
tạo thành nguồn tại i=0 (xem ghi chú ở cuối).
)l/mg(
x.A
tQC
C
*
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
99
Cho A=200 m2, C*=10000 mg/l, x=250 m, K=100 
m2/s, Q=1 m3/s, C(x,0) =0.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
100
Điều kiện biên lấy như sau :
• Nguồn chất bẩn (i=1) khuếch tán đối xứng theo 
phương X.
• Tại biên xa phía bên phải lấy C=0 cho mọi t.
• Sử dụng sơ đồ sai phân tiến theo t, sai phân 
trung tâm theo x, trình bày thuật toán số.
Tính nồng độ cho 6 bước khoảng cách , x và 6 
bước thời gian , t (giả thiết đối xứng với trục 
trung tâm). Chọn để cho kết quả có độ chính 
xác cao nhất.
• Vẽ kết quả và nhận xét.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
101
Ghi chú :
 Khoảng cách để chất tải hoàn 
toàn hòa lẫn khi xã 1 bên là 
Lm=2.6UB2/H (đơn vị ft, sec), U 
vận tốc, B chiều rộng, H chiều 
sâu.
 Trường hợp xã 2 bên : 
Lm=1.3UB2/H
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
102
Bài tập
1.Lập sơ đồ khối giải bài toán
khuếch tán theo sơ đồ hiện.
2.Lập sơ đồ khối giải bài toán
khuếch tán theo sơ đồ ẩn.
18
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
103
HEÁT CHÖÔNG