Bài giảng Phương pháp số ứng dụng - Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & phương pháp. Phần tử hũu hạn - Nguyễn Thống

1PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: 
Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
2
NỘI DUNG MÔN HỌC
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
uốn)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. 
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad 
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB 
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. 
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. 
RAO 1989.
7. Bài giả g PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.
 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
4
PHẦN 1: 
TÓM TẮT 
LÝ THUYẾT 
ĐÀN HỒI
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
5
Giới thiệu: Bài toán cơ học
 Vật thể chịu lực chuyển vị
& phân bố ứng suất bên trong
vật thể.
 Xác định ứng suất bên trong
 tìm kiếm các phương pháp
giải.
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
6
Lý thuyết ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
dựa trên cơ sở giả thiết BIẾN
DẠNG NHỎ.
Lý thuyết ĐÀN HỒI PHI TUYẾN
dựa trên cơ sở giả thiết BIẾN
DẠNG LỚN.
 i / 
2PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
7
Trong lý thuyết ĐÀN HỒI TUYẾN
TÍNH xây dựng mối liên quan
giữa các đại lượng cần xét với
một vật thể đàn hồi:
 chuyển vị - biến dạng.
 biến dạng - ứng suất.
 ứng suất - tải trọng.
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
8
 i / 
Loại phương trình Số phương trình
3D 2D 1D
Phương trình cân 
bằng 3 2 1
Quan hệ Ứng suất-
Biến dạng 6 3 1
Quan hệ Biến dạng-
Chuyển vị 6 3 1
Tổng số phương trình 15 8 3
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
9
 i / 
ĐỊNH NGHĨA ẨN SỐ BÀI TOÁN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
10
Ngoài ra lời giải còn phải thỏa
mãn các phương trình bổ sung:
 Phương trình tương thích (liên
quan đến sự liên tục của biến
dạng, chuyển vị của hệ thống).
 Điều kiện biên (điều kiện cho
trước về chuyển vị, lực tác
dụng tại biên).
 i / 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
11
QUAN HỆ
BIẾN DẠNG-
CHUYỂN VỊ
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
12
Giả thiết dưới tác dụng của ngoại lực
BIẾN DẠNG của vật thể là NHỎ:
 Quan hệ giữa BIẾN DẠNG &
CHUYỂN VỊ là TUYẾN TÍNH.
Có 2 loại biến dạng cơ bản được định
nghĩa:
 biến dạng thay đổi chiều dài &
 biến dạng thay đổi về góc.
 i / 
3PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
13
Xét sơ đồ biến dạng sau:
 i / 
dx
dy
u
dx
x
u
u


v
dy
y
v
v


dy
y
u


dx
x
v


x
v


y
u


A
B
C
O
X
Y
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
14
Định nghĩa:
 [Biến dạng thẳng tương đối
theo trục] =
[Sự thay đổi chiều dài] /
[Chiều dài ban đầu theo trục quan
tâm]
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
15
Trong hệ tọa độ x,y,z chuyển vị 1
điểm bất kỳ xác định:
u=u(x,y,z),v=v(x,y,z), w=w(x,y,z)
Biến dạng tương đối theo trục được
xác định:
 i / 
z
w
;
y
v
;
x
u
zzyyxx


 


 


 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
16
Viết dưới dạng ma trận ta có:
 i / 









w
v
u
z
.
00
0
y
.
0
00
x
.
zz
yy
xx [1]
Vectơ 
biến 
dạng 
thẳng
Vectơ 
chuyển 
vị
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
17
Định nghĩa:
Xét trong mặt phẳng xy:
 [Biến dạng góc, xy] = [Độ giảm
góc vuông AB,AC]
(Còn gọi là biện dạng trượt tương
đối)
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
18
Biến dạng góc (trượt) tương đối:
Do tính đối ngẫu ta có:
 i / 
z
u
x
w
y
w
z
v
;
x
v
y
u
zx
yzxy




 




 




 
xzzxzyyzyxxy ;;    
4PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
19
Viết dưới dạng ma trận ta có:
 i / 















w
v
u
x
.
0
z
.
y
.
z
.
0
0
x
.
y
.
zx
yz
xy
[2]
Vectơ 
biến 
dạng 
góc
Vectơ 
chuyển 
vị
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
20
Tổng hợp
[1] & [2]
có thể viết:
 i / 
 
 
























w
v
u
w
v
u
x
.
0
z
.
y
.
z
.
0
0
x
.
y
.
z
.
00
0
y
.
0
00
x
.
zx
yz
xy
zz
yy
xx
[3]
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
21
TRƯỜNG HỢP
BÀI TOÁN 
PHẲNG (2D)
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
22
Chuyển vị chỉ có 2 thành phần:
u=u(x,y),v=v(x,y)
Và biến dạng tương đối chỉ còn:
 i / 
x
v
y
u
;
y
v
;
x
u
xyyyxx




 


 


 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
23
Viết dưới dạng ma trận ta có:
 i / 
  
 











v
u
v
u
x
.
y
.
y
.
0
0
x
.
xy
yy
xx
[3] [4]
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
24
PHƯƠNG TRÌNH 
CÂN BẰNG 
BÊN NGOÀI
 i / 
5PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
25
Vật thể cân bằng 
[ TỔNG NGOẠI LỰC TÁC (NGOẠI
LỰC + PHẢN LỰC GỐI TỰA) DỤNG
LÊN VẬT THỂ ] = 0
 i / 
0F
i
i 
0M
i
i 
Cân bằng lực Cân bằng 
Momen PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
26
Các phương trình hình chiếu
xuống trục 
Lực:
Momen:
 i / 
0F;0F;0F zyx 
0M;0M;0M zyx 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
27
PHƯƠNG TRÌNH 
CÂN BẰNG 
BÊN TRONG
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
28
Dươí tác dụng của ngoại lực 
Phát sinh ỨNG SUẤT trong vật
thể.
Xét một phân tố bên trong vật thể
 Nó phải CÂN BẰNG dưới tác
dụng của các ỨNG SUẤT (3D 9
thành phần).
 Ta gọi đó là phương trình cân
bằng bên trong.
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
29
QUY ƯỚC
Chỉ số đầu chỉ phương mà
ứng suất tác dụng
Chỉ số sau chỉ phương pháp
tuyến của m/p mà ứng suất tác
dụng
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
30
KÝ HIỆU
 i / 
xx
yx
dy
yy
xy
dx
x
xx
xx


 
dx
x
yx
yx


 
dy
y
yx
yy


  dy
y
xy
xy


 
x
Y
dx
6PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
31
Phương trình cân bằng lực theo các phương
x, y, z:
x , y ,z
Lực khối
tác dụng lên
1 đơn vị thể
tích (N/m3)
 i / 
0
zyx
x
xzxyxx  






0
zyx
y
yzyyyx
  






0
zyx
z
zzzyzx  






PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
32
Phương trình cân bằng lực bài toán 2D:
x , y
Lực khối
tác dụng lên
1 đơn vị thể
tích (N/m3)
 i / 
0
yx
x
xyxx  




0
yx
y
yyyx
  




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
33
Phương trình cân bằng lực bài toán 1D:
x
Lực khối
tác dụng lên
1 đơn vị thể
tích (N/m3)
 i / 
0
x
x
xx  


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
34
Phương trình cân bằng lực 3D dạng ma
trận:
 i / 



























0
0
0
x
.
y
.
0
z
.
00
0
z
.
x
.
0
y
.
0
z
.
0
y
.
00
x
.
z
y
x
zx
yz
xy
zz
yy
xx
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
35
Sự cân bằng phải thỏa mãn ở bất kỳ vị trí nào cố
thể kể cả các điểm trên bề mặt các điểm bề
mặt sẽ có bổ sung các NGOẠI LỰC khi xét cân
bằng. Xét trên 1 mặt bề mặt:
l,m,n
 Cosin
chỉ phương
px,..
 Thành
phần ngoại
lực
 i / 
zzzzyzx
yyzyyyx
xxzxyxx
pnml
pnml
pnml
   
   
   
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
36
Dưới dạng ma trận:
 i / 






z
y
x
zx
yzx
xy
zz
yy
xx
p
p
p
lm0n00
0nl0m0
n0m00l
7PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
37
QUAN HỆ
ỨNG SUẤT –
BIẾN DẠNG
Định luật Hooke
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
38
 Xét bài toán 3D.
 Định luật Hooke áp dụng cho
vật thể đàn hồi tuyến tính &
đẳng hướng cho quan hệ giữa
ứng suất & biến dạng:
 biến dạng
 ứng suất
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
39
 i / 
 
 
  T)(
E
1
T)(
E
1
T)(
E
1
yyxxzzzz
xxzzyyyy
zzyyxxxx
    
    
    
[1]
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
40
 i / 
zxzxzx
yzyzyz
xyxyxy
G
1
E
)1(2
G
1
E
)1(2
G
1
E
)1(2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1], tt
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
41
E module đàn hồi dọc trục
(module đàn hồi Young)
G module đàn hồi trượt
 hệ số Poisson
 hệ số giãn nở vì nhiệt
T độ biến thiên nhiệt độ
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
42









  









 
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
]C[]C[
Viết dưới dạng ma trận:
[C] ma
trận các hệ
số đàn hồi
 i / 
8PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
43









 
 
 
  
  
  









zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
E
1
 i / 
 tỷ số Poisson vật liệu
E module đàn hồi Young
[C]
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
44












 
 
 
  
  
  









0
0
0
1
1
1
T
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
E
1
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
 i / 
 hệ số giãn nở vì nhiệt
T biến thiên nhiệt độ
Nếu có xét ảnh hưởng của nhiệt độ với 
giả thiết chỉ xét đến ảnh hưởng dọc trục:
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
45
ĐỊNH LUẬT 
HOOKE 
TỔNG QUÁT
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
46
Từ quan hệ [1] suy ra biểu thức tính ứng
suất, thường gọi là định Hooke tổng
quát:
 i / 
  
  
  
T
21
E
)(1
211
E
T
21
E
)(1
211
E
T
21
E
)(1
211
E
yyxxzzzz
xxzzyyyy
zzyyxxxx
 
    
  
 
 
    
  
 
 
    
  
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
47
Tiếp theo:
 i / 
zxzxzx
yzyzyz
xyxyxy
G
)1(2
E
G
)1(2
E
G
)1(2
E
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
48
Viết dưới dạng ma trận 









 
 
 
 
 
 
  









zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
2
)21(
00000
0
2
)21(
0000
00
2
)21(
000
0001
0001
0001
)21)(1(
E
 i / 
 
]D[
Ma trận đàn hồi
[2] Định luật Hooke tổng quát
[2]
9PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
49
Trong trường hợp có co giãn vì nhiệt:
 i / 









 









 
 
 
 
 
 
  









zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
)21(
TE
2
)21(
00000
0
2
)21(
0000
00
2
)21(
000
0001
0001
0001
)21)(1(
E
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
50
[D] đặc trưng cần thiết cho việc
phân tích kết cấu dưới dạng ma
trận.
Nếu thừa nhận giả thiết vật liệu là
tuyến tính, đồng nhất & đẳng
hướng [D] đối xứng & không
suy biến.
 i / 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
51
BÀI TOÁN PHẲNG
 Bài toán phẳng 
về ứng suất
 Bài toán phẳng 
về biến dạng
 i / 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
52
BÀI TOÁN PHẲNG 
ỨNG SUẤT (2D)
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
53
Vật thể đàn hồi nghiên cứu có dạng
tấm (vỏ) với chiều dày nhỏ so với
kích thước của 2 chiều còn lại. Tải
trọng tác dụng trong mặt phẳng của
tấm.
 i / 
x
y y
z
t <<1
Fi
f(x,y)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
54
Giả thiết trục OZ thẳng góc tấm. Ta thừa
nhận giả thiết sau đây đối với ứng
suất:
 i / 
0zxzyzz   
10
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
55
Với giả thiết trên, từ bài toán 3D (ở trước)
quan hệ biến dạng-ứng suất trở thành:
 i / 
 
 
xyxyyxxy
xxyyyy
yyxxxx
G
1
E
)1(2
T
E
1
T
E
1
 
 
  
   
   
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
56









 
 
 






0
1
1
T
)1(200
01
01
E
1
xy
yy
xx
xy
yy
xx
 i / 
 hệ số giãn nở vì nhiệt
T biến thiên nhiệt độ
Dưới dạng ma trận:
Bài toán phẳng ứng suất
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
57
Các biến dạng còn lại:
 i / 
0zyzx  
 T
1
1
1
T
E
yyxx
yyxxzz
 
 
  
 
 
  

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
58



 






 


 




 ... ồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
79
PHẦN 2: 
PP. PHẦN TỬ 
HỮU HẠN
(PTHH)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
80
ĐẠI CƯƠNG
Khái niệm được bắt đầu vào những
năm 60. Đặc biệt O. C. Zienkiewic
vào năm 1970 đã hệ thống hoá và
dùng thuật ngữ “Phần tử hữu
hạn” (Finite Element Methode) để
định danh phương pháp.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
81
Vật thể liên tục (miền tính toán) 
 Thay bằng các PHẦN TỬ gián đoạn với
số lượng hữu hạn.
 Các phần tử này liên kết với nhau tại
một số điểm gọi là NÚT.
 Giả thiết sự biến thiên của biến trong
từng phần tử được xấp xỉ bởi một hàm
đơn giản (còn gọi là hàm nội suy, hàm
hình dạng) xác định theo giá trị biến tại
các nút.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
82
 Thay vì xác định giá trị biến trong miền
liên tục (vô số vị trí), phương pháp chỉ xác
định giá trị biến (ví dụ chuyển vị) tại các vị
trí NÚT.
 Thiết lập hệ phương trình tuyến tính với
ẩn số là giá trị biến tại nút.
 Giải hệ pt xác định giá trị biến tại nút
 Dùng hàm nội suy xác định giá trị biến
bên trong các phần tử (khi cần).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
83
1
2
3
U(x,y) Biến
U3
U1
U2
Phần tử 
dạng tam 
giác
Vật thể ban đầu
Vật thể 
rời rạc hoá
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
84
Mạng lưới 
dạng tam giác
15
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
85
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
86
CÁC LOẠI 
PHẦN TỬ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
87
(a) (b)
(c) (d)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
88
PTHH bậc 1 còn gọi PTHH tuyến tính 
Các nút ở các đỉnh phần tử (a), (c).
PTHH bậc 2, ngoài nút ở đỉnh còn có
thêm 1 nút trên cạnh (b), (d)
PTHH bậc 3, ngoài nút ở đỉnh còn có
thêm 2 nút trên cạnh.
.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
89
KINH NGHIỆM
PTHH bậc 1 loại tam giá Kết
quả tốt bài toán phẳng lý
thuyết đàn hồi.
PTHH bậc 1 loại chử nhật 
Kết quả tốt bài toán tấm uốn.
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
90
HÀM 
CHUYỂN VỊ
16
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
91
PTHH tuyến tính
PTHH tam giác:
PTHH chử nhật:
yx)y,x(v
yx)y,x(u
654
321
xyyx)y,x(v
xyyx)y,x(u
8765
4321
Vị trí
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
92
PTHH tuyến tính
PTHH hình chóp:
 i / 
zyx)z,y,x(w
zyx)z,y,x(v
zyx)z,y,x(u
1211109
8765
4321
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
93
PTHH hình hộp:
xyzzxyzxy
zyx)z,y,x(w
xyzzxyzxy
zyx)z,y,x(v
xyzzxyzxy
zyx)z,y,x(u
24232221
20191817
16151413
1211109
8765
4321
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
94
PTHH bậc 2
PTHH tam giác:
2
1211
2
10
987
2
65
2
4
321
yxyx
yx)y,x(v
yxyx
yx)y,x(u
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
95
PTHH bậc 2
PTHH chử nhật:
 i / 
2
16
2
15
2
1413
2
1211109
2
8
2
7
2
65
2
4321
xyyxyxy
xyx)y,x(v
xyyxyxy
xyx)y,x(u
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
96
PP. PHẦN TỬ 
HỮU HẠN
17
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
97
CÔNG KHẢ DĨ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
98
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
 Công do lực P
sinh ra trên
chuyển vị u tương
ứng
P (lực)
u
(chuyển vị)
O u u
P
P
W
 W
W*
 W*
2 W
2 W*
Công 
Đàn hồi 
phi tuyến
u
0
du.PW
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
99
Nếu là đàn hồi tuyến tính:
Nếu chuyển vị tăng thêm lượng u, độ tăng
thêm công tương ứng:
 i / 
Pu
2
1
W 
WWu.P
2
1
u.PW 2    
u.PW   biến phân bậc 1
u.P.5.0W2   biến phân bậc 2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
100
Xét trường hợp tuyến tính 
 W gọi là công cơ học khả dĩ gọi tắt
là “Công khả dĩ”.
 “Chuyển vị khả dĩ”
Trong bài toán thực tế lực P có nhiều
dạng 
 i / 
u.PWW   
u
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
101
 lực thể tích (trọng lượng bản thân)
 lực phân bố trên bề mặt thể tích p
 lực tập trung tại một số vị trí trên vật đàn
hồi Pi
Xét trường hợp có nhiều lực tập trung Pi:
   uPW T  
  
  n21
n21
u.uuu
P.PPP
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
102
Xét trường hợp có lực mặt và lực khối:
 i / 
          
S
T
V
T
dSupdVuW
3D 
  
  
  zyx
zyx
zyx
uuuu
pppp
 
 
18
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
103
Tương tự: công bù
Nếu đàn hồi tuyến tính thì:
Và W* = W
P
0
* dP.uW
u.P
2
1
W* 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
104
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
 Công do lực P
sinh ra trên
chuyển vị u tương
ứng
P (lực)
u
(chuyển vị)
O u u
P
P
W
 W
W*
 W*
2 W
2 W*
Công 
Đàn hồi 
phi tuyến
u
0
du.PW
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
105
Tương tự nếu xét thêm gia tăng P:
 i / 
*2** WWu.P
2
1
P.uW     
P.uW*   biến phân bậc 1 công bù
u.P.5.0W*2   biến phân bậc 2 
của công bù
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
106
Nếu bỏ qua biến phân bậc 2 (tuyến tính
hóa):
 công bù khả dĩ của lực khả dĩ P
sinh ra các chuyển vị đàn hồi tương
ứng u.
 i / 
P.uWW **   
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
107
NĂNG LƯỢNG 
BIẾN DẠNG 
ĐÀN HỒI KHẢ DĨ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
108
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
U0 năng lượng
biến dạng đàn
hồi tích lũy
trong 1 đv thể tích
vật thể đàn hồi
bị biến dạng.
 (Ứng suất)

(biến dạng)
O  u

 
U0
 U0
U0
*
 U0
*
2 U0
2 U0
*
Cong 
Đàn hồi 
phi tuyến
19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
109
 Năng lượng của cả vật thể bị biến
dạng:
Nếu chuyển vị tăng từ [u] lên [u+u] 
Biến dạng  tăng tương ứng và biến
dạng năng lượng tương ứng U0 xác
định tương tự trên đồ thị trong phần
“công khả dĩ”:
dVUU
V
0 
    (.)0U T0  
Tính cho 1 
đơn vị thể tích
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
110
 Xét trường hợp đàn hồi:
 mật độ năng lượng biến dạng đàn hồi khả dĩ.
Xét cả hệ thống:
“U NĂNG LƯỢNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI KHẢ
DĨ” 
 i / 
     T00 UU
   dVdVUU
V
T
V
0   
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
111
Trong đó:
 i / 
  
  zxyzxyzzyyxx
zxyzxyzzyyxx
 
 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
112
Tương tự như trên ta định
nghĩa cho “năng lượng biến
dạng BÙ khả dĩ” U*.
 i / 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
113
NGUYÊN LÝ 
CÔNG KHẢ DĨ 
(NGUYÊN LÝ 
CHUYỂN VỊ KHẢ DĨ)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
114
Nguyên lý Lagrange: Dưới tác dụng
của ngoại lực, nếu một vật thể bị
biến dạng và cân bằng thì CÔNG
KHẢ DĨ CỦA NGOẠI LỰC BẰNG
NĂNG LƯỢNG ĐÀN HỒI KHẢ DĨ.
W = U
20
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
115
Khai triển chi tiết ta có:
 i / 
           dV.dSupdVu
S V
TT
V
T
   
UW
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
116
ĐỊNH LÝ DỪNG CỦA 
THẾ NĂNG TỔNG CỘNG
(NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG 
TOÀN PHẦN DỪNG)
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
117
Xét phương trình thể hiện nguyên
lý công khả dĩ (Lagrange)
 Khi thực hiện một chuyển vị khả
dĩ lực và ứng suất là BẤT BIẾN.
 Vì vậy dấu  trong phương trình
có thể đưa ra ngoài dấu tích phân,
 được hiểu như là ký hiệu biến
phân của một hàm 
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
118
 i / 
           dV.dSupdVu
S V
TT
V
T
   
            0dSupdVudV
V S
TT
V
T
   
Toàn hệ thống !
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
119
 i / 
           dV;dSupdVu
V
T
i
S
T
V
T
a   
Gọi:
Ngoại năng (thế 
năng ngoại lực)
Nội năng (thế 
năng đàn hồi)
ia thế năng toàn phần
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
120
Ta có:
Nguyên lý thế năng toàn phần
dừng:
 “Một vật thể đàn hồi ở trạng
thái cân bằng thế năng toàn
phần đạt “cực trị”.
 i / 
 0ia   
21
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
121
ÁP DỤNG 
ĐỊNH LÝ DỪNG 
CỦA THẾ NĂNG 
TỔNG CỘNG
TRONG PP. PTHH
 i / 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
122
 Thế năng toàn phần của cả hệ:
 i / 
        
   
i i iV V S
TTT
dS.updV.udV
         
   
i i iV V S
TTT
dS.updV.udVD
      DHooke
Phần tử (tam giác!)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
123
Quan hệ giữa chuyển vị một điểm bất
kỳ trong PTHH và chuyển vị nút của
PTHH:
 i / 
  )e(QN
)z,y,x(w
)z,y,x(v
)z,y,x(u
u



Hàm hình dạng
Chuyển vị 
nút của 
phần tử
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
124
Quan hệ BIẾN DẠNG & CHUYỂN VỊ :
)e(
zx
yz
xy
zz
yy
xx
Q].B[
w
v
u
x
w
0
z
u
y
w
z
v
0
0
x
v
y
u
z
w
00
0
y
v
0
00
x
u
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u




















































 i / 
)e(Q]N[ 
 U
 
Ma trận 
toán tử 
đạo hàm
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
125
Từ đó:
Thay [] và vào phương trình trước 
 i / 
       )e()e( Q]B[Q.NU   
  N]B[with  
u
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
126
Ta có:
 i / 
        
        
         

 



 
   
)e(
V S
TT
)e(
V
TT)e(
V V S
TTT
QdS.NpdV.N
QdVBDBQ
dS.updV.udVD
i i
i
i i i
22
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
127
Đặt:     dV.BDBK
T
V
i
i
 i / 
Ma trận độ cứng 
phần tử
         
i iV S
TTT
i dS.NpdV.Nf
Vectơ lực tác dụng qua NÚT
lên phần tử thứ i 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
128
Công thức xác định thế năng toàn phần
trở thành (lưu ý [K] =[K]T tính đối
xứng):
 i / 
        )e(Ti)e(iT)e( QfQKQ
         )e(Ti)e(
T)e(
i QfQQK  
        )e(Ti)e(i QfQK 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
129
Nguyên lý thế năng toàn phần dừng 
     
]f[]Q].[K[
fQK0 i
)e(
i
  
Ma trận độ cứng toàn hệ
Ma trận chuyển vị NÚT cả hệ
Ma trận lực NÚT cả hệ
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
130
TRÌNH TỰ GIẢI 
VỚI PP. PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
131
Bước 1: Rời rạc hoá miền tính toán (kết cấu)
thành N phần tử.
Bước 2: Chọn một hàm nội suy (hàm hình
dạng) bên trong phần tử (e) bất kỳ thỏa
mãn một số yêu cầu về hội tụ:
 i / 
  )e(QN
)z,y,x(w
)z,y,x(v
)z,y,x(u
U



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
132
 i / 
)e(Q



)z,y,x(w
)z,y,x(v
)z,y,x(u
U
 Chuyển vị tại điểm 
bất kỳ trong phần tử
 N Ma trận hàm hình dạng
 Vectơ chuyển vị tại 
nút phần tử (e)
23
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
133
Trình tự giải với pp. PTHH
Bước 3: Dùng nguyên lý thế năng cực
tiểu Xác định ma trận độ cứng từng
phần tử [K(e)] và vectơ tải [P(e)] của
từng phần tử.
Gọi p là thế năng của toàn vật thể:

N
1e
)e(
p
 i / 
Thế năng 
phần tử (e)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
134
Trạng thái cân bằng của kết cấu được
xác định từ điều kiện cần thiết CỰC
TIỂU THẾ NĂNG:
 i / 
  PQ.K
N
1e
)e(

Ma trận độ cứng 
phần tử (e)
Vectơ chuyển vị 
nút toàn kết cấu
Vectơ 
lực nút
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
135
 i / 
      dV.BDBK T
V
)e(
)e(
 Ma trận độ cứngphần tử
P
 Lực nút tổng cộng gồm:
lực trực tiếp tác dụng vào nút,
lực bề mặt (áp lực đất, thủy tỉnh,..),
lực bản thân quy về nút.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
136
[B] ma trận biểu thị quan hệ BIẾN
DẠNG & CHUYỂN VỊ.
)e(
zx
yz
xy
zz
yy
xx
Q].B[
w
v
u
x
w
0
z
u
y
w
z
v
0
0
x
v
y
u
z
w
00
0
y
v
0
00
x
u
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u




















































 i / 
)e(Q]N[ 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
137
Với:
 i / 
]N[
x
w
0
z
u
y
w
z
v
0
0
x
v
y
u
z
w
00
0
y
v
0
00
x
u
]B[


















Ma trận 
hàm 
hình 
dạng
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
138
Bước 4: Hệ phương trình cân bằng toàn
hệ thống:
 i / 
PQ]K[
Ẩn số Vectơ 
chuyển vị nút 
toàn kết cấu
Vectơ 
lực nút
 
N
1e
)e(K]K[with
Ma trận độ cứng 
phần tử (e)
24
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
139
Bước 5: Kết hợp điều kiện biên về
chuyển vị vào phương trình cân
bằng toàn hệ thống giải chuyển
vị nút:
 i / 
PQ]K[
Ẩn số
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
140
Bước 6: Có chuyển vị nút + hàm
nội suy xác định BIẾN DẠNG,
Ứng suất, nội lực, trong từng
phần tử khi cần.
 i / 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 6: Đàn hồi tóm tắt & p/p PTHH
PGS. TS. Nguyễn Thống
141
HẾT
 i /