Bài giảng Phương pháp số ứng dụng - Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn - Nguyễn Thống

18/29/2016 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: 
Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719
8/29/2016 2
NỘI DUNG MÔN HỌC
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
uốn)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
8/29/2016 3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. 
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad 
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB 
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. 
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. 
RAO 1989.
7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
8/29/2016 4
PHẦN 1: 
PHẦN TỬ LÒ XO
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 5
Lò xo được hiểu là một phần tử đàn
hồi:
 không có khối lượng
 hệ số độ cứng k không đổi
Hệ lò xo được hiểu là nhiều lò xo
mắc nối tiếp trên cùng một
phương.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 6
Giới thiệu: Lò xo 1-2 có độ cứng k.
Fi : lực nút lực tác dụng tại nút i
ui : chuyển vị nút
Lực dọc F =F2-F1
Chú ý: Xét trong không gian 1D
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F1 F2
u2u1
1 2k
28/29/2016 7
Giới thiệu: Phần tử lò xo chỉ có khả năng
chịu lực dọc trục (kéo hoặc nén).
 Biến dạng dọc trục  tỷ lệ tuyến tính
lực tác dụng F.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn

F
Quan hệ tuyến tính
giữa lực tác dụng và
biến dạng
8/29/2016 8
TRƯỜNG HỢP:
1 LÒ XO
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 9
Độ dãn dài (co ngắn) ròng của lò xo:
 = u2 – u1 (> 0 dãn dài ròng , <0 co
ngắn ròng).
Lực dọc tác dụng lên lò xo:
F = k = k(u2 – u1)
Áp dụng phương trình tại nút 1 & 2 và sử
dụng điều kiện cân bằng F1 + F2 =0:
F1 = - k(u2 – u1)
F2 = k(u2 – u1)
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 10
Viết dưới dạng ma trận:
With:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   FuK
F
F
u
u
kk
kk
e
2
1
2
1
  
11
11
k
kk
kk
Ke
8/29/2016 11
Trong đó:
 ma trận độ cứng phần tử
 vectơ chuyển vị nút
 vectơ lực nút
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 eK
 u
 F
8/29/2016 12
Chú ý:
 Ma trận [Ke] là suy biến (det
[K]=0).
 Muốn loại bỏ tính suy biến bài
toán kết hợp với ĐIỀU KIỆN BIÊN.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
38/29/2016 13
TRƯỜNG HỢP:
2 LÒ XO
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 14
Giả thiết lò xo có độ cứng k1, k2. Chuyển
vị các nút là U1, U2, U3.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F1
F2
F3
U1 U2 U3
k1 k2
8/29/2016 15
Phân tích:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F1 F2
’
u1
1 2k1
u2
k2
2’ 3
F3F2
”
F2F2
’
F2
”
u3
u2
8/29/2016 16
Phương trình cân bằng cho từng lò xo:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
)2(
2
)2(
1
)2(
2
)2(
1
22
22
)1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
11
11
F
F
u
u
kk
kk
;
F
F
u
u
kk
kk
8/29/2016 17
Do điều kiện tương thích về chuyển vị và
quan hệ giữa chuyển vị nút hệ trục địa
phương ui và chuyển vị nút hệ trục
chung Ui:
U1=u1
(1) , U2= u1
(2)= u2
(1)
, U3=u2
(2)
Phương trình ma trận cho từng lò xo trở
thành: 
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 18
Ta có:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
0
F
F
0
U
U
000
0kk
0kk
'
2
1
2
1
11
11
3
"
2
3
2
22
22
F
F
0
U
U
0
kk0
kk0
000
48/29/2016 19
Cộng 2 ma trận trên và lưu ý F2
’+F2
”=F2:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
    FUK
F
F
F
U
U
U
kk0
kkkk
0kk
3
2
1
3
2
1
22
2211
11
Ma trận độ cứng tổng
Ma trận chuyển vị tổng
Ma trận lực nút tổng
8/29/2016 20
Nhận xét:
 Ma trận độ cứng tổng thể ĐỐI
XỨNG.
 Ma trận suy biến (cần có điều
kiện biên trước khi có thể giải).
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 21
Bài tập 0: Tại sao nói ma trận [K] ở
trước là suy biến?
Bài tập 1: Hãy nhận xét sự hình
thành ma trận độ cứng tổng thể
của hệ lò xo.
Bài tập 2: Hãy viết ma trận độ cứng
tổng thể cho hệ 3 lò xo nối tiếp.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 22
ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ 
THẾ NĂNG TỐI THIỂU 
THIẾT LẬP 
PHƯƠNG TRÌNH
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 23
ÔN
KẾT QUẢ 
CHƯƠNG 6
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 24
PGS. Dr. Nguyễn Thống
           dV;dSupdVu
V
T
i
S
T
V
T
a   
Gọi:
Ngoại năng (thế 
năng ngoại lực)
Nội năng (thế 
năng đàn hồi)
ia thế năng toàn phần
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
58/29/2016 25
Ta có:
Nguyên lý thế năng toàn phần dừng:
 “Một vật thể đàn hồi ở trạng thái cân
bằng thế năng toàn phần đạt “cực
trị”.
 Đạo hàm (riêng phần) của theo
chuyển vị BẰNG ZERO.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
 0ia   
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 26
Xác định a (thế năng ngoại lực)
Được thực hiện thông qua công
tính từ biến dạng của kết cấu.
Thế năng ngoại lực mất (giảm) khi
ngoại lực thực hiện công:
 a = - F1U1 – F2U2 – F3U3 (xét bài
toán 2 lò xo ghép nối tiếp).
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 27
Xác định i (thế năng đàn hồi)
Được thể hiện khả năng mà nội lực tạo ra
công thông qua biến dạng trong kết
cấu.
Áp dụng cho hệ có 2 lò xo:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
2
x
0
x
0
i kx
2
1
dx.kxdx.F 
 2232
2
121i UUk
2
1
UUk
2
1
8/29/2016 28
Thế năng tổng :
Để đạt cực trị (cực tiểu) :
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
332211
2
232
2
121ai
UFUFUF
UUk
2
1
UUk
2
1
3,2,1iwith0
Ui
 
8/29/2016 29
Do đó :
 Nhận được hệ pt. dạng ma trận như
trước !
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 0FUUk0
U
1211
1
 
 0FUUkUUk0
U
2322121
2
 
 0FUUk0
U
3232
3
 
8/29/2016 30
Bài tập: Cho hệ lò xo sau:
Xác định: Ma trận độ cứng phần tử, ma trận
độ cứng tổng hệ thống, chuyển vị nút,
phản lực gối tựa.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F1=30N
F2=20N R
K1=200N/m K2=400N/m
Gối cố định
68/29/2016 31
Bài tập: Cho hệ lò xo sau:
Xác định: Ma trận độ cứng phần tử, tổng,
chuyển vị nút, phản lực gối tựa.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F1=50N
F2=40N
R
K1=300N/m
K2=200N/m
Gối cố định
F3=60N
K3=500N/m
8/29/2016 32
HD:
Bài 1
U1 =-0.175m ; U2 =-0.025m
U3 = 0m
Bài 2
U1 =-107/300m ; U2 =-19/100m ; U3 =-7/50m
U4 = 0m
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 33
PHÉP BIẾN ĐỔI 
TOẠ ĐỘ
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 34
Các phương trình lập trên thường
được lập trong hệ tọa độ địa
phương.
 Gặp trường hợp nhiều phần tử
có dạng liên kết tổng quát cần
có một hệ tọa độ chung để biểu
diễn các phần tử.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 35
Xét phần tử đàn hồi có 2 nút. Hệ
phương trình cân bằng của phần tử
trong hệ tọa độ địa phương:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
)e(
2
)e(
1
)e(
2
)e(
1
ee
ee
f
f
u
u
kk
kk
  
)e(
2
)e(
1
)e(
2
)e(
1)e(
f
f
u
u
k
Lực 
đầu 
nút
8/29/2016 36
Từ đồ thị:
)e(
1u
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
)e(
2u

1
2 2
1

)e(
1U
)e(
2U
)e(
3U
)e(
4U
Toạ độ địa phương
Toạ độ chungu
U1
U2
..........................................
sinUcosUu )e(2
)e(
1
)e(
1   
)e(
1u
78/29/2016 37
Và trong hệ toạ độ chung:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
  )e(
)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
F
F
F
F
F
U
U
U
U
K 
Ma trận 
độ 
cứng 
toàn hệ
Ma trận 
chuyển vị
Ma trận lực 8/29/2016 38
Ta có:
[R] ma trận biến đổi
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 











)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
)e(
2
)e(
1
U
U
U
U
R
U
U
U
U
sincos00
00sincos
u
u
  


sincos00
00sincos
Rwith
8/29/2016 39
Thay vào pt. cân bằng phần tử trong hệ
tọa độ địa phương:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
  



)e(
2
)e(
1
)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
ee
ee
f
f
U
U
U
U
R
kk
kk
8/29/2016 40
Nhân 2 vế cho [R]T:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   











)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
)e(
2
)e(
2
)e(
1
)e(
1
)e(
2
)e(
1
)e(
4
)e(
3
)e(
2
)e(
1
ee
eeT
F
F
F
F
sinf
cosf
sinf
cosf
f
f
sin0
cos0
0sin
0cos
U
U
U
U
R
kk
kk
R
Ma trận độ cứng 
toàn hệ
8/29/2016 41
 Quan hệ ma trận độ cứng trong hệ địa
phương & trong hệ chung:
     R
kk
kk
RK
ee
eeT
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
      RkRK )e(T 
  


sincos00
00sincos
Rwith
8/29/2016 42
Do đó:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
  
sins;coscwith
scsscs
csccsc
scsscs
csccsc
kK
22
22
22
22
e
88/29/2016 43
Với quy ước nút đầu i, nút cuối j. Chiều
dương từ i j:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 2
ij
2
ij
ij
2
ij
2
ij
ij
YYXX
YY
sin
YYXX
XX
cos
 
 
8/29/2016 44
Tổng quát cho không gian 3D:
m, n, l cosin chỉ hướng của thanh trong 3D
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
2
2
2
22
22
22
l.....
nln....
mlmnm...
lnlmll..
nlnmnnln.
mlmnmmlmnm
L
AE
K
8/29/2016 45
Bài tập: Cho hệ lò xo sau:
Xác định: Ma trận độ cứng phần tử, ma
trận độ cứng tổng, chuyển vị nút,
phản lực gối tựa.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F=50N
K1=30kN/m
K2=10kN/m
450
3001
2
3
Khớp cố định
8/29/2016 46
PHẦN 2: 
PHẦN TỬ 
THANH DÀN
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 47
Giả thiết phần tử thanh dàn:
 Thanh thẳng về mặt hình học
 Vật liệu tuân theo định luật Hooke
 Lực chỉ tác dụng tại đầu mút thanh.
 Chỉ có lực dọc trục trong thanh dàn
(hệ dàn)
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
     xx ED    
8/29/2016 48
Trong hệ tọa độ địa phương.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
x
L
1 2u1
u2
u(x)
98/29/2016 49
Hệ dàn:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
x
y
Phần tử thanh dàn
Fi
Fj
Khớp liên kết
 Không có momen
Gối
8/29/2016 50
Chú ý:
 Hệ dàn bao gồm nhiều thanh dàn
liên kết khớp với nhau. Về nguyên tắc
các thanh dàn có hệ toạ độ địa
phương KHÁC NHAU.
 Cần biến đổi các thanh dàn trong hệ
toạ độ địa phương về toạ độ chung 
để có thể áp dụng nguyên lý cộng tác
dụng.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 51
Các bước xác định phương trình cân
bằng của thanh dàn trong hệ toạ độ
chung:
Bước 1: Hàm hình dạng
Chuyển vị tại vị trí x trong thanh:
 Phổ biến chọn hàm nội suy tuyến tính:
u(x) = a + bx
Với điều kiện biên tại hai đầu mút:
u(x=0) = u1 & u(x=L) = u2
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 52
Thay vào trên ta có:
a=u1 & b= (u2 – u1)/L
Do đó: u(x) = u1 + (u2 – u1)x/L
= (1-x/L) u1 + (x/L) u2
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
    )e(
2
1
21 uN
u
u
)x(N)x(N)x(u 



L
x
)x(N;
L
x
1)x(Nwith 21 
8/29/2016 53
[N] hàm hình dạng
{u(e)} vectơ chuyển vị nút 2 đầu
nút thanh trong hệ tọa độ địa
phương.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 54
QUY ĐỔI TƯƠNG 
ĐƯƠNG LỰC 
DỌC TRỤC VỀ 
LỰC NÚT
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
10
8/29/2016 55
Công của lực nút tương đương:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
   2211
L
0
)e(
2211
L
0
ufufdx.uN).x(q
ufufdx).x(u).x(qW
Lực nút tương 
đương tại nút 1  
2
1)e(
u
u
u
Chuyển vị tịnh 
tiến tại nút 2
8/29/2016 56
Ghi chú: Gọi f1 & f2 là lực dọc trục tại 2 đầu
thanh. Gọi q là lực phân bố đơn vị theo
trục thanh:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
L
0
L
0
22
L
0
L
0
11
qdx
L
x
dxNf
qdx
L
x
1dxNf
1 2
f1
f2
q (N/m)
L
8/29/2016 57
Bước 2: Quan hệ Biến dạng - Chuyển vị bài
toán 1D:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   )e(x uN
dx
d
dx
)x(du
 
   









2
1
2
1
2
121
u
u
B
u
u
11
L
1
u
u
dx
)x(dN
dx
)x(dN
8/29/2016 58
Bước 3: Định luật Hooke
E module đàn hồi vật liệu.
Chú ý:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
     xx ED    
EE
A/F
L
dl
L
E.A
F
dl xx

  
Định luật Hooke trong SBVL
8/29/2016 59
Bước 4: Ma trận độ cứng và vectơ lực
nút trong hệ toạ độ địa phương:
ds vi phân tiết diện thanh
A tiết diện thanh
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
        



11
11
L
AE
dx11
1
1
ds
L
E
dVBDBk
L
0S
2
T
V
)e(
8/29/2016 60
Bước 5: Thiết lập ma trận độ cứng toàn
hệ sau khi đã biến đổi ma trận độ cứng
phần tử thanh dàn từ hệ tọa độ địa
phương thành hệ tọa độ chung.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
     
    ]1[FUK
FF&KK )e()e(
 
Ma trận độ cứng phần tử 
trong hệ tọa độ chung
11
8/29/2016 61
Bước 6: Bổ sung điều kiện biên và
giải hệ phương trình [1] xác định
chuyển vị nút.
Bước 7: Dùng kết quả chuyển vị
nút Bước 6 xác định nội lực
thanh.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 62
Bài tập: Hãy dùng phương pháp
khi thiết lập ma trận độ cứng của
lò xo suy ra lập ma trận độ cứng
của thành dàn đơn.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
F
F
k
8/29/2016 63
HỆ THANH
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 64
Xét ví dụ sau giới thiệu các bước xác định
hệ phương trình cho toàn hệ thống:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
X
Y (1)
(2)
1
3
2
F3x
F3y
1
2 (2)
U3
U4
U5
U6
U1
U2
U5
U6
(1)
8/29/2016 65
Xét ví dụ sau giới thiệu các bước xác định
hệ phương trình cho toàn hệ thống:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
X
Y (1)
(2)
1
3
2
F3x
F3y
1
2
U5 
F1
F2
f3
(1)F3
F4
f3
(2)
F5
F6
8/29/2016 66
Trong hệ tọa độ địa phương:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
f1
(1)
f3
(2)
2
1
f3
(1)
f1
(1)
(1)
(2)
12
8/29/2016 67
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
Chuyển vị 
trong hệ tọa 
độ chung
Chuyển vị nút 
phần tử 1
Chuyển vị nút 
phần tử 2
1 1 0
2 2 0
3 0 1
4 0 2
5 3 3
6 4 4
8/29/2016 68
Ma trận độ cứng phần tử [1] trong hệ toạ độ
chung:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
)1(
44
)1(
43
)1(
42
)1(
41
)1(
34
)1(
33
)1(
32
)1(
31
)1(
24
)1(
23
)1(
22
)1(
21
)1(
14
)1(
13
)1(
12
)1(
11
)1(
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
K
1 2 5 6
1
2
5
6
PTử 1
8/29/2016 69
Ma trận độ cứng phần tử [2] trong hệ toạ độ
chung:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
)2(
44
)2(
43
)2(
42
)2(
41
)2(
34
)2(
33
)2(
32
)2(
31
)2(
24
)2(
23
)2(
22
)2(
21
)2(
14
)2(
13
)2(
12
)2(
11
)2(
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
K
3 4 5 6
3
4
5
6 8/29/2016 70
Ma trận độ cứng toàn hệ:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
)2(
44
)1(
44
)2(
43
)1(
43
)2(
42
)2(
41
)1(
42
)1(
41
)2(
34
)1(
34
)2(
33
)1(
33
)2(
32
)2(
31
)1(
32
)1(
31
)2(
24
)2(
23
)2(
22
)2(
21
)2(
14
)2(
12
)2(
12
)2(
11
)1(
24
)1(
23
)1(
22
)1(
21
)1(
14
)1(
13
)1(
12
)1(
11
kkkkkkkk
kkkkkkkk
kkkk00
kkkk00
kk00kk
kk00kk
K
1 2 3 4 5 6
8/29/2016 71
Hệ phương trình toàn hệ:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 






6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
F
F
F
F
F
F
U
U
U
U
U
U
K
Ma trận độ cứng 
toàn hệ
Chuyển vị toàn hệ
Lực nút toàn hệ
8/29/2016 72
Các điều kiện biên:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
Y36X35
4321
FF;FF
0UUUU
13
8/29/2016 73
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
X
Y (1)
(2)
1
32
F3x
F3y
1
2
Điều kiện biên về chuyển vị 
và ngoại lực tác dụng tại nút
8/29/2016 74
Thay vào ta có:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 






Y3
X3
4
3
2
1
6
5
F
F
F
F
F
F
U
U
0
0
0
0
K
Giải ra có U5
& U6
8/29/2016 75
Thay vào ta có:
 Giải hệ phương trình thứ 5 & 6 xác định
U5 & U6
 Có U5 & U6 xác định các chuyển vị
trong hệ toạ độ địa phương:
Ví dụ phần tử [1]:
u1
(1) =U1cos + U2sin
u2
(1) =U5cos + U6sin
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 76
 Có biến dạng dọc trục u xác định :
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
)1(
)1(
1
)1(
2)1(
L
uu 
 
Biến dạng 
dọc trục 
phần tử (1)
Chuyển vị tại nút 
2 của phần tử (1)
)1(
1
)1( E  
Ứng suất 
trong phần 
tử (1)
Module đàn hồi
8/29/2016 77
 Xác định lực dọc trục f trong hệ tọa
độ địa phương (ví dụ phần tử [1]):
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn






)1(
2
)1(
1
11
11
)1(
2
)1(
1
u
u
kk
kk
f
f
Lực dọc trục tại 2 nút 
phần tử [1]
8/29/2016 78
NGOÀI RA
 Có U5 & U6 dùng các phương
trình 1, 2, 3, 4 xác định các lực
F1, F2, F3 , F4 (các phản lực tại gối
tựa 1 và 2).
 Cũng có thể xác định các nội lực
thanh từ phương trình cân bằng
nút.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
14
8/29/2016 79
Bài tập 1: Cho kết cấu sau thanh có (A,E):
 Xác định ma trận độ cứng phần tử (điạ
phương chung).
 Xác định ma trận độ cứng toàn hệ (chung).
 Tìm chuyển vị nút (ẩn số bài toán PTHH).
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
L/3 2L/3
P(1) (2)
1 2 3
Ngàm
8/29/2016 80
Bài tập 2: Cho kết cấu sau:
 Quy đổi lực phân bố về
lực nút tương đương
 Xác định ma trận độ cứng phần tử
 Xác định ma trận độ cứng toàn hệ
 Tìm chuyển vị nút
 Phản lực gối tựa
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
(1)
(2)
(A,E,L)
(A,E,L) p
1
2
3
8/29/2016 81
Bài tập 3: Cho kết cấu sau:
 Xác định ma trận độ cứng phần tử
 Xác định ma trận độ cứng toàn hệ
 Tìm chuyển vị nút
 Phản lực gối tựa R
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
L/2 L/2
(1) (2)
T
x
8/29/2016 82
Bài tập 4: Cho kết cấu sau:
 Xác định ma trận độ cứng phần tử
 Xác định ma trận độ cứng toàn hệ.
 Xác định chuyển vị nút.
 Xác định phản lực gối.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
(A1, E1,L1)
(1) (2)
(A2, E2,L2)
(A3, E3,L3)
(3)F1 F2
8/29/2016 83
Bài tập 5: Cho kết cấu sau:
 Tính chuyển vị nút 2.
 Tính lực dọc trong thanh 1-2 và 2-3.
 Dùng p/p cân bằng nút 2, tính lực dọc thanh và
so sánh với kết quả trên.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
1
2
3
(2)
(1)
(3) L2,A22 L,A
 L,A
P
8/29/2016 84
Bài tập 6: Cho kết cấu sau:
Thiết lập ma trận độ cứng phần tử & tổng.
Tính chuyển vị nút 3 và lực dọc trong các
thanh. Kiểm tra kết quả bằng p/p tách nút 3.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
21
(2)(1)
 L,A L,A
3
450
1350
Fx3=50KN
Fy3=20KN
X
Y
O
15
8/29/2016 85
Bài 7: Cho kết cấu sau:
Lập ma trận độ cứng.
Chuyển vị nút 2
và lực dọc trong
các thanh?
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 2L,E,A
 L,E,A
 L,E,A
1 2
3
4
(1)
(2)
(3) P
8/29/2016 86
Bài 8: Cho kết cấu sau:
Lập ma trận độ cứng.
Chuyển vị nút 2.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 L,E,A
 L,E,A
 L,E,A
1
2
3 4
(2)
(1)
(3)P
8/29/2016 87
Bài 9: Cho kết cấu sau:
Lập ma trận độ cứng.
Chuyển vị nút 2 (u,v).
Lực dọc trong lò xo
& thanh.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
k
 L,E,A
3
2
1
(1)
(2)
P
X
Y
450
8/29/2016 88
Bài 10: Cho kết cấu sau:
Lập ma trận độ cứng ?
Chuyển vị nút ?
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
P=0.5T
P
E=2.106 kG/cm2, A=25cm2
L=2m L=2m
L=1m
1
2
3
4
5
6
8/29/2016 89
Hướng dẫn
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
8/29/2016 90
Bài 1:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
  
11
11
L
AE3
K )1(  
11
11
L
AE3
K )1(
  
11
11
L2
AE3
K )2(
 
2/12/10
2/12/31
011
L2
AE3
K
16
8/29/2016 91
Bài 1:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
    FuK 









3
1
3
2
1
3
2
1
F
P
F
F
F
F
0u
u
0u
2/12/10
2/12/31
011
L
AE3
Đ/k biên
AE9
PL2
u2 
8/29/2016 92
 Xác định lực dọc trục f trong hệ tọa độ
địa phương (ví dụ phần tử [1]):
 Tương tự tính F3.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 





AE9
PL2
0
11
11
L
AE3
f
f
)1(
2
)1(
1
3
P2
Ff 1
)1(
1 
8/29/2016 93
Bài 2:
Vectơ tải nút trên phần tử:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
    
11
11
L
AE
KK )2()1(
2
qL
2
qL
qdx
L
x
qdx
L
x
1
FF
L
0
L
0)2()1(
8/29/2016 94
Bài 2: Ma trận độ cứng tổng & chuyển vị:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
110
121
011
L
AE
K
AE/qLu&AE2/qL3u
0
0
R
2/qL
qL
2/qL
F
F
F
u
u
0u
110
121
011
L
AE
2
3
2
2
3
2
1
3
2
1












8/29/2016 95
Bài 3:
Vectơ tải nút trên phần tử:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
  
11
11
L
AE3
K )1(
    
11
11
L
AE2
KK )2()1(
4/TL
4/TL
Tdx
L
x
Tdx
L
x
1
F;
0
0
dx0
L
x
dx0
L
x
1
F
2/L
0
2/L
0)2(
L
0
L
0)1(
8/29/2016 96
Bài 3: Ma trận độ cứng tổng & chuyển vị:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
 
110
121
011
L
AE2
K
AE/TL375.0u&AE/TL25.0u
0
0
R
4/TL
4/TL
0
F
F
F
u
u
0u
110
121
011
L
AE2
2
3
2
2
3
2
1
3
2
1












17
8/29/2016 97
Bài 4:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
  3,2,1i;
11
11
L
EA
K
i
ii)i( 
 
3
33
3
33
3
33
3
33
2
22
2
22
2
22
2
22
1
11
1
11
1
11
1
11
L
EA
L
EA
00
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
0
0
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
00
L
EA
L
EA
K
8/29/2016 98
Bài 5:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   
 
1010
0000
1010
0000
L
AE
K
1111
1111
1111
1111
L
AE
K;
0000
0101
0000
0101
L
AE
K
)3(
)2()1(
8/29/2016 99
Bài 5:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
AE/PL2v&AE/PLu
P
0
v
u
11
12
L
AE
22
2
2






PR&PR
0R&PR
y3x3
y1x1
8/29/2016 100
Bài 6:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   
1111
1111
1111
1111
L2
AE
K;
1111
1111
1111
1111
L2
AE
K )2()1(
8/29/2016 101
Bài 6:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn



kN20F
kN50F
F
F
F
F
v
u
0v
0u
0v
0u
201111
021111
111100
111100
110011
110011
L2
AE
y3
x3
y2
x2
y1
x1
3
3
2
2
1
1
8/29/2016 102
Bài 6:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
2
FF
T;
2
FF
T
;F
AE
L
v;F
AE
L
u
y3x3
32
y3x3
31
y33x33
18
8/29/2016 103
Bài 7:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   
 
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
L
AE
K
1010
0000
1010
0000
L2
AE
K;
0000
0101
0000
0101
L
AE
K
)3(
)2()1(
8/29/2016 104
Bài 7:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
AE
PL
7928.0v;
AE
PL
2071.0u
P
0
v
u
22
1
1
22
1
22
1
22
1
1
L
AE
22
2
2



8/29/2016 105
Bài 8:
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
   
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
L
AE
K
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
L
AE
K;
1010
0000
1010
0000
L
AE
K
)3(
)2()1(
8/29/2016 106
Bài 8: Bổ sung các điều kiện biên 
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
AE
PL
v;0u
P
0
v
u
10
01
L
AE
22
2
2



8/29/2016 107
Bài 10: u1 = v1 =u2 = v2 =0
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn
EA/P77.6900v;EA/P62.1014u
EA/P23.6853v;EA/P38.985u
EA/P18.2741v;EA/P83.804u
EA/P83.2694v;EA/P17.795u
66
55
44
33
8/29/2016 108
HẾT
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 7: Phần tử lò xo & thanh dàn