Bài giảng Trắc địa - Đàm Xuân Hoàn

 4 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
TRƯỜNG ðẠI HỌC NễNG NGHIỆP I 
TS. ðÀM XUÂN HOÀN 
TRẮC ðỊA 
(Giỏo trỡnh cho ngành ðịa chớnh & Quản lý éất ủai) 
Hà nội – 2007 
 5 
Ch−ơng 1 
Những kiến thức chung về trắc địa 
1.1. Đối t−ợng và nhiệm vụ của trắc địa 
 Trắc địa là một khoa học nghiên cứu hình dạng, kích th−ớc trái đất và biểu diễn bề mặt 
trái đất d−ới dạng bình đồ hoặc bản đồ. Ngoài ra trắc địa còn giải quyết hàng loạt các vấn đề 
trong đo đạc các công trình nh− chuyển bản thiết kế ra thực địa, quan sát độ lún, biến dạng các 
công trình: thủy điện, thủy lợi, xây dựng... vì đối t−ợng nghiên cứu của trắc địa rất rộng ng−ời 
ta chia trắc địa ra nhiều chuyên ngành khác nhau nh−: 
 Trắc địa cao cấp: Nghiên cứu hình dạng, kích th−ớc trái đất, nghiên cứu việc xây 
dựng l−ới trắc địa quốc gia, nghiên cứu hiện t−ợng địa động học, giải các bài toán trắc địa trên 
bề mặt trái đất và trong vũ trụ. 
 Trắc địa công trình: Nghiên cứu việc khảo sát, tham gia thiết kế, thi công các công 
trình, quan sát độ lún, biến dạng của các công trình.... 
 Trắc địa ảnh: nghiên cứu việc xây dựng bản đồ bằng ảnh máy bay, ảnh mặt đất, ảnh 
vệ tinh, dùng ảnh thay thế cho các ph−ơng pháp truyền thống để quan sát độ lún và biến dạng 
của các công trình xây dựng. 
 Ngày nay xu h−ớng chung ng−ời ta gọi các ngành: trắc địa, bản đồ, viễn thám là 
Geometics. Ng−ời ta coi Geometics gồm kiến thức của các môn trắc địa cao cấp, trắc địa công 
trình, trắc địa ảnh viễn thám, biên tập bản đồ, hệ thống thông tin đất, tin học. 
 Trong ch−ơng trình môn học này chúng ta nghiên cứu những kiến thức cơ bản của môn 
trắc địa phổ thông. Phạm vi nghiên cứu là đo đạc trên phạm vi nhỏ của bề mặt trái đất. Các số 
liệu đo đạc (chiều dài, góc...) đ−ợc tiến hành trên mặt phẳng và biểu diễn chúng lên mặt phẳng 
(không tính đến ảnh h−ởng độ cong của bề mặt trái đất). Vì vậy nhiệm vụ cơ bản của môn học 
này là trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về trắc địa trên mặt phẳng, biết cách xây 
dựng bình đồ, bản đồ để từ đó giúp sinh viên vận dụng kiến thức của mình vào lĩnh vực 
chuyên môn trong ngành quản lý và quy hoạch đất đai. 
1.2 Các đơn vị th−ờng dùng trong trắc địa 
 Trong trắc địa th−ờng phải đo các đại l−ợng hình học nh− chiều dài, góc bằng, góc 
đứng... và các đại l−ợng vật lý nh−: nhiệt độ, áp xuất.... 
1.2.1 Đơn vị đo chiều dài 
 Năm 1791 tổ chức đo l−ờng quốc tế lấy đơn vị đo chiều dài trong hệ thống SI là mét 
với quy định: "Một mét là chiều dài ứng với 4.10-7 chiều dài của kinh tuyến đi qua Paris" và đ_ 
chế tạo ra một th−ớc chuẩn có độ dài 1m bằng thép không gỉ, có độ gi_n nở rất nhỏ đặt tại 
Viện đo l−ờng Paris. 
 Từ sau thế kỷ 19, độ chính xác của th−ớc chuẩn không còn đáp ứng đ−ợc yêu cầu đo 
l−ờng các phân tử vô cùng nhỏ. Vì thế năm 1960 quy định đơn vị đo chiều dài là: "Một mét là 
chiều dài bằng 1.650.763,73 chiều dài của b−ớc sóng bức xạ trong chân không của nguyên tử 
Kripton - 86, t−ơng đ−ơng với quỹ đạo chuyển rời của điện tử giữa 2 mức năng l−ợng 2P10 và 
 6 
5d5". 1 mét (m) = 10 decimét (dm) = 10
2 centimet (cm) = 103 milimet (m.m) = 106 micromet 
(àm) = 109 nanomét (Nm). 
 Đơn vị đo diện tích th−ờng dùng là mét vuông (m2), kilomét vuông (km2) và hecta (ha). 
 1 km2 = 106 m2 = 100 ha, 1 ha = 104m2 
 Ngoài ra một số n−ớc còn dùng đơn vị đo chiều dài của Anh là: 
 1foot = 0,3048m, 1inch = 25,3 mm 
1.2.2. Đơn vị đo góc 
 Trong trắc địa th−ờng dùng 3 đơn vị đo góc là: Radian, độ, Grad. 
 1- Radian: Ký hiệu là Rad là 1 góc phẳng có đỉnh trùng với tâm của 1 vòng tròn và 
chắn 1 cung trên đ−ờng tròn với chiều dài cung tròn đúng bằng bán kính của đ−ờng tròn đó. 
 Độ lớn của góc bất kỳ sẽ bằng tỷ số giữa độ dài cung chắn bởi góc và bán kính vòng 
tròn. 
 Góc tròn là góc ở trên đ−ờng tròn chắn cung tròn có chiều dài bằng chu vi hình tròn. 
Chu vi hình tròn có chiều dài là: 2piR nên góc tròn có độ lớn là: 2piRad. Radian là đơn vị đo 
góc đ−ợc dùng trong tính toán, đặc biệt là khi sử dụng các ph−ơng pháp nội suy các giá trị 
hàm l−ợng giác. 
 2. Độ: ký hiệu là (o) là góc ở tâm đ−ờng tròn chắn 1 cung tròn có chiều dài bằng 1/360 
chu vi hình tròn. 1độ chia thành 60 phút, 1 phút chia thành 60 giây, ký hiệu là: 0 ' " 
 Ví dụ: góc đ−ợc viết A = 120025'42'' 
 Tuy nhiên góc đó có thể viết bằng độ, phút và phần m−ời phút. Góc trên có thể viết là: 
A = 120o25'7 
 3. Grad: ký hiệu là Gr là góc ở tâm chắn cung tròn có độ dài bằng 1/400 chu vi đ−ờng 
tròn. 1 Grad chia thành 100 phút Grad (miligrad), 1 phút Grad chia thành 100 giây Grad 
(decimiligrad), ký hiệu t−ơng ứng là: c, cc 
 Ví dụ: Góc B = 172gr 12c 27cc 
 4. Quan hệ giữa các đơn vị: 
 Từ định nghĩa ba loại đơn vị đo góc, ta có quan hệ: 
 1 góc tròn = 2piRad = 360o = 400 gr 
Từ đó suy ra các quan hệ để chuyển đổi các đơn vị đo góc. Khi tính toán 
 2pi Rad = 360o suy ra: αRad = αo
180
pi
 αo = αRad 
pi
180
Đặt các hệ số: 
 ρo = 
pi
0180
= 57o17'44''8 
 7 
 ρ' = 
pi
60x180
= 3438' 
 ρ'' = 
pi
60x60x180
= 206265'' 
 T−ơng ứng với công thức trên ta có công thức chuyển đổi giữa độ và Radian: 
 αo = ρo. αRad 
 α' = ρ'. αRad 
 α'' = ρ''. αRad 
 Trong các bài toán kỹ thuật khi tính toán giá trị các hàm số l−ợng giác của các góc nhỏ 
có thể dùng quan hệ t−ơng đ−ơng, nghĩa là chỉ lấy số hạng bậc nhất trong công thức khai triển 
hàm l−ợng giác thành chuỗi số. 
 sin ε = ε + .......
!5!3
53
ε≈+
ε
+
ε
 tg ε = ε + .......
!5!3
53
ε≈+
ε
+
ε
 Nghĩa là giá trị góc nhỏ tính bằng giây đ−ợc lấy bằng giá trị góc tính bằng Radian. 
 1'' ≈ sin 1'' ≈ 
''206265
Rad''1
 = 0,00000 4848 Rad 
 Ví dụ: Có 1 góc nhỏ α = 15'' chắn 1 cung tròn có bán kính R = 1000m. Ta có thể suy 
ra chiều dài cung tròn chắn bởi cung đó là: 
 C= R.
ρ
α ''
 = 1000000 mm 
''206265
''15
= 72,7mm 
1.3. Khái niệm về các mặt đặc tr−ng cho hình dạng của Trái đất 
 Khi nghiên cứu hình dạng trái đất ng−ời ta thấy rằng trái đất có dạng elíp quay, dẹt ở 2 
cực, bề mặt tự nhiên của trái đất rất phức tạp. Diện tích bề mặt trái đất là: 510575.103 km2 
trong đó đại d−ơng chiếm 71,8%, lục địa chiếm 28,2%. Độ cao trung bình của lục địa so với 
mực n−ớc đại d−ơng khoảng gần 900m. Nh− vậy bề mặt hình học trái đất không thể biểu diễn 
bằng một ph−ơng trình toán học nào đ−ợc. Tuy nhiên trong một số tr−ờng hợp tính toán gần 
đúng ng−ời ta coi trái đất có dạng hình cầu, bán kính là: 6371 km. 
 Trong đo vẽ bản đồ các số liệu đo đạc đ−ợc tiến hành trên mặt cong, khi biểu diễn 
chúng lại thực hiện trên mặt phẳng. Để xử lý các số liệu đo đạc ng−ời ta đ−a ra các loại mặt 
dùng trong trắc địa nh− sau: 
1.3.1. Mặt Geoid và Kvazigeoid. 
 1. Mặt Geoid 
 Mặt Geoid là bề mặt trái đất giới hạn bởi mặt đẳng thế đi qua điểm tính độ cao. Việc 
 8 
 xác định mặt Geoid đ−ợc xác định gần với mực n−ớc biển trung bình. Thế trọng tr−ờng tại 
Geoid đ−ợc viết là: Wo. 
 2. Mặt Kvazigeoid 
 Vì những biến đổi phức tạp của giá trị trọng tr−ờng, để xác định chính xác Geoid ngoài 
các trị đo trắc địa trên bề mặt trái đất còn cần có hiểu biết đầy đủ về cấu tạo của trái đất, đây 
là điểm không dễ làm đ−ợc. Viện sĩ Nga Molodenxki đ−a ra lý thuyết xác định mặt gần với 
mặt Geoid, ở đồng bằng chỉ chênh lệch so với Geoid từ 2 đến 4 cm, vùng núi chênh không quá 
2m và đ−ợc gọi là mặt Kvazigeoid. Nhiều n−ớc trên thế giới trong đó có Việt Nam dùng mặt 
Kvazigeoid làm mặt cơ sở để xác định độ cao quốc gia gọi là độ cao th−ờng(1). 
1.3.2. Mặt Ellipsoid trái đất và mặt Ellipsoid quy chiếu 
 1. Mặt Ellipsoid trái đất 
 Nh− ta đ_ biết mặt Geoid hoặc Kvazigeoid là khối đại diện cho tính chất vật lý của 
Trái đất. Nó có liên quan chặt chẽ đến trị đo trắc địa nh−ng không thể dùng làm cơ sở để xử lý 
toán học các trị đo trắc địa vì không thể dùng ph−ơng trình toán học nào để biểu thị mặt đó 
đ−ợc (mặt không có ph−ơng trình toán học). 
 Từ lý thuyết về khối chất lỏng quay quanh trục, ng−ời ta nghĩ đến việc biểu diễn toán 
học của Trái đất phải là 1 khối Ellip quay, dẹt ở 2 cực gọi là Ellipsoid trái đất. Bởi vì mặt 
Ellipsoid là mặt toán học, nên để thực hiện các tính toán trên mặt này trong Trắc địa cao cấp 
đ_ xây dựng các công thức quy chiếu các trị đo (góc, chiều dài...) lên mặt này. 
 Khối Ellip có trọng tâm và xích đạo trùng với trọng tâm và xích đạo của trái đất, có 
khối l−ợng bằng khối l−ợng trái đất quay quanh trục tạo ra bề mặt gần với mặt Geoid trên 
phạm vi toàn cầu gọi là Ellipsoid chung hay Ellipsoid trái đất. Kích th−ớc của Ellipsoid trái 
đất đ−ợc đặc tr−ng bởi bán trục lớn a, bán trục nhỏ b, độ dẹt f. 
 f= 
a
ba −
Hình 1.1 
1 * Ngoài độ cao th−ờng còn có độ cao chính, độ cao động lực 
b 
a 
 9 
 Có nhiều nhà khoa học trên thế giới xác định kích th−ớc Ellipsoid (bảng 1.1). 
 Bảng 1.1 
Tên Ellip soid Năm xác định Bán trục lớn a (m) Độ dẹt f 
Everest 
Hayford 
Karaxovski 
Reference 
W.G.S-84 
1830 
1909 
1940 
1967 
1984 
6.377.276 
6.378.286 
6.378.245 
6.378.100 
6.378.137 
1:300,80 
1: 297,00 
1: 298,3 
1: 298,25 
1: 298,257 
 2. Mặt Ellipsoid quy chiếu 
 Tr−ớc khi có Ellipsoid chung do yêu cầu xử lý toán học của mỗi quốc gia tính ra 
Ellipsoid cho phù hợp với l_nh thổ của n−ớc mình, có thể dùng Ellip soid của n−ớc khác 
nh−ng cả 2 tr−ờng hợp đ−ợc định vị cho phù hợp nhất với Geoid của l_nh thổ n−ớc mình. Ellip 
soid đ−ợc sử dụng riêng của từng n−ớc gọi là Ellip soid quy chiếu. Trong hệ toa độ HN-72 
Việt Nam lấy Ellipsoid Kraxovski (1940) làm Ellip soid quy chiếu. Hiện nay Việt Nam có hệ 
tọa độ mới VN-2000 lấy Ellip soid W.G.S-84 làm Ellip soid quy chiếu. Gốc tọa độ đặt tại 
khuôn viên Viện nghiên cứu Địa chính trên đ−ờng Hoàng Quốc Việt - Hà Nội. 
1.4. Độ cao tuyệt đối, t−ơng đối, chênh cao 
 Để nghiên cứu bề mặt gồ ghề của trái đất phục vụ cho việc xây dựng các công trình: 
thủy lợi, thủy điện, giao thông, xây dựng.... và nghiên cứu bề mặt trái đất ng−ời ta đ−a ra các 
định nghĩa về độ cao. 
1.4.1. Định nghĩa 
 Độ cao của một điểm là khoảng cách thẳng đứng từ điểm đó đến mặt thủy chuẩn. 
 Mặt thủy chuẩn: mặt thủy chuẩn là mặt có ph−ơng vuông góc với đ−ờng dây dọi tại 
mọi điểm. 
 Nh− vậy, về định nghĩa trên bề mặt trái đất có vô số mặt thủy chuẩn. Cứ qua 1 điểm 
trên bề mặt Trái đất có 1 mặt thủy chuẩn đi qua. Để phân biệt các mặt thủy chuẩn ng−ời ta 
phân chúng thành 2 loại: 
 Mặt thủy chuẩn đại địa: 
 Mặt thủy chuẩn đại địa là mặt n−ớc biển, đại d−ơng ở trạng thái trung bình, yên tĩnh. 
Đó cũng chính là mặt Kvazigeoid. 
 Mặt thủy chuẩn giả định: 
 Mặt thủy chuẩn giả định là mặt thủy chuẩn đi qua một điểm bất kỳ. Điểm này đ−ợc giả 
định độ cao gọi là độ cao giả định. 
 10 
1.4.2. Độ cao tuyệt đối 
 Độ cao tuyệt đối của 1 điểm là khoảng cách thẳng đứng từ điểm đó đến mặt thủy 
chuẩn đại địa. Độ cao này đ−ợc gọi là độ cao th−ờng. Điểm gốc độ cao có độ cao là 0m. Việt 
Nam lấy mực n−ớc biển trung bình tại Trạm nghiệm triều Hòn Dấu - Đồ Sơn - Hải Phòng làm 
điểm độ cao gốc. Độ cao đ−ợc ghi trên bản đồ là độ cao tuyệt đối. 
1.4.3. Độ cao t−ơng đối 
 Độ cao t−ơng đối của một điểm là khoảng cách thẳng đứng từ điểm đó đến mặt thủy 
chuẩn giả định gọi là độ cao giả định. 
 Để phục vụ việc nghiên cứu bề mặt trái đất, phuc vụ việc xây dựng các công trình thủy 
lợi, thủy điện, giao thông... trong phạm vi l_nh thổ của một n−ớc ng−ời ta đ_ xây dựng l−ới độ 
cao gồm nhiều cấp, gọi là l−ới độ cao Nhà n−ớc. 
 Tuy nhiên các điểm độ cao Nhà n−ớc vẫn rất th−a thớt không đáp ứng đ−ợc cho tất cả 
các công trình. Vì vậy trên khu vực nhỏ khi xây dựng các công trình ng−ời ta có thể tính toán 
theo đơn vị độ cao t−ơng đối (độ cao giả định). 
 Khi muốn chuyển độ cao t−ơng đối về độ cao tuyệt đối ng−ời ta phải đo nối độ cao 
(đ−ợc trình bày trong ch−ơng 2 của giáo trình này). 
1.4.4. Chênh cao 
 Chênh cao là hiệu độ cao của 2 điểm. 
Giả sử điểm A có độ cao là HA, điểm B có 
độ cao là HB (hình 1.2). Chênh cao của 2 
điểm A và B là: 
 hAB = HB - HA 
 Nếu độ cao điểm B lớn hơn độ cao của điểm A thì hAB > 0 
 Nếu độ cao của điểm B nhỏ hơn độ cao của điểm A thì hAB < 0 
 Nh− vậy chênh cao có dấu. 
 Khi biết độ cao của điểm A là HA, biết chênh cao hAB ta có thể tính đ−ợc độ cao của 
điểm B là: 
 HB = HA + hAB 
 Chênh cao hAB đ−ợc xác định bằng nhiều ph−ơng pháp khác nhau: ph−ơng pháp đo cao 
hình học, ph−ơng pháp đo cao l−ợng giác, ph−ơng pháp đo cao bằng thiết bị GPS (Global 
Positioning System)... (đ−ợc trình bày ở ch−ơng 2). 
1.5. Bình độ, bản đồ và mặt cắt 
1.5.1. Bình đồ 
 Bình đồ là hình chiếu thu nhỏ của 1 phần nhỏ bề mặt trái đất lên giấy theo một tỷ lệ 
nhất định (không tính đến ảnh h−ởng độ cong của bề mặt trái đất). 
Hình 1.2 
 11 
 Nh− ta đ_ biết để phục vụ các mục đích khác nhau. Ví dụ khi cần khảo sát, thiết kế 
một khu vực nhỏ ng−ời ta cần biểu diễn các yếu tố (nh− địa hình, địa vật) lên trên giấy theo 
một tỷ lệ nhất định. Khi đó ng−ời ta coi bề mặt trái đất trong khu vực đo vẽ là phẳng. Các yếu 
tố đo đạc (chiều dài, góc...) đ−ợc xác định coi nh− xác định trên mặt phẳng và khi biểu diễn 
chúng cũng đ−ợc tiến hành trên mặt phẳng, vì vậy không có sự biến dạng. Các yếu tố đ−ợc 
biểu thị theo một tỷ lệ nhất định gọi là tỷ lệ bình đồ. Tỷ lệ bình đồ th−ờng lớn: tỷ lệ 1:500, 
1:1000, 1:2000. Bình đồ th−ờng biểu diễn 1 khu vực nhỏ, ở đó th−ờng không có điểm tọa độ, 
độ cao Nhà n−ớc. Tọa độ và độ cao trên bình đồ th−ờng là giả định. Thực tế cho thấy một khu 
vực có diện tích khoảng 20km2 ng−ời ta có thể biểu diễn nó d−ới dạng bình đồ, ngoài phạm vi 
đó phải biểu diễn d−ới dạng bản đồ. 
1.5.2. Bản đồ 
 Bản đồ là hình chiếu thu nhỏ của một phần hay toàn bộ trái đất lên giấy theo một tỷ lệ 
nhất định (có tính đến ảnh h−ởng độ cong của bề mặt trái đất). 
 Vì vậy điểm khác nhau cơ bản giữa bình đồ và bản đồ là ở chỗ các yếu tố đo đạc trên 
bình đồ đ−ợc coi nh− đo trên mặt phẳng và việc biểu diễn nó cũng đ−ợc tiến hành trên mặt 
phẳng, coi nh− không có sự biến dạng. Còn trong bản đồ các yếu tố đo đạc đ−ợc thực hiện trên 
mặt cong, khi biểu diễn chúng lại tiến hành trên mặt phẳng vì vậy không thể tránh đ−ợc sự 
biến dạng. Do đó ng−ời ta phải tính toán sự biến dạng đó bằng cách chiếu các yếu tố đo (khi 
xây dựng l−ới tọa độ, độ cao Nhà n−ớc) lên mặt Ellipsoid quy chiếu, từ mặt Ellipsoid quy 
chiếu đ−ợc chiếu lên mặt phẳng trung gian (mặt nón hoặc mặt trụ). Từ mặt trung gian đó trải 
ra mặt phẳng. Qua quá trình thực hiện phép chiếu ng−ời ta tính toán số hiệu chỉnh về góc và 
chiều dài. Hệ thống tọa độ, độ cao trong đo vẽ bản đồ đ−ợc thống nhất trong từng quốc gia. 
Bản đồ Việt Nam tr−ớc đây đ−ợc thống nhất trong 1 hệ tọa độ HN-72, Ellip soid quy chiếu là 
Ellipsoid Kraxovski. Hiện nay Việt Nam đang sử dụng hệ tọa độ VN-2000, Ellip soid quy 
chiếu là Ellip soid W.G.S-84. 
 Bản đồ đ−ợc chia làm 2 loại đó là bản đồ địa lý chung và bản đồ chuyên đề. Tỷ lệ bản 
đồ theo mục đích sử dụng, bản đồ có tỷ lệ 1/200, 1/500, 1/1.000, 1/1.000.000... 
1.5.3. Mặt cắt địa hình 
 Khi khảo sát các tuyến đ−ờng m−ơng máng ngoài bình đồ hoặc bản đồ còn phải lập 
mặt cắt dọc và ngang tuyến. Mặt cắt phục vụ cho việc thiết kế, tính toán khối l−ợng đào đắp... 
khác với bình đồ, bản đồ biểu diễn mặt đất trên mặt phẳng ngang, còn mặt cắt địa hình là hình 
chiếu của mặt cắt dọc  ... h (7.57) viết ở dạng ma trận: 
 V = AX + L (7.59) 
 T−ơng ứng với một trị đo của tổng hiệu số độ cao sẽ có một ph−ơng trình số hiệu 
chỉnh, do đó có 5 ph−ơng trình số hiệu chỉnh của các trị đo. Trong 5 ph−ơng trình này có chứa 
hai ẩn số là số hiệu chỉnh của ẩn số. Số l−ợng ph−ơng trình là n luôn lớn hơn số ẩn số là t 
(n>t). 
 Hệ ph−ơng trình (7.59) với các số liệu đ_ có ở (7.58) sẽ là: 
















=
5
4
3
2
1
V
V
V
V
V
V ; 
















−=
10
10
11
01
01
A ; 





=
y
x
X δ
δ
; 
















−
−=
12
0
32
20
0
L 
5. Để giải hệ ph−ơng trình (7.59) phải thành lập hệ ph−ơng trình chuẩn: 
 RX + b = 0 (7.60) 
 Trong hệ (7.60), thì: 
 R = ATPA 
 b = ATPL (7.61) 
 ở đây R = ATPA là ma trận chuẩn 
 b = ATPL là vectơ số hạng tự do của hệ ph−ơng trình chuẩn. 
 AT là ma trận chuyển vị của ma trận A 
 P là ma trận trọng số 
 Vectơ nghiệm X đ−ợc xác định: 
 X = -R-1b (7.62) 
 Trong hệ (7.62) thì R-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận chuẩn R 
 Ma trận chuyển vị AT của ma trận A: 
 




 −
=
11100
00111TA 
 Ma trận trọng số P: 
















=
50,20000
000,2000
0082,100
00050,10
000050,2
P 
 Tính ma trận chuẩn R và vectơ số hạng tự do b: 
 191 






−
−
=
















−




 −
=
















−





















 −
=
32,682,1
82,182,5
10
10
11
01
01
50,200,282,100
0082,150,150,2
10
10
11
01
01
50,20000
000,2000
0082,100
00050,10
000050,2
11100
00111
R
 





−
−
=
32,682,1
82,182,5
R 
 





−
=
















−
−




 −
=
24,88
24,88
12
0
32
20
0
50,200,282,100
0082,150,150,2
b 
 





−
=
24,88
24,88
b 
 Ma trận nghịch đảo R-1 là: 
 





=
−
82,582,1
82,132,6
47,33
11R 
 Vectơ nghiệm X đ−ợc tính: 
 




−
=





−






−=
10
12
24,88
24,88
.
82,582,1
82,132,6
47,33
1X 
 Nghiệm δx = -12mm 
 δy = 10mm 
 Thay δx,δy vào (7.57), tìm đ−ợc các số hiệu chỉnh cho các tổng hiệu số độ cao của các 
đ−ờng đo cao: 
 V1 = -12mm 
 V2 = 8mm 
 V3 = -10mm 
 V4 = 10mm 
 V5 = -2mm 
 Trị gần đúng của HQ và HT là: 
 H0Q = 70,000m + 5,974m = 75, 974m 
 H0T = 78,410m + 0,066m = 78, 410m 
6. Tính trị xác suất nhất hay trị đ_ bình sai của độ cao điểm nút HQ và HT: 
 192 
 HQ = 75,974m – 0,012m = 75,962m 
 HT = 78,410m + 0,010m = 78,420m 
7. Tính tổng hiệu số độ cao theo các đ−ờng đo đ_ đ−ợc hiệu chỉnh: 
 =1][h 5,974m – 0,012m = 5,962m 
 =2][h 7,360m + 0,008m = 7,368m 
 =3][h 2,468m – 0,010m = 2,458m 
 =4][h -0,066m +0,010m = -0,056m 
 =5][h -5,896m – 0,002m = -5,898m 
8. Đánh giá độ chính xác: 
a. Tính sai số trung ph−ơng trọng số đơn vị: 
tn
PVV
tn
pVV T
−
=
−
=
][à 
 [pVV]=2,50(-12mm)2+1,50(8mm)2+1,82(-10mm)2+2,00(10mm)2+2,50(-2mm)2 
 =848mm2 
 mm
mm 8,16
3
848 2 ±==à 
 Nếu tính à theo công thức 
tn
PVV T
−
=à sẽ có: 
 [ ]
















−
−
−
















−−−=
2
10
10
8
12
50,20000
000,2000
0082,100
00050,10
000050,2
21010812PVVT 
 [ ] 2848
2
10
10
8
12
5202,181230 mm=
















−
−
−
−−−−= 
 mm
mm 8,16
3
848 2 ±==à 
b. Tính sai số trung ph−ơng trên 1km đ−ờng đo cao: 
 mmmm
k
mkm 68,1100
18,161 ±=±== à 
 (k = 100) 
c. Tính sai số trung ph−ơng của trị độ cao điểm nút Q và T sau bình sai. 
 Tr−ớc tiên tính trọng số đảo của trị số độ cao sau bình sai của điểm nút Q và T: 
 Chúng ta có: 
 193 
 





=





=





=
17,005,0
05,019,0
82,582,1
82,132,6
47,33
1
2221
1211
QQ
QQQ 
 Trọng số đảo của độ cao điểm nút Q và T sau bình sai đ−ợc tính: 
 19,01 11 == QPQ
; 17,01 22 == QPT
 Sai số trung ph−ơng của trị độ cao sau bình sai của điểm nút Q và T đ−ợc tính theo 
công thức: 
 mm3,7mm19,08,16Qm 11Q ±=±=à= 
 mm0,7mm17,08,16Qm 22T ±=±=à= 
d. Đánh giá độ chính xác của hiệu số độ cao giữa hai điểm nút Q và T sau bình sai. 
 Lập hàm 
 F = HT = HQ = -x +y 
 Trọng số đảo của hàm F là QF đ−ợc tính theo công thức: 
 QF = f.Q.f
T 
 Ma trận đạo hàm riêng f đ−ợc tính theo đạo hàm riêng của hàm F theo các ẩn số x và y: 
 





=
∂
∂
−=
∂
∂
= 1;1
y
F
x
Ff 
 [ ];11−=f 




−
=
1
1Tf 
[ ] [ ]
25,0
47,33
5,8
1
1
45,4
47,33
1
1
1
82,582,1
82,132,6
.
47,33
111f.Q.fQ TF
==





−
−=




−






−==
 mm4,8mm25,08,16Qmm FhQTF ±=±=à== 
7.6 Bình sai hệ thống l−ới đ−ờng chuyền kinh vĩ hai điểm nút. 
 Đối với hệ thống đ−ờng đo kinh vĩ có hai điểm nút Q và T (hình 7.6) các số liệu đ_ biết là: 
a. Tọa độ các điểm B(XB, YB); D(XD, YD); F(XF, YF); K(XK, YK); các góc định h−ớng của các 
cạnh αAB, αCD, αEF, αHK, đó là các số liệu của l−ới cấp cao hơn, có độ chính xác cao hơn l−ới 
sẽ xây dựng, các số liệu này đ−ợc gọi là các số liệu gốc, coi nh− không có sai số. 
b. Các góc đo tại đỉnh đ−ờng đo kinh vĩ và chiều dài các cạnh trong từng đ−ờng đo. 
 Bình sai hệ thống l−ới đ−ờng chuyền kinh vĩ có hai điểm nút bao gồm hai việc: Thứ 
nhất – Bình sai góc; thứ hai – Bình sai số gia toạ độ và tính toạ độ các đỉnh đ−ờng đo kinh vĩ. 
A 
C 
B 
D K 
E 
2≡Q 
1 
(4) 
6 
3 
10 (2) 
(1) 
β1 β6 
β5 
βD 
β'2 β3 
β4 
βF 
S1 
S2 
S3 S4 
S9 
S5 
βB 
Hình 7.6 
β2 N 4≡R 
5 
S6 
SF 
7 
9 
H 
S10 
S8 
β'5 
β10 
β7 
β8 
β9 
βK 
S11 
S12 
S7 F 
(3) 
(5) 
(1,2) 
 194 
7.6.1. Bình sai góc. 
 Để tiến hành bình sai góc, ng−ời ta phải chọn cạnh chính có liên quan tới các điểm nút, 
ở đây chọn hai cạnh QN và RT làm hai cạnh chính. 
1. Tính góc định h−ớng cho cạnh chính QN theo các đ−ờng đo (1) và (2), công thức tổng quát: 
 αi = αi gốc + 180
0.ni - [β]i (i = 1,2) (7.63) 
 Cụ thể: 
 α1 = αAB + 180
0.3 - [β]1 
 α2 = αCD + 180
0.4 - [β]2 
2. Kiểm tra chất l−ợng đo góc của hai đ−ờng đo (1) và (2): 
 fβ1+2 = α2 - α1 (7.64) 
 Yêu cầu fβ1+2 ≤ fβcho phép 
 ở đây: 
 fβ cho phép = 21..5,1 nnt + 
 n1, n2 - số góc đo của đ−ờng (1) và đ−ờng (2). 
3. Tính trọng số cho các giá trị góc định h−ớng α1 và α2 theo công thức: 
i
i
n
kp = (i = 1,2) (7.66) 
4. Tính giá trị góc định h−ớng cạnh chính QN theo số trung bình cộng tổng quát: 
21
2211
2,1 pp
pp
+
+
=
αα
α (7.67) 
 Trọng số α1,2 là p1,2 đ−ợc tính: 
 p1,2 = p1 + p2 (7.68) 
5. Thay thế đ−ờng đo (1) và (2) bằng đ−ờng t−ơng đ−ơng, tính số góc cho đ−ờng t−ơng đ−ơng 
này. Ký hiệu số góc của đ−ờng t−ơng đ−ơng là n1,2, thì n1,2 đ−ợc tính: 
2,1
2,1 p
k
n = (7.69) 
6. Nhập đ−ờng t−ơng đ−ơng với đ−ờng (3) để cùng với các đ−ờng đo (4) và (5) tính góc định 
h−ớng cho cho cạnh chính RT. 
 Số góc của đ−ờng t−ơng đ−ơng và đ−ờng (3) ký hiệu là n1,2+3, đ−ợc tính: 
 n1,2+3 = n1,2 + n3 (7.70) 
 Góc định h−ớng của cạnh chính RT đ−ợc tính theo công thức: 
 αi = αi gốc + 180
0.ni – [β]i (i = 1,2 +3,4,5) (7.71) 
 αi gốc = α1,2; αEF; αHK; 
7. Kiểm tra chất l−ợng đo góc bằng cách tính sai số khép góc theo hai đ−ờng đo có tổng số 
góc nhr nhất, ví dụ: 
 fβ4+5 = α5 - α4 
 195 
 fβ(1,2+3)+5 = α5 - α1,2+3 (7.72) 
 Yêu cầu các sai số khép góc tính đ−ợc ở (7.72) phải nhỏ hơn hoặc bằng sai số khép 
góc cho phép. 
8. Tính trọng số cho các giá trị góc định h−ớng α4, α5, α1,2+3: 
4
4
n
kp = 
5
5
n
kp = (7.73) 
32,1
32,1
+
+ =
n
kp 
9. Tính giá trị cuối cùng (giá trị đ_ đ−ợc bình sai) của cạnh chính RT và tính sai số khép cho 
các đ−ờng đo. 
 Góc định h−ớng đ_ đ−ợc bình sai cạnh RT đ−ợc ký hiệu là αRT, đ−ợc tính: 
5432,1
554432,132,1
ppp
ppp
RT
++
++
=
+
++ αααα (7.74) 
 Tính sai số khép 
 fβ1,2+3 = αRT - α1,2+3 
 fβ4 = αRT - α4 (7.75) 
 fβ5 = αRT - α5 
 Tách ra: 
 3
32,1
32,1
3 n.
n
f
f
+
+β
β = 
 2,1
32,1
32,1
2,1 .n
n
ff
+
+
=
β
β (7.76) 
 Kiểm tra: 
 fβ3 + fβ1,2 = fβ1,2+3 
10. Tính giá trị góc định h−ớng cuối cùng của cạnh QN (góc định h−ớng đ_ đ−ợc bình sai), ký 
hiệu là αQN. 
 Sau khi đ_ có góc định h−ớng cạnh RT (αTR) đ_ tính đ−ợc sai số khép góc fβ1,2 do vậy: 
 αQN = α1,2 + fβ1,2 (7.77) 
 Tr−ờng hợp nếu góc đo nằm bên trái đ−ờng đo, thì: 
 αQN = α1,2 - fλ1,2 
 Tính sai số khép cho các đ−ờng đo (1) và (2): 
 fβ1 = αQN - α1 
 fβ2 = αQN - α2 (7.79) 
 Đem phân phối các sai số khép góc, sau đó tính góc định h−ớng cho tất cả các cạnh 
trong các đ−ờng đo. 
7.6.2. Tính số gia toạ độ, bình sai số gia toạ độ và tính toạ độ cho các đỉnh đ−ờng chuyền kinh 
vĩ. 
 196 
 Sau khi bình sai góc, tính góc định h−ớng của các cạnh, tiến hành tính số gia toạ độ và 
bình sai số gia toạ độ theo trình tự d−ới đây: 
1. Theo hai đ−ờng đo (1) và (2) tính toạ độ cho điểm Q: 
 xQ1 = xB + [∆x]1; yQ1 = yB + [∆y]1; 
 xQ2 = xD + [∆x]2; yQ2 = yB + [∆y]2; (7.80) 
2. Kiểm tra chất l−ợng đo chiều dai cạnh bằng cách tính sai số khép số gia toạ độ theo hai 
đ−ờng đo (1) và (2): 
 fx1+2 = xQ2 – xQ1 
 fy1+2 = yQ2 – yQ1 
 2 21y
2
21x21L fff +++ += 
 (7.81) 
21
21L
21 LL
fq
+
=
+
+ 
 Trong đó: L1 – Tổng chiều dài các cạnh trong đ−ờng đo (1); 
 L2 - Tổng chiều dài các cạnh trong đ−ờng đo (2); 
 Yêu cầu q1,2 ≤ T
1
 (Tuỳ theo yêu câu về độ chính xác có quy định cụ thể T) 
3. Tính trọng số cho giá trị toạ độ điểm nút Q theo đ−ờng đo (1) và (2): 
1
1 L
kp = 
2
2 L
kp = (7.82) 
4. Tính trị số toạ độ điểm Q theo số trung bình cộng tổng quát. Tr−ờng hợp ở đây ký hiệu trị 
số trung bình cộng tổng quát cho toạ độ điểm nút Q theo đ−ờng đo (1) và (2) là xQ1,2 và yQ1,2 
thì xQ1,2 và yQ1,2 đ−ợc tính: 
21
2211
2,1 pp
pxpx
x
QQ
Q +
+
= 
21
2211
2,1 pp
pypy
y QQQ +
+
= (7.83) 
5. Thay thế đ−ờng (1) và (2) bằng đ−ờng t−ơng đ−ơng, trọng số giá trị toạ độ điểm Q theo 
đ−ờng t−ơng đ−ơng là p1,2 = p1 + p2 
 Đ−ờng t−ơng đ−ơng có chiều dài L1,2 là: 
21
2,1 pp
kL
+
= (7.84) 
 Nhập đ−ờng t−ơng đ−ơng với đ−ờng (3) cùng với các đ−ờng (4) và (5) để tính toạ độ 
cho điểm nút T. 
 Đ−ờng t−ơng đ−ơng nhập vào đ−ờng (3) có chiều dài là L1,2 + L3. Toạ độ điểm nút T 
đ−ợc tính: 
 xT,1,2+3 = xQ1,2 + [∆x]3; yT,1,2+3 = yQ1,2 + [∆y]3; 
 xT4 = xF + [∆x]4; yT4 = yF + [∆y]4; (7.85) 
 xT5 = xK + [∆x]5; yT5 = yK + [∆y]5; 
 197 
6. Kiểm tra chất l−ợng đo chiều dài cạnh đ−ờng đo bằng cách tính sai số khép số gia toạ độ 
theo hai đ−ờng đo có tổng chiều dài hai đ−ờng là ngắn nhất, ví dụ: 
 fx(1+2+3)+4 = xT4 – xT1,2+3 
 fy(1+2+3)+4 = yT4 – yT1,2+3 
 2 4)32,1(y
2
4)32,1(x4)32,1(L fff ++++++ += 
432,1
4)32,1(
4)32,1( LLL
f
q L
++
=
++
++ 
 fx4+5 = xT5 - xT4 
 fy4+5 = yT5 - yT4 
 2 54y
2
54x54L fff +++ += 
54
54L
54 LL
f
q
+
=
+
+ 
 Yêu cầu q(1,2+3)+4 và q4+5 phải nhỏ hơn hoặc bằng sai số t−ơng đối cho phép T
1
 Nếu các sai số khép t−ơng đối về số gia toạ độ đ_ nằm trong phạm vi cho phép, tiến 
hành tính trọng số cho giá trị toạ độ điểm nút T theo các đ−ờng đo: 
32,1
32,1 LL
kp
+
=+ 
4
4 L
kp = (7.86) 
5
5 L
kp = 
7. Tính toạ độ cuối cùng (toạ độ đ_ đ−ợc bình sai) của điểm T theo số trung bình cộng tổng 
quát: 
5432,1
55T44T32,132,1T
T ppp
pxpxpx
x
++
++
=
+
++
5432,1
55T44T32,132,1T
T ppp
pypypy
y
++
++
=
+
++
 (7.87) 
8. Sau khi đ_ có toạ độ điểm nút T, tính sai số khép số gia toạ độ cho từng đ−ờng đo dẫn tới 
điểm nút T: 
 fx1,2+3 = xT1,2+3 – xT; fy1,2+3 = yT1,2+3 – yT; 
 fx4 = xT4 – xT; fy4 = yT4 – yT; (7.88) 
 fx5 = xT5 - xT; fy5 = yT5 - yT; 
 Tách ra: 
 2,1
32,1
32,1x
2,1x L.LL
f
f
+
=
+
 2,1
32,1
32,1y
2,1y L.LL
f
f
+
=
+
 198 
 3
32,1
32,1x
3x L.LL
f
f
+
=
+
 3
32,1
32,1y
3y L.LL
f
f
+
=
+
9. Tính toạ độ cuối cùng (toạ độ đ_ đ−ợc bình sai) của điểm nút Q, ký hiệu là xQ, yQ. 
 Sau khi đ_ có toạ độ điểm nút T, tính đ−ợc sai số khép số gia toạ độ fx1,2 và fy1,2, vậy: 
 xQ = xQ1,2 – fx1,2 
 yQ = yQ1,2 – fy1,2 
 Sau khi đ_ có toạ độ điểm nút Q, tính sai số khép số gia toạ độ cho các đ−ờng (1) và 
(2) dẫn tới điểm Q: 
 fx1 = xQ1 - xQ; fy1 = yQ1 - yQ; 
 fx2 = xQ2 - xQ; fy2 = yQ2 - yQ; 
 Đổi dấu các sai số khép số gia toạ độ fx1, fy1; fx2, fy2; fx3, fy3; fx4, fy4; fx5, fy5; rồi phân phối 
cho các số gia toạ độ của các đ−ờng theo nguyên tắc tỷ lệ với chiều dài các cạnh trong các 
đ−ờng t−ơng ứng. Sau khi các số gia toạ độ đ_ đ−ợc hiệu chỉnh, việc cuối cùng là tính toạ độ 
cho tất cả các đỉnh đ−ờng đo kinh vĩ. Cách phân phối sai số khép số gia toạ độ của đ−ờng đo 
xem phần phân phối sai số khép toạ độ của đ−ờng đo kinh vĩ đơn đ_ biết tr−ớc đây. 
 199 
Tài liệu tham khảo 
1. А.М. Выровец. Вышая геодезия. Недра. Мосва. 1970. 
2. W. Baran. Rachunek wyrownawczy. Olsztyn 1997 
3. Cục Đo đạc và Bản đồ Nhà n−ớc. Quy phạm đo vẽ bản đồ địa hình tỷ lệ 1:500, 1:1000, 
1:5000. Hà nội 1976. 
4. Đỗ Hữu Hinh. Ph−ơng pháp số bình ph−ơng nhỏ nhất. Hà nội 1980. 
5. Đỗ Ngọc Đ−ờng, Đặng Nam Chinh. Trắc địa cao cấp. Nhà xuất bản giao thông. 2003 
6. K. Dumanski. Geodezyjne Urzadzenia Terenow Rolnych. Warszawa 1975 
7. Hà Minh Hoà. Xác định trọng số đo cạnh trong l−ới hỗn hợp góc cạnh. Cục Đo đạc và bản 
đồ nhà n−ớc. Hà nội.1985. 
8. Hoàng Ngọc Hà, Tr−ơng Quang Hiếu. Cơ sở toán học xử lý số liệu trắc địa – Nhà xuất bản 
Giao thông vận tải. Hà nội 1999. 
9. Hoàng Ngọc Hà. Tính toán trắc địa. Tr−ờng Đại học Mỏ - Địa chất. Hà nội.1996. 
10. Hoàng Ngọc Hà. Lý thuyết sai số và ph−ơng pháp số bình ph−ơng nhỏ nhất. Tr−ờng Đại 
học Mỏ - Địa chất. Hà nội. 1995. 
11. Roman Hlibowski, A. Lang. Geodezja. Warszawa 1971. 
12. Ю.В. Кемниц. Теория ошибок. Измерений. Недра. Мосва. 1967. 
13. А.В. Маслов. Геодезия. Недра. Мосва. 1972. 
14. Aleksander M. Skorczynski. Przewodnik do cwiczen polowych z geodezji.Warszawa 1972. 
15. Aleksander M. Skorczynski. Poligonizacja. Warszawa 2000. 
16. Aleksander M. Skorczynski. Wyklad z rachunku i obliczen geodezyjnych.Warszawa 1995. 
17. Aleksander M. Skorczynski. Niwelacja trygonometryczna w pomiarach szczegolowych. 
Warszawa 2000. 
18. Nguyễn Trọng Tuyển. Trắc địa. Nhà xuất bản Nông nghiệp. Hà nội 1995. 
19. Nguyễn Trọng San, Đào Quang Hiếu, Đinh Công Hoà. Trắc địa cơ sở. Nhà xuất bản Xây 
dựng. Hà nội.2002. 
20. Nguyễn Trọng San. Đo đạc địa chính. Hà nội 2002. 
21. M Odlanickiego-Poczobusta. Cwiczenia z geodezji i topografii. Warszawa 1988. 
22. Phan Hiến, Vi Tr−ờng, Tr−ơng Quang Hiếu. Lý thuyết sai số và Ph−ơng pháp bình ph−ơng 
nhỏ nhất. Hà nội 1985. 
23. Stefan Przewlocki. Geodezja I. Kutno 2002. 
24. Tadeusz. Sadownik. Geodezja. Warszawa 1972 
25. J. Szymonski. Geodezja. Warszawa 1992 
26. J. Szymonski. Instrumentoznawstwo geodezyjne. Warszawa 1982. 
27. Tổng cục Địa chính. Quy phạm thành lập bản đồ địa chính tỷ lệ 1:500, 1:1000, 1:5000, 
1:10000 và 1:25000. Hà nội 1999. 
28. Tổng cục Địa chính. Công nghệ thành lập bản đồ địa chính bằng máy toàn đạc điện tử. Hà 
nội. 1999. 
29. А.Ф. Чижмаков. Геодезия. Недра. Мосва. 1975. 
30. J. Zrabek, Z. Adamczewski. Cwiczenia z geodezji. Warszawa 1975.