Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 1: Điện trường tĩnh trong chân không - Lê Công Hảo

Chương 1
Điện trường tĩnh trong chân không
PGS.TS. Lê Công Hảo
1.1. ĐIỆN TÍCH
A. Khái niệm điện tích
➢ Đã có từ thời cổ Hy Lạp, khi cọ xát thủy tinh
với lụa thì thủy tinh hút được các vật nhẹ
khác nên người ta đã nghĩ rằng thủy tinh đã
nhiễm điện hay đã mang điện tích.
➢ Đến năm 1600, William Gibert khảo sát các
vật thể và đi đến kết luận rằng: có hai loại
chất điện, một loại có tính chất như thủy tinh
gọi là chất cách điện còn loại thứ hai không có
tính chất đó gọi là chất dẫn điện.
◼ Benjamin Franklin gọi điện
tích trên thanh thủy tinh là
dương và của cao su là âm.
◼ Sự nhiễm điện của một vật
khi cọ xát vào vật khác là
do các ion hay electron
chuyển từ vật này sang vật
khác.
Vậy
Khoảng năm 1700, Charles Dufay nhận thấy khi cọ xát nhiều vật
cách điện với nỉ hay lụa thì chúng có thể đẩy nhau hoặc hút nhau.
Các điện tích không tự sinh ra và cũng không tự mất đi mà
chỉ chuyển từ vật này sang vật khác hoặc bên trong vật.
A. Khái niệm điện tích
 Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, trái dấu thì hút
nhau. Tương tác giữa các điện tích đứng yên gọi là tương
tác tĩnh điện hay tương tác Coulomb.
Trong tự nhiên tồn tại hai loại điện tích: điện tích âm
và điện tích dương.
q = ± Ne , (đơn vị là C trong hệ SI)
N là số nguyên
Nếu xét một hệ gồm các điện tích cô lập thì tổng đại số
điện tích trên các vật trong hệ không đổi (định luật bảo
toàn điện tích).
A. Khái niệm điện tích
B. Phân bố điện tích
Điện tích điểm là điện tích tập trung
trong một vùng có kích thước nhỏ so với
khoảng cách từ vùng đó đến điểm muốn
khảo sát.
Tổng quát:
Ngược lại ta có một phân bố điện tích.
➢ Biết được mật độ điện tích của một phân bố
điện tích liên tục
➔Tính được toàn thể điện tích Q của phân bố
đó.
𝜆 =
𝑞
ℓ
(C/m)
𝜎 =
𝑞
𝐴
(C/m2)
𝜌 =
𝑞
𝑉
(C/m3)
❖Mật độ điện tích khối:
Tóm lại có 3 loại mật độ điện tích
❖Mật độ điện tích dài:
❖Mật độ điện mặt:
( )2
s 0
q dq
lim C / m
S dS →
 = =
( )
l 0
q dq Clim
md →
 = =
( )3
v 0
q dq
lim C / m
v dv →
 = =
Q = λd
Q =  
S
dS
Q = 
V
dv
B. Phân bố điện tích
1.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Năm 1785, Coulomb đưa ra định luật tương tác giữa
hai điện tích điểm đứng yên.
Xem thêm TN trên www.youtube.com
Phương: là đường nối hai điện tích.
Chiều: là lực đẩy nếu hai điện tích cùng
dấu và là lực hút nếu hai điện tích trái dấu.
Cường độ: tỉ lệ thuận với tích số độ lớn của
hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương
khoảng cách giữa hai điện tích.
PHÁT BIỂU Từ khóa: Coulomb's Torsion Balance
1 2
12 123
o 12
q q
F r
4 r
=
 
▪ Trong đó: q1 và q2 là giá trị đại số của các
điện tích tương tác, là véctơ vị trí xác định vị
trí của điện tích chịu tác dụng lực đối với điện
tích gây ra lực tác dụng.
1 2
12 21 2
0
q q
F F
4 r
= =
 
r
1.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB
1.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Giả sử ta có n điện tích điểm q1, q2, qn tác dụng đồng thời
lên điện tích điểm qo thì:
( )i oi i3
o i
q q
F r i 1, 2,...n
4 r
= =
 n n
i o
i i3
i 1 i 1 o i
q q
F F r
4 r= =
 = =
 
 
1.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Để xác định lực do một phân bố điện tích liên tục tác dụng lên điện
tích điểm qo ta có thể chia phân bố điện tích thành các điện tích điểm dq
sao cho có thể xem chúng là các điện tích điểm.
➢ Lực do phân bố điện tích tác dụng lên qo là:
0
3
0PBĐT Q
q dq
F dF r
4 r
= =
  
q1
q2
qo
F
1F
2F
Lực do điện tích điểm
q1 và q2 tác dụng lên qo
Q > 0
dq
qo > 0
r
dF
Lực do phân bố điện tích
liên tục Q tác dụng lên qo
Giới hạn của áp dụng của ĐL Coulomb với r từ 10−15m đến vài km. 
Khoảng cách lơn hơn chưa được kiểm chứng bằng thực nghiệm.
1.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Với r nhỏ hơn 10−6m ĐL Coulomb không còn đúng.
1.3. Điện trường
A. Khái niệm điện trường
Để giải thích điều đó người ta thừa nhận
tồn tại một môi trường vật chất (trung
gian) làm môi giới cho sự lan truyền tương
tác giữa các điện tích.
Vùng không gian có điện trường là vùng không gian
bị biến tính bởi sự hiện diện của điện tích.
Do đâu các
điện tích có thể
tương tác được
với nhau?
ĐIỆN TRƯỜNG
B. Véctơ cường độ điện trường
Xét điện trường gây ra bởi điện tích điểm q. 
o
3
o
qq
F r
4 r
=
 
▪ Lực tác dụng của điện trường lên một điện tích thử qo là:
3
o o
F q
r
q 4 r
=
 
▪ Xét tỉ số:
Tỉ số này chỉ phụ thuộc q và r nên có thể đặt trưng cho điện
trường tại điểm khảo sát, được gọi là véctơ cường độ điện
trường tại điểm đó.
là trường xuyên tâm và rời xa điện tích dương
(hướng về điện tích âm), là đại lượng vật lý đặc trưng
cho điện trường về phương diện tác dụng lực.
o
F
E
q
=
Một điện tích q bất kì đặt tại điểm có cường độ điện trường sẽ chịu
một lực:
F qE=
Áp dụng định luật Coulomb, ta có: 3
o
q
E r
4 r
=
 
E
E
B. Véctơ cường độ điện trường
Điện trường gây bởi một phân bố điện tích
dq
q > 0
r
dE
M
B. Véctơ cường độ điện trường
✓ Điện trường do một hệ nhiều điện tích điểm gây ra tại một
điểm:
n n
i
i i3
i 1 i 1 o i
q
E E r
4 r= =
 = =
 
 
✓ Để tính điện trường gây ra bởi một phân bố điện tích liên
tục ta có thể chia nhỏ nó ra thành nhiều điện tích nhỏ dq sao
cho có thể xem nó là các điện tích điểm:
3
o
dq
dE r
4 r
=
 
B. Véctơ cường độ điện trường
Véctơ cường độ điện trường gây
ra bởi cả phân bố điện tích: 3
oPBDT Q
dq
E dE r
4 r
= =
  
Nếu điện tích
được phân bố liên
tục trên một chiều
dài, một mặt, một
thể tích thì:
3
oPBDT
d
E dE r
4 r

= =
  
3
oPBDT v
dv
E dE r
4 r
= =
  
3
oPBDT S
dS
E dE r
4 r

= =
  
B. Véctơ cường độ điện trường
C. Đường sức điện trường:
❖ Định nghĩa:
Là những đường cong vẽ trong điện trường sao cho tiếp
tuyến tại mọi điểm của nó trùng với phương véctơ cường độ
điện trường.
❖ Đặc điểm:
Chiều của đường sức là chiều của véctơ cường độ điện
trường.
Số đường sức đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với nó
bằng trị số véctơ điện trường E tại đó:
n
dN
E
dS
=
EE
E
E
E
Đường sức của điện trường
CHÚ Ý:
+ Các đường sức điện trường
không bao giờ cắt nhau vì tại
mỗi điểm véctơ cường độ điện
trường chỉ có một giá trị xác
định.
+ Các đường sức điện trường
xuất phát từ các điện tích
dương và kết thúc ở điện tích
âm. Do đó, chúng là các
đường cong hở.
C. Đường sức điện trường:
(c) (d)
(a) (b)
Đường sức của điện trường:
(a) Điện tích điểm dương. (b) Điện tích điểm âm.
(c) Hai điện tích trái dấu. (d) Hai điện tích cùng dấu
D. Thông lượng điện trường
➢ Xét một mặt kín S bất kỳ trong điện trường, chia nó thành
các vùng dS nhỏ sao cho có thể xem đó là từ trường đều.
➢ Thông lượng điện trường qua dS là:
( )( )E,n =
Ed E.dS E.ndS E.dS.cos = = = 
SdS
n
dS
E
Thông lượng điện trường qua mặt S
dS
dSn
ndS dS=
α E
D. Thông lượng điện trường
Vậy thông lượng điện trường qua mặt dS là một đại
lượng đại số có giá trị dương hay âm phụ thuộc vào chiều
véctơ n trên dS (hướng ra ngoài là dương, vào trong là âm)
n
E n
dS dScos
d E.dS
= 
  =
Thông lượng điện trường qua
toàn thể mặt S là: E
s
E.dS = 
D. Thông lượng điện trường
➢ Thông lượng qua mặt kín S:
➢ Ta thấy:
ed dN =
Giá trị thông lượng của điện trường qua
diện tích S nào đó chính là số đường sức đi
qua diện tích S đó.
Thông lượng điện trường
e
S
E.dS = 
1.4. ĐỊNH LÝ GAUSS
Thông lượng điện trường qua một
mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số các
điện tích chứa trong mặt kín S chia
cho 0.
1.4.1. Phát biểu định lý
Carl Friedrich Gauss
(1777 – 1855)
(Đức)
Ta thấy số đường sức xuyên qua mặt S bằng số
đường sức xuyên qua mặt cầu tưởng tượng S1, có tâm
O tại điện tích điểm q và có bán kính r bao quanh S.
Do đó, thông lượng điện trường e xuyên qua S cũng là
thông lượng điện trường e1 xuyên qua mặt cầu S1.
1.4.2. Chứng minh định lý
1) Đối với điện trường tạo bởi điện tích
điểm q tại O
a) Xét mặt kín S bao quanh điện tích q
11 1 1
e 1 1 1 1 1 1 1
S S S
2
2
0 0
E.dS E .dS E . dS E .S
q q
.4πr
4πε r ε
 = = = =
= =
Do đó: E
0S
q
E.dS = =
 
Vậy: 
Định lý Gauss
b) Xét mặt kín không bao quanh điện tích q:
Giả sử q > 0, vẽ mặt nón đỉnh O tiếp xúc với mặt
kín S. Giao tuyến giữa mặt nón và mặt kín S tạo
thành một đường cong kín (C) chia mặt S thành 2
mặt S1 và S2.
Thông lượng điện trường qua mặt kín S bằng tổng
thông lượng qua hai mặt S1 và S2.
1 2
1 2
S S S
E.dS E.dS E.dS= + 
 = e1 + e2 e1 = -|e1|với :
e2 = |e2|
Mà số đường sức xuyên qua S1 bằng số đường
sức xuyên qua S2, nên:
e1 = e2
Do đó : =
S
0S.dE
O
q
S1 S2
S
(C)
Điện tích điểm ở ngoài mặt kín S
2) Đối với điện trường tạo bởi một hệ điện 
tích điểm:
Thông lượng điện trường qua một mặt kín S là:
   
=
==
S 0
i
i
S i i S
ii
S
ε
q
S.dE
S.dES).dE(S.dE
Do đó:  =
i
i
S 0
q
ε
1
dS.E
3) Đối với điện trường tạo bởi một phân bố điện tích liên tục
* Thông lượng điện trường qua mặt kín S là:
0S
Q
E.dS =
 
Với Q là tổng đại số điện tích chứa trong mặt kín S.
v
Q .dv= 
0S v
1
E.dS .dv= 
 
* Gọi là mật độ khối điện tích trên phân bố diện tích
và v là thể tích giới hạn bởi mặt kín S, ta có:
là vectơ cảm ứng điện.E.εD 0=
v
= 
S
D.dS ρ.dv Dạng tích phân
của định lý Gauss
Để xác định mối liên hệ giữa điện trường và tại cùng
một điểm, ta áp dụng định lý Ostrogradsky - Gauss:
= 
 =
S v
0v v
E.dS .Edv
1
.Edv ρdv
ε
Đặt:
Các biểu thức trên là dạng vi phân của
định lý Gauss hay còn gọi là phương trình
Poisson.
Vì S là mặt kín nên v cũng là một thể
tích bất kỳ.
Từ đó ta có:
0ε
ρ
E. =
ρD. =
=div.D ρ
0
E

=div.
1.4.3. Ứng dụng của định lý Gauss
Gọi  là mật độ điện tích trên mặt phẳng và giả sử  > 0.
Tưởng tượng mặt trụ S có đường sinh vuông góc với mặt
phẳng, có hai đáy S đối xứng nhau qua mặt phẳng. Áp dụng
định lý Gauss cho mặt kín S này, ta có:
1 1 2 2
S mxq day1 day2 S
E.dS E.dS E .dS E .dS .dS
= + + =  
1) Điện trường của mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều
Dọc theo mặt xung quanh: dSE ⊥

 S
Hình 2.9: Điện trường gây ra bởi mặt
phẳng rộng vô hạn có mật độ .
1E
1dS
2E
2dS
Vậy: thông lượng của điện trường qua 
mặt xung quanh bằng 0.
Điện trường của mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều
0E
2

=

Véctơ điện trường có phương vuông góc với
mặt phẳng, có chiều hướng ra xa khỏi mặt
phẳng nếu  > 0 và chiều hướng vào mặt
phẳng nếu  < 0.
1
0
2E . S 2E. S . S

 = = 

Điện trường của mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều
2) Điện trường tạo bởi hai mặt phẳng song song tích điện đều 
và trái dấu
Trong miền giữa hai mặt phẳng (hai bản),
các điện trường của mỗi mặt có cùng
phương, chiều và độ lớn nên điện trường
tổng hợp là:
−+ E,E
00 2ε
σ
2ε
σ
EEE
EEE
+=+=
+=
−+
−+
0ε
σ
E =
➢ Điện trường đều, có phương vuông góc với các bản, có
chiều hướng từ bản dương sang bản âm và có độ lớn E =
/0 . Các đường sức điện trường giữa hai bản song
song, cách đều nhau và vuông góc với các bản.
➢ Ở ngoài thể tích giới hạn bởi hai bản, các điện trường
của các bản có cùng phương, ngược chiều và cùng độ
lớn nên điện trường tổng hợp bằng 0.
➢ Đối với mặt phẳng song song có kích thước hữu hạn,
kết quả này chỉ dùng nếu khoảng cách giữa hai mặt
phẳng rất nhỏ so với kích thước thẳng của mặt phẳng.
Trong trường hợp này ở gần các mép của mặt phẳng,
điện trường không đều.
3) Điện trường của quả cầu tích điện, đều trên bề mặt
Xét quả cầu tâm O,
bán kính R mang điện
tích q > 0, phân bố đều
với mặt độ điện mặt ,
ta tính điện trường tại
một điểm ở bên ngoài
mặt cầu cách tâm O
một đoạn r. Áp dụng
định lý Gauss cho mặt
kín S là mặt cầu tâm
O, bán kính r R:
0S
2
0
q
E.dS
q
E.4 r
=

 =

2
0
q
E
4 r
=
 
Với r ≥ R
E = 0 Với r < R
4) Điện trường của quả cầu tích điện đều trong 
thể tích
Xét quả cầu tâm O, bán
kính R, mang điện tích q > 0
phân bố đều với mặt độ điện
tích khối . Điện trường tại
một điểm ở bên ngoài quả
cầu giống với điện trường ở
ngoài quả cầu tích điện đều
trên bề mặt, còn điện trường
tại một điểm bên trong thì
khác 0. Điện tích chứa trong
mặt kín S tâm O, bán kính r
< R là: = 4 r3/3.
2 3
0
4
E.4 r . . r
3
 = 

3
0
qr
E
4 R
=
 
Với: r ≤ R
Suy ra:
5) Điện trường của mặt trụ đều
Xét mặt trụ rất dài, bán kính R, chiều cao H >>
R, mang điện tích phân bố đều với mật độ điện
mặt  > 0. Ta tính điện trường tại một điểm ở
ngoài mặt trụ cách trục hình trụ một khoảng r.
Áp dụng định lý Gauss đối với mặt kín S là mặt
trụ đồng trục với mặt trụ mang điện tích trên, có
bán kính r và chiều cao h.
có giá trị không đổi trên mặt xung quanh của 
mặt trụ S, ở hai mặt đáy: nên thông lượng 
điện trường qua hai mặt đáy bằng 0.
E
dSE ⊥
0mxq
0
0
1
E.dS .2 Rh
E.2 rh .2 Rh
R
E
r
=  


 = 


=

r R
S
h
E
dS
E
dS
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
Điện trường của một mặt trụ
0
q
E
2 Hr
=
 
Với r > R
E = 0 (với r < R) 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E+
E−
E+
E−
Điện trường của hai mặt trụ
Điện trường của mặt trụ đều
ĐIỆN THẾ
Điện tích qo đặt trong điện trường do điện tích điểm q 
đứng yên gây ra sẽ chịu tác dụng của lực:
rr erFe
r
qq
r
rqq
rF
)(
44
)(
2
0
0
3
0
0 ===
  
1) Tính chất thế của trường tĩnh điện
Trong đó là vectơ đơn vị của vectơ vị trí
còn là vectơ có phương luôn đi qua q và qo
re
r
q
qo
F
r
re
Chứng minh trường tĩnh điện là trường thế
Công của lực tĩnh điện
để dịch chuyển điện tích qo (qo, 
q > 0) từ vị trí 1 đến vị trí 2:
Theo hình ta thấy rằng:
Nên: 
2
12 r
1
A F(r)e .d= 
)r(F
re .d dr=
2 2
0 0 0
12 2 2
0 0 0 1 21 1
qq qq qqdr 1 1
A dr
4 r 4 r 4 r r
= = = − 
    
q
O
q0
2
1
2r
1r
drr
e r
d
F
0 0 0
2
0 0
1
4 4
N
M
r
MN
M Nr
qq qq qqdr
A
r r r    
= = − 
Ta thấy rằng công của lực tĩnh điện không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc
vị trí đầu và vị trí cuối.
Tính chất thế của trường tĩnh điện:
E 0 =
là lực trường thế và trường tĩnh điện là một trường thế.)r(F
Xét điện tích điểm q0 dịch chuyển trong điện trường
của hệ n điện tích điểm.
Với hệ điện tích điểm
Không phụ thuộc dạng đường đi → A cũng vậy !
“Lưu số của véc tơ cường độ điện trường theo đường cong kín bằng 0 “.
( )
. 0
l
L E dl= = 
Ñònh lyù Gauss vaø ñònh lyù löu soá phaûn aûnh:
2
1
E
r
+ Ñ/lyù Gauss
+ Ñ/lyù löu soá Tính theá .
2) Thế năng của điện tích trong điện trường
Do vậy, công của lực tĩnh điện bằng độ giảm thế năng:
12 1 2A W W= −
q0 nằm trong điện trường (trường thế) → Có thế năng .
0 0
0 04 4
MN M N
M N
qq qq
A W W
r r    
= − = −0
0
qq
W const
4 r
= +
 
Nếu quy ước thế năng của qo ở rất xa q (r = ∞) bằng 0, thì thế năng của điện
tích qo là:
0
0
qq
W
4 r
=
 
➢ Thế năng của qo trong điện trường của hệ
gồm n điện tích điểm: n
0 i
i 10 i
q q
W
4 r=
= 
  

ri :khoảng cách từ qi đến qo
➢ Thế năng của qo ở vị trí một trong điện trường
gây ra bởi phân bố điện tích liên tục:
1 0W q E.d
= 
Điện thế
Xét điện trường do điện tích q gây ra. Đặt qo trong điện trường đó (qo
là điện tích rất nhỏ, điện trường nó gây ra không đáng kể)
Ta định nghĩa tỉ số: 
V là điện thế tại điểm khảo sát
Đơn vị: Volt = V.
r : là khoảng cách từ qo đến điểm khảo sát.
Như vậy, điện thế là thế năng ứng với một đơn vị điện tích
dương.
𝑊
𝑞0
=
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
= 𝑉
W= 𝑞0𝑉
 Từ biểu thức định nghĩa điện thế ta suy ra điện thế của điện tích
điểm q là:
Nếu quy ước V(r = ∞) = 0 thì const = 0.
 Điện thế của điện tích q tại điểm cách nó khoảng r:
 Điện thế của hệ gồm n điện tích điểm gây ra tại điểm cách chúng
khoảng r:
0
q
V
4 r
=
 
0
q
V const
4πε r
= +
n
i 1 0 i
q
V
4 r=
=
 

Điện thế tạo bởi phân bố điện tích là:
0Q
dq
V dv
4 r
= =
  
◼ Điện thế của phân bố điện tích bất kì tạo ra
điện trường là:E
1
1
V E.d
= 
Điện thế là công của lực tĩnh điện để dịch chuyển một
đơn vị điện tích dương dọc theo đường cong bất kì từ điểm
đó ra xa vô cùng được quy ước điện thế bằng 0.
HIỆU ĐIỆN THẾ (HĐT)
 HĐT giữa hai điểm 1 (M) và 2 (N) được kí hiệu:
Hay:
 HĐT giữa hai điểm 1 (M) và 2 (N) trong điện trường
được tính:
1 2
12 1 2
0
W W
U V V
q
−
= − =
12
12
0
A
U
q
=
N
MN
M
U E.d= 
❖Chú ý
❑ : là lưu số của điện trường từ 1 đến 2.
❑Điện thế V là hàm vô hướng theo biến vectơ :
, đặc trưng cho điện trường về
phương diện năng lượng.
❑Điện trường là hàm vectơ theo biến vectơ :
, đặc trưng cho điện trường về
phương diện tác dụng lực.
❑Việc khảo sát điện trường thông qua đại lượng vô
hướng thì đơn giản hơn trong tính toán và đo lường.
E
E
2
1
E.d 
V(r) V(x, y,z)=
r
r
E(r) E(x, y,z)=
4) Mặt đẳng thế
Khái niệm: Mặt đẳng thế là các mặt mức của trường vô
hướng điện thế. Đó là tập hợp các điểm có cùng điện thế.
Phương trình của mặt đẳng thế:
 Trong điện trường gây bởi điện tích điểm q thì hàm điện
thế V là:
Mọi mặt cầu có tâm là điện tích q đều là mặt đẳng thế
V (x, y,z) const= =
0
q
V
4 r
=
 
q
V1
V2
V3
Các tính chất của mặt đẳng thế
 Các mặt đẳng thế không bao giờ cắt nhau.
 Công của lực tĩnh điện dịch chuyển qo trên
mặt đảng thế bằng 0.
 Vectơ cường độ điện trường vuông góc với
mặt đẳng thế.
4) Mặt đẳng thế
LIÊN HỆ GIỮA ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐIỆN THẾ
Điện trường có thể được mô tả qua cả hai đại lượng và , vì
thế hai đại lượng này có mối liên hệ với nhau bằng biểu thức:
Trong hệ tọa độ Descartes, được biểu diễn qua các thành
phần trên các trục tọa độ:
được định nghĩa trong hệ toạ độ Descartes:
E V
E V= −
E
x x y x z zE E e E e E e= + +
x y ze e e
x y z
  
 = + +
  
