Các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn

CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI
HAI MODE KẾT HỢP THấM HAI PHOTON TÍCH
SU(1,1) CHẴN
TRẦN DIỆP TUẤN 1
TRƯƠNG MINH ĐỨC 1, TRẦN QUANG ĐẠT 2
1 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Email: tmduc2009@gmail.com
2Phõn hiệu trường Đại học GTVT tại TP HCM
Email: quangdatsp08@gmail.com
Túm tắt: Chỳng tụi nghiờn cứu cỏc tớnh chất phi cổ điển của trạng
thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn. Kết quả khảo
sỏt cho thấy trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1)
chẵn thể hiện tớnh chất nộn tổng hai mode nhưng lại khụng thể hiện tớnh
chất nộn hiệu hai mode. Trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon
tớch SU(1,1) chẵn thể hiện tớnh phản kết chựm và tương ứng với cỏc giỏ
trị q và r càng nhỏ thỡ mức độ phản kết chựm càng lớn. Ngoài ra, cỏc
kết quả khảo sỏt khỏc cho thấy trạng thỏi này vi phạm bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz và là một trạng thỏi đan rối hoàn toàn theo cỏc tiờu
chuẩn đan rối Hillery – Zubairy và entropy von Newmann.
Từ khúa: Cỏc tớnh chất phi cổ điển, trạng thỏi hai mode kết hợp thờm
hai photon tớch SU(1,1) chẵn
1. GIỚI THIỆU
Vào năm 1991, Agarwal và Tara đó đề xuất ý tưởng về trạng thỏi kết hợp thờm
photon [1]. Sự thỳ vị của điều này là sự xuất hiện cỏc tớnh chất phi cổ điển ở trạng thỏi
được thờm photon mà trước đú trạng thỏi kết hợp khụng hề tồn tại chỳng. Do sự hấp dẫn
của việc thờm photon mà cho đến nay, nhiều tài liệu vẫn nghiờn cứu về cỏc trạng thỏi phi
cổ điển sử dụng cỏc thao tỏc non-Gaussian này. Khi cỏc kết quả ứng dụng những trạng
thỏi phi cổ điển trong nhiều nhiệm vụ lượng tử càng thể hiện tớnh ưu việt của mỡnh thỡ
cỏc thao tỏc thờm hay hủy photon lại càng khẳng định tầm quan trọng khi cú thể nõng
cao độ phi cổ điển như độ nộn, độ rối,... Hũa chung xu thế đú, trong bài bỏo này chỳng
tụi nghiờn cứu ảnh hưởng của thờm photon lờn trạng thỏi hai mode SU(1,1) chẵn đối với
một số tớnh chất phi cổ điển như nộn tổng, nộn hiệu, phản kết chựm, sự vi phạm bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz và đan rối trờn cơ sở là trạng thỏi hai mode SU(1,1) của Perelomov
[2]. Trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn được chỳng tụi viết
như sau
|ψ〉ab = N
(
aˆ†bˆ†
)
(|ϕ〉ab + |−ϕ〉ab) , (1)
Tạp chớ Khoa học và Giỏo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số Số 01(45)/2018: tr. 68-76
Ngày nhận bài: 06/10/2017; Hoàn thành phản biện: 11/10/2017; Ngày nhận đăng: 23/10/2017
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN... 69
trong đú aˆ†(aˆ) và bˆ†(bˆ) là toỏn tử sinh (hủy) photon của mode a và mode b, |±ϕ〉ab là cỏc
trạng thỏi hai mode SU(1,1) cú dạng
|±ϕ〉ab =
(
1− |ξ|2
) 1+q
2
∞∑
n=0
[
(n+ q)!
n!q!
] 1
2
(±ξ)n|n+ q, n〉ab, (2)
và N là hệ số chuẩn húa được xỏc định bởi
N =
[
2
(
1− |ξ|2
)1+q ∞∑
n=0
(n+ q)!
n!q!
[1 + (−1)n]|ξ|2n(n+ q + 1)(n+ 1)
]− 1
2
, (3)
trong đú ξ = tanh re−iϕ với r, ϕ thực. Trong khụng gian Fock, trạng thỏi hai mode kết hợp
thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn được viết như sau
|ψ〉ab =N
(
1− |ξ|2
) 1+q
2
∞∑
n=0
[
(n+ q)!
n!q!
] 1
2
[1 + (−1)n] ξn
ì
(√
n+ q + 1
√
n+ 1|n+ q + 1, n+ 1〉ab
)
. (4)
Như vậy, để thu được trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn
chỳng tụi thực hiện thờm hai photon ở mỗi mode a và b dưới dạng tớch vào trạng thỏi kết
hợp hai mode SU(1,1) chẵn.
2. TÍNH CHẤT NẫN TỔNG
Nộn là một tớnh chất được ứng dụng rất nhiều trong cỏc nhiệm vụ lượng tử hiện nay
như giảm độ nhiễu, khuếch đại tớn hiệu và độ trung thực của thụng tin nhận được. Cú
nhiều tiờu chuẩn để phỏt hiện tớnh chất nộn như tiờu chuẩn nộn đơn mode, hai mode và
đa mode, nộn tổng và nộn hiệu, nộn thụng thường và nộn bậc cao. Tuy nhiờn, ở đõy chỳng
tụi sử dụng tiờu chuẩn nộn tổng do Hillery đưa ra [3,4]. Toỏn tử nộn tổng được định nghĩa
như sau
Vˆφ =
1
2
(
eiφaˆ†bˆ† + e−iφaˆbˆ
)
, (5)
trong đú φ là gúc xỏc định hướng của 〈aˆ†bˆdag〉 trong mặt phẳng phức. Một trạng thỏi thể
hiện tớnh nộn tổng nếu
S =
〈
Vˆ 2φ
〉
−
〈
Vˆφ
〉2 − 1
4
〈nˆa + nˆb + 1〉 < 0, (6)
trong đú nˆa và nˆb lần lượt là toỏn tử số hạt của mode a và b. Độ nộn càng cao nếu S càng
õm. Đối với trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn
S =
1
4
〈(eiφaˆ†bˆ†)2 + (e−iφaˆbˆ)2 + 2aˆ†bˆ†aˆbˆ〉 = 1
2
(
<〈(eiφaˆ†bˆ†)2〉+ 〈aˆ†bˆ†aˆbˆ〉
)
. (7)
70 TRẦN DIỆP TUẤN và cs.
Từ đú tham số nộn tổng cú dạng như sau
S =N 2(1 + |ξ|2)1+q
(
tanh2r cos 2(ϕ+ φ)
∞∑
n=0
(n+ q + 3)!(n+ 3)|ξ|2n(1 + (−1)n)
n!q!
+
∞∑
n=0
(n+ q)!(n+ q + 1)2(n+ 1)2|ξ|2n(1 + (−1)n)
n!q!
)
. (8)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-20
-15
-10
-5
0
r
S
Hỡnh 1: Sự phụ thuộc của S vào r và q, cố định cos 2(ϕ + φ) = −1, từ trờn (đường
liền) xuống dưới ứng với q = 0, 1 và 2.
Kết quả khảo sỏt cho thấy trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1)
chẵn cú nộn tổng. Tớnh chất này càng biểu hiện rừ khi r càng lớn hoặc q càng cao. Tuy vậy
khi q nhận giỏ trị nguyờn dương thỡ xuất hiện khụng cú nộn trong miền hẹp của r (khoảng
r < 0.5) (xem hỡnh 1).
3. TÍNH CHẤT NẫN HIỆU
Toỏn tử nộn hiệu được định nghĩa như sau [3]
Wˆφ =
1
2
(
eiφaˆbˆ† + e−iφaˆ†bˆ
)
. (9)
Một trạng thỏi thể hiện tớnh nộn hiệu nếu
D =
〈
Wˆ2φ
〉
−
〈
Wˆφ
〉2 − 1
4
| 〈nˆa − nˆb〉 | < 0. (10)
Tham số nộn hiệu được viết một cỏch tường minh như sau
D =
1
4
〈(
eiφaˆbˆ†
)2
+
(
e−iφaˆ†bˆ
)2
+ aˆbˆ†aˆ†bˆ+ aˆ†bˆaˆbˆ†
〉
− 1
4
{〈
eiφaˆbˆ†
〉
+
〈
e−iφaˆ†bˆ
〉}2 − 1
4
| 〈nˆa − nˆb〉 |. (11)
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN... 71
Đối với trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn, sau khi bỏ đi cỏc
trung bỡnh lượng tử cú số hạng bằng 0, ta cú
D = 〈nˆb(nˆa + 1)/2〉. (12)
Dựa vào biểu thức trờn cú thể thấy rằng D > 0. Như vậy trạng thỏi hai mode kết hợp
thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn khụng thể hiện tớnh chất nộn hiệu.
4. TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM VÀ SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-
SCHWARZ
4.1. Tớnh chất phản kết chựm
Phản kết chựm cú vai trũ quan trọng trong việc tạo ra cỏc trạng thỏi đơn photon
dựng cho cỏc nhiệm vụ lượng tử. Tiờu chuẩn cho sự tồn tại tớnh phản kết chựm của một
trạng thỏi hai mode được viết dưới dạng sau [5]
A (l, p) =
〈
nˆ
(l+1)
a nˆ
(p−1)
b
〉
+
〈
nˆ
(p−1)
a nˆ
(l+1)
b
〉
〈
nˆ
(l)
a nˆ
(p)
b
〉
+
〈
nˆ
(p)
a nˆ
(l)
b
〉 − 1 < 0. (13)
trong đú l, p nguyờn và l, p ≥ 1 và 〈nˆ(k)x 〉 = 〈(xˆ†)kxˆk〉 = 〈nˆx(nˆx−1)...(nˆx−k+ 1)〉, x = a, b.
Để phỏt hiện tớnh phản kết chựm trong trạng thỏi được nghiờn cứu, để cho đơn giản chỳng
tụi chọn l = p = 1, khi đú
A (1, 1) =
〈nˆ(2)a 〉+ 〈nˆ(2)b 〉
2〈nˆanˆb〉 − 1. (14)
Sau khi tớnh toỏn giỏ trị trung bỡnh cỏc toỏn tử trong trạng thỏi hai mode kết hợp thờm
hai photon tớch SU(1,1) chẵn, kết quả như sau
A(1, 1) =
∞∑
n=0
(n+q)![(n+q+1)2(n+1)(n+q)+(n+q+1)(n+1)2n][1+(−1)n]|ξ|2n
n!q!
2
∞∑
n=0
(n+q)!(n+q+1)2(n+1)2[1+(−1)n]|ξ|2n
n!q!
− 1. (15)
Cỏc kết quả khảo sỏt bằng đồ thị cho thấy trạng thỏi được khảo sỏt mang tớnh chất
phản kết chựm. Một điều thỳ vị ở tớnh chất này khi ngược với nộn tổng, biểu hiện phản
kết chựm bị giảm khi tăng biờn độ kết hợp r hoặc q (xem hỡnh 2).
4.2. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Do sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng là một trong những tớnh chất
phi cổ điển nờn trong phần này chỳng tụi sử dụng [6]
I =
[〈aˆ†2aˆ2〉〈bˆ†2bˆ2〉]1/2
|〈aˆ†bˆ†aˆbˆ〉| − 1. (16)
Một sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xuất hiện trong trạng thỏi hai mode khi
I < 0. Mức độ vi phạm càng cao nếu I càng õm. Tớnh toỏn cỏc trung bỡnh trong trạng
72 TRẦN DIỆP TUẤN và cs.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
r
A
H1,1
L
Hỡnh 2: Sự phụ thuộc của A(1, 1) vào r và q, từ dưới (đường liền) lờn trờn tương ứng
với q = 0, 1 và 2.
thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn, chỳng tụi thu được tham số I
dưới dạng
I =
{ ∞∑
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n]tanh2nr[(n+ q + 1)2 (n+ q) (n+ 1) ]
∞∑
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n]tanh2nr (n+ 1)
} 1
2
ì
{ ∞∑
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n]tanh2nr[ (n+ q + 1)n(n+ 1)2]
∞∑
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n]tanh2nr (n+ 1)
} 1
2
ì
{ ∞∑
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n]tanh2nr[(n+ q + 1)2(n+ 1)2]
∞∑
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n]tanh2nr (n+ 1)
}−1
− 1. (17)
Kết quả khảo sỏt mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz theo r và q được
thể hiện trờn hỡnh 3. Đồ thị cho thấy I < 0 với mọi giỏ trị của r và q, nghĩa là trạng thỏi
hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn vi phạm hoàn toàn bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz. Tuy nhiờn mức độ vi phạm sẽ giảm theo sự tăng của biờn độ kết hợp r
và tham số q.
5. TÍNH CHẤT ĐAN RỐI
Đan rối là một tớnh chất thỳ vị cú ứng dụng rất lớn trong thụng tin lượng tử và tớnh
toỏn lượng tử. Việc phỏt hiện đan rối trong cỏc trạng thỏi đa mode phải dựng đến cỏc tiờu
chuẩn phự hợp. Cú nhiều tiờu chuẩn ứng với sự phỏt hiện cỏc kiểu đan rối khỏc nhau đó
được đưa ra và ứng dụng. Tuy nhiờn, trong bài bỏo này chỳng tụi sử dụng hai tiờu chuẩn
phổ biến và dễ tớnh toỏn được đưa ra bởi Hillery-Zubairy và entropy von Newmann.
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN... 73
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
r
I
Hỡnh 3: Sự phụ thuộc của I vào r và q, từ dưới (đường liền) lờn trờn ứng với q = 1, 2
và 3.
5.1. Tiờu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy
Theo Hillery–Zubairy [7], nếu một trạng thỏi hai mode thỏa món điều kiện dưới đõy
thỡ kết luận trạng thỏi đú bị đan rối, nghĩa là trung bỡnh trong trạng thỏi đú thỏa món
bất phương trỡnh
|〈aˆmbˆn〉|2 > 〈aˆ+maˆm〉〈bˆ+nbˆn〉. (18)
Để dễ khảo sỏt chỳng tụi chọn m = n = 2, khi đú bất phương trỡnh (18) được viết lại dưới
dạng
|〈aˆ2bˆ2〉|2 > 〈aˆ+2aˆ2〉〈bˆ+2bˆ2〉. (19)
Điều kiện trờn cú thể viết lại dưới dạng phụ thuộc vào tham số đan rối RH như sau
RH = 〈aˆ+2aˆ2〉〈bˆ+2bˆ2〉 − |〈aˆ2bˆ2〉|2 < 0. (20)
Đối với trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn, chỳng tụi tớnh
được tham số
RH =
∞∑
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n]|ξ|2n
[
(n+ q + 1)2(n+ q) (n+ 1)
]
∞∑
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n]|ξ|2n (n+ 1)
ì
∞∑
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n]|ξ|2n[ (n+ q + 1) (n+ 1)2n]
∞∑
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n]|ξ|2n (n+ 1)
−
{ ∞∑
n=0
(n+q+3)!
n!q! [1 + (−1)n]|ξ|2nξ2(n+ 3)
∞∑
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n]|ξ|2n (n+ 1)
}2
. (21)
74 TRẦN DIỆP TUẤN và cs.
Kết quả khảo sỏt cho thấy trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1)
bị rối theo tiờu chuẩn Hillery-Zubairy. Mức độ biểu hiện đan rối càng lớn khi r và q càng
lớn (xem hỡnh 4). Để thấy được bức tranh toàn cảnh về đan rối trong trạng thỏi này, chỳng
tụi khảo sỏt thờm một tiờu chuẩn khỏc, tiờu chuẩn entropy von Newmann.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
r
R
H
Hỡnh 4: Sự phụ thuộc của RH vào r và q, từ trờn (đường liền) xuống dưới ứng với
q = 0, 1 và 2.
5.2. Tiờu chuẩn entropy von Newmann
Hàm entropy về rối khụng những cú tỏc dụng giỳp chỳng ta phỏt hiện sự đan rối
trong cỏc trạng thỏi đa mode mà nú cũn đỏnh giỏ được mức độ đan rối trong trạng thỏi đú.
Cú hai tiờu chuẩn entropy thường dựng là entropy tuyến tớnh và entropy von Newmann.
Trong bài bỏo này chỳng tụi sử dụng tiờu chuẩn entropy thứ hai. Theo [8], một trạng thỏi
đan rối nếu thỏa món
E = −Trx(ρˆxlnρˆx) > 0, (22)
trong đú Trx(ρˆx) là lấy vết của toỏn tử mật độ ρˆx theo mode x, ln là hàm logarit cơ số e.
Nếu một trạng thỏi hai mode trong khụng gian Fock cú dạng
|Ψ〉ab =
∞∑
n=0
cn|n+ p, n+ q〉ab, (23)
trong đú cn là hệ số khai triển thỏa món
∑
n |cn|2 = 1, p, q là những số nguyờn khụng õm,
hàm entropy von Newmann cú dạng
E = −
∞∑
n=0
|cn|2ln(|cn|2). (24)
Với trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn thỡ
|ψ〉ab =
∞∑
n=0
cn|n+ q + 1, n+ 1〉ab, (25)
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN... 75
trong đú
cn = N (1− |ξ|2)(1+q)/2
√
(n+ q)!
n!q!
(1 + (−1)n)ξn
√
(n+ q + 1)(n+ 1). (26)
Vậy, entropy von Newmann của trạng thỏi này được xỏc định là
E =− 2N 2(1− |ξ|2)1+q
∞∑
n=0
(n+ q)!(1 + (−1)n)|ξ|2n(n+ q + 1)(n+ 1)
n!q!
ì ln
(
2N 2(1− |ξ|2)1+q (n+ q)!(1 + (−1)
n)|ξ|2n(n+ q + 1)(n+ 1)
n!q!
)
. (27)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
E
Hỡnh 5: Sự phụ thuộc của tham số E vào biờn độ r và q, từ dưới (đường liền) lờn
trờn ứng với q = 0, 1 và 2
Kết quả khảo sỏt trờn hỡnh 5 cho thấy trạng thỏi hai mode kết hợp thờm hai photon
tớch SU(1,1) chẵn đan rối hoàn toàn. Mức độ đan rối càng cao nếu r và q càng lớn. Điều
này phự hợp với cỏc kết quả được khảo sỏt trong tiờu chuẩn Hillery-Zubairy. Như vậy, điều
này một lần nữa khẳng định việc thờm photon vẫn làm cho trạng thỏi mới mang tớnh chất
đan rối mạnh.
5. KẾT LUẬN
Trong bài bỏo này, chỳng tụi đó khảo sỏt một số tớnh chất phi cổ điển của trạng thỏi
kết hợp hai mode thờm hai photon tớch SU(1,1) chẵn. Chỳng tụi đó tớnh toỏn cho cỏc hệ
số nộn tổng, nộn hiệu, phản kết chựm, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đan
rối. Kết quả cho thấy rằng trạng thỏi này sở hữu cỏc tớnh chất nộn tổng, phản kết chựm,
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đan rối nhưng khụng cú nộn hiệu.
Xột về phương diện tăng biờn độ kết hợp r, cỏc tớnh chất sau đõy đều được biểu hiện
mạnh hơn, đú là nộn tổng và đan rối. Trong cỏc giỏ trị rất bộ của r mặc dự cú biểu hiện
rối hoàn toàn nhưng vẫn cú biểu hiện khụng nộn tổng ở trạng thỏi kết hợp hai mode thờm
76 TRẦN DIỆP TUẤN và cs.
hai photon tớch SU(1,1) chẵn. Ở cỏc tớnh chất phản kết chựm và vi phạm bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz thỡ việc tăng biờn độ r lại làm giảm biểu hiện cỏc tớnh chất này.
Xột về phương diện tăng tham số điện q, cỏc tớnh chất nộn tổng và đan rối được cải
thiện khỏ đỏng kể. Tuy nhiờn tăng tham số này cũng làm giảm cỏc tớnh chất phản kết
chựm và vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cỏc kết quả của chỳng tụi cú thể được
mở rộng nếu thực hiện thờm nhiều photon vào trạng thỏi này cũng như sử dụng chỳng
trong cỏc nhiệm vụ lượng tử.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Agarwal G. S. (1988), J. Opt. Soc. Am. B, 5, 1940.
[2] Perelomov A. M. (1972), Commun. Math. Phys, 26, 222.
[3] Hillery M. (1989), Physical Review A, 45, 3147.
[4] Hillery M. (1963), Physical Review A, 31, 338.
[5] Lee C. T. (1989), Physical Review A, 41, 1569.
[6] Glauber R. J. (1963), Physical Review, 96, 2766.
[7] Gerry C. C., Grobe R. (1996), Journal of Modern Optics, 44, 41.
[8] Bennett C. H, Bernstein H. J., Popescu S., and Bennett S. B. (1996), Physical Review
A 53, 2046.
Title:NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE EVENMULTIPLIED-TWO-PHOTON-
ADDED TWO-MODE COHERENT STATE SU(1, 1)
Abstract: In this paper, we study the two-mode sum squeezing, two-mode difference
squeezing, antibunching properties and the violation of the Cauchy-Schwarz inequality in
the even multiplied-two-photon-added two-mode coherent state SU(1, 1). We derive the
analytical expressions for this state, which occurs the two-mode sum squeezing but does
not occur the two-mode difference squeezing. Based on the antibunching criterion and the
Cauchy-Schwarz inequality we show that this state indicates the antibunching and viola-
tion of the Cauchy-Schwarz inequality. Also, the multiplied-two-photon-added two-mode
coherent state SU(1, 1) is entangled according to the Hillery-Zubairy and the entropy von
Newmann criteria.
Keyword: nonclassical properties, even multiplied-two-photon-added two-mode coherent
state SU(1, 1)