Cân bằng hệ con nêm ngược dùng phương pháp LQR và điều khiển mờ

157
157
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
CÂN BẰNG HỆ CON NÊM NGƯỢC DÙNG PHƯƠNG PHÁP LQR 
VÀ ĐIỀU KHIỂN MỜ
BALANCING CONTROL OF INVERTED WEDGE SYSTEM BY USING LQR AND FUZZY LOGIC 
METHODS
Tóm tắt
Trong bài viết , chúng tôi đã sử dụng hai 
phương pháp điều khiển trên hệ con nêm ngược là 
phương pháp LQR (Linear Quadratic Regulator) 
và phương pháp điều khiển mờ. Kết quả mô phỏng 
cho thấy cả hai phương pháp điều khiển trên đều 
có khả năng cân bằng ổn định hệ con nêm ngược. 
Bên cạnh đó, chúng tôi đã xây dựng thành công 
mô hình thực nghiệm hệ con nêm ngược thông 
qua giao tiếp máy tính giữa phần mềm Matlab với 
card DSP TMS320F28335. Kết quả thực nghiệm 
cho thấy phương pháp điều khiển mờ hoàn toàn 
có thể điều khiển cân bằng hệ con nêm ngược theo 
phương thẳng đứng. Giá trị góc nghiêng và vị trí 
vật nặng thu được luôn dao động xung quanh vị trí 
cân bằng mong muốn.
Từ khóa: Cân bằng, con nêm ngược, điều khiển 
mờ, điều khiển LQR.
Abstract
In this paper, the author uses two control 
algorithms on the inverted wedge: LQR control 
method and Fuzzy Control method. The simulation 
results show that the both methods are able to 
balance the steady inverted wedge. Besides that, 
the author has built the experimental inverted 
wedge model successfully through computer 
communication between the Matlab software and 
DSP TMS320F28335 card. The experimental 
results show that fuzzy control method can 
completely control the balance of inverted wedge 
by vertical way. The obtained results of the values 
of angle and position loads fluctuated around the 
desired equilibrium position. 
Keywords: Balance, inverted wedge, fuzzy 
control, Linear Quadratic Regulator.
1. Mở đầu123
Ngày nay, có rất nhiều phương pháp được 
sử dụng để điều khiển hệ phi tuyến như phương 
pháp tuyến tính hóa, điều khiển trượt, điều khiển 
dùng mạng thần kinh nhân tạo, điều khiển mờ, 
điều khiển thích nghi hoặc các thuật toán tối ưu 
bầy đàn, giải thuật di truyền... Việc lựa chọn một 
phương pháp điều khiển phù hợp với đối tượng phi 
tuyến nhất định nào đó đòi hỏi nhiều thời gian và 
thực nghiệm lâu dài.
Xuất phát từ ý tưởng áp dụng các phương pháp 
điều khiển hiện đại vào điều khiển đối tượng thật 
trong thực tế và việc tiếp cận được một số tài liệu 
về hệ con nêm ngược - là một hệ thống phi tuyến, 
được ứng dụng trong cân bằng mô hình chiếc tàu 
trong lĩnh vực hàng hải - đã thúc đẩy chúng tôi 
thực hiện đề tài này. Hệ thống dùng trọng lực của 
vật nặng thông qua lực kéo của motor để cân bằng 
1 Thạc sĩ, Khoa Kỹ thuật và Công nghệ, Trường Đại học Trà Vinh
2 Thạc sĩ, Khoa Kỹ thuật và Công nghệ, Trường Đại học Trà Vinh
3 Thạc sĩ, Khoa Kỹ thuật và Công nghệ, Trường Đại học Trà Vinh
trọng tâm của toàn hệ thống con nêm. Vì hệ con 
nêm ngược có tính chất phi tuyến rất phức tạp 
nên rất khó xác định mô hình toán học một cách 
chính xác, đồng thời các thông số hệ thống phải 
có độ chính xác tuyệt đối và phải đáp ứng nhanh. 
Tuy nhiên, vấn đề là cần phải thiết kế một bộ điều 
khiển phù hợp để điều khiển hệ thống cân bằng và 
đây cũng là mục đính chính của đề tài. 
Đề tài “Thiết kế, thi công điều khiển mờ hệ con 
nêm ngược” (Đặng Hữu Phúc 2012) đã sử dụng 
phương pháp điều khiển trượt-mờ-PID để cân 
bằng hệ con nêm ngược. Mô hình được thực hiện 
bằng cách cân bằng hệ thống dựa vào sức nặng của 
con chạy trên mặt phẳng trượt. Kết quả mô phỏng 
đạt được cân bằng ổn định với góc nghiêng lớn đến 
±π/2, thời gian đáp ứng khoảng 2.5s.
Nhóm tác giả Jeng-Hann Li, Tzuu-Hseng 
S. Li, Ting-Han Ou, July đã nghiên cứu đề tài 
“Design and Implementation of Fuzzy Sliding-
Mode Controller for a Wedge Balancing System” 
Nguyễn Thanh Tần1
Đặng Hữu Phúc2
Dương Minh Hùng3
158
158
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
(2003). Đề tài sử dụng phương pháp điều khiển mờ 
- trượt để cân bằng hệ con nêm ngược. Mô hình sử 
dụng vật nặng di chuyển trên mặt phẳng ngang và 
dùng dây đai kéo vật nặng. Kết quả mô phỏng cho 
thấy hệ thống cân bằng ổn định với thời gian xác 
lập khoảng 7s.
Năm 2002, đề tài “Genetic Adaptive Control for 
an Inverted Wedge: Experiments and Comparative 
Analyses” do các tác giả Moore M.L, Musacchio 
J.T, PassinoK.M nghiên cứu. Hệ thống sử dụng dây 
xích nằm ở trung tâm để kéo vật nặng di chuyển 
trên mặt phẳng ngang. Giải thuật điều khiển đã 
nghiên cứu trong đề tài là giải thuật di truyền. 
Kết quả cho thấy hệ thống cân bằng ổn định trong 
khoảng thời gian 3s và độ dao động góc nghiêng 
lớn nhất là 50% so với trạng thái cài đặt ban đầu.
Đề tài “Balancing Control of Sliding 
Inverted Wedge System: classical-method-based 
compensation” do các tác giả Shinq-Jen Wu, 
Cheng-Tao Wu, Yung-Yi chiou, Chin-Teng Lin, 
Yi-Nung Chung nghiên cứu vào năm 2006 sử dụng 
hệ thống dây đai kéo hai vật nặng ở hai cạnh của hệ 
con nêm ngược giúp hệ thống cân bằng. Phương 
pháp điều khiển chính của đề tài là thiết kế bộ điều 
khiển tối ưu tuyến tính dạng toàn phương LQR và 
điều khiển trượt cho kết quả hệ thống cân bằng ổn 
định trong 2,5s với góc nghiêng nhỏ.
2. Nội dung
2.1. Mô hình hóa hệ con nêm ngược:
Hình 1: Mô hình hệ con nêm ngược (Đặng Hữu Phúc 2012)
Bảng 1: Bảng thông số mô hình con nêm ngược
Ký hiệu Giá trị đo Thông số hệ thống
M 2,8 kg Khối lượng hệ con nêm
m 0,65 kg Khối lượng vật nặng
c 0,06 m Khoảng cách giữa trục quay và trọng tâm con nêm
d 0,12 m Khoảng cách giữa trục quay và mặt trượt
b
1
0,25 N/m/s Hệ số ma sát ở trục quay
b
2
10 N/m/s Hệ số ma sát ở mặt trượt
g 9,81 m/s2 Gia tốc trọng trường
K
m
5 Nm/A Hệ số cảm ứng của động cơ DC
U 24VDC Điện áp cấp cho động cơ DC
Áp dụng phương pháp Euler – Lagrange ta có: 
L=K-P
i
i i i
d K K P
T
dt q q q
∂ ∂ ∂
− + =
∂ ∂ ∂
 
 
 
(1) 
Trong đó:
K: tổng động năng; P: tổng thế năng
T: môment; q: biến trạng thái
Đối với hệ thống con nêm ngược, ta có q
1
=θ; 
q
2
= x
Ta xác định được phương trình phi tuyến hệ con 
nêm ngược (theo Đặng Hữu Phúc 2012) như sau:
159
159
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2
2 2 2 2
22 2
2
1 2 22
2 2 2 2
2 2
2 2 1
b mxx b dx mdx mgxcos Mgcsin d
F
Mc mx Mc mx
b d mxx b d x md x mgdxcos Mgdcsin b x d
x x gsin F
m mMc mx Mc mx
θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ
θ θ
− − − + − +
= +
+ +
− − − + − +
= − + − + +
+ +



 
  
 
 
 






 
   
  



 
 (2)
Từ (2) và tuyến tính hóa tại điểm cân bằng ( 0 0 0 00; 0; 0; 0x xθ θ≈ ≈ ≈ ≈  ), ta suy ra phương trình 
tuyến tính hoá hệ thống (với F=Km.U là môment của vật nặng)(Đặng Hữu Phúc 2012):
1 2
2 2 2 2
2
1 2 2
2 2 2
2
0 1 0 0 0
0 0 0 0
2
1
m
m
b b dg mg dK
c Mc Mc Mc Mc
b d b d b dgd mgd Kg
c M
xx
c Mc
xx
Mc m
θθ
θθ
− −−        
                
  − − 
 
 
    
    
    
   − − +           
⇒ = +
    
          
     



 2
2
1
Mc m
U
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
+ 
 
 (3)
2.2. Xây dựng mô hình điều khiển hệ con nêm 
ngược
2.2.1. Điều khiển LQR (Linear Quadratic 
Regulator) (Nguyễn Thị Phương Hà 2012)
LQR là thuật toán điều khiển được xây dựng 
dựa trên cơ sở nguyên lý phản hồi trạng thái. Bộ 
điều khiển nhận tín hiệu vào là trạng thái của hệ 
thống và tín hiệu mẫu sau đó tính toán và chuyển 
thành tín hiệu điều khiển cho quá trình.
Xét hệ thống có tác động ngoài (u ≠ 0): 
x Ax Bu= + (4)
Chúng ta cần tìm ma trận K của vector điều 
khiển tối ưu: ( ) ( )u t Kx t= − thỏa mãn chỉ tiêu 
chất lượng J đạt giá trị cực tiểu: 
( )
0
T TJ x Qx u Ru dt
∞
= +∫ 
(5) 
Trong đó, Q là ma trận xác định dương (hoặc 
bán xác định dương), R là ma trận xác định dương.
Ma trận K tối ưu được xác định từ phương trình 
Riccati có dạng:
 1 TK R B P−= (6)
Như vậy, luật điều khiển tối ưu cho bài toán 
điều khiển tối ưu dạng toàn phương với chỉ tiêu 
chất lượng là phương trình tuyến tính và có dạng:
 1( ) ( ) ( )Tu t Kx t R B Px t−= − = (7)
Ma trận P khi đó phải thỏa mãn phương trình 
Riccati:
1T TPA A P Q PBR B P P−+ + − =  (8)
Khi P không thay đổi theo thời gian , ta 
có phương trình đại số Riccati:
 1 0T TPA A P Q PBR B P−+ + − = (9)
Xét tại điểm làm việc xác lập của hệ con nêm 
ngược đã được tuyến tính hóa (x=0, , θ=0, 
và u=0), dựa vào phần mềm Matlab ta tìm 
được các ma trận trạng thái A, B và chọn ma trận 
Q, R sao cho hàm mục tiêu J đạt giá trị cực tiểu và 
thỏa mãn phương trình Riccati như sau:
0 10 0 0 0
0 1 0 0
160 0 1 0 0
196.2 6.67 784.8 720 ; ; ; 10
0 0 0 1 0
0 0 0 1
27.533 0 0 0 1
13.734 0.8 94.176 161.4
B RA Q
 
    
    
    = − − − = = =
    
    
    − − − 
Khi đó ma trận tối ưu K có giá trị là:K = [7.28980.6229-20.4478-2.5252]
160
160
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
2.2.2. Bộ điều khiển mờ
Cấu trúc một bộ điều khiển mờ cơ bản:
Hình 2: Cấu trúc bộ điều khiển mờ
Đối với hệ con nêm ngược, ta thiết kế bộ điều 
khiển có 4 biến vào: sai số vị trí góc, vi phân của 
sai số vị trí góc, sai số vị trí vật nặng, vi phân sai 
số vị trí vật nặng và 1 ngõ ra áp điều khiển cho 
động cơ.
Vị trí góc lệch ( )tθ : 
[-π/2,π/2] (rad)
Vận tốc vật nặng (t)x : 
[-1,1] (m/s)
Vận tốc góc ( )tθ : 
[-1,1] (rad/s)
Điện áp cấp cho động cơ 
DC:[-24,+24] (VDC)
Vị trí vật nặng x(t): 
[-0.5,0.5] (m)
Luật mờ được xây dựng dựa trên kinh nghiệm 
và hoạt động của hệ con nêm ngược. Ta chọn số 
tập mờ ngõ vào là 3 để có số luật mờ vừa phải là 
34=81 luật và số tập mờ ngõ ra là 7. Các biến ngôn 
ngữ và hàm liên thuộc ngõ vào/ra như Hình 3.
Hình 3: Các biến ngôn ngữ và hàm liên thuộc ngõ vào/ra bộ điều khiển mờ
Ta xây dựng các luật điều khiển mờ theo:
• Phương pháp suy diễn mờ MAX – MIN. 
• Phương pháp giải mờ tổng có trọng số.
Giả sử, ta có các giá trị đầu vào bộ điều khiển 
mờ như sau: 
Input=[x x θ θ ]= [-0,5 0,4 -0,2 -0,2] dựa vào 
bảng luật mờ cho hệ Tagaki – Sugeno ta xác định 
được các luật mờ ảnh hưởng trực tiếp đến giá trị 
điều khiển ngõ ra như sau:
R
10
= If x=NE and x =ZE and θ =NE and x
=NE Then U
10
=NM
R49= If x=ZE and x =PO and θ =ZE and x
=ZE Then U
49
=NS
Tương ứng với các giá trị Input đã cho ta xác 
định các giá trị rõ như sau:
LXNE(x)=0,4 và LXZE( x )=0,65 và LXNE(θ)=0,1 
và LXNE( x )=0,1 và U10 = -0,667
LXNE(x)=0,6 và LXZE( x )=0,35 và LXNE(θ)=0,8 
và LXNE(θ )=0,8 và U49 = -0,333
Trong đó, LX là các vùng mờ được mô tả theo 
Tagaki – Sugeno.
Tiếp theo, sử dụng phương pháp suy diễn mờ 
161
161
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
MAX – MIN, ta tìm được:
 Min(0,4; 0,65; 0,1; 0,1)=0,1 và Min(0,6; 0,35; 
0,8; 0,8)=0,35
Giải mờ theo phương pháp tổng trọng số trung 
bình, ta xác định được:
0,1.( 0,667) 0,35.( 0,333)
0, 4072
0,1 0,35
U
− + −
= = −
+
2.3. Kết quả mô phỏng
Sau đây là kết quả mô phỏng dùng phần mềm 
Matlab cho hai thuật toán đã nghiên cứu trong đề 
tài là bộ điều khiển LQR và điều khiển mờ áp dụng 
cho hệ con nêm ngược.
Hình 4: Kết quả mô phỏng với góc θ=300, x=0,2m
Hình 5: Kết quả mô phỏng với góc θ=600, x=0,3m và có nhiễu tác động
* Nhận xét: 
Kết quả so sánh cho thấy cả hai bộ điều khiển 
đều có khả năng điều khiển cân bằng hệ con nêm 
ngược. Trong đó, phương pháp điều khiển mờ cho 
kết quả là tốt nhất, hệ thống cân bằng, ổn định, có 
khả năng điều khiển góc nghiêng ban đầu lớn, thời 
gian xác lập ngắn.
2.4. Kết quả thực nghiệm cân bằng hệ con nêm 
ngược dùng bộ điều khiển mờ
162
162
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
Hình 6: Mô hình con nêm ngược đã thi công
1: Thanh trượt và ổ bi trượt
4: Encoder đo vị trí vật nặng (loại E6B2-CWZ6C 500P/R, điện 
áp từ 5-24VDC, Omron)
2: Thanh ray 5: Hộp tỉ số truyền động bánh răng
3: Động cơ 24VDC
6: Encoder đo vị trí góc quay (loại E6B2-CWZ6C 1000P/R, 
điện áp từ 5-24VDC, Omron)
Sau đây là kết quả thực nghiệm cho hệ thống 
con nêm ngược tự cân bằng đã thi công sử dụng bộ 
điều khiển mờ:
Hình 7: Đáp ứng giá trị góc nghiêng con nêm thực nghiệm
Hình 8: Đáp ứng giá trị điện áp điều khiển động cơ DC thực nghiệm
163
163
Kỹ thuật và Công nghệ
 Số 22, tháng 7/2016
3. Kết luận
Trong nội dung đề tài này, chúng tôi đã áp dụng 
hai phương pháp điều khiển khác nhau để điều 
khiển đối tượng con nêm ngược tự cân bằng là 
điều khiển tối ưu LQR và phương pháp điều khiển 
mờ. Các kết quả đạt được như sau:
- Phương pháp LQR cho tín hiệu điều khiển 
khá tốt, góc nghiêng lớn, độ vọt lố thấp, tuy nhiên 
thời gian xác lập là tương đối lớn (5s).
- Phương pháp điều khiển mờ cho kết quả điều 
khiển tốt nhất, con nêm có thể giữ cân bằng với 
góc nghiêng θ=[-π/2;π/2], hệ thống ổn định và thời 
gian xác lập ngắn phù hợp với yêu cầu cân bằng 
của hệ thống.
- Đồng thời, tác giả đã thiết kế và điều khiển 
thành công mô hình thực nghiệm hệ con nêm 
ngược tự cân bằng, thông qua hệ thống giao tiếp 
thời gian thực sử dụng card DSP TMS320F28335. 
Kết quả thực nghiệm cho thấy giá trị góc nghiêng 
và vị trí vật năng luôn dao động xung quanh vị trí 
cân bằng.
Tài liệu tham khảo
Đài , Hi liệu tham khảo đã thiết kế và điều khiển thành công mô hình thực n, T liệu tham khảo đã thiết 
kế và điều khiể, s liệu tham khảo đã thiết kế và đ
Jeng-Hann Li, Tzuu-Hseng S. Li, Ting-Han Ou. July 2003. “Design and Implementation of Fuzzy 
Sliding-Mode Controller for a Wedge Balancing System”, Journal of Intelligent and Robotic Systems, 
Volume 37 Issue 3, pp. 285-306.
Moore M.L., Musacchio J.T., PassinoK.M. 2002. “Genetic Adaptive Control for an Inverted Wedge: 
Experiments and Comparative Analyses”, IEEE - American Control Conference, Proceedings of the 
1999 (vol 1), pp. 400 – 404.
Nguyễn, Thị Phương Hà. 2012. Lý thuyết điều khiển hiện đại, NXB Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí 
Minh, trang 163 – 165.
Shinq-Jen Wu, Cheng-Tao Wu, Yung-Yi chiou, Chin-Teng Lin, Yi-Nung Chung .2006. “Balancing 
Control of Sliding Inverted-Wedge System:classical-method-based compensation”, IEEE International 
Conference on SMC 06, pp. 1349 – 1354.