Đánh giá ổn định mái dốc trong không gian ba chiều – Phương pháp trượt cố thể

 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 45 (6/2014) 52 
ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH MÁI DỐCTRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU– 
PHƯƠNG PHÁP TRƯỢT CỐ THỂ 
Phạm Hữu Sy1 
Tóm tắt: Đánh giá ổn định mái dốc là vấn đề địa chất công trình thường phải giải quyết trong 
thực tiễn xây dựng. Từ trước đến nay vấn đề này được giải quyết bằng bài toán phẳng dễ dàng, 
nhưng có nhược điểm là không xét được ảnh hưởng của nhiều yếu tố. Tác giả bài báo đã nghiên 
cứu phát triển bài toán phẳng của Petterson để đánh giá ổn định mái dốc trong không gian ba 
chiều. Bằng thuật toán đưa khối trượt hình ellipsoid về hình bán cầu cho phép tính tích phân để xác 
định thể tích và diện tích mặt trượt, tác giả đã xây dựng được phương pháp 3D tính ổn định mái 
dốc bảo đảm chặt chẽ về mặt toán học và cơ học. Kết quả nghiên cứu có thể xây dựng được phương 
pháp hoàn thiện để áp dụng trong thực tế. 
Từ khóa: ổn định mái dốc, tính toán trượt, phương pháp 3D 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ1 
Trong thực tế xây dựng con người phải đụng 
chạm rất nhiều đến vấn đề ổn định mái dốc, ví 
dụ như ổn định mái hố móng, mái đường, mái 
đê, đập v.v.. bởi vậy, vấn đề nghiên cứu đánh 
giá ổn định mái dốc đã được nghiên cứu từ rất 
sớm, trước cả thời điểm ngành Cơ học đất chính 
thức ra đời. Cơ học đất chính thức được coi là 
ngành độc lập khi Karl Von Terzaghi cho ra đời 
cuốn sách đầu tiên về cơ học đất năm 1925, 
trong khi đó K.E. Petterson đề xuất phương 
pháp đánh giá ổn định mái dốc là vào năm 1915. 
Phương pháp này khi đó được đề xuất là cho bài 
toán phẳng. Ngày nay các phương pháp đánh 
giá ổn định mái dốc cho bài toán phẳng đã được 
phát triển nhiều tuy nhiên phương pháp 
Petterson vẫn được trình bày trong giáo trình Cơ 
học đất của các trường đại học như Mỏ-Địa 
chất, Đại học Thủy lợi, trong sách Cơ học đất 
của R. WhitlowTrượt mái dốc là một vấn đề 
phức tạp, phụ thuộc đồng thời vào nhiều yếu tố, 
vì vậy, để đơn giản hóa, chấp nhận sai số các 
nhà khoa học đã giải nó trong không gian hai 
chiều. Với sự tiến bộ của khoa học, các bài toán 
chuyên môn được nghiên cứu tiếp cận gần thực 
tiễn hơn, các nhà khoa học cũng đã có những 
nghiên cứu đánh giá ổn định mái dốc trong 
không gian ba chiều. Trên tinh thần đó chúng 
1 Bộ môn Địa kỹ thuật – Trường Đại học Thủy lợi 
tôi nghiên cứu giải lại bài toán do Petterson đề 
xuất nhưng là bài toán 3D. 
2. PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PETTERSON 
ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH MÁI DỐC TRONG 
KHÔNG GIAN BA CHIỀU 
Để đánh giá ổn định mái dốc K.E Petterson 
giả thiết rằng khi mất ổn định và mái dốc bị 
trượt thì tất cả các phần tử cấu tạo nên khối đất 
đều dịch chuyển với cùng một vận tốc. Chính vì 
vậy những người đi sau khi viết về phương pháp 
của ông thường nói rằng ông đã giả thiết “khối 
trượt là vật thể rắn” hay gọi phương pháp trượt 
của Petterson là “phương pháp trượt cố thể”. Để 
đơn giản cho tính toán ông cũng thêm giả thiết 
là mặt trượt là cung trụ tròn. Với hai giả thiết đó 
ông lập phương trình cân bằng moment cho bài 
toán phẳng như sau: 
Wd
LR
M
MF
gt
ct  (1) 
trong đó F là hệ số ổn định, Mct và Mgt lần 
lượt là moment chống trượt và moment gây 
trượt, τ là cường độ kháng cắt của đất dọc theo 
mặt trượt, L là chiều dài cung trượt, R là bán 
kính cung trượt, W là trọng lượng khối đất trượt 
và d khoảng cách theo phương ngang từ trọng 
tâm của khối trượt đến tâm của cung trượt. Mái 
dốc sẽ mất ổn định khi hệ số ổn định nhỏ hơn 1, 
ở trạng thái cân bằng giới hạn khi bằng 1 và ở 
trạng thái cân bằng bền khi lớn hơn 1. Phương 
pháp này còn được gọi là phương pháp Thụy 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 45 (6/2014) 53 
Điển vì K.E Petterson là người Thụy Điển. Sử 
dụng phương pháp Petterson W. Fellenius đã 
tính cho rất nhiều trường hợp và thiết lập được 
một bảng tương quan mà dựa theo đó có thể 
nhanh chóng tìm được cung trượt có hệ số ổn 
định nhỏ nhất cho đất dính lý tưởng và một 
phương pháp đồ họa tìm Kmin,min cho đất dính 
bình thường. 
Phương pháp Petterson có các ưu, nhược 
điểm sau: 
- Là phương pháp đồ họa kết hợp giải tích, 
trên cơ sở xét cân bằng giới hạn, tính toán đơn 
giản, nhanh chóng xác định được hệ số ổn định 
nhỏ nhất Kmin,min của mái dốc. 
- Là bài toán phẳng nên có các nhược điểm 
của tất cả các bài toán phẳng nói chung, đó là 
không xét được ảnh hưởng của điều kiện biên 
của khối trượt, sự biến đổi không gian của các 
chỉ tiêu tính chất của đất và của áp lực nước lổ 
rỗng, của cấu trúc địa chất trong phạm vi của 
khối trượt. 
- Gò ép mặt trượt về dạng cung trụ tròn mà 
không xét được hình dạng thực tế của chúng. 
Hình 1. Khối trượt đã được đưa về hình bán cầu 
Chúng tôi thử một phương pháp mới phát 
triển từ phương pháp K.E. Petterson để đánh giá 
ổn định mái dốc trong không gian ba chiều có 
thể khắc phục được những nhược điểm nói trên. 
Giả sử có một khối trượt hình ellipsoid được 
giới hạn bởi các phương trình tổng quát trong hệ 
tọa độ OXYZ sau: 
12
2
2
2
2
2
c
Z
b
Y
a
X (1) 
pnYmXZ (2) 
dZ (3) 
Để đơn giản hệ trục được bố trí như sau. Mặt 
nghiêng của khối trượt song song với trục OY và 
có hướng đổ trùng với trục OX về phía chiều 
âm, vì vậy 0n và cắt trục OZ ở giá trị âm, 
phương trình (2) trở thành: 
pmXZ (4) 
Đổi biến số, đặt ;bcX x ;acY y ;abZ z 
abc R , các phương trình trên sẽ trở thành: 
2222 Rzyx (5) 
abdz (6) 
abpx
c
maz (7) 
Bằng thủ thuật này bài toán xét ổn định mái 
dốc trường hợp khối trượt hình ellipsoid bất kỳ 
đã được đưa về hình bán cầu trong hệ trục tọa 
độ mới oxyz (hình 1). 
Tương tự như trong bài toán phẳng, lập 
phương trình cân bằng moment cho mái dốc 
trong không gian ba chiều. Khác với bài toán 
phẳng, đối với bài toán không gian thay vì chiều 
dài cung trượt L diện tích mặt trượt là diện tích 
hình bán cầu S, phương trình cân bằng moment 
trở thành: 
dV
SR
Wd
SR
M
MF
gt
ct


 (8) 
Để tính hệ số ổn định F cần phải tính ba đại 
lượng là diện tích mặt trượt S, thể tích của khối 
trượt V và cánh tay đòn d. Chúng được tính như 
sau: 
Tính diện tích mặt trượt S: 
D
2'
y
2'
x dxdyzz1S
D
222
D
222
22
yxR
dxdyRdxdy
yxR
yx1
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 45 (6/2014) 54 
D
A
E
B
C
D
A
E
B
C
21
222222
DD yxR
dxdyR
yxR
dxdyRS
(9) 
Tính thể tích khối trượt V: 
1
222
D
dxdyyxRabpx
c
maV
 (10) 
   
2
222
D
dxdyyxRabddxdy
Trong các công thức trên miền D1 là hình 
chiếu của bán cầu tương ứng với phần mái 
nghiêng DBED và miền D2 là hình chiếu của 
bán cầu tương ứng phần mái ngang của khối 
trượt DCED (hình 2) lên mặt phẳng XOY. Ranh 
giới của các miền được xác định như sau: 
Ranh giới của mặt nghiêng và mặt cầu (gọi là 
ranh giới loại 1): 
2 2 2 2
2
2 2
x y z R amy R x x abpma cz x abp
c
(11) 
Hoành độ của điểm giao xB: 
 0
2
22 
 abpx
c
amxR BB 
   021 22
2
2
2
22
 Rabpx
c
bmpax
c
ma
BB
c
ma1
c
pmba
c
bmpax 2
22
2
22242
B 
c
bmpa1:Rpba
2
2222 
Ranh giới của mặt ngang và mặt cầu (gọi là 
ranh giới loại 2): 
 222
2222
abdxRy
abdz
Rzyx
(12)
Hoành độ điểm giao xc: 
22222 0 abdRxabdxR cc 
Hoành độ điểm giao mặt nghiêng và mặt 
ngang (điểm A) 
 dp
m
bcx
abdz
abpx
c
maz
A 
Hình 2. Phối cảnh khối trượt trong không gian 3 chiều 
Bài toán đến đây gặp một trở ngại lớn liên 
quan đến cận tích phân là ranh giới của mặt 
nghiêng và mặt cầu (phương trình (11)). Dù tích 
phân trong tọa độ Descartes hay tọa độ cực, dù 
tích phân lớp nào trước thì sau khi thay cận sẽ 
được một hàm rất phức tạp khi lấy tích phân lớp 
thứ hai. Để khắc phục được khó khăn này chúng 
tôi sử dụng phương pháp gần đúng. Chúng ta 
biết rằng bản chất của phép tích phân là chia 
nhỏ để tính sau đó cộng lại. Ở đây chúng tôi 
chia thêm một lần, tức là chia trước khối trượt 
thành các phần nhỏ với cận tích phân xác định, 
lấy tích phân trong các phần đó sau đó cộng lại. 
Cách làm cụ thể như sau. Chia khối trượt bằng 
các mặt trụ đồng tâm có phương trình: 
222 )(ityx và các mặt phẳng qua tâm cách 
đều với tan( )y x jk với i và j là các số tự nhiên, 
trong đó i chạy từ tâm hình cầu ra và j ngược 
chiều kim đồng hồ, k và t là những giá trị 
khoảng chia thỏi cố định, Rit . Với cách 
chia này khối trượt sẽ được chia thành các thỏi 
có tiết diện ngang là các hình thang cong bao 
gồm: 
1/ Các thỏi có mặt trên là hình thang cong 
hoàn chỉnh, tức là nằm trọn vẹn trong phần mặt 
phẳng ngang của khối trượt. 
2/ Các thỏi có mặt trên nằm trọn vẹn trong 
phần mặt phẳng nghiêng, giới hạn cả 4 mặt bên 
là mặt phân chia. 
3/ Các thỏi nằm dọc theo mép bờ dốc của 
khối trượt có mặt trên một phần là mặt phẳng 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 45 (6/2014) 55 
ngang, một phần là mặt nghiêng. 
4/ Các thỏi nằm trên mặt phẳng nghiêng và ở 
biên của khối trượt, tức là các thỏi được giới 
hạn 3 mặt là các mặt phân chia và có một mặt là 
ranh giới loại 1. 
Tính thể tích của các thỏi: 
1/ Đối với các thỏi có mặt trên trọn vẹn trong 
mặt phẳng ngang: 
D
ji dxdyyxRabdV
222
, (13) 
Để thuận tiện chuyển qua tọa độ cực: 
 cosrx ; sinry ; rdrddxdy 
Phương trình (13) trở thành: 
'
22
,
D
ji rdrdrRabdV (14) 
' '
22
,
D D
ji rdrdabdrdrdrRV 
jk
kj
it
ti
jk
kj
it
ti
ji rdrdabdrdrrRdV
1 11 1
22
, 
    
  222
2
3
2222
3
22
j,i
t1iit
2
kabd
t1iRitR
3
kV



 (15) 
Ký hiệu 
    



2
3
2222
3
22
'D
22
t1iRitR
3
k
rdrdrR
là Vngang. 
2/ Đối với các thỏi có mặt trên nằm trọn vẹn 
trong mặt phẳng nghiêng, được giới hạn bởi các 
mặt phân chia: 
 dxdyyxRabpx
c
amV
D
ji 
 222, (16) 
Chuyển qua tọa độ cực: 
 rdrdrRabpr
c
amV
D
ji 
'
22
, cos (17) 
jk
k1j
it
t1i
jk
k1j
it
t1i
2
'D
22
j,i
rdrdabpdrrdcos
c
am
rdrdrRV
 (18) 
  
    2222
3333ngang
t1iti
2
abpkk1jsinjksin
t1iti
c3
amV
 (19) 
3/ Đối với các thỏi nằm dọc theo mép bờ dốc 
của khối trượt phần nào lớn hơn thì chuyển hẳn 
sang phần đó sử dụng công thức (15) hoặc (19) 
để tính. Khi các khoảng chia t và k rất nhỏ thì 
sai số do phép dịch chuyển thỏi này sẽ còn rất 
không đáng kể. 
4/ Đối với các thỏi nằm trên mặt phẳng 
nghiêng ở trên biên của khối trượt có một mặt 
bên giới hạn bởi biên loại 1 có thể xử lý như đối 
với các thỏi nằm trên mép mái dốc, bỏ đi những 
thỏi có tiết diện bị biên cắt còn lại nhỏ và tính 
như thỏi nguyên khi thỏi bị biên cắt nhưng tiết 
diện còn lại lớn. Cũng như trường hợp trên, khi 
chia thỏi với k và t vô cùng bé thì số thỏi bỏ đi 
này rất không đáng kể. Đây chính là phép tính 
gần đúng để xử lý khó khăn do ảnh hưởng của 
biên loại 1 đã nêu ở trên. 
Tính diện tích đáy của các thỏi: 
D
2'
y
2'
xj,i dxdyzz1S
D
22
D
222
22
rR
rdrdRdxdy
yxR
yx1dxdy 
jk
k1j
it
t1i
22j,i rR
rdrdRS
jk
k1j
22222 ditRt1iRR 
 22222, 1 itRtiRkRS ji
(20) 
Xác định trọng tâm của khối trượt và tính 
chiều dài cánh tay đòn d: 
Để xác định được cánh tay đòn cần xác định 
trọng tâm của khối trượt. Trọng tâm khối trượt 
sẽ nằm đâu đó trên mặt cắt đi qua chính tâm của 
khối trượt, tức là mặt cắt dọc theo trục ox. Trên 
mặt cắt này nối 2 điểm BC (hình 1), đoạn thẳng 
này chia mặt cắt thành hai phần là phần tam 
giác ABC và phần giới hạn giữa cung và dây 
cung BC. Vẽ ba đường trung tuyến của tam giác 
ABC, trọng tâm của phần hình tam giác ABC là 
giao điểm của ba đường trung tuyến đó. Trên 
phần giới hạn bởi cung và dây cung vẽ một dây 
cung nhỏ hơn B’C’ phía bên trong, song song 
với BC chia đôi hình này sao cho diện tích hai 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 45 (6/2014) 56 
phần bằng nhau. Trọng tâm của phần giới hạn 
bởi cung và dây cung là giao điểm của dây 
cung ' 'B C và bán kính chia đôi cung BC . Trọng 
tâm chung của cả khối trượt là điểm giữa của 
đoạn thẳng nối trọng tâm của hai phần đó. 
Sau khi tính được cả ba đại lượng, hệ số ổn 
định của mái dốc xác định theo công thức sau: 

 
ji
ji
gt
ct
Vd
SR
M
MF
,
,


 (21) 
Với kỹ thuật máy tính hiện nay việc tính toán 
thể tích và diện tính đáy khối trượt, việc chia 
nhỏ đủ bảo đảm độ chính xác theo cách này 
không có gì khó. 
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 
Từ các kết quả nghiên cứu trên đây có thể 
nêu một số kết luận sau đây: 
1. Phương pháp đánh giá ổn định mái dốc 
bằng bài toán phẳng không xét được ảnh hưởng 
của các yếu tố địa hình, cấu trúc địa chất, sự 
biến đổi không gian của các chỉ tiêu tính chất 
của đất. Bài toán 3D có thể xét được các ảnh 
hưởng đó. 
2.Có thể phát triển phương pháp cân bằng cố 
thể của Petterson để đánh giá ổn định của mái 
dốc trong không gian ba chiều. Phương pháp 
cân bằng cố thể 3D phát triển từ phương pháp 
Petterson có nhược điểm không xét được các 
lực kháng cắt tại các điểm khác nhau trên mặt 
trượt nhưng bù lại, nó xét được ảnh hưởng của 
các yếu tố có sự biến đổi không gian. 
3.Có thể nghiên cứu hoàn thiện phương pháp 
này để ứng dụng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO: 
1. Cao Văn Chí , Trịnh Văn Cương,Cơ học Đất, NXB Xây dựng 2003, Hà Nội. 
2. Phạm Hữu Sy, “Đánh giá ổn định mái dốc bằng phương pháp 3D”, Tạp chí Địa kỹ thuật 
(số 4), (2011), tr.40-46. 
3. Phạm Hữu Sy,“Slope stability evalution by 3D analysis method with rational bars – the 
case of standard arc sliding mass”,Proceedings of the International workshop on Geo-
Engineering for responding to climate change and sustainable development of 
infrastructure,(Hue Geo-Engineering 2012), pp. 139-144. 
4. Tạ Đức Thịnh, Nguyễn Huy Phương. “Cơ học đất” Nhà xuất bản Xây dựng 2002. 
5. Vũ Công Ngữ, Nguyễn Văn Dũng. “Cơ học đất”. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 
Hà Nội 1995. 
6. Whitlow. R. “Cơ học đất”. Bản dịch của Nguyễn Uyên, Trịnh Văn Cương, Nhà xuất bản 
Giáo dục 1996 
Abstract 
DEVELOPING PETTERSON METHOD TO ASSESS SLOPE STABILITY IN THREE 
DIMENTIONAL SPACE 
Evaluation of slope stabilization is a geological engineering issue which is very popular in practice. It 
has been widely dealt with by using plane method, but the disadvantage is that it does not take into account 
some factors. The author has studied and developed the plane method of Petterson to evaluate the slope 
stability in three dimensional space. By converting the slope mass of ellipsoid to hemisphere, the intergrals 
of sliding volume and surface area can be executed precisely in terms of maths and mechanical. This result 
can contribute to a complete method to apply in practice. 
Keywords: Slope stability, landslide conculation, 3D method 
Người phản biện: PGS.TS. Nguyễn Hồng Nam BBT nhận bài: 14/5/2014 
Phản biện xong: 10/7/2014