Định lí hội tụ cho điểm chung của bài toán cân bằng và ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ) trong không gian banach trơn đều và lồi đều

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018
67
ĐỊNH LÍ HỘI TỤ CHO ĐIỂM CHUNG CỦA BÀI TOÁN
CÂN BẰNG VÀ ÁNH XẠ THỎAMÃN ĐIỀU KIỆN (φ-Eµ)
TRONG KHÔNG GIAN BANACH TRƠN ĐỀU VÀ LỒI ĐỀU
Nguyễn Trung Hiếu1, Trương Cẩm Tiên1
A CONVERGENCE THEOREM FOR COMMON ELEMENTS OF
EQUILIBRIUM PROBLEMS AND MAPPINGS SATISFYING CONDITION
(φ-Eµ) IN UNIFORMLY CONVEX AND UNIFORMLY
SMOOTH BANACH SPACES
Nguyen Trung Hieu1, Truong Cam Tien2
Tóm tắt – Trong nghiên cứu này, chúng tôi
đề xuất một dãy lặp lai ghép mới để tìm điểm
chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập
điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn điều kiện
(φ-Eµ), thiết lập sự hội tụ của dãy lặp này trong
không gian Banach trơn đều và lồi đều. Từ định
lí này, chúng tôi nhận được một hệ quả về sự
hội tụ của dãy lặp cho bài toán cân bằng và ánh
xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ) trong không gian
Hilbert thực. Đồng thời, một ví dụ được đưa ra
để minh họa cho sự hội tụ dãy lặp cho bài toán
cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh
xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ). Các kết quả của
nghiên cứu này là mở rộng và cải tiến của một
số kết quả trong tài liệu tham khảo
Từ khóa: ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ),
bài toán cân bằng, dãy lặp lai ghép, không
gian Banach trơn đều và lồi đều.
Abstract – In this paper, we propose a new
hybrid iteration for finding a common element
of solution set of equilibrium problems and the
fixed point set of mappings satisfying condi-
1 Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp
Ngày nhận bài: 07/11/2017, ngày nhận kết quả bình
duyệt: 14/3/2018, ngày chấp nhận đăng: 10/4/2018.
Email: ngtrunghieu@dthu.edu.vn
1,2 Faculty of Mathematics Teacher Education,
Dong Thap University
Received date: 07th November 2018; Revised date:
14th March 2018; Accepted date: 10th April 2018
tion (φ-Eµ), and establish the convergence of
this iteration in uniformly convex and uniformly
smooth Banach spaces. From this theorem, we get
a corollary for the convergence for equilibrium
problems and mappings satisfying condition (Eµ)
in real Hilbert spaces. In addition, an example
is provided to illustrate for the convergence of
equilibrium problems and mappings satisfying
condition (φ-Eµ). These results are the genera-
tions and improvements of some existing results
in the literature.
Keywords: mapping satisfying (φ-Eµ), equi-
librium problem, hybrid iteration, uniformly
convex and uniformly smooth Banach space.
I. GIỚI THIỆU
Nhiều vấn đề trong toán học và những ngành
khoa học kĩ thuật khác dẫn đến việc giải bài toán
(EP) sau: “Tìm điểm x ∈ C sao cho f(x, y) ≥ 0
với mọi y ∈ C, trong đó C là tập lồi, đóng và f :
C×C −→ R là song hàm thỏa mãn f(x, x) = 0
với mọi x ∈ C”. Bài toán (EP) được gọi là bài
toán cân bằng và được giới thiệu năm 1994 bởi
Blum et al. [1]. Bài toán (EP) được xem như là
bài toán bất đẳng thức Ky Fan và là tổng quát
của nhiều mô hình toán học khác như bài toán
tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán
điểm bất động. Kĩ thuật cơ bản để giải bài toán
cân bằng (EP) là xây dựng dãy lặp và thiết lập sự
hội tụ của dãy lặp này đến nghiệm của bài toán
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
hoặc hội tụ đến hình chiếu của điểm xuất phát
lên tập nghiệm của bài toán.
Bên cạnh việc tìm nghiệm của bài toán cân
bằng, vấn đề tìm nghiệm chung của bài toán cân
bằng và bài toán điểm bất động của các ánh xạ
phi tuyến cũng được nhiều tác giả quan tâm. Năm
2009, Takahashi et al. [2] đã giới thiệu dãy lặp
lai ghép để tìm nghiệm chung của bài toán cân
bằng và bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ
tương đối không giãn trong không gian Banach
trơn đều và lồi đều; Qin et al. [3] đã đề xuất một
dãy lặp để tìm nghiệm chung của bài toán cân
bằng và bài toán tìm điểm bất động của hai ánh
xạ tựa φ-không giãn trong không gian Banach
trơn đều và lồi đều. Năm 2016, Alizadeh et al.
[4] đã đề xuất một dãy lai ghép để tìm nghiệm
chung của bài toán cân bằng và bài toán tìm điểm
bất động của ánh xạ hỗn hợp tổng quát trong
không gian Hilbert. Lưu ý rằng, ở mỗi bước lặp
của dãy lặp trong Alizadeh et al. [4], chúng ta
phải thực hiện tính toán để tìm hai tập Cn và
Qn. Năm 2017, Trương Cẩm Tiên và cộng sự [5]
đã nghiên cứu tổng quát các kết quả chính trong
Alizadeh et al. [4] sang không gian Banach, cụ
thể là các tác giả đã giới thiệu khái niệm ánh xạ
thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ), đề xuất một dãy lặp
lai ghép để tìm nghiệm chung của bài toán cân
bằng và điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn điều
kiện (φ-Eµ), đồng thời thiết lập sự hội tụ của
dãy lặp này trong không gian Banach trơn đều
và lồi đều. Để ý rằng, dãy lặp trong Trương Cẩm
Tiên và cộng sự [5] đã bớt tập Qn. Tuy nhiên,
khi xét trong không gian Hilbert thì dãy lặp trong
Trương Cẩm Tiên và cộng sự [5] không có dạng
dãy lặp trong Alizadeh et al. [4]. Hơn nữa, ở mỗi
bước lặp, chúng ta phải tìm tập Cn+1 với độ tính
toán phức tạp. Chính vì vậy, trong nghiên cứu
này, chúng tôi đề xuất một dãy lặp lai ghép mới
để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân
bằng và tập điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn
điều kiện (φ-Eµ), thiết lập sự hội tụ của dãy lặp
này trong không gian Banach trơn đều và lồi đều.
Từ đó, chúng tôi nhận được một kết quả về sự hội
tụ của dãy lặp lai ghép cho bài toán cân bằng và
ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ) trong không gian
Hilbert. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví
dụ minh họa cho kết quả.
II. TỔNG QUAN
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả
cơ bản được sử dụng trong bài viết. Lưu ý rằng
trong bài viết này, chúng tôi xét E là không gian
Banach thực.
Định nghĩa 1 ( [6]). Cho E là không gian Banach
và U = {x ∈ E : ‖x‖ = 1}. Khi đó,
(1) Không gian E được gọi là lồi chặt nếu U lồi
chặt, nghĩa là ‖x + y‖ < 2 với mọi x, y ∈
E, ‖x‖ = ‖y‖ = 1 và x 6= y.
(2) Không gian E được gọi là lồi đều nếu với
ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho ‖x + y‖ <
2(1−δ) với mọi x, y ∈ E, ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1
và ‖x− y‖ = ε.
(3) Không gian E được gọi là trơn nếu với mỗi
x, y ∈ U , tồn tại
lim
t→0
‖x+ ty‖ − ‖x‖
t
. (1)
(4) Không gian E được gọi là trơn đều nếu giới
hạn (1) là giới hạn đều với x, y ∈ U.
Từ định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng nếu E
là không gian Banach lồi đều thì E là không gian
Banach lồi chặt và phản xạ; nếu E là không gian
Banach trơn đều thì E là không gian Banach trơn
và phản xạ.
Cho E là một không gian Banach với chuẩn
‖.‖ và E∗ không gian liên hợp của E. Kí hiệu
〈x, f〉 là giá trị của ánh xạ tuyến tính f ∈ E∗ tại
x ∈ E. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → 2E∗
được định nghĩa bởi
J(x) = {x∗ ∈ E∗ : 〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2}
với mọi x ∈ U.
Bổ đề 2 ( [6]). Cho E là không gian Banach.
(1) Nếu E là không gian Banach trơn thì J là
ánh xạ đơn trị, liên tục yếu* theo chuẩn và
‖Ju‖ = ‖u‖ với mọi u ∈ E.
(2) Nếu E là không gian Banach lồi chặt, tự
liên hợp thì J−1 là ánh xạ liên tục yếu*
theo chuẩn.
68
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
(3) Nếu E là không gian Banach trơn, lồi chặt, tự
liên hợp thì J là song ánh và ‖J−1u‖ = ‖u‖
với mọi u ∈ E∗.
(4) Nếu E là không gian Banach trơn đều thì J
là ánh xạ liên tục đều trên mỗi tập con bị
chặn của E.
(5) Nếu E là không gian Hilbert thì J là ánh xạ
đồng nhất.
(6) Không gian Banach E là trơn đều nếu và chỉ
nếu E∗ là không gian Banach lồi đều.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm và
một số tính chất của phiếm hàm Lyapunov trong
không gian Banach trơn. Giả sử rằng E là một
không gian Banach trơn. Xét phiếm hàm Lya-
punov φ : E × E −→ R được định nghĩa bởi
φ(x, y) = ‖x‖2 − 2 〈x, Jy〉+ ‖y‖2 (2)
với mọi x, y ∈ E.
Nhận xét 3 ( [6]). Từ định nghĩa của phiếm hàm
φ, ta được
(1) Nếu E là không gian Hilbert thì (2) trở thành
φ(x, y) = ‖x− y‖2 với mọi x, y ∈ E.
(2) Với mọi x, y ∈ E, ta có
(||x|| − ||y||)2 ≤ φ(x, y) ≤ (||x||+ ||y||)2
(3)
và
φ(x, J−1(λJy + (1− λ)Jz))
≤ λφ(x, y) + (1− λ)φ(x, z). (4)
(3) Cho E là không gian Banach trơn, lồi chặt
và phản xạ. Khi đó, φ(x, y) = 0 khi và chỉ
khi x = y với mọi x, y ∈ E.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả
liên quan đến sự hội tụ trong không gian Banach
lồi đều và trơn.
Bổ đề 4 ( [7], Proposition 2). Cho E là một không
gian Banach lồi đều, trơn và hai dãy {xn}, {yn}
trong E. Khi đó, nếu lim
n→∞φ(xn, yn) = 0
và {xn} bị chặn hoặc {yn} bị chặn thì
lim
n→∞ ‖xn − yn‖ = 0.
Bổ đề 5 ( [7], Proposition 2). Cho E là một không
gian Banach lồi đều, trơn và hai dãy {xn}, {yn}
trong E sao cho {xn} bị chặn và {yn} bị chặn.
Khi đó,
lim
n→∞φ(xn, yn) = 0
⇔ lim
n→∞ ‖xn − yn‖ = 0
⇔ lim
n→∞ ‖Jxn − Jyn‖ = 0
Bổ đề 6 ( [7], Proposition 2). Cho E là một không
gian Banach lồi đều và r > 0. Khi đó, tồn tại
g : [0, 2r]→ [0,∞) là hàm số liên tục, tăng chặt
và lồi sao cho g(0) = 0 và ‖λx+ (1− λ)y‖2 ≤
λ‖x‖2+(1−λ)‖y‖2−λ(1−λ)g(‖x−y‖) với mọi
λ ∈ [0, 1] và x, y ∈ B = {z ∈ E : ‖z‖ ≤ r}.
Năm 1996, Alber [6] đã giới thiệu một mở rộng
của khái niệm phép chiếu PC trong không gian
Hilbert sang không gian Banach và được gọi là
phép chiếu suy rộng ΠC . Tiếp theo, chúng tôi
trình bày khái niệm và một số tính chất của phép
chiếu suy rộng trong không gian Banach.
Bổ đề 7 ( [8], p.338). Cho E là một không gian
Banach lồi chặt, trơn và tự liên hợp, C là một tập
con lồi, đóng, khác rỗng trong E. Khi đó, với mỗi
x ∈ E, tồn tại duy nhất phần tử ΠCx ∈ C sao
cho φ(x,ΠCx) = inf{φ(x, y) : y ∈ C}. Ta gọi
ánh xạ ΠC là phép chiếu từ E lên C.
Bổ đề 8 ( [8], Lemma 1.3). Cho E là một không
gian Banach lồi chặt, trơn và tự liên hợp, C là
một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong E và x ∈
E. Khi đó,
(1) z = ΠCx nếu và chỉ nếu 〈x− z, z − y〉 ≥ 0
với mọi y ∈ C.
(2) φ(y,ΠCx) + φ(ΠCx, x) ≤ φ(y, x) với mọi
y ∈ C.
Năm 2011, Garcia-Falset et al. [9] đã tổng quát
khái niệm ánh xạ không giãn thành khái niệm ánh
xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ) như sau:
Định nghĩa 9 ( [9], Definition 2). Cho E là một
không gian Banach, C là một tập con khác rỗng
trong E và T : C −→ C là một ánh xạ. Khi đó,
ánh xạ T được gọi là một ánh xạ thỏa mãn điều
69
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
kiện (Eµ) trong C nếu tồn tại µ ≥ 1 sao cho với
mọi x, y ∈ C, ta có
‖x− Ty‖ ≤ µ‖x− Tx‖+ ‖x− y‖.
Kí hiệu F (T ) = {x ∈ C : Tx = x} là tập
điểm bất động của ánh xạ T . Tiếp theo, chúng
tôi trình bày khái niệm ánh xạ φ-không giãn và
ánh xạ tựa φ-không giãn được giới thiệu bởi Qin
et al. [10].
Định nghĩa 10 ( [10], p.1052). Cho E là một
không gian Banach trơn, C là một tập con khác
rỗng trong E, φ : E × E −→ R là phiếm hàm
Lyapunov và ánh xạ T : C −→ C. Khi đó,
(1) T được gọi là ánh xạ φ-không giãn nếu
φ(Tx, Ty) ≤ φ(x, y) với mọi x, y ∈ C.
(2) T được gọi là ánh xạ tựa φ-không giãn nếu
φ(p, Ty) ≤ φ(p, y) với mọi y ∈ C và p ∈
F (T ).
Năm 2017, Trương Cẩm Tiên và cộng sự [5] đã
sử dụng phiếm hàm Lyapunov để mở rộng khái
niệm ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ) thành khái
niệm ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ) trong
không gian Banach trơn như sau:
Định nghĩa 11 ( [5], Định nghĩa 2.1). Cho E là
một không gian Banach trơn, C là một tập con
khác rỗng trong E, φ : E ×E −→ R là phiếm
hàm Lyapunov và ánh xạ T : C −→ C. Khi đó,
T được gọi là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ)
nếu tồn tại µ ≥ 1 sao cho với mọi x, y ∈ C, ta có√
φ(x, Ty) ≤ µ
√
φ(x, Tx) +
√
φ(x, y).
Nhận xét 12 ( [5], Nhận xét 2.2). Nếu E là không
gian Hilbert thì ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ)
là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ).
Ví dụ sau minh họa cho khái niệm ánh xạ thỏa
mãn điều kiện (φ-Eµ).
Ví dụ 13. Xét E = R là không gian Banach với
chuẩn ‖u‖ = |u| với mọi u ∈ E, C = [−1, 1].
Khi đó, ánh xạ J = I và phiếm hàm Lyapunov
φ(u, v) = (u− v)2 với mọi u, v ∈ E và T :
C −→ C được xác định bởi Tx = x
x+ 2
với
mọi x ∈ C. Khi đó, T là ánh xạ thỏa mãn điều
kiện (φ-Eµ) với µ ≥ 1. Thật vậy, ta xét hai trường
hợp sau.
Trường hợp 1. Với x = 0 và với mọi y ∈ C,
ta có √
φ(x, Ty) = |0− Ty| = | y
y + 2
| ≤ |y|
=
√
φ(x, y) = µ
√
φ(x, Tx) +
√
φ(x, y).
Trường hợp 2. Với x 6= 0 với mọi y ∈ C, ta có√
φ(x, Ty) = |x− y
y + 2
|
≤ |y − 2
y + 2
+ 1|+ |x− y|.
Đặt f(t) = t − 2
t+ 2
+ 1 với t ∈ C. Khi đó,
ta có max
t∈C
|f(t)| = f(−1) = 2 và min
t∈C
|f(t)| =
f(0) = 0. Suy ra tồn tại c ∈ C sao cho f(c) =
min
t∈C,t6=0
|f(t)| 6= 0. Do đó, tồn tại µ ≥ 1 sao cho
|y − 2
y + 2
+ 1| ≤ |f(−1)| = 2 ≤ µ|f(c)|
≤ µ|x− 2
x+ 2
+ 1| = µ
√
φ(x, Tx).
Từ hai trường hợp trên, ta suy ra tồn tại µ ≥ 1
sao cho√
φ(x, Ty) ≤ µ
√
φ(x, Tx) +
√
φ(x, y).
Điều này có nghĩa là T là ánh xạ thỏa mãn điều
kiện (φ-Eµ) với µ ≥ 1.
Mặt khác, T không là ánh xạ φ-không giãn.
Thật vậy, chọn x = −0.9, y = −0.8, ta có
φ(Tx, Ty) = 0.02 > 0.01 = φ(x, y).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả về
tính chất cho tập điểm bất động của ánh xạ thỏa
mãn điều kiện (φ-Eµ) trong không gian Banach
lồi đều và trơn.
Mệnh đề 14 ( [5], Mệnh đề 2.3). Cho E là một
không gian Banach trơn, C là một tập con khác
rỗng trong E, φ : E × E −→ R là phiếm hàm
Lyapunov và ánh xạ T : C −→ C. Khi đó, nếu
T là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ) trong C
sao cho F (T ) 6= ∅ thì T ánh xạ tựa φ-không
giãn trong C.
70
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
Mệnh đề 15 ( [5], Mệnh đề 2.4). Cho E là một
không gian Banach trơn đều, lồi đều, C là tập con
lồi, đóng, khác rỗng trong E, φ : E ×E −→ R
là phiếm hàm Lyapunov và T : C −→ C là ánh
xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ) trong C sao cho
F (T ) 6= ∅. Khi đó, F (T ) là tập con lồi, đóng
trong C.
Mệnh đề 16 ( [5], Mệnh đề 2.5). Cho E
là một không gian Banach trơn đều, lồi đều,
C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong E,
φ : E × E −→ R là phiếm hàm Lyapunov,
ánh xạ T : C −→ C là ánh xạ thỏa
mãn điều kiện (φ-Eµ) và {xn} ⊂ C sao cho
lim
n→∞φ(xn, x) = 0 và limn→∞φ(xn, Txn) = 0. Khi
đó, x ∈ F (T ).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả
về bài toán cân bằng. Xét bài toán cân bằng (EP)
như sau: “Tìm điểm p ∈ C sao cho f(p, y) ≥ 0
với mọi y ∈ C, trong đó, C là tập lồi, đóng, khác
rỗng." Kí hiệu EP (f) = {p ∈ C : f(p, y) ≥ 0,
với mọi y ∈ C} là tập nghiệm của bài toán (EP).
Để giải bài toán (EP), các tác giả đã xét những
giả thiết sau cho song hàm f .
(A1) f(u, u) = 0 với mọi u ∈ C.
(A2) f đơn điệu, nghĩa là f(u, v)+f(v, u) ≤ 0
với mọi u, v ∈ C.
(A3) lim
t↓0
sup f(tw+(1−t)u, v) ≤ f(u, v) với
mọi u, v, w ∈ C.
(A4) Với mỗi u ∈ C, v 7→ f(u, v) là hàm lồi
và nửa liên tục dưới.
Bổ đề sau thiết lập một số tính chất về tập
nghiệm của bài toán cân bằng (EP).
Bổ đề 17. Cho E là một không gian Banach lồi
chặt, trơn đều, C là một tập con lồi, đóng, khác
rỗng trong E, f : C × C −→ R là song hàm
thỏa mãn (A1) – (A4), r > 0 và u ∈ C. Khi đó,
(1) [1] Tồn tại w ∈ C sao cho f(w, y) +
1
r
〈y − w, Jw − Ju〉 ≥ 0 với mọi y ∈ C.
(2) [2], [3] Xét ánh xạ Kr : E −→ C được định
nghĩa bởi
Kr = {w ∈ C : f(w, y) +
1
r
〈y − w, Jw − Ju〉 ≥ 0, ∀y ∈ C}.
Khi đó
(a) Kr là ánh xạ đơn trị.
(b) Kr là ánh xạ không giãn vững, nghĩa là,
với mọi u, v ∈ E, ta có
〈Kru−Krv, JKru− JKrv〉
≤ 〈Kru−Krv, Ju− Jv〉 .
(c) F (Kr) = EP (f).
(d) Kr là ánh xạ tựa φ-không giãn.
(e) φ(q,Kru)+φ(Kru, u) ≤ φ(q,  ... III. NỘI DUNG
Trước hết, bằng cách thay tập Cn+1 trong Định
lí 18 bởi tập Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, wn) ≤
φ(z, xn)} đơn giản, chúng tôi thiết lập sự hội tụ
của một dãy lặp lai ghép mới cho bài toán cân
bằng và ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ) trong
không gian Banach trơn đều và lồi đều.
Định lí 20. Cho E là một không gian Banach
trơn đều và lồi đều, C là một tập con lồi, đóng,
khác rỗng trong E, f : C × C −→ R là song
hàm thỏa mãn các giả thiết (A1) – (A4), φ :
E × E −→ R là phiếm hàm Lyapunov và T :
C −→ C là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ)
sao cho F := F (T )∩EP (f) 6= ∅. Xét dãy {xn}
xác định bởi
x0 ∈ E, C1 = C, x1 = ΠC1x0,
un = J
−1(αnJxn + (1− αn)JTxn),
vn = Krnxn,
wn = J
−1(γnJun + (1− γn)JTvn),
Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, wn) ≤ φ(z, xn)},
xn+1 = ΠCn+1x0, n ∈ N∗,
trong đó, Krn là ánh xạ xác định như trong Bổ
đề 17, 0 ≤ αn, γn ≤ 1 sao cho lim
n→∞ αn = 1,
lim inf
n→∞ γn(1− γn) > 0, rn ∈ [ε,∞) với ε > 0
và với mọi n ∈ N∗. Khi đó, dãy {xn} hội tụ
đến p = ΠFx0.
Chứng minh. Ta chứng minh theo 6 bước sau:
Bước 1. Chứng minh phép chiếu ΠFx0
xác định.
Bằng cách sử dụng Bổ đề 17, ta có EP (f)
là tập lồi, đóng. Theo Mệnh đề 15, ta có F (T )
là tập lồi, đóng. Do đó, EP (f) ∩ F (T ) là tập
lồi, đóng. Kết hợp với giả thiết F := F (T ) ∩
EP (f) 6= ∅, ta có F là tập lồi, đóng, khác rỗng
trong C. Vì vậy, theo Bổ đề 7, ta có phép chiếu
ΠFx0 xác định.
Bước 2. Chứng minh dãy {xn} xác định.
Theo Bổ đề 7, để chứng minh dãy {xn} xác
định, ta cần chứng minh Cn là tập lồi, đóng, khác
rỗng với mọi n ∈ N∗. Thật vậy, ta lưu ý rằng
Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, wn) ≤ φ(z, xn)}
= {z ∈ Cn : 2〈z, Jxn − Jwn〉 ≤ ‖xn‖2
−‖wn‖2}.
Bây giờ, ta chứng minh Cn là tập đóng với mọi
n ∈ N∗. Với n = 1, ta có C1 = C là tập đóng.
Giả sử Cn là tập đóng với mọi n ∈ N∗. Ta chứng
minh Cn+1 cũng là tập đóng với mọi n ∈ N∗.
Lấy {u(k)n+1}k là dãy trong Cn+1 và {u
(k)
n+1}k hội
tụ đến u(0)n+1. Ta chứng minh u
(0)
n+1 ∈ Cn+1. Do
u
(k)
n+1 ∈ Cn+1 nên u(k)n+1 ∈ Cn và
2〈u(k)n+1, Jxn − Jwn〉 = ‖xn‖2 − ‖wn‖2.
Do Cn là tập đóng và {u(k)n+1}k hội tụ đến
u
(0)
n+1 nên u
(0)
n+1 ∈ Cn. Mặt khác, khi k → ∞
trong bất đẳng thức trên, ta được
2〈u(0)n+1, Jxn − Jwn〉 = ‖xn‖2 − ‖wn‖2.
Do đó, u(0)n+1 ∈ Cn+1. Điều này có nghĩa Cn+1
là tập đóng với mọi n ∈ N.
Tiếp theo, ta chứng minh Cn là tập lồi với mọi
n ∈ N∗. Với n = 1, ta có C1 = C là tập lồi. Giả
sử Cn là tập lồi với mọi n ∈ N∗. Ta chứng minh
Cn+1 cũng là tập lồi với mọi n ∈ N∗. Với u, v ∈
Cn+1, ta chứng minh αu + (1 − α)v ∈ Cn+1
với α ∈ [0, 1]. Thật vậy, do u, v ∈ Cn+1 nên
u, v ∈ Cn và từ định nghĩa của Cn+1 , ta được
2〈u, Jxn − Jwn〉 = ‖xn‖2 − ‖wn‖2 (5)
và
2〈v, Jxn − Jwn〉 = ‖xn‖2 − ‖wn‖2. (6)
Do Cn là tập lồi và u, v ∈ Cn nên
αu+ (1− α)v ∈ Cn.
Mặt khác, từ (5) và (6), ta có
2〈αu, Jxn − Jwn〉 = α(‖xn‖2 − ‖wn‖2). (7)
và
2〈(1− α)v, Jxn − Jwn〉
= (1− α)(‖xn‖2 − ‖wn‖2). (8)
72
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
Khi đó, sử dụng (8), ta được
2〈αu+ (1− α)v, Jxn − Jwn〉 = ‖xn‖2−‖wn‖2.
Điều này có nghĩa là αu+ (1−α)v ∈ Cn+1 hay
Cn+1 là tập lồi với mọi n ∈ N. Do đó, Cn là tập
lồi, đóng với mọi n ∈ N∗.
Tiếp theo, ta chứng minh Cn khác rỗng với
mọi n ∈ N∗. Để chứng minh điều này, ta chứng
minh F ⊂ Cn với mọi n ∈ N∗. Với n = 1, ta có
F ⊂ F (T ) ⊂ C = C1. Giả sử rằng F ⊂ Cn với
n ∈ N∗. Ta chứng minh F ⊂ Cn+1. Thật vậy, với
u ∈ F , theo giả thiết F ⊂ Cn ta được u ∈ Cn.
Theo Mệnh đề 14, ta có T cũng là ánh xạ tựa
φ-không giãn. Do đó, áp dụng (4), ta được
φ(u, un)
= φ(u, J−1(αnJxn + (1− αn)JTxn))
≤ αnφ(u, xn) + (1− αn)φ(u, Txn)
≤ αnφ(u, xn) + (1− αn)φ(u, xn)
= φ(u, xn). (9)
Do Krn là ánh xạ tựa φ-không giãn nên
φ(u, vn) = φ(u,Krnxn) ≤ φ(u, xn). (10)
Do đó, kết hợp (9) với (10) và sử dụng (4), ta được
φ(u,wn)
= φ(u, J−1(γnJun + (1− γn)JTvn))
≤ γnφ(u, un) + (1− γn)φ(u, Tvn)
≤ γnφ(u, un) + (1− γn)φ(u, vn)
≤ γnφ(u, xn) + (1− γn)φ(u, xn)
= φ(u, xn).
Điều này có nghĩa là u ∈ Cn+1. Do đó, F ⊂
Cn+1 với mọi n ∈ N.
Từ những chứng minh trên và kết hợp với giả
thiết F là tập khác rỗng, ta suy ra Cn là tập
lồi, đóng, khác rỗng. Sử dụng Bổ đề 7, ta có
phép chiếu ΠCnx0 là xác định. Do đó, dãy {xn}
xác định.
Bước 3. Chứng minh {φ(xn, x0)} hội tụ,
lim
n→∞φ(xn+1, xn) = 0. Với mọi n ∈ N
∗, vì
xn = ΠCnx0 nên theo Bổ đề 7 ta có
φ(xn, x0) ≤ φ(z, x0) với mọi z ∈ Cn. (11)
Khi đó, với u ∈ F ta có u ∈ Cn. Kết hợp với (11),
ta có φ(xn, x0) ≤ φ(u, x0). Điều này có nghĩa là
{φ(xn, x0)} bị chặn. Mặt khác, vì Cn+1 ⊂ Cn
với mọi n ∈ N∗ nên
xn+1 = ΠCn+1x0 ∈ Cn+1 ⊂ Cn. (12)
Do đó, từ (11) và (12), ta được φ(xn, x0) ≤
φ(xn+1, x0) hay {φ(xn, x0)} là dãy đơn điệu
tăng. Kết hợp với tính bị chặn của {φ(xn, x0)},
ta suy ra tồn tại giới hạn của {φ(xn, x0)}. Đặt
lim
n→∞φ(xn, x0) = r. (13)
Mặt khác, vì xn = ΠCnx0 nên theo Bổ đề 8 với
mọi u ∈ Cn, ta có
φ(u, xn) + φ(xn, x0) ≤ φ(u, x0). (14)
Kết hợp (14) với (12), ta được
0 ≤ φ(xn+1, xn) ≤ φ(xn+1, x0)− φ(xn, x0).
(15)
Cho n→∞ trong (15) và sử dụng (13), suy ra
lim
n→∞φ(xn+1, xn) = 0. (16)
Kết hợp điều này với Bổ đề 4, ta được
lim
n→∞ ‖xn+1 − xn‖ = 0. (17)
Bước 4. Chứng minh {xn} hội tụ đến p ∈ C.
Với mọi m ≥ n, ta có Cm ⊂ Cn. Kết hợp điều
này với (15), ta được
0 ≤ φ(xm, xn) ≤ φ(xm, x0)− φ(xn, x0). (18)
Từ (13), (18) và Bổ đề 4, suy ra
lim
m,n→∞φ(xm, xn) = limm,n→∞ ‖xm − xn‖ = 0.
Do đó, {xn} là dãy Cauchy trong C. Mặt khác,
do C là tập đóng trong E nên C có tính đầy đủ.
Khi đó, tồn tại p ∈ C sao cho
lim
n→∞xn = p. (19)
Bước 5. Chứng minh p ∈ F.
Trước hết, ta chứng minh p ∈ F (T ). Vì
xn+1 = ΠCn+1x0 ∈ Cn+1 nên theo định nghĩa
của Cn+1, ta có
φ(xn+1, wn) ≤ φ(xn+1, xn). (20)
73
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
Sử dụng (16) và (20), ta suy ra
lim
n→∞φ(xn+1, wn) = 0.
Khi đó, từ Bổ đề 4 ta được
lim
n→∞ ‖xn+1 − wn‖ = 0. (21)
Ta lại có
‖xn − wn‖ ≤ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − wn‖.
Kết hợp điều này với (16), (21) và Bổ đề 5,
ta được
lim
n→∞ ‖xn − wn‖ = 0 (22)
và
lim
n→∞ ‖Jxn − Jwn‖ = 0. (23)
Mặt khác, với u ∈ F, ta có
φ(u,wn)
= φ(u, J−1(γnJun + (1− γn)JTvn))
= ‖u‖2 − 2 〈u, γnJun + (1− γn)JTvn〉
+‖γnJun + (1− γn)JTvn‖2
≤ ‖u‖2 − 2 〈u, γnJun + (1− γn)JTvn〉
+γn‖Jun‖2 + (1− γn)‖JTvn‖2
−γn(1− γn)g(‖un − Tvn‖)
≤ φ(u, xn)− γn(1− γn)g(‖un − Tvn‖).
Suy ra
γn(1− γn)g(‖un − Tvn‖
≤ φ(u, xn)− φ(u,wn). (24)
Hơn nữa, ta có
|φ(u, xn)− φ(u,wn)|
=
∣∣2 〈u, Jwn − Jxn〉+ ‖xn‖2 − ‖wn‖2∣∣
≤ 2 |〈u, Jwn − Jxn〉|+ | ‖xn‖ − ‖wn‖|
×(‖xn‖+ ‖wn‖)
≤ 2‖u‖.‖Jwn − Jxn‖+ ‖xn − wn‖
×(‖xn‖+ ‖wn‖).
Kết hợp bất đẳng thức trên với (22) và (23) , ta
được lim
n→∞ |φ(u, xn) − φ(u,wn)| = 0. Kết hợp
điều này với (24) và lim inf
n→∞ γn(1 − γn) > 0, ta
được lim
n→∞ g(‖Jun − JTvn‖) = 0. Khi đó, theo
tính chất của hàm số g, ta suy ra
lim
n→∞ ‖Jun − JTvn‖ = 0.
Sử dụng Bổ đề 5, ta được
lim
n→∞ ‖un − Tvn‖ = 0. (25)
Mặt khác, ta có Jun = αnJxn + (1−αn)JTxn.
Suy ra ‖Jun−Jxn‖ = (1−αn)‖xn− Txn‖. Do
lim
n→∞αn = 1 và {xn} bị chặn nên limn→∞ ‖Jun −
Jxn‖ = 0. Sử dụng Bổ đề 5, ta được
lim
n→∞ ‖un − xn‖ = 0. (26)
Ta lại có
‖xn − Tvn‖ ≤ ‖un − xn‖+ ‖un − Tvn‖. (27)
Khi đó, kết hợp (27) với (25), (26) và sử dụng
Bổ đề 5, ta được
lim
n→∞ ‖xn − Tvn‖ = limn→∞ ‖Jxn − JTvn‖ = 0.
(28)
Mặt khác, vì vn = Krnxn, T là ánh xạ thỏa mãn
điều kiện (φ-Eµ) và Bổ đề 6 nên với u ∈ F, ta có
φ(vn, xn) ≤ φ(u, xn)− φ(u, vn)
≤ φ(u, xn)− φ(u, Tvn). (29)
Ta cũng có
|φ(u, xn)− φ(u, Tvn)|
≤ 2‖u‖.‖JTvn − Jxn‖
+‖xn − Tvn‖(‖xn‖+ ‖Tvn‖). (30)
Từ (28) và Bổ đề 5, khi cho n → ∞ trong (29)
và (30), ta được
lim
n→∞φ(vn, xn) = limn→∞ ‖vn − xn‖ = 0 (31)
và
lim
n→∞ ‖Jvn − Jxn‖ = 0. (32)
Kết hợp (19), (31) và Bổ đề 5, ta được
lim
n→∞ ‖vn − p‖ = limn→∞φ(vn, p) = 0. (33)
Ta lại có
‖vn − Tvn‖ ≤ ‖vn − xn‖+ ‖xn − Tvn‖. (34)
74
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
Do đó, kết hợp (34) với (28) và (31), ta được
lim
n→∞ ‖vn − Tvn‖ = limn→∞φ(vn, T vn) = 0.
(35)
Khi đó, từ (33), (35) và sử dụng Mệnh đề 16,
ta được p ∈ F (T ).
Tiếp theo, chúng ta chứng minh p ∈ EP (f).
Thật vậy, vì vn = Krnxn nên theo Bổ đề 17,
ta có
f(vn, y) +
1
rn
〈y − vn, Jvn − Jxn〉 ≥ 0
với mọi y ∈ E. Khi đó, từ giả thiết (A2), ta có
1
rn
〈y− vn, Jvn− Jxn〉 ≥ −f(vn, y) ≥ f(y, vn).
với mọi y ∈ C. Kết hợp điều này với điều kiện
(A4), (32) và (33), ta được f(y, p) ≤ 0 với mọi
y ∈ C. Đặt yt = ty+ (1− t)p với t ∈ (0, 1], y ∈
C. Khi đó, yt ∈ C và f(yt, p) ≤ 0. Từ giả thiết
(A1) và (A4), ta được
0 = f(yt, yt) ≤ tf(yt, y) + (1− t)f(yt, p)
≤ tf(yt, y).
Ta chia các vế của bất đẳng thức cho t, ta có
f(yt, y) ≥ 0 với mọi y ∈ E. Cho t ↓ 0 và sử dụng
giả thiết (A3), ta được f(p, y) ≥ 0 với mọi y ∈ E
và do đó p ∈ EP (f). Kết hợp với p ∈ F (T ), ta
được p ∈ F.
Bước 6. Chứng minh p = ΠFx0.
Vì xn+1 = ΠCn+1x0 nên sử dụng Bổ đề 8, ta
có 〈xn+1 − y, Jx0 − Jxn+1〉 ≥ 0 với mọi y ∈
Cn+1. Với mọi u ∈ F, vì F ⊂ Cn+1 nên u ∈
Cn+1. Do đó,
〈xn+1 − u, Jx0 − Jxn+1〉 ≥ 0. (36)
Cho n→∞ trong (36), ta được
〈p− u, Jx0 − Jp〉 ≥ 0
với mọi u ∈ F. Theo Bổ đề 8, ta có p = ΠFx0.
Lưu ý rằng khi E là không gian Hilbert thì
φ(x, y) = ‖x−y‖2 với mọi x, y ∈ E và J là ánh
xạ đồng nhất. Do đó, từ Định lí 20, ta nhận được
kết quả về sự hội tụ của dãy lặp cho bài toán cân
bằng và ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ) trong
không gian Hilbert thực.
Hệ quả 21. Cho E là một không gian Hilbert
thực, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng
trong E, f : C × C −→ R là song hàm thỏa
mãn các giả thiết (A1) – (A4) và T : C −→ C
là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Eµ) sao cho
F := F (T ) ∩ EP (f) 6= ∅. Xét dãy {xn} trong
C xác định bởi
x0 ∈ E, C1 = C, x1 = PC1x0,
un = αnxn + (1− αn)Txn,
vn = Krnxn,
wn = γnun + (1− γn)Tvn,
Cn+1 = {z ∈ Cn : ‖z − wn‖ ≤ ‖z − xn‖},
xn+1 = PCn+1x0, n ∈ N∗,
trong đó, Krn là ánh xạ xác định như trong Bổ
đề 17 với J là ánh xạ đồng nhất, 0 ≤ αn, γn ≤ 1
sao cho lim
n→∞ αn = 1, lim infn→∞ γn(1− γn) > 0,
rn ∈ [ε,∞) với ε > 0 và với mọi n ∈ N∗.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ đến p = PFx0.
Cuối cùng, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa
sự hội tụ dãy lặp cho bài toán cân bằng và bài
toán tìm điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn điều
kiện (φ-Eµ).
Ví dụ 22. Cho E = R là không gian Banach
với chuẩn ‖u‖ = |u| với mọi u ∈ E. Khi
đó, ánh xạ J = I và phiếm hàm Lyapunov
φ(u, v) = (u− v)2 với mọi u, v ∈ E. Xét bài
toán (EP) sau:
Tìm x ∈ Csao cho f(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,
trong đó, C = [−1, 1] và song hàm f : C×C −→
R được xác định bởi
f(x, y) = −3x2 + 2xy+ y2 với mọi x, y ∈ C.
Khi đó, kiểm tra được f thỏa mãn các giả thiết
(A1) – (A4). Thật vậy,
(A1) Với mọi y ∈ C, ta có
f(x, x) = −3x2 + 2x2 + x2 = 0.
(A2) Với mọi x, y ∈ C, ta có
f(x, y) + f(y, x)
= −3x2 + 2xy + y2 − 2y2 + yx+ x2
= −(x− y)2 ≤ 0.
75
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
(A3) Với mọi y, z ∈ C, ta có
lim sup
t↓0
f(tz + (1− t)x, y)
= lim sup
t↓0
(−2(tz + (1− t)x)2
+(tz + (1− t)x)y + y2)
= −2x2 + xy + y2
= f(x, y).
(A4) Với mỗi x ∈ C, f(x, y) = −2x2+xy+y2
là hàm số lồi và nửa liên tục dưới.
Tiếp theo, ta xác định công thức của Kr được
định nghĩa như trong Bổ đề 17. Với mọi y ∈ C
và r > 0, ta có
f(z, y) +
1
r
〈y − z, z − x〉 ≥ 0
⇔ ry2 + (2rz + z − x)y − 3rz2 + xz − z2
≥ 0. (37)
Ta thấy ϕ(y) = ry2 + (2rz + z − x)y − 3rz2 +
xz − z2 là một hàm số bậc hai theo biến y.
Do đó, (37) trở thành ϕ(y) ≥ 0 với mọi y ∈
C hay ∆ = ((1 + 4r)z − x)2 ≤ 0. Vì vậy
((1 + 3r)z − x) = 0 hay z = x
4r + 1
. Suy ra
Kr(x) =
x
4r + 1
với mọi x ∈ C. Theo Bổ đề
17, ta có F (Kr) = EP (f) = {0}. Bây
giờ xét ánh xạ T : C −→ C xác định trong
Ví dụ 13. Ta cũng có F (T ) = {−1; 0}. Khi đó,
F = F (T ) ∩ EP (f) = {0}.
Bây giờ, chúng tôi mô tả dãy lặp trong Định lí
20. Chọn αn =
n
n+ 1
, γn =
n+ 1
2n+ 3
, an =
1
2
,
rn = 1 với mọi n ∈ N∗. Khi đó, dãy {xn} trong
Định lí 20 xác định bởi
x0 ∈ E, C1 = C, x1 = PC1x0,
un =
n
n+ 1
xn +
xn
(n+ 1)(2 + xn)
,
vn =
xn
5
, wn =
n+ 1
2n+ 3
un +
(n+ 2)xn
(2n+ 3)(2 + xn)
,
Cn+1 = {z ∈ Cn : |wn − z| ≤ |xn − z|},
xn+1 = PCn+1x0.
Như vậy, theo Định lí 20, ta suy ra {xn} hội tụ
đến PFx0 = 0.
IV. KẾT LUẬN
Nghiên cứu đã đưa ra một dãy lặp lai ghép
mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán
cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ thỏa
mãn điều kiện (φ-Eµ), thiết lập được một định
lí về sự hội tụ của dãy lặp này trong không gian
Banach trơn đều và lồi đều. Từ định lí này, chúng
tôi nhận được một hệ quả về sự hội tụ của dãy lặp
cho bài toán cân bằng và ánh xạ thỏa mãn điều
kiện (Eµ) trong không gian Hilbert thực. Đồng
thời, một ví dụ được đưa ra để minh họa cho sự
hội tụ dãy lặp cho bài toán cân bằng và bài toán
tìm điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn điều kiện
(φ-Eµ).
Lưu ý rằng ở mỗi bước lặp của dãy lặp trong
Định lí 18, chúng ta phải tính toán tìm Cn+1 với
độ phức tạp cao. Tuy nhiên, với Cn+1 trong Định
lí 18, việc chứng minh sự hội tụ đơn giản, nhất
là ở Bước 5. Đối với dãy lặp trong nghiên cứu
này, việc tính toán Cn+1 đơn giản hơn và kĩ thuật
chứng minh sự hội tụ trong Định lí 20 đòi hỏi sự
khéo léo hơn. Hơn nữa, với việc xét E là không
gian Hilbert, chúng ta nhận được dạng dãy lặp
trong [4, Theorem 3.1]. Do đó, các kết quả của
nghiên cứu này là mở rộng các kết quả chính
trong Alizadeh et al. [4] và cải tiến các kết quả
chính trong Trương Cẩm Tiên và cộng sự [5].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Blum E, Oettli W. From optimization and variational
inequalities to equilibrium problems. Math Stud.
1994;63.
[2] Takahashi W, Zembayashi K. Strong and weak
convergence theorems for equilibrium problems and
relatively nonexpansive mappings in Banach spaces.
Nonlinear Anal. 2009;70.
[3] Qin X, Cho YJ, Kang SM. Convergence theorems
of common elements for equilibrium problems and
fixed point problems in Banach spaces. J Comput
Appl Math. 2009;225.
[4] Alizadeh S, Moradlou F. A strong convergence
theorem for equilibrium problems and generalized
hybrid mappings. Mediterr J Math. 2016;13(1).
[5] Trương Cẩm Tiên, Nguyễn Trung Hiếu. Sự hội tụ
của dãy lặp hỗn hợp cho bài toán cân bằng và ánh xạ
thỏa mãn điều kiện (φ-Eµ) trong không gian Banach
trơn đều và lồi đều. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng
Tháp. 2017;27(8).
76
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH, SỐ 30, THÁNG 6 NĂM 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - MÔI TRƯỜNG
[6] Alber A. Metric and generalized projection operators
in Banach spaces: properties and applications. In:
Kartosator A G, editor. Theory and Applications of
Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type.
vol. 178. Dekker, New York; 1996;15-50. .
[7] Kamimura S, Takahashi W. Strong convergence of a
proximal-type algorithm in a Banach space. SIAM J
Optim. 2002;13(3).
[8] Marino G, Xu H. Weak and strong convergence
theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert
spaces. J Math Anal Appl. 2007;329.
[9] Garcia-Falset J, Llorens-Fuster E, Suzuki T. Fixed
point theory for a class of generalized nonexpansive
mappings. J Math Anal Appl. 2011;375(1).
[10] Qin X, Cho YJ, Kang SM, Zhou H. Convergence of a
modified Halpern-type iteration algorithm for quasi-
φ-nonexpansive mappings. Appl Math Lett. 2009;22.
77