Giáo trình Dao động kĩ thuật (Phần 2)

 83
Chương 3 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 
I. MÔ HÌNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI 
PHÂN MÔ TẢ HỆ DAO ĐỘNG 
1. MÔ HÌNH 
Hệ nhiều bậc tự do có thể bao gồm một hay nhiều vật thể liên kết với nhau 
bằng các mối liên kết đàn hồi tạo nên bởi các lò xo và giảm chấn, mà khi chuyển 
động vị trí của các vật đó không thể xác định bằng một tọa độ suy rộng duy nhất. 
Khi ta kích thích vào môtj hoặc nhiều vật thể trong hệ thì hệ sẽ dao động. 
Ví dụ 1: Một ôtô (hình 3.1) khi chạy trên đường không bằng phẳng, thân xe 
vưaf chuyển động theo phương thằng đứng Z vừa quay quanh trục Y. Vị trí trọng 
tâm của nó tại một thời điểm t được xác định bằng 2 tọa độ z và c. 
Hình 3.1. Ví dụ về hệ chiếu bậc tự do 
Ví dụ 2: Toa xe chở khách gồm có thân xe ( khối lượng m1 ), 2 khung giá 
chuyển hướng (khối lượng m2 ) và 4 trục bánh xe ( khối lượng m3) liên hệ với 
nhau bằng các lò xo và giảm chấn như hình 3-1b. Khi đi qua các mối nối của 
đường ray lực xung kích tác dụng vào các bánh xe truyền qua các lò xo sẽ làm cho 
các khối lượng m1 , m2 dao động. Mô hình dao động của toa xe theo phương thẳng 
đứng được vẽ trên hình 3-2. Vị trí của hệ được xác định bằng các tọa độ Z1, Z2. 
Khi các vật thể của hệ chuyển động, đối với mỗi vật thể theo mỗi tọa độ 
chúng ta có thể dựa vào nguyên lý D’alambert hoặc phương trình Lagrange loại II 
để viết phương trình vi phân mô tả dao động của nó. 
 84
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ HỆ DAO ĐỘNG 
Tất cả các phương trình đó hợp thành một hệ phương trình vi phân gọi là hệ 
phương trình dao động. Hệ phương trình này thường là hệ phương trình vi phân 
cấp II tuyến tính có hệ số hằng số có dạng ma trận là: 
M
..
q + 
K
.
q + 
C
q = 
F (3-1) 
Hình 3.2 Mô hình của xe khách 
Trong đó: 
M : Ma trận khối lượng nó là ma trận vuông cấp n mà các phần tử khác 
không có liên quan đến khối lượng m, hay mô men quán tính khối lượng J1, của 
các vật thể trong hệ. 
Trong nhiều trường hợp nếu chọn các toạ độ thích hợp, 
M là ma trận 
đường chéo. 
K : Là ma trận giảm chấn. Nó là ma trận vuông cấp n mà các phần tử khác 
không của nó chứa các hệ số giảm chấn Ki của các mối liên kết trong hệ. 
 85
C : Là ma trận độ cứng. Nó là ma trận vuông cấp n mà các phần tử khác 
không có chứa độ cứng đường hoặc độ cứng góc của các mối liên kết đàn hồi 
trong hệ. 
q : Là vec tơ chuyển vị, các phần tử của nó là các chuyển vị đường hoặc 
chuyển vị góc của các vật thể trong hệ. 
.
q : Là vec tơ vận tốc dao động, các phần tử của nó là vận tốc dao động của 
các vật thể trong hệ. 
..
q : Là vec tơ gia tốc dao động của các vật thể trong hệ. 
F : Là vec tơ lực kích thích, các phần tử của nó là các lực hoặc mô men 
bên ngoài kích thích vào các vật thể làm cho hệ dao động. 
Ở đây ta chỉ nghiên cứu các hàm kích thích là điều hòa. 
Ví dụ 1: Viết phương trình dao động thẳng đứng của toa xe (hình 3-1) mà 
mô hình của nó tạo nên bởi 2 vật thể nối với nhau bằng các mối liên kết đàn hồi 
gồm các lò xo và giảm chấn như hình 3.2. 
 86
Đây cũng là một mô hình có tính điển hình của hệ dao động 2 bậc tự do. 
a- Phương pháp dựa vào phương trình cân bằng lực. 
- Chọn vị trí cân bằng Z = 0 là vị trí trọng tâm của m1 ; m2 khi 
các lò xo chịu độ nhún tĩnh. 
- Khi các vật m1 ; m2 dao động, trọng tâm của chúng có chuyển 
vị Z1 ; Z2 thì lò xo C2 có độ nhún Z2 , lò xo C1 có độ nhún (Z1 - Z2). 
- Đối với vật thể thứ nhất ta có phương trình cân bằng lực: 
 m1 1
..
Z + k1( 1
.
Z - 2
.
Z ) + c1( 1Z - 2Z ) = 0 (a) 
- Đối với vật thể thứ 2 (3-2) 
m2 2
..
Z - k1( 1
.
Z - 2
.
Z ) - c1( 1Z - 2Z ) + k2 2
.
Z +c2 2Z = tjeF 0 
(b) 
Sắp xếp lại các phương trình ta được: 
 m1 1
..
Z + k1 1
.
Z - k1 2
.
Z ) + c1 1Z - c1 2Z = 0 (a) 
m2 2
..
Z - k1 1
.
Z +( k1+ k2 ) 2
.
Z - c1 2Z - ( c1 + c2) 2Z = tjeF 0 (b) 
 87
Hay dưới dạng ma trận 
2
1
0
0
m
m
..
2
..
1
Z
Z
+ 
211
11
kkk
kk
.
2
.
1
Z
Z
+ 
211
11
ccc
cc
2
1
Z
Z
=  tjeF 0 (3-
3) 
Hay ngắn gọn hơn dưới dạng (3-1): 
M
..
Z + 
K
.
Z + 
C
Z = 
F 
Trong đó: 
M = 
2
1
0
0
m
m
 (a) Ma trận khối lượng. 
K = 
211
11
kkk
kk
 (b) Ma trận giảm chấn. 
C = 
211
11
ccc
cc
 (c ) Ma trận độ cứng. (3-4). 
Z = 
2
1
Z
Z
 (d ) Vectơ chuyển vị. 
 88
.
Z = 
.
2
.
1
Z
Z
 (e ) Vectơ vận tốc dao động. 
..
Z = 
..
2
..
1
Z
Z
 (f ) Vectơ gia tốc dao động. 
F =  tjeF 0 (g ) Vectơ lực kích thích. 
b- Phương pháp dựa vào phương trình Lagrange loại II 
Phương trình Lagrange loại II đối với mỗi vật thể có dạng 
dt
d


.
1q
T
 - 
1q
T


 - 
1q

 - .
1q

 + Q 
Tại thời điểm t khi các vật thể có chuyển vị là Z1 và Z2 ta tính được: 
Biểu thức động năng của hệ là: T= 
2
1
1m
2
1Z + 2
1
2m
2
2Z 
Biểu thức thế năng của hệ là: 22.2
2
11 .2
1
)(.
2
1
2
ZCZZC  
Biểu thức hàm hao tán có dạng: 
2
2
.
2
2
2
.
1
.
1 .2
1
)(
2
1
ZKZZK  
Ta tính được các đạo hàm riêng: 
.
11.
1
.Zm
Z
T


.
22.
2
.Zm
Z
T


 89
0
1


Z
T
0
2


Z
T
)( 21
1
1
ZZC
Z


 )(. 2122
2
1
ZZCZC
Z


)(. 21122.
2
ZZKZK
Z


Thế vào phương trình Lagrange loại II với các biến qi là Z1 và Z2 ta được: 
)()(0)(
.
2
.
12111
.
1 1 ZZKZZCZdt
d
m 
.
2222
.
2
.
12112
.
2 )()(0)( 1 ZKZCZZKZZCZdt
d
m 
Hay 
 0)()( 211
.
2
.
1
..
1 1 ZZCZZKZm (a) 
tjeFZCZZCZKZZKZm  .)()( 022211
.
22
.
2
.
1
..
22 1 (b) 
Giống như hệ phương trình (3-2). Biến đổi thêm ta sẽ đưa về dạng (3-1). 
Nói chung phương trình dao động của hệ thường là một hệ phương trình vi 
phân cấp 2 không thuần nhất có hệ số hằng số. 
Nghiệm của hệ này, theo toán học bao gồm 2 phần: 
1- Nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân thuần nhất. Hệ 
phương trình này có vế phải bằng 0, có nghĩa là dao động không có sự tham 
gia của lực kích thích, nghiệm của nó biểu diễn dao động tự do. 
2- Một nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất. Hệ 
phương trình này có vế phải khác 0, nghiệm của nó biểu diễn dao động 
cưỡng bức. 
 90
Về mặt hình thức khi viết dưới dạng ma trận phương trình dao động của 
hệ nhiều bậc tự do chỉ còn là một phương trình có dạng giống như phương 
trình dao động của hệ một bậc tự do mà chúng ta đã gặp trong chương trước. 
Điều này chẳng những đơn giản được cách viết mà còn đưa cách giải hệ 
phương trình dao động nhiều bậc tự do về cách giải tương tự như đối với một 
phương trình dao động của hệ một bậc tự do. Cách giải này sẽ có ưu điểm nổi 
bật khi giải các bài toán dao động của hệ có số bậc tự do lớn trên máy tính. Sau 
đây ta sẽ đi sâu nghiên cứu từng loại dao động đó. 
II. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO VÀ CÁCH GIẢI 
Dao động tự do là dao động của hệ khi không có sự tham gia của các lực 
kích thích, phương trình dao động tự do là hệ phương trình vi phân cấp 2 tuyến 
tính thuần nhất có hệ số hằng số mà dạng ma trận của nó là. 
M
..
Z + 
K
.
Z + 
C
Z = 
0 (3-5) 
Ta tìm nghiệm của hệ dưới dạng: 
teZZ 0 
 (3-6) 
Khi đó tính được giá trị các đạo hàm: 
 ZZ .
.
 (a) (3-7) 
 ZZ .2
..
 (b) 
Thay vào phương trình dao động (3-5) ta được: 
 0.).( 0
2 teZCKM  
Bởi vì et không triệt tiêu nên ta chỉ cần tìm các giá trị  thoả mãn: 
 91
 0).( 0
2 ZCKM  (3-8) 
 Hệ phương trình đại số thuần nhất này sẽ không có nghiệm tầm 
thường (
 0Z ) Khi định thức của ma trận hệ số bằng 0, nghĩa là: 
Det
 0)( 2 CKM  (3-9) 
Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng của hệ, nghiệm của nó sẽ 
cho ta giá trị i gọi là các giá trị riêng: 
111   (3-10) 
Thay mỗi giá trị I vào hệ (3-8), giải ra ta tìm được một vec tơ Z0,gọi là vec 
tơ riêng ứng với giá trị riêng I đó. Vec tơ Z0i chứa các phần tử là biên độ phức 
của các dao động thành phần có tần số vòng là i. 
Theo (3-6) nghiệm của hệ (3-5) biểu diễn dao động tự do là: 
i
t ZeZ
0
.
  (3-11) 
Như vậy dao động tự do của mỗi vật thể của hệ sẽ là tổng của những dao 
động họ hình sin tắt dần với những tần số I khác nhau: 
2. VÍ DỤ 
Ví dụ 1: 
Viết phương trình dao động tự do của thân ôtô hình (3-3). Biết: 
- Khối lượng thân ôtô: m 
- Mô men quán tính khối lượng: J 
- Lò xo trục sau có độ cứng C1 
- Lò xo trục trước có độ cứng: C2 
- Trục sau cách trọng tâm: S1 
- Trục trước cách trọng tâm: S2 
Giải: 
 92
Nếu tại thời điểm t lò xo sau có độ nhún Z1 còn lò xo trước có độ nhún Z2 
hình 3-3 thì ta viết được 2 phương trình cân bằng lực và mô men: 
 0zF 
02211
..
 ZCZCZm (a) 
 0zM 
0.. 222111
..
 sZCsZCJ (b) 
Thay Z1=Z-s1. 
 Z2= Z+s2. 
Phương trình trở thành: 
0)s(Z)s-(Z 2211
..
 CCZm 
0)s(Zs)s-(Zs 222111
..
 CCJ 
Hay 
0)s(-)ZCC( 112221
..
 sCCZm 
0)s(-)ZsC(C 211
2
221122
..
 sCCsJ 
Dưới dạng ma trận : 
0
0
)()(
)()(
0
0
2
22
2
112211
221121
..
..
Z
sCsCsCsC
sCsCCCZ
J
m
Nếu C1s1= C2s2 thì 2 phương trình sẽ độc lập với nhau, và do đó 2 dạng dao 
động cũng độc lập với nhau. Điều kiện này có nghĩa là trọng tâm của xe trùng với 
tâm dao động. 
Ví dụ 2: 
Xác định tần số và dạng dao động tự do của các vật thể m1,m2 của toa xe 
trong mô hình 3-3. bởi vì các giảm chấn không ảnh hưởng nhiều đến tần số nên ta 
 93
có thể bỏ qua. Mô hình dao động này sẽ đơn gian hơn như ( hình 3-4). 
Phương trình dao động theo (3-3) với 
 0K là: 
0
0
)(0
0
2
1
211
11
..
2
..
1
2
1
Z
Z
CCC
CC
Z
Z
m
m
 (3-12) 
Tìm nghiệm dưới dạng (3-6): 
tj
o
ot
o eZ
Z
eZZ  
2
1.
j 
Thì ZjZ 
..
Thay vào (3-12) ta được : 
0
0
0
)(
)(
2
12
211
112 
 tjo
tj
o eZm
m
CCC
CC
eZMC   
Bởi vì ejt không triệt tiêu nên : 
 94
0
0
0
)( 2
12
211
11 
oZm
m
CCC
CC
 (3-13) 
Hệ phương trình đại số này sẽ lhông có nghiệm tầm thường khi : 
0
0
0
)(
det
2
12
211
11 
m
m
CCC
CC
 
Đây chính là phương trình tần số. 
Thực hiện phép tính trong ngoặc ta được: 
0
)(
det
2
2
211
11
2
1 
mCCC
CmC


Hay (c1-
2m1)(c1+c2-
2m2)-c1
2 =0 
m1m2
4- m1(c1+c2)
2-c2m2
2=0 
Từ đó : 4- 0
.
.
)(
21
212
22
2
1
1 1 
mm
cc
m
c
m
c
m
c
 
Đây là một phương trình bậc 4 đối với . Giải phương trình này ta được 4 
trị số của , trong đó hai trị số âm không có ý nghĩa. 
Uj 
2
1
2
2
1
12
12 2
1
m
c
m
c
m
c
 = 
2
2
1
2
2
1
1
4
1
m
c
m
c
m
c (3-14) 
Với các ký hiệu: 
1
1
11 m
c
  ((a) (3-15) 
T’ou
2
2
22 m
c
  ku ((b) 
2
1
21 m
c
  (c) 
Ta tìm được 2 trị số >0 thỏa mãn điều kiện của bài toán: 
2
22
2
11
22
22
2
21
2
11
2
22
2
21
2
112.1 .)(4
1
)(
2
1
 (3-1((3-16) 
 95
Trong trường hợp này dao động tự do của hệ sẽ có 2 tần số khác nhau. 
Nếu 1 < 2 thì 1 gọi là tần số thấp, còn 2 gọi là tần số cao. 
Nghiệm của hệ (3-12) sẽ biểu diễn dạng dao động tự do của các vật thể. 
Để tìm nghiệm này ta cần giải hệ phương trình đại số (3-13), để tìm các 
vectơ riêng biểu diễn biên độ của các dao động thành phần. 
- Thay 1 vào hệ (3-13) rồi giải ra ta tìm được vectơ riêng: 
1
1
01 B
A
Z 
- Thay 2 vào hệ (3-13) rồi giải ra ta tìm được vectơ riêng: 
2
2
02 B
A
Z 
Như vậy mỗi vật thể sẽ đồng thời tham gia dao động với 2 tần số khác nhau 
02
2
01
1 ZeZeZ tjtj  
Hay là: 
tjtj eAeAZ 22
1
11
 (a) (3-17) 
tjtj eBeBZ 22
1
12
 (b) 
Từ (3-13) ta thấy các dao động có cùng tần số thì tỉ số các biên độ sẽ là 
hằng số: 
- Đối với các dao động có tần số thấp: 
2
11
2
1
1
1
2
11
1
1
1
2 1
.


c
mC
A
B
Z
Z (a). 
- Đối với dao động có tần số cao: 
2
11
2
2
1
1
2
21
2
2
1
2 1


c
mc
A
B
Z
Z (b) (3-18) 
III. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ NHIỂU BẬC TỰ DO 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG 
Dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của các lực kích 
thích vào 1 hay nhiều vật thể trong hệ. Mô hình của nó như đã nói ở trên là một 
 96
hay nhiều vật thể liên hệ với nhau cùng dao động dưới tác dụng của các lực kích 
thích. Phương trình dao động thường là 1 hệ phương trình vi phân cấp 2 không 
thuần nhất, khi viết dưới dạng ma trận theo (3-1) là: 
 FqCqKqM  
 Trong đó các ý nghĩa của các đại lượng trong vế trái chúng ta đã hiểu biết 
qua công thức (3-4) khi nghiên cứu dao động tự do. 
 Vế phải là vectơ lực kích thích, nó phải có ít nhất một phần tử khác 
không, đó là các lực hay mômen kích thích dao động. 
Lực kích thích vào các vật thể có thể theo nhiều qui luật khác nhau, do 
khuôn khổ của giáo trình này chúng ta chỉ nghiên cứu trường hợp kích thích điều 
hòa. 
 Khi F có dạng: 
 tjtjjtj eFeeFeFF   *00
)(
0 .
 
Trong đó: 
tjeFF  .0
*
0 là vectơ biên độ phức của các lực kích thích: 
F : Vectơ biên độ của các lực kích thích. 
 : tần số vòng của lực hay mômenkích thích. 
2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG 
 Ta tìm nghiệm riêng của (3-1) biểu diễn dao động cưỡng bức của hệ dưới 
dạng: 
 tjtjjtj eqeeqeqq   *
00
)(
0
. (3-12) 
Trong đó cũng như ở trên: 
tjeqq  .
0
*
0
 là vectơ biên độ phức của dao động; 
0
q - vectơ biên độ của dao động. 
Khi đó các đạo hàm: qjq   (a) (3-21) 
 97
Và qq 2  (b) 
Thay vào phương trình dao động: 
tjtj eFeqKjMC    0
.
0
.
2 )( 
Khử tje  ta được hệ phương trình đại số dạng phức: 
0
.
0
.
2 )( FeqKjMC tj    
Từ đó: 0
.
12
.
0 )( FKjMCq   
 (3-22) 
Ma trận: 12 )()(    KMCjH (3-23) 
Là ma trận có các phần tử là số phức được gọi là hàm truyền của hệ. 
Viết lại (3-22) có chú ý đến (3-23) ta được công thức tính biên độ phức của 
hệ dao động cưỡng bức: 
.
0
.
)( FJHq  (3-24) 
Như vậy theo (3-20) dao động cưỡng bức của hệ là những dao động điều 
hòa có tần số bằng tần số Ωcủa lực kích thích, còn biên độ phức của chúng (bao 
gồm biên độ và góc lệch pha) thì xác định bằng công thức (3-24) thông qua tích 
của Hàm truyền và biên độ phức của lực kích thích. 
1. Ví dụ: Giải hệ phương trình (3-3): 
 0
0 2
1
m
m
 ..1
..
2
Z
Z
 + 
1
21
1
)(
K
KK
K
K
1
2
Z
Z

 + 
1
21
1
2 )(
c
cc
c
c 
 1
2
Z
z = 

0
tj
O eF
để tìm dao động của các vật thể m1, m2.trong mô hình toa xe hình 3-2. 
Hệ phương trình có thể viết ngắn gọn dưới dạng (3-1). 
 FZCZKZM 
...
Ta tìm nghiệm của hệ dưới dạng: 
 tjeZZ  0 (3-25) 
 98
Trong đó: 
0Z là vectơ biên độ phức của nghiệm: Z0= 
 tj
tj
eZ
eZ
1
0
2
0
 (3-26) 
Khi đó: ZZ  
.
 và ZZ 2  
Thay vào phương trình dao động (3-1) ta được: 
[
tjtj eFeZKjMC    0
.
0
.
2 ))( 
Khử tje  ở cả 2 vế, ta đi đến một hệ phương trình đại số dạng phức: 
0
.
0
.
2 ))( FzKjMC   (3-27) 
Ta cần giải hệ phương trình này để tìm vectơ biên độ phức 10z 
Đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính dạng phức, không thuần nhất, 
có vế phải khác không. Có nhiều phương pháp để giải hệ này. 
Ký hiệu ma trận hệ số ((phần trong ngoặc vuông) là A . Sauk hi thực hiện 
phép tính ta thấy nó là một ma trận vuông cấp 2 với 4 phần tử phức: 
 A 
  
   
  
 
)(
)()(
)(
)(
11
212
2
21
11
2
1
11
KJC
kkjmCC
KJmC
KJC (3-28) 
Thay các phần tử bằng ký hiệu có thể viết gọn hơn: 
 A 
 12
22
11
21
A
A
A
A
 (3-29) 
* Đối với những hệ có nhiều bậc tự do ta cần tính hàm số truyền H (j ) 
bằng cách tính ma trận nghịch đảo của A : 
 H (j ) = 1 A 
Khi đã có hàm số truyền ta tính được: 
 99
 0
.
Z H (j )
.
0F
Tuy vậy ma trận A là một ma trận phức nên công việc này tương đối khó 
khăn, đòi hỏi phải có những phần mềm chuyên dụng mới nghịch đảo được. 
 Trong trường hợp đang xét, số bậc tự do nhỏ, ta có thể tính 
nghiệm của hệ phương trình đại số 
.
00
.
FZA theo công thức Cramer. 
A
A
F
A
Z
A
AF
detdet
det
12
0
0
01
12
220 
 (a) (3-30) 
A
A
F
A
Z
F
A
A
detdet
det
11
0
0
02
0
11
21 
 (b) 
Thay  1112 KjCA
12
11 )(
 jeKC  
Vào 
1
1
1 C
K
arctg

22
1
2
1
2
111
2
111 )()()(
 jeKmCKjmCA     
Với 
1
2
1
1
2 mC
K
arctg
 

 detA=A11A22 –A12A21 =L+jN = 322 jeNL (3-31) 
Với 
L
N
arctg 3 
Trong đó : 
L = 2211
2
12
2
2
2
1 ))((     KKmCmCmC (a) (3-32) 
N = ( ))()( 2
2
1
2
211
2
12 mmCKmCK    (b) 
Thay giá trị của AAA det, ,1211 vào (3-30) ta tính được các phần tử của vectơ 
biên độ phức. 
 100
)(
22
2
1
2
1
001
3)( 
 
 je
NL
KC
FZ (a) (3-33) 
)(
22
2
1
22
11
002
32
)()( 
  
 je
NL
KmC
FZ (b) 
Nghiệm của phương trình dao động sẽ là: 
)(
22
2
1
2
1
01
32
)( 
 
 tje
NL
KC
FZ (a) (3-34) 
)(
22
2
1
22
1
02
321
)()( 
  
 je
NL
KmC
FZ (b) 
3. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 
 BÀI TOÁN 1: Trục quay là bộ máy thường gặp trong kỹ thuật như trục có 
gắn bánh răng, pu-li hay bánh đà, mô hình của nó là một đĩa tròn có trọng tâm S 
không trùng với tâm hình học O được gắn chặt trên một trục xuyên qua tâm hình 
học và vuông góc với mặt phẳng của đĩa, vị trí của đĩa ở giữa trục. 
Trục quay thường được dẫn động từ những nguồn động lực, do đó nó có 
năng lượng dự trữ. Trong những điều kiện nhất định nguồn năng lượng đó có thể 
biến thành dao động uốn làm cho chuyển động của trục trở nên mất ổn định nhất 
là khi trọng tâm của đĩa không trùng với trục quay. Giả sử đĩa có khối lượng m đặt 
tại D lệch tâm với trục hình học một khoảng e. Khi quay với vận tốc  nó sinh ra 
lực quán tính F=-m2e làm cho trục bị uốn. 
 101
Nếu hình chiếu của độ uốn trên các trục Z và Y là a và b (hình 3-6) thì tọa 
độ trọng tâm của đĩa trên hệ trục là: 
Zs = a+ e cos 
Ys = b+ esin 
Phương trình vi phân chuyển động của đĩa theo các trục đó là: 
m sz
..
+ Ca= 0 
 m sY
..
+ Cb= 0 
Ca,Cb : là hình chiếu của các lực đàn hồi trên các trục Z và Y. 
C: là độ cứng chống uốn của trục. 
Thay giá trị đạo hàm bậc 2 của Zs và Ys vào, ta có: 
m
..
a + Ca = me 2 cos t 
m
..
b + Cb = me 2 sin t 
Nghiệm của các phương trình này là: 
a= te 


cos
12
2
 vaø b = te 


sin
12
2
Khi  sẽ xảy ra cộng hưởng làm cho biên độ tăng lên. Vận tốc quay đó 
gọi là vận tốc quay tới hạn. Từ điều kiện th =  ta có: 
 102
m
c
th  
Vận tốc tới hạn th chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ, th càng lớn khi 
trục càng cứng và đĩa càng nhẹ. 
Với một vận tốc quay nhất định, tâm O1 của đĩa sẽ chuyển động trên một 
vòng tròn bán kinh: 
 r =
1
2
2


e 
Khi đó tâm quay O,tâm O1 của đĩa và trọng tâm S sẽ nằm trên một đường 
thẳng. 
a- Khi  th 
Hình 3.6 - Vị trí tương đối của các điểm O, O1, S 
Vị trí tương đối giữa các điểm O , O1 và S (hình 3-6) sẽ khác nhau, tùy 
thuộc vào tỷ số /. 
-Khi  , trọng tâm S nằm ngoài đoạn OO1 (hình a), 
-Khi  , trọng tâm S nằm trong đoạn OO1 (hình b). 
Hình 3-7 biểu diễn quan hệ giữa r/e (gọi là độ uốn tương đối) với tỉ số các 
 103
tần số vòng /, ta nhận thấy: 
* Khi quay chậm ( nhỏ) thì độ uốn bé,  tăng lên thì độ uốn cũng tăng 
lên. 
 Khi trọng tâm S cách xa tâm quay hơn tâm hình học (nằm ngoài OO1). 
* Khi  = th 1 
 thì độ uốn 
e
r -> 
* Sau miền tới hạn, khi  > th độ uốn trở về hữu hạn, nhưng có hướng 
ngược lại với độ lệch tâm (r và e trái dấu), trọng tâm S nằm trong đoạn OO1. 
* Khi  rất lớn, trục quay rấ nhanh, trọng tâm S của đĩa có xu hướng trở về 
gần tâm quay O. Khi  thì r -e, nghĩa là ở tốc độ quay rất lớn sẽ xãy ra 
hiện tượng tự định tâm của đĩa. 
Hình 3.7 - Đồ thị độ uốn tương đối 
Hình 3.8 -Dao động xoắn của trục
BÀI TOÁN 2: Giảm chấn thủy lực: 
Khi một đĩa tròn mômenquán tính J2 gắn trên một đoạn trục có độ cứng 
chống xoắn 2C (hình 3-S), khi chịu kích thích bởi moment: 
Mkt =Me
j t 
Sẽ có dao động cưỡng bức biểu diễn bởi phương trình : 
J2
..
 + 2C = M0e
 j t 
Dạng của dao động này theo (2-74) là: 
 104
 2 20 e
 j t - 
Trong đó: 
22
02
2
02
02
0
2
02
0
1
02
0
20 .1
1
.
 



C
M
C
M
y
C
M 
2
02
02 J
C
  và 0 arctgO 
Để dập tắt dao động này ta nối tiếp vào đĩa J2 một đoạn trục có độ cứng 
1C và một đĩa có mômen quán tính tính J1 (hình 3-9). 
Khi đó hệ sẽ trở thành 2 bậc tự do có phương trình dao động là: 
J1
..
1 + 0)( 211 C (a)
 J2 2
..
 - tJ02022101 eM.)(
 CC (b) 
Hay dưới dạng ma trận: 
 0
0 2
1
j
J
 ..
..
1
2
Z
Z
 + 
02
0201
01
02 )(
C
CC
C
C 
 1
2
= 

0
eM tJ0
 105
Hệ phương trình này có dạng giống như (3-12) khi ma trận giảm chấn 
0 K . 
Nghiệm của nó tương tự như (3-34), với K1=K2=0 dẫn đến các góc lêch pha 
bằng 0 và N=0, ta có: 
L
C
Mo 011 e
 j t (a) 
tje
L
JC
Mo 
 
2
101
2 e
 j t (b) 
Theo (3-32): 
1
2
012
2
022
2
01 ))(( JCJCJCL    
Nếu L ≠ 0 chúng ta chọn 0)( 1
2
01  JC thì 02 nghĩa là đĩa J2 sẽ hoàn 
toàn không dao động. Đó là nguyên lý của giảm chấn động lực. 
 106
 IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 
1. Thành lập mô hình và viết PTDĐ của hệ 2 và nhiều bậc tự do. 
Hình BT3.1 -Nối toa xe 
2. Đối với hệ dao động tự do cũng như dao động cưỡng bức 
nhiều bậc tự do cần nắm vững cách: 
* Thành lập mô hình. 
* Viết phương trình dao động. 
* Cách giải hệ phương trình dao động 2 bậc tự do bằng phương pháp 
giải tích. 
* Cách giải hệ phương trình và xét điều kiện xảy ra mất ổn định bằng bài 
toán giá trị riêng trên máy tính. 
Hình BT3.2- Mô hình ôtô 
 107
3. Khi dồn toa (hình BT3-1) một toa tàu chuyển động với vận tốc V đến 
mốc vào một toa khác đứng yên .Xác định quy luật chuyển động tương đối của 
các toa sau khi móc nối biết khối lượng của các toa bằng m1,m2 và độ cứng 
mốc nối là C bỏ qua ma sát của bánh xe và mặt đường. 
Hình BT3.3 -Giảm chấn động lực 
4. Mô hình ô tô 2 bậc tự do chạy trên mặt đường gồ ghề lượn sóng biểu 
diễn trên hình BT.3-2 .Biết khối lượng thùng xe m1=800kg, khối lượng bánh 
xe m2= 200kg, Tổng độ cứng hệ treo C=5.10
4N/m,Tổng độ cứng các lốp xe 
C=6.104N/m. 
 Hãy viết phương trình dao động của cơ hệ , tính các tần số dao động 
tự do và tính tốc độ tới hạn xảy ra cộng hưởng. Biết mặt đường hình sóng có 
L=1m và h=2m 
 5. Để dập tắt dao động của một khối lượng m1 (hình BT3-3) đặt trên lò 
xo C1 do lực kích thích F= tSinF 0 gây ra người ta treo vào nó một khối lượng 
m2 qua lò xo C2. 
Tính toán các giá trị của m2 và độ cứng lò xo C2 đó để dao động của m1 là 
nhỏ nhất. 
 108
PHỤ LỤC 
Bảng 1 - BẢNG THỨ NGUYÊN MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG 
Thường dùng khi tính toán dao động 
T 
Đại lượng Ký hiệu Đơn vị Ghi chú 
Chuyển vị : - Đường 
 - Mặt 
Z, X, Y m 
 , ,  rad 
Lực F N, kN 
Mô men lực M Nm 
Thời gian t s 
Khối lượng M, m G, kg Kg=Ns2/m 
 Tấn Tấn = 1000kg 
Mômen quán tính khối lượng J Nms2 
Tấn m2 Tấn=kNms2 
Vận tốc : - Dài 
 - Góc 
V, Z m/s 
 Rad/s Rad/s=1/s 
Gia tốc - Dài 
 - Góc 
Z m/s2 
  Rad/s2 Rad/s2=1/s 
Độ cứng - Đường 
 - Góc 
C N/m 
C Nm/rad 
0 
Hệ số cản - Đường 
Dao động : - Góc 
K Ns/m 
K Nms/rad 
1 
Tần số f Hz Hz = 1/s 
Tần số vòng ,  Hz 
2 
Chu kỳ T s 
 109
Bảng 2 - NHỮNG BỘI SỐ VÀ ƯỚC SỐ CỦA ĐƠN VỊ ĐO 
Bội số của đơn vị đo Ước số của đơn vị đo 
Tên gọi Ký hiệu Độ lớn so 
với đơn vị 
Tên gọi Ký hiệu Độ lớn so 
với đơn vị 
deka da- 10 deci- d- 10 1 
Hecto- h- 102 Centi- c- 102 
Kilo- k- 103 Mili- m- 103 
Mega- M- 106 Mikro- - 10-6 
Giga- G- 109 
Tera- T- 1012 
 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Văn Khang – Dao động kỹ thuật - Nhà xuất bản KHKT - 1998; 
[2]. Nguyễn Văn Khang – Bài tập Dao động kỹ thuật - Nhà xuất bản KHKT 
- 1998; 
[3]. Lê Huy Cận (dịch) – Lý thuyết dao động - Nhà xuất bản KHKT; 
[4]. Nguyễn Đông Anh (dịch) – Dao động tuyến tính - Nhà xuất bản KHKT.