Giáo trình Xử lý tín hiệu số (Phần 2)

“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 91 — #109
Chương 5
THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR
Thiết kế một bộ lọc số là xây dựng một hàm truyền của một hệ
thống tuyến tính bất biến rời rạc thế nào để nó đáp ứng những điều
kiện của bài toán thiết kế đặt ra. Hàm truyền này phải là nhân quả
và ổn định, tức là các nghiệm cực của hàm truyền phải nằm trong
vòng tròn đơn vị và đáp ứng xung của nó phải khởi đầu từ một thời
điểm hữu hạn*.
Trong quá trình thiết kế các bộ lọc số IIR, người ta sử dụng các
bộ lọc tương tự đã biết để thiết kế các bộ lọc số có đặc tả cần thiết kế
là tương đương. Việc áp dụng kiến thức lọc tương tự là do lọc tương
tự được nghiên cứu rất kỹ lưỡng trước đây. Mục 5.1 trình bày phương
pháp thiết kế bộ lọc tương tự để phục vụ cho thiết kế các bộ lọc số
IIR trong các mục tiếp theo. Giáo trình này chỉ đề cập đến hai họ bộ
lọc tương tự phổ cập là Butterworth và Chebyshev.
Có hai phương pháp thiết kế bộ lọc số dựa trên bộ lọc tương tự.
Phương pháp thứ nhất thiết kế một hệ thống rời rạc sao cho đáp ứng
hệ thống (đáp ứng xung hoặc đáp ứng bậc thang đơn vị) giống với
đáp ứng của bộ lọc tương tự tương ứng. Cụ thể: lấy mẫu đáp ứng
xung hoặc đáp ứng bậc thang đơn vị của bộ lọc tương tự và từ đó suy
*Ta đã biết rằng hệ thống là nhân quả nếu đáp ứng xung h(n) của nó triệt tiêu tại các
thời điểm n < 0. Tuy nhiên, trong thiết kế lọc số, nếu h(n) triệt tiêu tải các điểm n <−n0,
với n0 là một số hữu hạn dương, thì ta dễ dàng thiết kế bộ dịch trễ n0 bước để dịch h(n)
thành h(n− n0) và lúc đó h(n− n0) là nhân quả. Vì thế, điều kiện h(n) khởi đầu tại một
điểm hữu hạn là đủ.
91
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 92 — #110
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
ra hàm truyền của bộ lọc số. Nội dung của phương pháp này được
trình bày trong Mục 5.2.
Phương pháp thứ hai thiết kế một hệ thống rời rạc sao cho đáp
ứng tần số của hệ thống giống với đáp ứng tần số của hệ thống tương
tự tương ứng. Để làm điều này, cần tìm một phép biến đổi từ miền
biến đổi Laplace sang miền biến đổi Z thế nào để tính chất của đáp
ứng tần số được bảo toàn. Phương pháp này sẽ được trình bày trong
Mục 5.3.
Hai phương pháp thiết kế nêu trên đều cho thấy hàm truyền
của bộ lọc số có chứa thành phần được mô tả theo mô hình hệ thống
ARMA (xem Mục 4.1) sau
H(z)= b0+b1z
−1+·· ·+bM z−M
a0+a1z−1+·· ·+aN z−N
, (5.1)
tức là dạng hữu tỷ trong đó mẫu số có bậc N ≥ 1 và N >M. Do đó, các
bộ lọc số này có chiều dài là vô hạn. Vì vậy, các phương pháp thiết kế
trong chương này được gọi chung là thiết kế bộ lọc số IIR.
Nói chung, phương pháp thiết kế theo hướng dùng bộ lọc tương
tự thường bắt đầu bởi những bộ lọc thông thấp và từ đó dùng các
phép biến đổi để có các bộ lọc thông dải, triệt tần và thông cao. Các
phương pháp thiết kế các bộ lọc thông dải, triệt dải và thông cao được
trình bày trong Mục 5.4, Mục 5.5 và Mục 5.6.
5.1 Lọc tương tự
Mục này giới thiệu một cách cô đọng khái niệm bộ lọc tương
tự và hai loại bộ lọc phổ cập, Butterworth và Chebyshev, đã được
nghiên cứu kỹ lưỡng suốt thế kỷ hai mươi.
Cho một hệ thống tương tự tuyến tính bất biến nhân quả có đầu
vào là x(t) và đầu ra là y(t). Gọi X (s) và Y (s) là biến đổi Laplace*
*Biến đổi Laplace của hàm f (t) được định nghĩa là:
F(s)=
∫ ∞
−∞
f (t)e−stdt,
trong đó s là biến phức. Mặt phẳng phức s còn được gọi là miền Laplace.
92
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 93 — #111
5.1. Lọc tương tự
của x(t) và y(t). Gọi h(t) là đáp ứng xung của hệ thống này, và H(s) là
biến đổi Laplace của h(t). H(s) được gọi là hàm truyền của hệ thống
tương tự. Vì h(t) là nhân quả nên ta có
H(s)=
∫ ∞
0
h(t)e−stdt.
Đầu vào và đầu ra của hệ thống liên hệ với nhau trong miền thời
gian thông qua tích chập
y(t)=
∫ ∞
0
h(τ)x(t−τ)dτ, (5.2)
hay trong miền Laplace thông qua tích trực tiếp
Y (s)=H(s)X (s). (5.3)
Tất cả các tính chất quan trọng của hệ thống như bất biến, nhân quả
và ổn định đều được chứa đựng trong H(s). Trong thực tế, hệ thống
phải ổn định. Khi đó, theo biểu thức (5.2), kích thích hệ thống bởi tín
hiệu điều hòa e jΩt sẽ cho đầu ra
y(t)=H(Ω)e jΩt, (5.4)
trong đó
H(Ω)=H(s)|s= jΩ. (5.5)
Phương trình (5.5) cho thấy H(Ω) là biến đổi Fourier của h(t) (xem
định nghĩa trong công thức (2.1)) và lúc hệ thống ổn định ta có thể
suy được H(Ω) từ hàm truyền H(s) bằng cách thế s bằng jΩ. Phương
trình (5.4) cho thấy lúc hệ thống được kích thích bởi một tín hiệu
điều hòa (e jΩt) thì hệ thống ứng xử như một bộ khuếch đại với hệ số
khuếch đại là H(Ω), vì thế H(Ω) được gọi là đáp ứng tần số của hệ
thống.
Tổng quát hơn thế, lấy biến đổi Fourier hai vế của tích chập (5.2),
ta có
Y (Ω)=H(Ω)X (Ω). (5.6)
Phương trình (5.6) cho thấy đáp ứng tần số là độ khuếch đại trong
miền tần số của hệ thống. Phổ đầu ra Y (Ω) bằng phổ đầu vào X (Ω)
93
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 94 — #112
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
khuếch đại bởi H(Ω). Gọi |H(Ω)| và Φ(Ω) là biên độ và pha của H(Ω).
Như thế, tại tần số Ω, biên X (Ω) được khuếch đại bởi |H(Ω)| và lệch
pha đi Φ(Ω). Như vậy, nếu hệ thống là một bộ lọc thì |H(Ω)| làm méo
biên độ của phổ và Φ(Ω) làm méo pha của phổ tín hiệu đầu vào X (Ω).
Một bộ lọc không làm méo tín hiệu nếu đầu vào và đầu ra liên
quan với nhau theo biểu thức sau đây:
y(t)= kx(t−T0), (5.7)
với T0 là một giá trị thời gian làm trễ nào đó. Hình 5.1 mô tả tín
hiệu đầu vào và đầu ra của một bộ lọc không làm méo. Tức là tín“./figures/IIRnew_0” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
t
x(t)
1
(a) Đầu vào“./figures/IIRnew_1” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
t
y(t)
k
T0
(b) Đầu ra
Hình 5.1: Đầu vào và đầu ra của một hệ thống không làm méo.
hiệu được khuếch đại bởi một hằng số k và dịch trễ bởi hằng số T0.
Trong miền tần số, mối liên hệ giữa phổ đầu vào và phổ đầu ra được
cho bởi
Y (Ω)= ke− jΩT0X (Ω). (5.8)
94
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 95 — #113
5.1. Lọc tương tự
So sánh (5.6) và (5.8) cho ta hàm truyền cho bộ lọc không làm méo
này
H(Ω)= ke− jΩT0 .
Do đó, biên độ và pha của hàm truyền là
|H(Ω)| = k (5.9)
Φ(Ω)=−ΩT0 (5.10)
Một bộ lọc không làm méo tín hiệu được gọi là bộ lọc lý tưởng. Như
vậy, theo (5.9) và (5.10), một bộ lọc lý tưởng có biên độ đáp ứng tần
số là hằng số và có pha tuyến tính, như mô tả ở hình 5.2.
“./figures/IIRnew_2” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
Ω
|H(Ω)|
k
(a) Đáp ứng biên độ“./figures/IIRnew_3” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
Ω
Φ(Ω)
(b) Đáp ứng pha
Hình 5.2: Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc lý tưởng.
95
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 96 — #114
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
Khi thiết kế bộ lọc, đáp ứng biên độ không đổi và đáp ứng pha
tuyến tính là những đặc tính mà chúng ta cố gắng đạt được trong
dải thông tần*, hay gọi tắt là dải thông, của tín hiệu. Ngoài ra,
trong dải triệt tần†, hay gọi tắt là dải triệt, đáp ứng tần số của
bộ lọc rất nhỏ cho nên ta không cần quan tâm đến những đặc tính
lý tưởng này. Trong thực tiễn, lúc thiết kế bộ lọc, miền tần số được
phân chia thành nhiều dải khác nhau. Để có thể thiết kế được những
bộ lọc điện tử, thông thường ta cần chấp nhận một dải tần chuyển
tiếp‡, còn gọi tắt là dải chuyển tiếp, để nối kết dải thông và dải triệt.
Hình 5.3 mô tả đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của một bộ lọc thực
tiễn, với các dải tần khác nhau.
Hai thông số tương đối quan trọng lúc cần phân tích độ méo của
bộ lọc là độ trễ pha§ Tp(Ω) và độ trễ nhóm¶ Tg(Ω) (còn gọi là độ
trễ bao||), được định nghĩa như sau:
Tp(Ω)= Φ(Ω)
Ω
(5.11)
Tg(Ω)=−dΦ(Ω)dΩ (5.12)
Ý nghĩa của hai độ trễ này được minh họa trên hình 5.4. Khái niệm
độ trễ nhóm đóng vai trò quan trọng lúc một tín hiệu có dải thông
hẹp được truyền qua một hệ thống thông dải. Độ trễ nhóm thể hiện
độ méo mà hệ thống tác động lên tín hiệu.
Trong bài toán thiết kế, đặc tả của hệ thống thông qua một phép
xấp xỉ nào đó sẽ được diễn tả bởi phương trình
A2(Ω)= |H(Ω)|2 . (5.13)
Giả sử đã tìm được hàm A2(Ω), vấn đề tiếp theo là phải xác định
được hàm truyền H(s) thỏa mãn (5.13), tức là tìm H(s) thế nào để có
H(s)H(−s)|s= jΩ = A2(Ω). (5.14)
*Passband.
†Stopband.
‡Transition band.
§Phase delay.
¶Group delay.
||Envelop delay.
96
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 97 — #115
5.1. Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_4” — 2012/6/11 — 17:59 — page 81 — #1
Ω
|H(Ω)|
Dải thông
Dải chuyển tiếp
Dải triệt
(a) Đáp ứng biên độ“./figures/IIRnew_5” — 2012/6/11 — 17:59 — page 81 — #1
Ω
Φ(Ω)
(b) Đáp ứng pha
Hình 5.3: Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc thực tiễn.
Giáo trình này tập trung chủ yếu vào các hệ thống có hàm truyền là
một hàm hữu tỷ. Vì H(Ω) là một hàm hữu tỷ theo Ω, cho nên
A2(Ω)=H(Ω)H∗(Ω). (5.15)
Như vậy, A2(Ω) có thể xem là một hàm có biến độc lập Ω2. Do đó
phương trình (5.14) có thể được đặt dưới dạng
H(s)H(−s)= A2(Ω)|
Ω2=−s2 . (5.16)
Hàm hữu tỉ A2(−s2) chứa các hệ số thực cho nên nếu có một
97
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 98 — #116
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
“./figures/IIRnew_6” — 2012/6/11 — 17:59 — page 82 — #1
Ω
Φ(Ω)
0
Tg(Ω)
Tp(Ω)
Hình 5.4: Độ trễ pha và độ trễ nhóm.
nghiệm không* z0 không nằm trên trục ảo hay trục thực thì cũng sẽ
có ba nghiệm không khác tương ứng với nó là z∗0 , −z0 và −z∗0 . Nếu
có nghiệm không z1 nằm trên trục thực hoặc trục ảo thì chỉ có thêm
−z1 là nghiệm không. Nghiệm cực† cũng có tính chất này. Hình 5.5
minh họa các nghiệm không z0, z1 và các nghiệm cực p0, p1, cùng với
các nghiệm tương ứng với chúng. Sau khi tính các nghiệm không và
nghiệm cực của A2(−s2), ta thấy ngay phải chọn H(s) sao cho nghiệm
không và nghiệm cực của nó ở nửa bên trái của mặt phẳng s, tức là
ℜ{s}< 0, để hệ thống này là ổn định và có pha tối thiểu‡.
Ví dụ 5.1 Cho
A2(Ω)= 25(4−Ω
2)2
(9+Ω2)(16+Ω2) .
Tìm H(s) sao cho |H( jΩ)|2 = A2(Ω).
*Zero.
†Pole.
‡Một hệ thống có biên độ cho trước có thể có nhiều pha khác nhau. Hệ thống tương
ứng với pha tối thiểu được gọi là hệ thống pha tối thiểu (minimum phase systems). Điều
khiển một hệ thống có pha tối thiểu dễ hơn rất nhiều so với hệ thống không có pha tối
thiểu.
98
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 99 — #117
5.1. Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_7” — 2012/6/11 — 17:59 — page 82 — #1
σ
jΩ
z1
−z1
−z∗0
z0
−z0
z∗0
p1−p1
p0
p∗0
−p∗0
−p0
Hình 5.5: Minh họa nghiệm không và nghiệm cực trong mặt phẳng
s.
Theo phân tích trên đây, ta có
H(s)H(−s)= 25(4+ s
2)2
(9− s2)(16− s2) (5.17)
Hàm này có hai nghiệm không kép ở 2 j và −2 j và bốn nghiệm cực ở
±3 và ±4, như mô tả trên hình 5.6.
Như đã chỉ ra rằng để hệ thống là ổn định, H(s) cần có nghiệm
không và nghiệm cực ở nửa trái của mặt phẳng s. Do đó ta có
H(s)= 5(s−2 j)(s+2 j)
(s+3)(s+4) =
5(s2+4)
(s+3)(s+4) .
5.1.1 Các phương pháp xấp xỉ Butterworth và
Chebychev
Có một số loại bộ lọc tương tự quan trọng nhưng giáo trình
này chỉ quan tâm tới hai loại phổ cập nhất, đó là Butterworth và
Chebychev.
99
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 100 — #118
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
“./figures/IIRnew_8” — 2012/6/11 — 17:59 — page 83 — #1
σ
jΩ
2
−2
3 4−3−4
Hình 5.6: Nghiệm không và nghiệm cực của H(s)H(−s) trong phương
trình (5.17).
Họ bộ lọc Butterworth
Loại bộ lọc thông thấp phổ biến nhất là bộ lọc Butterworth,
cũng gọi là bộ lọc phẳng tối đa*. Loại bộ lọc này có A2(−s2) được
xấp xỉ bởi biểu thức
A2(Ω)= 1
1+ (Ω/Ωc)2n
, (5.18)
trong đó n là bậc của bộ lọc và Ωc là tần số cắt† (rads/s) của bộ lọc.
Tại Ω =Ωc, đáp ứng tần số có biên độ thấp hơn 3 dB so với biên độ
cực đại H(0), được xác định bởi A(0). Khi Ωc = 1, ta gọi là tần số cắt
chuẩn hóa‡ và ký hiệu là Ωr. Hình 5.7 mô tả A(Ω) và đáp ứng biên
độ hệ thống |H(Ω)| tương ứng cho họ bộ lọc Butterworth với các bậc
khác nhau và cùng có tần số cắt chuẩn hóa Ωr = 1 rad/s. Đáp ứng
tần số là một hàm suy giảm đều, có trị cực đại tại Ω= 0 và lúc số bậc
càng tăng thì đáp ứng tần số càng trở nên phẳng. Đồng thời độ suy
giảm ở trong miền tần số lớn hơn tần số cắt là 6n dB/octave.
*Maximally flat filter.
†Cutoff frequency
‡Normalized cutoff frequency.
100
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 101 — #119
5.1. Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_9” — 2012/6/11 — 18:00 — page 84 — #1
Ω
Ωc
A2(Ω)
1
1
1
2
(a) A2(Ω)“./figures/IIRnew_10” — 2012/6/11 — 18:00 — page 84 — #1
Ω
Ωc
|H(Ω)|
1
1
1p
2
(b) |H(Ω)|
Hình 5.7: Đáp ứng tần số của họ bộ lọc Butterworth với các bậc khác
nhau, và có cùng tần số cắt chuẩn hóa Ωr = 1 rad/s.
Ví dụ 5.2 Xác định hàm truyền của bộ lọc Butterworth bậc 3 có
tần số cắt Ωc = 1 rad/s.
101
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 102 — #120
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
Áp dụng biểu thức (5.18) với bậc n= 3 và tần số cắt Ωc = 1, ta có
A2(Ω)= 1
1+ (Ω)6
= 1
1+ (Ω2)3
và như thế
A2(Ω)=H(s)H(−s)
= 1
1+ (−s2)3
= 1
1+−s6 .
Biểu thức trên đây là một hàm hữu tỷ chứa 6 nghiệm cực s= e − j2pik6 với
k = 0,1, . . . ,5, được biểu diễn như trên hình 5.8. Ta chọn các nghiệm
“./figures/IIRnew_11” — 2012/6/11 — 18:00 — page 85 — #1
σ
jΩ
1−1
Hình 5.8: Giản đồ điểm cực điểm không
102
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 103 — #121
5.1. Lọc tương tự
Bảng 5.1: Đa thức Butterworth chuẩn hóa
n 1/H(s)
1 s+1
2 s2+1.4142s+1
3 (s+1)(s2+ s+1)
4 (s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)
5 (s+1)(p2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)
6 (s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.9319s+1)
cực ở nửa trái mặt phẳng s cho H(s), tức là các nghiệm
z1 = e j
2pi2
6 =−1
2
+ j
p
3
2
,
z2 = e j
2pi3
6 =−1,
z3 = e j
2pi4
6 =−1
2
+ j
p
3
2
.
Do đó, ta có
H(s)= 1
(s+1)(s2+ s+1) =
1
s3+2s2+2s+1 .
Bảng 5.1 bao gồm đa thức Butterworth chuẩn hóa cho các bậc
từ 1 đến 6.
Họ bộ lọc Chebychev
Bộ lọc Chebychev là một bộ lọc mà đáp ứng tần số có độ gợn
sóng đều trong dải thông. Phép xấp xỉ này được xây dựng dựa trên
các đa thức Chebychev Cn(x) được xác định như sau:
Cn(x)=
{
cos(n ·arcos(x)) |x| < 1,
cosh(n ·arcosh(x)) |x| > 1,
(5.19)
trong đó n là bậc của đa thức. Đây là một họ các đa thức trực giao
trên khoảng (−1,1), trong đó nó có độ gợn sóng đều, có giá trị cực đại
103
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 104 — #122
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
Bảng 5.2: Đa thức Chebychev
n Cn(x)
1 x
2 2x2−1
3 4x3−3x
4 8x4−8x2+1
5 15x5−20x3+5x
6 32x6−48x4+18x2−1
là 1 và giá trị cực tiểu là −1. Cn(x) biến thiên cực nhanh lúc x > 1.
Bảng 5.2 cho ta các đa thức Chebychev được minh họa trên hình 5.9.
Ta thấy, Cn(x) là một hàm chẵn lúc n chẵn và lẻ lúc n lẻ.
Bộ lọc thông thấp Chebychev bậc n có bình phương của đáp
ứng biên độ có dạng:
A2(Ω)= α
1+²2C2n
(
Ω
Ωc
) , (5.20)
trong đó ²2 là một thông số được chọn để có độ gợn sóng thích hợp,
α là một hằng số được chọn để thỏa mãn độ khuếch đại cho tín hiệu
d.c. và Ωc là tần số cắt. Đáp ứng biên độ cho n= 3 (n lẻ) và có độ gợn
sóng 2 dB được minh họa ở hình 5.10(a). Đáp ứng biên độ với n = 4
(n chẵn) và độ gợn sóng 2 dB đ ... dụ này vượt quámức độ chặt chẽ cần
thiết. Thật vậy, dải chuyển tiếp có chiều dài bằng 0,0031−0,0033 =
0,0002, độ gợn sóng của dải thông là 0,01 là độ suy giảm của dải triệt
là 0,001. Với các thông số này, chiều dài của bộ lọc rất lớn, được tính
ra là L=N+1= 12707. Đáp ứng tần số của bộ lọc trong hệ thống thay
đổi vận tốc này có hiệu quả lý thuyết rất cao, như trên hình 7.21(a).
Tuy nhiên, với chiều dài L= 12707 thì độ phức tạp để thực hiện
bộ lọc FIR này cũng rất cao. Chẳng hạn ta có thể thực hiện bộ lọc
này với biểu diễn đa pha bằng cách sử dụng 127 bộ lọc song song,
mỗi bộ lọc có chiều dài là 100.
Ta có thể giảm độ phức tạp bằng cách thay đổi các thông số để có
những ràng buộc nhẹ nhàng hơn. Chẳng hạn, dải thông đi từ 0,0031
đến 0,004. Độ gợn sóng của dải chuyển tiếp là 0,01 và độ suy giảm
của dải triệt là 0,001. Với dải chuyển tiếp không chặt như đề xuất,
ta thấy kết quả đạt được là một bộ lọc có chiều dài được tính là 2825
và đáp ứng tần số được minh họa ở hình 7.21(b).
Độ phức tạp của bộ lọc thứ hai nhỏ hơn so với độ phức tạp của
bộ lọc thứ nhất. Tuy nhiên, dải chuyển tiếp của bộ lọc thứ hai này
lại lớn hơn rất nhiều so với bộ lọc thứ nhất. Sự thỏa hiệp giữa độ
phức tạp và chất lượng trong thiết kế luôn là vấn đề ta phải đối diện
để cân nhắc. Đối với thiết kế này, bộ lọc được thiết kế tuy có chiều
238
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 239 — #257
7.3. Thay đổi vận tốc theo một hệ số hữu tỷ
“./figures/Multirate_36” — 2012/7/24 — 13:39 — page 18 — #1
0 2 ·10−3 4 ·10−3 6 ·10−3 8 ·10−3 1 ·10−2
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
ν
|H
(e
jω
)|
(d
B
)
(a) Dải chuyển tiếp từ 0,0031 đến 0,0033“./figures/Mul ra e_37” — 2 12/7/24 — 13:40 — page 18 — #1
0 2 ·10−3 4 ·10−3 6 ·10−3 8 ·10−3 1 ·10−2
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
ν
|H
(e
jω
)|
(d
B
)
(b) Dải chuyển tiếp từ 0,0031 đến 0,004
Hình 7.21: Đáp ứng bộ lọc đa vận tốc kết nối CD với DAT [Ví dụ 7.3].
239
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 240 — #258
Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc
dài nhỏ hơn nhiều so với bộ lọc thứ nhất, nhưng cái giá phải trả vẫn
là có chất lượng thấp hơn. Trong thực tiễn, hai bộ lọc này vẫn phải
được thực hiện bằng cấu trúc đa pha. Vì thế, chúng được thực hiện
bằng cấu trúc nhiều tầng như hình 7.22.
“./figures/Multirate_38” — 2012/7/24 — 12:37 — page 19 — #1
LPF ↑ 3 LPF ↓ 4
LPF ↑ 7 LPF ↓ 4
LPF ↑ 7 LPF ↓ 10 xDAT(n)
xCD(n)
Hình 7.22: Hệ thống chuyển đổi tín hiệu từ CD sang DAT trong thực
tiễn. Các vận tốc hữu tỷ là 3/4, 7/4 và 7/10.
Trong MATLAB, lệnh sau đây cho phép ta thay đổi vận tốc lấy
mẫu:
y = resample(x,N,M)
trong đó x là tín hiệu gốc, N/M là tỷ lệ thay đổi vận tốc. Lệnh này
sử dụng một bộ lọc thông thấp được thiết kế theo phương pháp sai
số trung bình bình phương tối thiểu đồng thời nó cũng loại bỏ độ trễ
trong tín hiệu đầu ra do bộ lọc tạo nên. MATLAB cũng có một lệnh
khác là:
y = upfirdn(x, h, L, M)
trong đó x là tín hiệu gốc, h là đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp,
L/M là tỷ số thay đổi vận tốc.
240
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 241 — #259
7.4. Biểu diễn đa pha
7.4 Biểu diễn đa pha
Khi một hệ thống cần xử lý ở vận tốc khá cao thì độ phức tạp
cũng như giá thành của phần cứng sẽ tăng nhanh. Trong trường hợp
này, ta phải tìm cách hạ vận tốc xử lý, hàm ý phải hạ tốc tín hiệu cần
xử lý. Cách tổ chức thích hợp nhất là phân tích một tín hiệu thành
các thành phần có vận tốc lấy mẫu nhỏ hơn và mỗi thành phần như
thế này được xem như là một pha của tín hiệu.
Một tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn hai pha x1(n) và x2(n)
như sau:
x1(n)= . . . ,x(−4),x(−2),x(0),x(2),x(4), . . .
x2(n)= . . . ,x(−3),x(−1),x(1),x(3),x(5), . . .
hay được biễu diễn ba pha x1(n), x2(n) và x3(n) với
x1(n)= . . . ,x(−3),x(0),x(3),x(6), . . .
x2(n)= . . . ,x(−2),x(1),x(4),x(7), . . .
x3(n)= . . . ,x(−1),x(2),x(5),x(8), . . .
Một cách tổng quát, x(n) có thể được biểu diễn bởi M pha xk(n) được
định nghĩa như sau:
xk(n)= x(nM+k), k= 0,1,2, . . . ,M−1. (7.15)
Nhận thấy, xử lý tín hiệu x(n) là hoàn toàn tương đương với xử
lý song song M pha xk(n). Cách biểu diễn trực tiếp nhất các thành
phần pha là thông qua sử dụng biến đổi Z của tín hiệu, như
Xk(z)=
∑
x(nM+k)z−n. (7.16)
Tín hiệu xk(n) = x(nM+ k) có được bằng cách dịch sớm tín hiệu x(n)
đi k bước, sau đó hạ tốc M lần, như được minh họa ở hình 7.23. Như
thế, hệ thống ở hình 7.24 có thể được sử dụng để phân tích x(n) thành
M thành phần pha.
Tương tự, có thể biểu diễn đáp ứng xung h(n) của một hệ thống
tuyến tính bất biến thành M thành phần pha như sau:
hk(n)= h(nM+k), k= 0,1,2, . . . ,M−1. (7.17)
241
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 242 — #260
Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc
“./figures/Multirate_39” — 2012/7/24 — 12:37 — page 20 — #1
x(n) zk ↓M xk(n)
Hình 7.23: Ghép nối bộ sớm pha và bộ hạ tốc.“./figures/Multirate_40” — 2012/7/24 — 12:37 — page 20 — #1
x(n) ↓M x0(n)
z−1
↓M x1(n)
z−1
↓M xM−1(n)
Hình 7.24: Phân tích thành M thành phần pha.
Gọi Hk(z) là hàm truyền của hệ thống có đáp ứng xung là hk(n). Ta
có
Hk(z)=
∞∑
n=−∞
h(nM+k)z−n, (7.18)
và
Hk(zM)=
∞∑
n=−∞
h(nM+k)z−nM . (7.19)
Biết rằng hàm truyền H(z) của đáp ứng xung h(n) là
H(z)=
∞∑
n=−∞
h(n)z−n, (7.20)
ta có thể suy ra ngay
H(z)=
M−1∑
k=0
z−kHk(zM). (7.21)
Cấu trúc này được mô tả bởi sơ đồ khối ở hình 7.25(a). Hệ thống này
242
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 243 — #261
7.4. Biểu diễn đa pha
“./figures/Multirate_41” — 2012/7/24 — 14:24 — page 21 — #1
x(n) H0(zM) y(n)
z−1
H1(zM)
z−1
HM−1(zM)
(a)“./figures/Multirate_42” — 2012/7/24 — 14:26 — page 21 — #1
x(n) H0(zM) y(n)
z−1
H1(zM)
z−1
z−1
HM−1(zM)
(b)
Hình 7.25: Sơ đồ khối bộ lọc đa pha: (a) và (b) là tương đương.
được gọi là bộ lọc đa pha* và hoàn toàn tương đương với sơ đồ khối
ở hình 7.25(b). Có thể thấy ngay các sơ đồ khối này sẽ rất hữu ích
khi cần thiết kế một bộ lọc của hệ thống biến đổi vận tốc lấy mẫu
có chiều dài rất lớn. Tính hữu ích của cấu trúc này có được nhờ các
đẳng thức Noble đã được trình bày ở trên.
*Polyphase filter.
243
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 244 — #262
Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc
“./figures/Multirate_43” — 2012/7/24 — 12:37 — page 21 — #1
x(n) H(z) ↓M y(n)
(a)“./figures/Multirate_44” — 2012/7/24 — 14:38 — page 21 — #1
x(n) H0(zM) ↓M y(n)
z−1
H1(zM)
z−1
HM−1(zM)
(b)“./figures/Multirate_45” — 2012/7/24 — 14:38 — page 21 — #1
x(n) ↓M H0(z) y(n)
z−1
↓M H1(z)
z−1
↓M HM−1(z)
(c)
Hình 7.26: Áp dụng biểu diễn đa pha vào một hệ thống có chiều dài
lớn. Hệ thống (a) được phân tích đa pha thành hai hệ thống tương
đương (b) và (c).
Thật vậy, xét hệ thống H(z) có chiều dài rất lớn ở hình 7.26(a)
được phân tích thành hệ thống đa pha như ở hình 7.26(b). Hệ thống
này trong thực tiễn là một phần của hệ thống thay đổi vận tốc theo
244
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 245 — #263
7.5. Kết luận
một tỷ lệ hữu tỉ (tham chiếu). Có rất nhiều trường hợp, chẳng hạn
như trong ví dụ 7.3, để đáp ứng các đặc tả của hệ thống H(z) có
chiều dài L rất lớn và như thế không thể thực hiện được trực tiếp
H(z). Trong trường hợp này, ta dùng bộ lọc đa pha để một mặt hạ
vận tốc xử lý, mặt khác làm giảm chiều dài của các bộ lọc được thiết
kế. Chiều dài của mỗi bộ lọc đa pha thành phần nhỏ hơn rất nhiều
so với chiều dài của bộ lọc gốc H(z). Kết quả cuối cùng được minh họa
ở hình 7.26(c).
Sơ đồ hệ thống này có thể thực hiện về mặt điện tử bằng mô
hình như được minh họa ở hình 7.27.
“./figures/Multirate_46” — 2012/7/24 — 12:37 — page 21 — #1
x(n)
H0(z) y(n)
H1(z)
HM−1(z)
Hình 7.27: Áp dụng biểu diễn đa pha vào một hệ thống có chiều dài
lớn: thực hiện về mặt điện tử.
7.5 Kết luận
Trong chương này, ta đã nghiên cứu phương pháp thiết kế một
bộ lọc tương đối phức tạp nhằm giúp các hệ thống hoạt động với vận
tốc khác nhau có thể kết nối với nhau. Tuy nhiên, vì ràng buộc chặt
chẽ của thiết kế mà ta cần có bộ lọc có chiều dài khá lớn. Thực hiện
bằng điện tử các bộ lọc có chiều dài khá lớn là một vấn đề rất khó
245
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 246 — #264
Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc
giải quyết. Tuy nhiên, với biễu diễn đa pha, ta có thể thay thế bộ lọc
này bằng một cấu trúc gồm nhiều bộ lọc ngắn hơn hoạt động song
song. Cấu trúc song song này cho thấy không những ta giải quyết
được vấn đề thực thi điện tử mà hơn thế nữa với cấu trúc này ta đã
giảm khá nhiều vận tốc xử lý cho từng bộ phận của cấu trúc. Như
thế, thao tác thay đổi vận tốc xử lý và cấu trúc đa pha là một thể
thống nhất, mặc dù điểm xuất phát của hai khái niệm này có vẻ độc
lập nhau.
246
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 247 — #265
Bài tập
Bài tập
7.1. Cho một tín hiệu có chiều dài hữu hạn được biểu diễn như sau:
x(n)=
{
1−0.1n, nếu 0≤ x≤ 10,
0, nếu khác
Cho tín hiệu x(n) trên đi qua bộ hạ tốc với hệ số M = 2.
7.2. Cho một tín hiệu x(n), có biến đổi Z là
X (z)= 3z−1+4z−2+7z−3+4z−4+3z−5,
đi qua một bộ hạ tốc có hệ số M = 2. Hãy xác định biến đổi Z của tín
hiệu đầu ra.
7.3. Cho tín hiệu có phổ biên độ được mô tả như hình 7.28. Cho tín“./figures/Multirate_47” — 2012/7/24 — 12:37 — page 24 — #1
ω
X (e j
ω−2pi
2 )
− 3pi2 3pi2
−pi pi−pi2 pi2
1
Hình 7.28: Phổ tín hiệu trước khi hạ tốc, cho bài tập 7.3.
hiệu này đi qua bộ hạ tốc có hệ số M = 3. Hãy xác định phổ biên độ
tín hiệu đầu ra.
7.4. Cho một tín hiệu có chiều dài hữu hạn được biểu diễn như sau:
x(n)=
{
1−0.1n, nếu 0≤ x≤ 10,
0, nếu khác
Cho tín hiệu x(n) trên đi qua bộ tăng tốc với hệ số N = 2.
247
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 248 — #266
Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc
7.5. Cho tín hiệu x(n), có biến đổi Z là
X (z)= 1+3z−1+4z−2+7z−3+4z−4,
đi qua một bộ tăng tốc có hệ số N = 3, xác định tín hiệu đầu ra y(n).
7.6. Cho tín hiệu có phổ biên độ được mô tả như ở hình 7.28 qua bộ
tăng tốc có hệ số N = 3. Hãy xác định phổ biên độ tín hiệu đầu ra.
7.7. Cho tín hiệu x(n), có biến đổi Z là
X (z)= 5+4z−1+3z−2+2z−3+ z−4,
đi qua một bộ tăng tốc có hệ số N = 3, rồi qua một bộ hạ tốc có hệ số
M = 2. Hãy xác định tín hiệu đầu ra y(n).
7.8. Cho tín hiệu x(n), có biến đổi Z là
X (z)= 5+4z−1+3z−2+2z−3+ z−4
đi qua một bộ hạ tốc có hệ số M = 2, rồi qua một bộ tăng tốc có hệ số
N = 3. Hãy xác định tín hiệu đầu ra y(n).
248
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 249 — #267
Tài liệu tham khảo
[1] M. Bellanger, Traitement numérique du signal : Théorie et pratique,
Dunod, 2002.
[2] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992.
[3] F. Harris, Multirate Signal Processing for Communication Systems, Pren-
tice Hall, 2004.
[4] V. K. Ingle and J. G. Proakis, Digital Signal Processing Using MATLAB,
2nd ed., CL Engineering, 2006.
[5] T. Kailath, Linear Systems, Prentice Hall, 1980.
[6] S. K. Mitra, Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach,
2nd ed., McGraw-Hill, 2001.
[7] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Pro-
cessing, 2nd ed., Prentice-Hall, 1999.
[8] A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw-Hill, 1977.
[9] P. Prandoni and M. Vetterli, Signal Processing for Communications, CRC
Press, 2008.
[10] J. G. Proakis and D. K. Manolakis, Digital Signal Processing: Principles,
Algorithms, and Applications, 4th ed., Prentice Hall, 2006.
[11] R. J. Schilling and S. L. Harris, Fundamentals of Digital Signal Processing
Using MATLAB, 2nd ed., Cengage Learning, 2010.
[12] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu số và lọc số, Tập 1, NXB Khoa học Kỹ
thuật, 1999.
[13] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu số và lọc số, Tập 2, NXB Khoa học Kỹ
thuật, 2003.
[14] P. P. Vaidyanathan, Multirate Systems And Filter Banks, Prentice Hall,
1992.
249
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 250 — #268
Tài liệu tham khảo
250
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 251 — #269
Chỉ mục
Đáp ứng xung, 45
chiều dài hữu hạn,FIR, 45,
72
chiều dài vô hạn,IIR, 45, 72
Đồ thị dòng chảy, 75
Độ gợn sóng, 118
Độ trễ bao, 96
Độ trễ nhóm, 96
Độ trễ pha, 96
Định lý xen kẽ, 207
Đẳng thức Noble, 230
Đổi chiều thời gian, 35
Đổi thang thời gian, 37
Ảnh phổ, 234
Bề rộng phổ tín hiệu, 16
Bộ biến đổi số – tương tự, 21
Bộ biến đổi tương tự – số, 9
Lấy mẫu, 9
Lượng tử hóa, 9
Mã hóa, 9
Bộ cộng, 73
Bộ dịch trễ đơn vị, 73
Bộ khuếch đại, 73
Bộ vi xử lý tín hiệu số, 5
Biến đổi Z, 27, 52
ngược, 57
vùng hội tụ, 52
Biến đổi Fourier, 12
đáp ứng tần số của hệ thống,
66
phổ tín hiệu, 65
thời gian liên tục, 64
thời gian rời rạc, 64
Biến đổi Laplace, 26, 92
Biến đổi song tuyến tính, 135
Cấu trúc thực thi, 76
dạng nối tiếp, 79
dạng song song, 80
dạng thang chéo, 83
dạng trực tiếp I, 76
dạng trực tiếp II, 77
Dịch gốc thời gian, 35
Dải chuyển tiếp, 96
Dải thông, 96
độ gợn sóng dải thông, 104
Dải triệt, 96, 118
độ gợn sóng dải triệt, 178
251
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 252 — #270
Chỉ mục
Gập phổ, 15
Hàm truyền, 62, 63
nghiệm cực, 64
nghiệm không, 64
Hệ thống, 4
đệ quy, 73
động,có nhớ, 41
ổn định, 43
AR, 72
ARMA, 71
bất biến, 41
bậc hữu hạn, 39
cấu trúc hệ thống, 73
có đáp ứng xung chiều dài hữu
hạn, 45
có đáp ứng xung chiều dài vô
hạn, 45
có pha tuyến tính, 95
không nhân quả, 63
khởi động từ gốc, 61
MA, 72
nối tiếp, 43, 76
nhân quả, 42
pha tối thiểu, 98
rời rạc, 25, 38
song song, 43
tự hồi quy, 72
tĩnh, không nhớ, 41
toàn cực, 72
toàn không, 72
tuyến tính, 42
tuyến tính bất biến, 44
Hiện tượng Gibbs, 168
Khuếch đại tín hiệu, 38
Lấy mẫu, 9
đều, 10
chu kỳ lấy mẫu, 10
Lấy và giữ mẫu, 18
Lọc, 1, 4
đa pha, 243
bộ lọc số, 5
bộ lọc tương tự, 5, 92
bộ tương tự, 5
hạ tốc, 223
Hilbert, 213
lý tưởng, 95
lưu bậc không, 132
phẳng tối đa, 100
tăng tốc, 232
thông cao, 115
thông dải, 108
triệt dải, 112
vi phân, 213
Lượng tử hóa, 18, 85
bộ lượng tử, 19
mức lượng tử, 10
sai số lượng tử, 85
Méo, 94
biên độ, 94
pha, 94
Nhiễu, 5
Nyquist, 19
định lý lấy mẫu Nyquist, 15
tần số Nyquist, 16
Phương trình đặc trưng, 61
Phương trình sai phân tuyến tính,
39
252
https://tieulun.hopto.org
“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 253 — #271
Chỉ mục
hệ số hằng số, 39, 62
nghiệm riêng, 61
nghiệm thuần nhất, 61
Pha tuyến tính, 199
mở rộng, 200
Sơ đồ hệ thống, 39
Sai số tích lũy, 85
Tích chập, 16, 46
Tín hiệu, 2
đáp ứng, 39
điều hòa, 93
công suất, 32
chẵn, 33
dốc đơn vị, 30
kích thích, 39
không nhân quả, 55
lẻ,phản đối xứng, 33
mũ rời rạc, 30
năng lượng, 32
năng lượng hữu hạn, 3
ngẫu nhiên, 3
nhân quả, 53
rời rạc, 10
tương tự, 2
thời gian liên tục, 2
thời gian rời rạc, 2
thang đơn vị, 29
tuần hoàn, 3, 32
xung Dirac, 12
xung Kronecker, 29
Tần số, 16
cắt, 139
cắt chuẩn hóa, 100
chuẩn hóa, 122
số, 65, 140
tương tự, 139
vật lý, 140
Tiêu chí minmax, 204
Vòng tròn đơn vị, 64
Vận tốc lấy mẫu, 19
253
https://tieulun.hopto.org