Mô phỏng các đặc tính đàn hồi của cát

KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 16 
MÔ PHỎNG CÁC ĐẶC TÍNH ĐÀN HỒI CỦA CÁT 
 Nguyễn Hồng Nam1 
Tóm tắt: Mô hình “hypo-elastic” (HongNam và Koseki, 2005) đã được cải tiến nhằm mô phỏng 
các tính dị hướng có sẵn và dị hướng do ứng suất gây ra của cát, có xét đến sự quay trục ứng suất 
chính từ trục vật liệu tại các trạng thái ứng suất tổng quát. Sự phù hợp tốt giữa các dữ liệu mô 
phỏng và thực đo đã được quan sát. Ảnh hưởng của tính dị hướng có sẵn đối với các đặc tính biến 
dạng đàn hồi của cát Toyoura là nhỏ. 
Từ khóa: Mô đun Young, mô đun kháng cắt, hệ số Poisson, đặc tính biến dạng nhỏ, dị hướng. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ1 
Đất ngoài hiện trường thường biểu hiện tính 
dị hướng về cường độ hoặc độ cứng. Có thể chia 
tính dị hướng của đất thành dị hướng có sẵn 
(Arthur và Menzies, 1972) và dị hướng do ứng 
suất gây ra (Arthur et al., 1977). 
Khi nghiên cứu tính dị hướng có sẵn đối với 
các đặc tính biến dạng, đất thường được xem 
như vật liệu “cross-anisotropic”, đối xứng trục, 
với 5 tham số mô hình (Love, 1927). 
Đối với dị hướng do ứng suất gây ra, một số 
mô hình đã được đề xuất (Tatsuoka và Kohata, 
1995; Hardin và Blandford, 1989; Di Benedetto 
et al., 2001). Tuy nhiên, những mô hình này 
nhìn chung chưa đầy đủ bởi vì hoặc chưa đề cập 
đến trường hợp chịu lực tổng quát, trong đó có 
sự quay trục ứng suất chính từ trục vật liệu 
(Tatsuoka và Kohata, 1995) hoặc có xét đến sự 
quay trục ứng suất chính nhưng chưa xét đầy đủ 
ảnh hưởng của tính dị huớng có sẵn (Hardin và 
Blandford, 1989; Di Benedetto et al., 2001). 
Tại một trạng thái ứng suất tổng quát, khảo 
sát đầy đủ ma trận liên hệ ứng suất-biến dạng 
của đất theo định luật Hooke tổng quát bằng các 
phương pháp đo tĩnh còn khó khăn, đặc biệt là 
việc đo mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson 
trong mặt phẳng ngang. Vì vậy, sự kết hợp các 
phương pháp đo tĩnh và đo động trên cùng một 
mẫu đất đã được thực hiện khá phổ biến. 
HongNam và Koseki (2005) đề xuất một mô 
hình “hypo-elastic”, đặt tên là IIS, có xét tính dị 
hướng có sẵn và dị hướng do ứng suất gây ra 
1 Trường Đại học Thuỷ lợi. 
đối với các đặc tính biến dạng đàn hồi của đất 
với sự quay trục ứng suất chính. Tuy nhiên, các 
thành phần ứng suất, biến dạng được viết dưới 
dạng rút gọn (4 thành phần). 
Bài báo này đề xuất cải tiến mô hình “hypo-
elastic” (Hong Nam và Koseki, 2005) để mô 
phỏng các đặc tính đàn hồi dị hướng có sẵn và 
dị hướng do ứng suất gây ra của cát, xét trường 
hợp chịu lực tổng quát (6 thành phần). 
2. MÔ HÌNH IIS CẢI TIẾN 
Xét một mẫu đất hình trụ rỗng dưới tác dụng 
của lực dọc Fz, lực xoắn T và áp lực buồng 
(Hình 1). Trong hệ trục vật liệu (z, r, θ) (Hình 
1a), quan hệ giữa độ tăng ứng suất và độ tăng 
biến dạng của một phân tố vật liệu đàn hồi A có 
thể được viết theo định luật Hooke tổng quát 
dưới đây. 
  Tezerezreerez dddddd   
  Tzrzrrz ddddddM   ''' (1) 
Trong hệ trục ứng suất chính (, , ) (Hình 
1b), quan hệ giữa độ tăng ứng suất và độ tăng 
biến dạng có thể được viết như sau. 
 Teeeeee dddddd      = 
  TddddddM      ''' (2) 
][][][][  TMTM
T (3) 
trong đó, ][ T là tensor chuyển đổi độ tăng 
ứng suất giữa hai hệ toạ độ (z, r, θ) và (, , ). 






2cos00cossin0cossin
0cossin000
0sincos000
2sin00cos0sin
000010
2sin00sin0cos
][
22
22
T
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 17
Ma trận ][M được đề xuất như sau. 
 
66636261
5554
4544
36333231
26232221
16131211
00
0000
0000
00
00
00
MMMM
MM
MM
MMMM
MMMM
MMMM
M (4) 
trong đó, EM /111 ,  EM /12 , 
 EM /13 , 1616 oMM , 
  EM /21 , EM /122 , 
  EM /23 , 2626 oMM , 
 EM /31 ,  EM /32 , 
EM /133 , 3636 oMM , 4444 oMM , 
4545 o
MM , 4554 MM , 5555 oMM , 
1661 MM , 2662 MM , 3663 MM , 
GM /166 
)1('
')(
)( 2
nE
m
im
o
io
o
i kC
E
ef
ef
E 

 (5) 
)1()''(
')(
)( 22/
nG
n
jin
o
ijo
o
ij kC
G
ef
ef
G 

 (6) 
 kjiijoij '/'  (7) 
ở đây, i hoặc j đại diện cho , , ; e là hệ số 
rỗng hiện tại; f(e) = (2.17-e)2/(1+e) (Hardin và 
Richart, 1963); m, n, k là các tham số vật liệu; 
’i là ứng suất chính hiệu quả. 
Ảnh hưởng của phá huỷ đối với kết cấu đất 
trong quá trình cắt được xem xét bởi hệ số kn: 
kn=(’1 /’3 -1)/[(’1 /’3 )max -1] (8) 
(Yu và Richart, 1984) 
CE và CG là hai hệ số lần lượt thể hiện sự suy 
giảm mô đun Young và mô đun kháng cắt. 
Chỉ số dưới ‘o’ trong các phương trình (5), 
(6), (7) thể hiện trạng thái ứng suất tham chiếu 
đẳng hướng (’i = ’j = ’o), và hệ số rỗng tham 
chiếu eo được dùng để xác định các giá trị Eio, 
Gijo, ijo với ’i = ’j = ’o. Tại trạng thái ứng 
suất tham chiếu này, vật liệu được giả thiết 
“cross-anisotropic” trong hệ trục vật liệu (z, r, 
θ), trong đó z là trục đối xứng và (r, θ) là mặt 
phẳng đẳng hướng (Hình 2). 

-r
+z
r'
o 
'
 
'z
 z
 
Bedding planes
 +z
r ' '
o 

 '


'
 
D
D
H
F
T
A
'
 '
2'
r)
(a) (b)
A A
i
o
z
 z 
Material axes Principal stress axes (z, r, )   
 
-z
-r
Hình 1. Hệ trục vật liệu (a) và hệ trục ứng suất 
chính (b) 
 E G
+z

 
 
 E
 

 E
zo

 zo
Gz 
E
 
 
Bedding planes
ro
-r
'
'
'
'
'
o
oG
G zo
Hình 2. Các đặc tính dị hướng có sẵn của đất tại 
trạng thái ứng suất tham chiếu đẳng hướng. 
Quan hệ giữa độ tăng ứng suất và độ tăng 
biến dạng trong hệ trục này được thể hiện dưới 
đây (Hình 2). 
 Tezoe orezroeoeroezo dddddd   = 
   Tzoorzroorozoo ddddddM   ''' (9) 
 
oz
o
ro
oz
oro
or
zo
oz
o
ro
rozo
zro
o
zo
ro
rzo
zo
o
G
E
v
G
EEE
EEE
EEE
M













1
00000
0
)1(2
0000
00
1
000
000
1
000
1
000
1
(10) 
Có thể giả thiết (Tatsuoka và Kohata, 1995) 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 18 
 oro  (11) và oozo aEaEE  (12). 
Trong hệ trục vuông góc (, , ) với trục 
trùng với trục r, và trục  tạo một góc nghiêng 
 so với trục z, quan hệ độ tăng ứng suất - độ 
tăng biến dạng được viết như sau: 
 Te oe oe oeoeoeo dddddd      = 
  Tooooooo ddddddM      ''' (13) 
1][][][][  TMTM o
T
o (14) 
 
66636261
5554
4544
36333231
26232221
16131211
00
0000
0000
00
00
00
oooo
oo
oo
oooo
oooo
oooo
o
MMMM
MM
MM
MMMM
MMMM
MMMM
M
(15) 
Trong đó, 
oo EM /111 , ooo EM  /12 , 
ooo EM  /13 , zooo EM /116 , 
ooo EM   /21 , oo EM /122 , 
ooo EM   /23 , zooo EM /226 , 
ooo EM  /31 , ooo EM  /32 , 
oo EM /133 , zooo EM /336 , 
5445 oo
MM ,
1661 oo
MM , 
2662 oo
MM , 
3663 oo
MM , oo GM /166 
Như vậy tất cả các thành phần của ][ oM 
được xác định từ phương trình (14).Vì vậy, các 
thành phần dị hướng có sẵn của ma trận ][M 
(phương trình 4), ví dụ Eio, Gijo,ijo, 1o, 2o và 
 3o, đại diện cho mô đun Young, mô đun kháng 
cắt, hệ số Poisson, và 3 hệ số ghép đôi tương 
ứng được xác định. Lưu ý rằng khả năng phụ 
thuộc trạng thái ứng suất của các thành phần 
M16, M26 và M36 có thể được khảo sát theo 
phương pháp thử-sai nhờ các thí nghiệm cắt 
xoắn. Do sự hạn chế về thiết bị thí nghiệm, khả 
năng phụ thuộc trạng thái ứng suất của các 
thành phần M44, M45, M54 and M55 chưa được 
xem xét trong nghiên cứu này. 
Do khó khăn kỹ thuật trong việc đo tĩnh các 
giá trị Eθo và θro trong mẫu hình trụ rỗng, hai 
giả thiết dưới đây được đề xuất bởi Tatsuoka et 
al.(1999) đã được sử dụng: 
ooz a   (16) 
và o
o
o  )45( (17) 
Từ phương trình (3), có thể xác định giá trị a: 
)21)((
)(
ozoz
ozzo
oz
vava
vaE
G



 (18) 
Vì vậy, 5 tham số độc lập Ezo, zo, Gzo, Eo 
và ro (phương trình 10) được giảm xuống 3 
tham số độc lập: a, Eo và vo, xác định lần lượt từ 
các phương trình (18), (12) và (16). 
Tóm lại, mô hình IIS bao gồm 9 tham số vật 
liệu: a, Eo, vo, m, n, k, CE, CG và (’1/’3) max. 
Theo mô hình IIS, ma trận liên kết biến dạng-
ứng suất bất đối xứng. 
Chú ý rằng trong các đường ứng suất 3 trục, 
 = 0, vì vậy Gz = G, Ez = E, E = E, z = 
, z = , zr = và rz = . 
Mô đun Young, mô đun kháng cắt, và hệ số 
Poisson được xác định như sau: 
Ez = 1/M11, Er = 1/M22, E = 1/M33, 
Gz = 1/M44, z = -M31/M11, z = -M13/M33, 
zr = -M21/M11 và rz = -M12/M22. (19) 
3. SO SÁNH KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VỚI 
THÍ NGHIỆM 
Việc xác định các tham số mô hình IIS được 
thực hiện được nhờ các kết quả thí nghiệm sử 
dụng thiết bị thí nghiệm cắt xoắn hình trụ rỗng 
tại phòng thí nghiệm địa kỹ thuật, Viện Khoa 
học Công nghiệp, Đại học Tokyo, Nhật Bản 
(HongNam và Koseki, 2005). Thiết bị này có 
thể cho phép điều khiển độc lập và tự động sự 
gia tải tuần hoàn theo các phương thẳng đứng và 
phương xoắn. Biến dạng mẫu được đo cục bộ 
nhờ thiết bị đo biến dạng cục bộ kiểu mũi nhọn 
P-LDT được tác giả phát triển (HongNam et al., 
2001; Hình 3). Nhờ vậy có thể đo được các đặc 
tính biến dạng đàn hồi của đất bằng cách áp 
dụng các vòng lặp dỡ tải, gia tải biên độ nhỏ 
theo phương thẳng đứng và phương xoắn. Áp 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 19
dụng lực tuần hoàn biên độ nhỏ theo phương 
thẳng đứng 'd Tzd ]0,0,0,'[  , xác định 
được M11= d
e
z/d’z, M21 = d
e
r/d’z, M31= 
de/d’z và M61= d
e
z/d’z. Áp dụng lực tuần 
hoàn biên độ nhỏ theo phương xoắn 
 'd Tzd ],0,0,0[  xác định được M16 = 
dez/dz, M26 = d
e
r/ dz, M36 = d
e
/ dz và 
M66 = d
e
z/ dz 
Vật liệu thí nghiệm là các mẫu cát Toyoura ở 
trạng thái chặt, khô (GS=2.635, emax=0.966, 
emin=0.600) với hệ số rỗng ban đầu tại áp suất 
buồng 30 kPa: eini=0.697-0.760. Có hai loại mẫu 
trụ rỗng được sử dụng có cùng chiều cao 30cm, 
đường kính ngoài 20cm, nhưng khác nhau 
đường kính trong là 16cm và 12cm. Sau khi cố 
kết đẳng hướng (IC), mẫu chịu các đường ứng 
suất khác nhau như nén 3 trục (TC), nở 3 trục 
(TE), cắt xoắn từ trạng thái ứng suất đẳng 
hướng(TSI), cắt xoắn từ trạng thái ứng suất dị 
hướng (TSA). 
Hinge*
Conical 
hole
Pin
HTPB strip
*glued on the surface of specimen
45°
Fz
GS3
GS1
SET1
GS3
SET2
GS2
GS4
GS2 GS4
T
3
0
cm
20cm
12cm
SET1
P-LDT
GS1
Inner
P-LDTs
Outer
P-LDTs
Hình 3. Sơ đồ bố trí thiết bị đo biến dạng cục bộ 
Các giá trị tham số mô hình IIS được lựa 
chọn như sau: Eo = 182.1 MPa, o = 0.167, m = 
n = 0.5, k = 0.3 và CE = CG = 0 (bỏ qua các ảnh 
hưởng phá huỷ và lịch sử ứng suất), a = 0.8, 1.0, 
1.2. Tại trạng thái ứng suất tham chiếu đẳng 
hướng ’o = 100 kPa, e = eo. 
 So sánh kết quả mô phỏng và số liệu thí 
nghiệm trong đường TC (’r =’ = 100 kPa), 
TSI (’z = ’r=’ =100 kPa) và TSA (’z = 
2’r=2’ = 200 kPa) được thể hiện lần lượt 
trên Hình 4, 5 và 6. Chú ý rằng các tham số so 
sánh được chuẩn hoá với các giá trị ban đầu. 
Chỉ số dưới ’[1]’ đại diện giá trị ban đầu (z = 
0) tại trạng thái ứng suất đẳng hướng (TC, TSI) 
hoặc dị hướng (TSA). 
Kết quả mô phỏng cho thấy rằng ảnh hưởng 
của dị hướng có sẵn đối với các số hạng chuẩn 
hoá của ma trận [M] là không đáng kể đối với 
đường TC hoặc nhỏ đối với các đường TSI, 
TSA. Kết quả mô phỏng phù hợp tốt với với số 
liệu thí nghiệm, trừ sự biến đổi các giá trị đo của 
M21 và M26, có thể là do các sai số lớn hơn trong 
tính toán các giá trị r. 
4. KẾT LUẬN 
Mô hình “hypo-elastic”, mang tên IIS, 
(HongNam và Koseki, 2005) đã được cải tiến 
để nghiên cứu tính dị hướng có sẵn và tính dị 
hướng do ứng suất gây ra của các đặc tính 
biến dạng đàn hồi của cát, có xét đến sự quay 
trục ứng suất chính từ trục vật liệu. Mô hình 
IIS mở rộng đã được kiểm nghiệm kỹ lưỡng 
nhờ một loạt các thí nghiệm 3 trục và xoắn 
trên các mẫu hình trụ rỗng làm bằng cát 
Toyoura ở trạng thái chặt, khô. Sau đây là kết 
luận từ nghiên cứu này. 
1) Tính dị hướng có sẵn và dị hướng do ứng 
suất gây ra của ma trận liên kết biến dạng-ứng 
suất khi có/không có sự quay các trục ứng suất 
chính có thể được mô phỏng tốt theo mô hình 
“hypo-elastic” mới được đề xuất. 
2) Các ảnh hưởng của tính dị hướng có sẵn 
của cát đối với các kết quả mô phỏng là nhỏ. 
LỜI CẢM ƠN 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ phát 
triển khoa học và công nghệ quốc gia Việt Nam 
(NAFOSTED) trong đề tài mã số 107.99-
2012.31.
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 20 
Hình 4. So sánh kết quả mô phỏng và thí nghiệm trong đường nén 3 trục TC 
(’r = ’ = 100 kPa) 
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (c)
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
M
3
1
/M
3
1
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
­0.5
0.0
0.5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11 (d)
M
6
1
/M
1
1
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
­0.5
0.0
0.5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11 (f)
M
2
6
/M
6
6
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
­0.5
0.0
0.5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11 (g)
M
3
6
/M
6
6
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (h)
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
M
6
6
/M
6
6
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
­0.5
0.0
0.5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
(e)
M
1
6
/M
6
6
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
­1
0
1
2
3
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11 (b)
M
2
1
/M
2
1
[1
]
'
z
/'
z[1]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
E
o
=182.1 MPa, 
o
=0.167, '
o
=100 kPa, m=n=0.5, k=0.3
 TOYOG5
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
(a)
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
M
1
1
/M
1
1
[1
]
'
z
/'
z[1]
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 21
Hình 5. So sánh kết quả mô phỏng và thí nghiệm trong đường cắt xoắn TSI 
 (’z = ’r =’ = 100 kPa) 
­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Eo=182.1 MPa, o=0.167, 'o=100 kPa, m=n=0.5, k=0.3
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (a)
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
1
1
/M
1
1
[1
]

z
/'

Experiment
Simulation
­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0
1
2
3
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (b)
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
2
1
/M
2
1
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
(c)
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
3
1
/M
3
1
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­1,0
­0,5
0,0
0,5
1,0
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
(d)
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
6
1
/M
1
1
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
(e)
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
1
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
(f)
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
2
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (g)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
3
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
(h)
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
 TOYOG9
 TOYOG10
 TOYOG11
 TOYOG19
M
6
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 22 
Hình 6. So sánh kết quả mô phỏng và thí nghiệm trong đường cắt xoắn TSA 
(’z = 2’r = 2’ = 200 kPa) 
­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
(d)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
6
1
/M
1
1
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (e)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
1
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
(f)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
2
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (g)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
3
6
/M
6
6
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
M
6
6
/M
6
6
[1
]
(h)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Eo=182.1 MPa, o=0.167, 'o=100 kPa, m=n=0.5, k=0.3
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
(a)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
1
1
/M
1
1
[1
]

z
/'

Experiment Simulation
­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
­0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2 (b)
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
M
2
1
/M
2
1
[1
]

z
/'

­1,0 ­0,5 0,0 0,5 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
 TOYOG11
 TOYOG16
 TOYOG19
(c)
 a=0.8
 a=1.0
 a=1.2
M
3
1
/M
3
1
[1
]

z
/'

KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 50 (9/2015) 23
GIẢI THÍCH KÝ HIỆU 
a= Tham số thể hiện tính dị hướng có sẵn 
Ei = Mô đun Young theo phương i 
Eio = Mô đun Young theo phương i tại trạng 
thái ứng suất tham chiếu đẳng hướng 
Eo = Mô đun Young tham chiếu đẳng hướng 
eo = Hệ số rỗng tại trạng thái ứng suất tham 
chiếu đẳng hướng 
Gij = Mô đun kháng cắt trong mặt phẳng (i, j) 
Gijo =Mô đun kháng cắt Gij tại trạng thái ứng 
suất tham chiếu đẳng hướng 
ij = Biến dạng cắt trong mặt phẳng (i,j) 
i = Biến dạng pháp tuyến theo phương i 
vol = Biến dạng thể tích 
ij = Ứng suất cắt trong mặt phẳng (i, j) 
ij = Hệ số Poisson (ảnh hưởng của biến dạng 
theo phương j lên biến dạng theo phương i) 
ijo = Hệ số Poisson ij tại trạng thái ứng suất 
tham chiếu đẳng hướng 
o = Hệ số Poisson tham chiếu đẳng hướng 
’o = Ứng suất hiệu quả tại trạng thái ứng 
suất tham chiếu đẳng hướng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Arthur, J. R. F. and Menzies, B. K. (1972), “Inherent anisotropy in a sand”, Geotechnique, 22(1), 
pp. 115-128. 
Arthur, J. R. F., Chua, K. S. and Dunstan, T. (1977), “Induced anisotropy in a sand”, Geotechnique, 
27(1), pp. 13-30. 
Di Benedetto, H., Geoffroy, H. and Sauzeat, C. (2001), “Viscous and non viscous behavior of sand 
obtained from hollow cylinder tests”, Advanced laboratory stress-strain testing of geomaterials. 
Tatsuoka et al. (eds.), Balkema, pp. 217-226. 
Hardin, B. O. and Blandford, G. E. (1989), “Elasticity of particulate materials”, J. of Geotechnical 
Engineering, ASCE, 115 (6), pp. 788-805. 
Hardin, B. O. and Richart, F. E., Jr. (1963), “Elastic wave velocities in granular soils”, J. of Soil 
Mech. and Foundation Division, 89(1), pp. 33-65. 
HongNam, N. and Koseki, J. (2005), “Quasi-elastic deformation properties of Toyoura sand in 
cyclic triaxial and torsional loadings”, Soils and Foundations, 45(5), pp. 19-38. 
HongNam, N., Sato, T. and Koseki, J. (2001), “Development of triangular pin-typed LDTs for 
hollow cylindrical specimen”, Proc. of 36th annual meeting of JGS, pp. 441-442. 
Love, A. E. H. (1927), A treatise on the mathematical theory of elasticity, Dover Publications, 
New York. 
Tatsuoka, F. and Kohata, Y. (1995), “Stiffness of hard soils and soft rocks in engineering 
applications”, Prefailure deformation of geomaterials, Shibuya et al. (eds.), Balkema, 2, pp. 947-
1063. 
Tatsuoka, F., Ishihara, M., Uchimura, T. and Gomes Correia, A. (1999), “Non-linear resilient 
behavior of unbound granular materials predicted by the cross-anisotropic hypo-quasi-elasticity 
model”, Unbound Granular Materials, Gomes Correia (ed.), Balkema, pp. 197-204. 
Yu, P. and Richart, F. E., Jr. (1984), “Stress ratio effects on shear modulus of dry sands”, J. of 
Geotechnical Engineering, 110(3), pp. 331-345. 
Abstract: 
MODELING OF QUASI-ELASTIC DEFORMATION PROPERTIES OF SAND 
The hypo-elastic model (HongNam and Koseki, 2005) was improved to simulate the inherent and 
stress-induced anisotropies of quasi-elastic deformation properties of sand, considering the rotation 
of principal stress axes from the material axes at general stress states. Good agreements between 
experimental and simulation data were observed. In the simulation, effect of inherent anisotropy on 
the quasi-elastic deformation properties of sand was found to be small. 
Keywords: Young’s modulus, shear modulus, Poisson’s ratio, small strain deformation properties, 
anisotropy. 
BBT nhận bài: 24/4/2015 
Phản biện xong: 28/8/2015