Một phương pháp giải bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoài

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 – 
 63
Một phương pháp giải bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoài 
Ngô Cường - Lê Viết Bảo (Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp – ĐH Thái Nguyên) 
1. Đặt vấn đề 
 Khi nghiên cứu thực nghiệm một đối tượng nào đó thường phải giải bài toán thương 
lượng: tìm tối ưu tổng quát cho hai hay nhiều hàm mục tiêu một cách đồng thời. Vì mỗi chỉ tiêu 
có tọa độ tối ưu riêng nên khi chọn các thông số để đạt cực trị của một chỉ tiêu nào đó thì có thể 
làm các chỉ tiêu khác nhận giá trị cách xa cực trị của chúng. Như vậy cần phải thương lượng mức 
giá trị hợp lý của các chỉ tiêu để cuối cùng có được giá trị tối ưu của chỉ tiêu tổng hợp là chỉ tiêu 
hiệu quả kinh tế - kỹ thuật. Bài toán này qui về tìm cực trị có điều kiện của hàm mục tiêu cơ sở 
y1= f(x1, x2,..., xn) nào đó với các ràng buộc xác định bởi các hàm điều kiện khác yz= f(x1, x2,..., 
xn), z = 2, 3,..., m. 
2. Giải bài toán tối ưu hoá tổng quát bằng phương pháp qui hoạch toàn phương tuần tự (SQP) 
Phương pháp SQP giải bài toán qua nhiều bước lặp chính, ở mỗi bước lặp chính sẽ đưa về 
giải một bài toán con qui hoạch toàn phương (viết tắt là bài toán QP). Thuật toán SQP gồm các 
bước sau: 
1. Tính toán ma trận Hessian (H) của hàm Lagrange 
Ở mỗi bước lặp chính cần tính toán ma trận H của hàm Lagrange bằng phương pháp xấp 
xỉ Newton: 
 1+kH = kH + 
k
T
k
T
kk
sq
qq
_
kk
T
k
k
T
k
sHs
HH
 (1) 
Trong đó: 
 ks = 1+kx - kx 
 kq = )( 1+∇ kxf +∑
=
n
i
i
1
λ . )( 1+∇ ki xg _{ )( kxf∇ +∑
=
n
i
i
1
λ . })( ki xg∇ 
 iλ (i = 1,2,...m) là thừa số Lagrange. H là ma trận dương hoàn toàn. Ma trận kH là 
xấp xỉ dương của H. Để cho H dương hoàn toàn thì k
T
k sq phải dương hoàn toàn. Nếu k
T
k sq không 
dương hoàn toàn thì phải biến đổi từng phần tử của kq theo công thức: 
 kq = +kq ωυ (2) 
Trong đó: 
 ω là số vô hướng. 
 iυ = )( 1+∇ ki xg . )( 1+ki xg _ )( ki xg∇ . )( ki xg 
Tăng dần ω đến khi k
T
k sq dương. 
2. Chuyển bài toán về dạng QP 
Ở mỗi bước lặp chính cần chuyển bài toán ban đầu về dạng QP bằng phép xấp xỉ của hàm 
Lagrange. Để tìm nghiệm bài toán ban đầu ta chuyển qua xét bài toán đối ngẫu: 
T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 – 
 64 
 min )(dq = dcHdd TT +
2
1
 (d nℜ∈ ) (3) 
 ii bdA = i = 1,...,me 
 dAi ≤ ib i = me + 1,...,m 
Trong đó Ai là ma trận con của ma trận A m×n phần tử. Ma trận H xác định ở bước 1. 
3. Giải bài toán QP 
Giải bài toán con QP (tìm d) ở mỗi bước lặp chính như sau: xuất phát từ một xấp xỉ ban đầu 
0
^
d >0 (chọn 0
^
d từ một trong những giá trị thỏa mãn các ràng buộc đẳng thức của bài toán con QP), 
các thành phần của xấp xỉ tiếp theo kd
^
 (k = 1,2,...) được tìm bằng cách làm cực tiểu q(d), kd
^
xác 
định theo công thức: 
 kd
^
= pZ Tk (4) 
Trong đó p là một véc tơ, ma trận kZ tạo thành từ phân giã QR m- l cột cuối của ma trận T
kA
−
 ( l là số ràng buộc và l < m): 
 kZ = Q[:, l +1:m] (5) 
Trong đó: 
T
k
T AQ − = 



0
R
Mỗi bước lặp tính theo công thức: 
 kkk dxx
^
1 α+=+ (6) 
Trong đó: 
 α = min 





 −−
ki
iki
dA
bxA )(
 (i = 1,...,m) 
Rút p từ (4) thay vào (3) ta được: 
 q(p) = pZcpHZZp kTkTkT +2
1
 (7) 
Đạo hàm theo p được: 
 cZpHZZpq Tkk
T
k +=∇ )( (8) 
Với giả thiết ma trận H dương hoàn toàn thì điều kiện tối ưu là: 
 cZpHZZpq Tkk
T
k −=⇒=∇ 0)( (9) 
Từ (9) tính ra được kp và kd (là nghiệm của bài toán QP). 
4. Xác định xấp xỉ ban đầu và bước lặp chính của bài toán SQP 
Xấp xỉ ban đầu x1> 0 của bài toán SQP có thể chọn từ một trong những giá trị thỏa mãn 
T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 – 
 65
g(x) ≥ Rad 
Với điều kiện: g(x)≤ [Ra] 
 x ∈ (xmin, xmax) 
các ràng buộc đẳng thức của bài toán ban đầu. Nghiệm dk của mỗi bài toán con QP được dùng để 
xác định bước lặp mới: 
 kkk dxx α+=+1 (k = 1,2,...) (10) 
Quá trình giải bài toán SQP sẽ dừng khi )( kxf , hoặc )( kdq , hoặc )( kdx thay đổi không đáng kể. 
3. Bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoài 
Mài tinh thường được chọn làm nguyên công gia công lần cuối cho nên chất lượng bề 
mặt gia công là một trong những yêu cầu kỹ thuật quan trọng nhất cần phải đạt được. Khi mài đá 
sẽ mòn dần theo thời gian mài làm cho lực cắt, nhiệt cắt và độ nhám bề mặt gia công Ra tăng 
dần, khi giới hạn về cháy bề mặt và độ nhám bề mặt gia công bị vi phạm thì phải sửa đá. Vì điều 
kiện cắt gọt khi mài tinh tương đối nhẹ nhàng nên thường lực cắt, nhiệt cắt nhỏ, ràng buộc về độ 
nhám bề mặt gia công thường bị vi phạm trước khi vi phạm ràng buộc về cháy bề mặt. Nếu gọi 
Rad là độ nhám bề mặt gia công ban đầu ( đạt được ở đầu chu kỳ mài sau khi sửa đá ) và [Ra] là 
giới hạn độ nhám bề mặt gia công cho phép thì thời gian mài để Ra tăng từ Rad đến [Ra] là tuổi bền 
của đá mài. Như vậy các thông số Rad và [Ra] là các dữ liệu ban đầu của bài toán tối ưu hoá khi 
mài tinh theo chỉ tiêu tuổi bền đá mài. 
Gọi nT là số chi tiết gia công được trong một chu kỳ tuổi bền đá T, nT được xác định 
theo công thức sau [6]: 
( ) [ ] 1ln10 +





−
−
−=
oaa
oada
T RR
RR
nn
 (11) 
Trong đó: 
 n0 - hệ số thực nghiệm. 
Ra0 - độ nhám bề mặt gia công tương ứng với trạng thái ổn định của độ nhám bề mặt đá. 
Quan hệ giữa tốc độ bóc vật liệu trên một đơn vị chiều rộng mài với Rad và [Ra] như sau [6]: 
 [ ]
y
a
da
Qw R
R
K 





=
'Q (12) 
 Hệ số KQ và số mũ y xác định bằng thực nghiệm (y = 1,1 ÷1,5). 
Các công thức (11) (12) cho thấy: nếu ở đầu chu kỳ tuổi bền đá ta sử dụng chế độ cắt 
để đạt được Rad nhỏ thì tuổi bền đá tăng lên nhưng cũng đồng thời làm giảm tốc độ bóc vật 
liệu. Như vậy bằng việc xác định độ nhám bề mặt gia công ban đầu hợp lý ta sẽ cân bằng 
được yêu cầu về năng suất và tuổi bền đá. Độ nhám bề mặt gia công ban đầu hợp lý được xác 
định theo yêu cầu kỹ thuật về chất lượng bề mặt gia công và tốc độ mòn của đá mài. 
Nếu xác định được mối quan hệ giữa tuổi bền đá mài T và độ nhám bề mặt gia công Ra 
với chế độ cắt dưới dạng T = f(x), Ra = g(x), x = (t, Sd, ctυ ) thì bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi 
mài tròn ngoài là: f(x) → max (13) 
T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 – 
 66 
4. Tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tinh thép X12M bằng đá mài Hải Dương 
Cn46.CV1.G.V1.400x40x203.35m/s trên máy mài tròn ngoài 
Tác giả đã tiến hành thực nghiệm mài tinh thép X12M trên máy mài tròn ngoài 
3Б153 bằng đá mài Cn46.CV1.G.V1.400x40x203.35m/s do Nhà máy đá mài Hải Dương 
chế tạo. Sau khi sử lý số liệu thực nghiệm đã nhận được: 
- Mô hình tuổi bền đá mài: 
 T = 0,45.t-1,49Sd-1,9υct-2,35 
- Mô hình độ nhám bề mặt gia công: 
 Ra = 2.t0.41Sd0.5υct0.38 
Với yêu cầu về chất lượng bề mặt khi mài tinh chọn [Ra] = 0,63 µm, Rad = 0,32 µm. 
Thay vào (13) thì bài toán tối ưu là: 
 0,45.t-1,49Sd-1,9υct-2,35 max 
Với điều kiện 2.t0.41Sd0.5υct0.38 ≤ 0,63 
 2.t0.41Sd0.5υct0.38 ≥ 0,32 
 0,0025 ≤ t ≤ 0,0075 
 0,3 ≤ Sd ≤ 0,6 
 25,12 ≤ υct ≤ 37,68 
Phần mềm MATLAB giải bài toán bằng phương pháp qui hoạch toàn phương tuần tự 
cho kết quả: 
 Tmax = 14,3 phút 
Với các thông số chế độ cắt tối ưu: 
 t = 0,0028 mm, Sd = 0,3 m/ph, υct = 25,12 m/ph. 
5. Kết luận 
 Trong tối ưu hoá có điều kiện, mục tiêu là chuyển bài toán về các bài toán phụ để 
dễ thực hiện các bước lặp. Có nhiều phương pháp giải bài toán này trong đó phương pháp 
qui hoạch toàn phương tuần tự (SQP) có ưu điểm hơn cả vì số lượng bước lặp ít hơn, độ chính 
xác và tỷ lệ thành công cao. Một chương trình máy tính áp dụng phương pháp SQP đã được viết 
bằng ngôn ngữ Matlab để giải bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoài. 
Tóm tắt 
Bài báo trình bày một phương pháp giải bài toán tối ưu hoá tổng quát cho nhiều 
hàm mục tiêu một cách đồng thời. Phương pháp này được ứng dụng để giải bài toán tối ưu 
hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoài: xác định chế độ cắt để tuổi bền của đá mài lớn nhất trên 
cơ sở đảm bảo yêu cầu kỹ thuật về độ nhám bề mặt gia công. 
Summary 
This paper presents a method to solve the overall multi-purpose optimization 
problem concurrently. The method has been used to optimize the cutting regime for 
external round grinding: the cutting regime is determined to obtain the maximum tool life 
while satisfying the demand about the manufactured surface roughness. 
T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(44)/N¨m 2007 – 
 67
Tài liệu tham khảo 
[1]. Nguyễn Trọng Bình (2003), Tối ưu hoá quá trình gia công cắt gọt, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 
[2]. Ya. L. Gurevits và các tác giả (1981), Chế độ cắt các vật liệu khó gia công, biên dịch: Hồng Nguyên, 
Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. 
[3]. Phạm Văn Lang, Bạch Quốc Khang (1998), Cơ sở lý thuyết quy hoạch thực nghiệm và ứng dụng 
trong kỹ thuật nông nghiệp, Nxb Nông nghiệp, Hà Nội. 
[4]. Nguyễn Nhật Lệ, Phan Mạnh Dần (2005), Giải bài toán tối ưu hoá ứng dụng bằng MATLAB- 
MAPLE (Tối ưu hoá tĩnh và điều khiển tối ưu), Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. 
[5]. Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thông vận tải, Hà Nội. 
[6]. S. Malkin (1989), Grinding technology, Ellis Horwood Limited. 
[7]. Mathworks Inc (2002), Matlab optimisation toolbox, 3 Apple Hill Drive Natick, USA. 
[8]. Г.Ю. Якобс, Э. Якоб, Д. Кохан (1981), Оптимизация резания, «Машиностроение», Москва.