Phương pháp đại số cho nguyên tử heli hai chiều

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION 
JOURNAL OF SCIENCE 
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 
Tập 15, Số 6 (2018): 64-75 
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY 
Vol. 15, No. 6 (2018): 64-75 
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
64 
PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ CHO NGUYÊN TỬ HELI HAI CHIỀU 
Nguyễn Phương Duy Anh1, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm2* 
1 
Khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Thủ Dầu Một 
2 Khoa Vật lí - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh 
Ngày nhận bài: 30-01-2018; ngày nhận bài sửa: 13-3-2018; ngày duyệt đăng: 19-6-2018 
TÓM TẮT 
Toán tử Hamilton cho nguyên tử heli hai chiều được biểu diễn thành công dưới dạng đại số 
thông qua các toán tử sinh hủy lượng tử, từ đây mở ra khả năng ứng dụng phương pháp đại số để 
giải bài toán. Cụ thể, bộ hàm cơ sở dưới dạng đại số được đưa ra trong bài báo dưới dạng bộ hàm 
sóng của dao động tử điều hòa rất thuận tiện cho các tính toán giải tích các yếu tố ma trận, đồng 
thời vẫn mang các đặc điểm của hàm sóng nguyên tử hydro; do đó, có thể sử dụng hiệu quả cho 
việc giải bài toán đang xét và cả các bài toán nguyên tử hai chiều khác, ví dụ như exciton âm trong 
điện trường, từ trường. 
Từ khóa: phương pháp đại số, hệ nguyên tử hai chiều, toán tử sinh hủy, bộ hàm cơ sở, 
exciton. 
ABSTRACT 
Algebraic method for two-dimensional helium atom 
The Hamiltonian for a two-dimensional helium atom is successfully represented in the 
algebraic form via the quantum annihilation and creation operators. This success opens a 
possibility to apply algebraic methods for solving the problem. Particularly, a basic set in the 
algebraic form given in the paper as a set of harmonic oscillator wave functions is very useful for 
analytically calculating matrix elements as well as characterizes the hydrogen atom wave functions 
that makes the solving process effective not only for the considered problem but also for other two-
dimensional problems such as negatively charged exciton in an electric/magnetic field. 
Keywords: algebraic method, two-dimensional atomic systems, annihilation and creation 
operators, basic set, exciton. 
1. Mở đầu 
Nguyên tử heli hai chiều mô tả hệ vật lí thực là exciton âm trong bán dẫn lớp hay 
trong các hệ nguyên tử hai chiều được nghiên cứu rất tích cực gần đây cả thực nghiệm lẫn 
lí thuyết. Chính vì vậy, việc giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử heli hai chiều 
trong điện trường, từ trường đến nay vẫn được quan tâm nghiên cứu [1, 2]. Trong công 
trình này, bài toán exciton âm được xét đến nhằm xây dựng phương pháp đại số giải 
phương trình Schrödinger không những cho bài toán đang xét mà có thể áp dụng cho các 
bài toán tiếp theo với sự có mặt của từ trường, điện trường. 
* Email: tramhdn@hcmup.edu.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Phương Duy Anh và tgk 
65 
Biểu diễn đại số của phương trình Schrödinger cho dao động tử điều hòa qua các 
toán tử sinh hủy lượng tử đã được Dirac đưa ra và được mô tả trong các sách giáo khoa về 
cơ lượng tử. Biểu diễn này đã được sử dụng thành công cho bài toán exciton hai chiều 
trung hòa trong từ trường và nhờ đó mà áp dụng hiệu quả phương pháp toán tử FK giải 
phương trình Schrödinger cho hệ này [3]. Việc phát triển tiếp phương pháp đại số tính toán 
này cho exciton âm, một hệ phức tạp hơn là điều cần thiết. Nếu exciton trung hòa có thể 
xem là bài toán tương tự nguyên tử hydro trong chất rắn (bài toán một hạt) thì exciton âm 
chính là bài toán tương tự nguyên tử heli (bài toán hai hạt). Việc phát triển phương pháp 
đại số nêu trên không phải dễ dàng mà cần có sự nghiên cứu thấu đáo. 
Vấn đề khó nhất khi biểu diễn đại số cho bài toán nguyên tử là thành phần tương tác 
Coulomb (của electron với hạt nhân) có các tọa độ dưới mẫu số dẫn đến việc không thể áp 
dụng hệ thức giao hoán của các toán tử sinh hủy trong các tính toán yếu tố ma trận. Vấn đề 
này đã được giải quyết trong công trình [4] bằng cách áp dụng phép biến đổi Levi-Civita 
[5] đưa bài toán nguyên tử hydro hai chiều về bài toán dao động tử hai chiều. Bài toán mà 
công trình [4] xét, exciton trung hòa trong từ trường đều, vì vậy được đưa về bài toán dao 
động tử phi điều hòa. Với bài toán nguyên tử heli, phép biến đổi Levi-Civita cũng có thể sử 
dụng để đưa thành phần tương tác liên quan đến tương tác electron-hạt nhân về dạng đa 
thức. Tuy nhiên, không thể dùng phép biến đổi này để đa thức hóa thành phần tương tác 
electron-electron, mà chỉ có thể sử dụng phép biến đổi Fourier như chúng tôi trình bày 
trong nghiên cứu này. 
Việc quan trọng tiếp theo sau khi biểu diễn đại số cho phương trình Schrödinger là 
xây dựng bộ hàm sóng cơ sở, làm nền tảng cho việc áp dụng các phương pháp gần đúng 
nói chung và phương pháp toán tử FK [3, 6] nói riêng cho việc giải phương trình. Bộ hàm 
cơ sở cần xây dựng một mặt phải đủ đơn giản để có thể tính được công thức giải tích cho 
các yếu tố ma trận nhằm giảm thiểu khối lượng tính toán của máy tính. Mặt khác, bộ hàm 
cơ sở này phải chứa đặc điểm vật lí của hệ tương tác Coulomb nhằm có được tốc độ hội tụ 
cao trong các giải thuật tính toán. Dựa vào bộ hàm cơ sở cho hệ một hạt được xây dựng 
thành công trong công trình [4], bộ hàm cơ sở cho hệ hai hạt sẽ được được xây dựng đáp 
ứng hai yêu cầu vừa nêu. Tham số tự do cũng được đưa vào để tùy biến bộ hàm cơ sở và 
có thể ứng dụng hiệu quả phương pháp toán tử FK. 
2. Mô hình dao động tử phi điều hòa cho bài toán heli hai chiều 
Phương trình Schrödinger không thứ nguyên cho hệ tương tác hai electron với một 
hạt nhân sau khi tách khối tâm để đưa về bài toán hai hạt có dạng như sau: 
1 2
2 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
( , ) ( , )
2
h
Z Z
E
x x y y r r
 
    
    
 
  
 
r r r r
r r
 (1) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 64-75 
66 
với hệ số 
/
1 /
e h
h
e h
m m
m m
, trong đó ,e hm m lần lượt là khối lượng electron và hạt nhân. 
Với nguyên tử heli thực, tỉ lệ /e hm m nhỏ cho nên hệ số 0.00014h này có thể bỏ qua, 
tuy nhiên khi xét bài toán exciton âm hai chiều khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ 
trống *em , 
*
hm được sử dụng và do chúng có giá trị gần nhau nên hệ số h không thể bỏ 
qua, ví dụ cho trường hợp bán dẫn GaAs thì 0.12
h
 , bán dẫn GaSb là 0.14h [7]. Chú 
ý rằng với phương trình (1)-(2) cho exciton, đơn vị năng lượng và khoảng cách lần lượt 
ứng với năng lượng Hartree và bán kính Borh hiệu dụng. 
Sử dụng phép biến đổi Levi-Civita: 
2 2 ,
1,2 ,
2 ,
s s s
s s s
x u v
s
y u v
 (2) 
với 
2 24( )s s s s s sdx dy u v du dv , 
2 2 2 2
s s s s sr x y u v [7], ta đưa phương trình (1) 
về không gian ( , )s su v như sau: 
1 1 2 2
ˆ ( , , , ) 0H u v u v , (3) 
với 1 2 ˆH rr H E , 
2 2
2 2 2 2 *
1 1 2 22 2
2 2
2 2
2 2 2 2 *
2 2 1 12 2
1 1
*
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2
1 1 2
1
8 2
1
8 2
4
h
E
H u v u v Z
u v
E
u v u v Z
u v
u v u v v u v u
u v u v u v u v
u v u
  
  
  
  
        
        
2
2
2 22 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
.
4
v
u u v v u v u v 
 (4) 
Phương trình (3)-(4) mô tả hai dao động tử điều hòa hai chiều tương tác với nhau. 
Cấu trúc phương trình đơn giản hơn so với phương trình (1) do các thành phần chính đều 
có dạng đa thức theo biến số động lực học; vì vậy, có thể sử dụng bộ hàm cơ sở của dao 
động tử điều hòa cho các tính toán. Phương pháp tính toán đại số sử dụng các toán tử sinh 
hủy có thể sử dụng cho bài toán này và sẽ trình bày trong mục tiếp theo. Duy nhất số hạng 
cuối là thành phần tương tác có biến số dưới mẫu, tuy nhiên ta có thể sử dụng tính toán đại 
số sau khi biến đổi Fourier như sau 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Phương Duy Anh và tgk 
67 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 2
( ) 2 ( ) 21 1 2 2
1 2
2 2
1 2
( )( ) 1ˆ
2
i u v t iu v t i u v t iu v t
C
u v u v
H e e dt dt
t t 
 . (5) 
Ngoài ra, ta thấy rằng bài toán đang xét bảo toàn moment động lượng theo trục Oz do 
toán tử 
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ
z z zL L L i x y i x y
y x y x
    
    
 (6) 
giao hoán với Hamiltonian. Để sử dụng trong các tính toán, ta viết toán tử này trong không 
gian ( , )s su v như sau 
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1ˆ
2 2
zL i u v i u v
v u v u
    
    
. (7) 
3. Biểu diễn đại số qua các toán tử sinh hủy 
Các toán tử sinh hủy được định nghĩa như sau: 
1 1
ˆ
ˆ ˆ
ˆ , ,
2 2
1 1
, ,
2 2
s s s s
s s
s s s s
s s
u
u u
v v
u u u
v v
v v
 
 
 
 
  
  
 
 
 (8) 
trong đó  là tham số tự do; 1,2s . Các toán tử này thỏa mãn các hệ thức giao hoán đặc 
trưng của các toán tử sinh hủy: ˆ ˆ ˆ, , ,ˆs t st s t stu v vu  
 , với kí hiệu delta-Kronecker 
st được sử dụng. Do bài toán ta đang xét có bảo toàn moment động lượng cho nên bộ hàm 
cơ sở được sử dụng là nghiệm riêng của toán tử ˆzL . Tuy nhiên, qua biểu diễn các toán tử 
(8), ˆzL không có dạng trung hòa; do vậy ta sẽ sử dụng phép biến đổi chính tắc như sau để 
định nghĩa các toán tử sinh hủy mới: 
1 1
,
2 2
1 1
, .
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
s s s s s s
s s s s s s
a u iv a u i v
b u i v b u i v
 (9) 
Các toán tử , , ( 1,2)ˆ ˆˆ ˆ,s s s s sa a b b
 giữ nguyên các tính chất của các toán tử sinh hủy, 
trong đó có các hệ thức giao hoán đặc trưng: 
ˆ ˆˆ ˆ, , ,s t st s t sta a b b 
 (10) 
mà ta sẽ sử dụng trong các tính toán đại số. 
Toán tử ˆzL qua biểu diễn đại số có dạng trung hòa như sau 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 64-75 
68 
 1 1 1 1 2 2 2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
zL a a b b a a b b
 . (11) 
Ngoài ra, Hamiltonian có thể biểu diễn đại số qua các toán tử sinh hủy. Để minh họa, 
một số thành phần trong Hamiltonian được biểu diễn như sau 
2 2
1 1 1 1 1 12 2
1 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1a b a a b b a b
u v
 
 
 
, 
 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v a b a b a a b b

 , 
 2 2 2 21 1 1 1 1 1
1 1 2
ˆ ˆˆ ˆ
i
u v
v u
a b a b 
  
 
, (12) 
 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2
2
u v a b a b a b a b

 , 
 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2
2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
i
u v a b a b b a b a

 . 
Với biểu diễn (12) ta có thể viết Hamiltonian của bài toán dưới dạng đại số. Ta thấy 
các toán tử đều nằm dưới dạng đa thức của các toán tử sinh hủy, tuy nhiên còn có các toán 
tử trong thành phần của toán tử (5) có dạng hàm e-mũ sau 
2 2
1 1 1 2 1 1( ) (2 )
1
ˆ i t u v i t u vO e . (13) 
Toán tử này có thể biểu diễn qua toán tử sinh hủy và đưa về dạng chuẩn thuận tiện 
cho tính toán đại số như trình bày trong Phụ lục. Chú ý rằng các toán tử (12), (13) ta viết 
cho trường hợp chỉ số 1s cho tọa độ 1 1,u v ; trường hợp chỉ số 2s cho tọa độ 2 2,u v , ta 
có thể viết hoàn toàn tương tự. 
4. Bộ hàm cơ sở dạng đại số 
Tiếp theo, bộ hàm cơ sở dạng đại số sẽ được xây dựng. Các bộ hàm cơ sở này là hàm 
sóng riêng của hệ hai dao động tử điều hòa hai chiều (bốn bậc tự do). Ngoài ra, bộ hàm cơ 
sở này cũng được xây dựng ứng với giá trị xác định của moment động lượng toàn phần. Để 
đạt được mục đích đó, các hàm số phải là hàm riêng chung của các toán tử trung hòa 
1 1 1 1 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , ,a a b b a a b b và của toán tử ˆzL . 
Hàm sóng của dao động tử điều hòa có dạng 
31 2 4
1 2 3 4 1 1 2 2
1 2 3 4
1 ˆ ˆˆ ˆ, , , ( ) ( ) ( ) ( ) 0( )
! ! ! !
jj j j
j j j j a b a b
j j j j
 (14) 
với 1 2 3 4, , ,j j j j là các số nguyên không âm; trạng thái chân không được định nghĩa 
1 1 2 2
ˆ ˆˆ ˆ0( ) 0, 0( ) 0, 0( ) 0, 0( ) 0.a b a b    (15) 
Dễ dàng kiểm tra được (14) là hàm riêng của ˆzL ứng với trị riêng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Phương Duy Anh và tgk 
69 
1 2 3 4
1
( )
2
m j j j j . (16) 
Từ (16) ta có 
 1 2 3 4 1 3 2 42m j j j j j j j j , (17) 
suy ra 
1 2 3 4 1 32 2( )j j j j m j j cũng là số chẵn, cho phép ta đặt: 
1 3 2 42n j j j j (18) 
với n là số nguyên không âm. Ta chọn bộ hàm cơ sở (14) với hai số lượng tử ,n m do đó 
trong bốn chỉ số lượng tử 1 2 3 4, , ,j j j j chỉ còn hai chỉ số độc lập. Chọn hai chỉ số lượng tử 
còn lại là 1 2,j j ta có 
3 1j n m j , 4 2j n m j . (19) 
Bộ hàm cơ sở (14) được viết lại như sau 
1 2 1 2
1 21 2 1 1 2 2
ˆ ˆˆ ˆ, , , ( ) ( ) ( ) ( ) 0( )j j n m j n m jnm j jn m j j N a b a b 
 , (20) 
với hệ số chuẩn hóa 
 1 2 1 2 1 2
1
! ! ! !
nm j jN
j j n m j n m j
. 
Các chỉ số lượng tử 1 2, , ,n m j j có miền xác định như sau 
0,1,2,...n ; , 1,..., 1,m n n n n ; 
1 0,1,...,j n m ; 2 0,1,...,j n m , 
hay viết ngắn gọn 
1 20 , 0 ,j n m j n m m n . (21) 
Bộ hàm cơ sở (20) có thể sử dụng cho việc giải phương trình Schrödinger bằng 
phương pháp đại số. Bộ hàm này không chỉ sử dụng cho bài toán nguyên tử heli mà còn 
cho các bài toán phức tạp hơn như heli trong từ trường, điện trường. Đặc biệt tham số tự do 
 cho phép chúng ta thay tùy biến bộ hàm cơ sở để phù hợp với các bài toán khác nhau. 
5. Kết luận 
Trong bài báo này, phương trình Schrödinger cho nguyên tử heli hai chiều được biểu 
diễn đại số qua các toán tử sinh hủy. Bộ hàm cơ sở cũng được xây dựng dưới dạng đại số 
thuận tiện cho tính toán. Bộ hàm này vừa là hàm sóng của hệ hai dao động tử điều hòa hai 
chiều rất thuận tiện cho tính toán, đồng thời vẫn mang đặc điểm vật lí của hàm sóng 
nguyên tử hydro hai chiều làm cho việc vận dụng các phương pháp giải khác nhau sau này 
có hiệu quả cao. Chú ý là trong công trình này mô hình nguyên tử heli hai chiều có thể vận 
dụng cho bài toán thực là exciton âm hai chiều. Việc áp dụng để giải phương trình 
Schrödinger cho exciton âm hai chiều trong từ trường sẽ trình bày trong bài báo tiếp theo. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 64-75 
70 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ 
Quốc gia (NAFOSTED) cho đề tài mã số 103.01-2016.90 và Trường Đại học Sư phạm TP 
Hồ Chí Minh cho đề tài cơ sở mã số CS2016.19.13. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] W. Becken et al, “The helium atom in a strong magnetic filed,” J. Phys. B: At. Mol. Opt. 
Phys. 32, pp.1557-1584, 1999. 
[2] B. J. Falaye et al, “An electron of helium atom under a high-intensity laser field,” Laser 
Phys. 27, pp.026004, 2017. 
[3] I. D. Feranchuk, A. Ivanov, Van-Hoang Le and A. Ulyanhenkov, Non Perturbative 
Description of Quantum Systems, Springer – Switzerland, 2015. 
[4] Ngoc-Tram Hoang-Do, Dang-Lan Pham and Van-Hoang Le, “Exact numerical solutions of 
the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a homogeneous magnetic field of 
arbitrary strength,” Physica B 423, pp.31-37, 2013. 
[5] T. Levi-Civita, Opere Matematiche 2, pp.1901-1907, 1956. 
[6] I. D. Feranchuk, L. I. Komarov, “The operator method of the approximate solution of the 
Schrödinger equation,” Phys. Lett. A 88 (5), pp.211-214, 1982. 
[7] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics 7th edition, page 217, John Wiley & Sons, 
1996. 
[8] V. Alan Kostelecky et al, “Baker-Campbell_Hausdorff relations for supergroups,” J. Math. 
Phys. 27 (5), May, 1986. 
PHỤ LỤC 
Dạng chuẩn của toán tử e mũ 
2 2
1 1 1 2 1 1( ) (2 )
1
ˆ i t u v i t u vO e 
Trong phần này, chúng tôi trình bày các tính toán để đưa toán tử dạng hàm e mũ về dạng 
chuẩn, là hình thức biểu diễn toán dưới dạng dạng tích của các toán tử sinh hủy, trong đó toán tử 
sinh nằm về bên trái, toán tử hủy nằm về bên phải và toán tử trung hòa ở giữa, thuận lợi cho việc 
tính toán đại số khi sử dụng công thức (15). Khác với các toán tử có dạng đa thức, chỉ cần sử dụng 
tính chất giao hoán tử (10) để chuyển về dạng chuẩn, các toán tử có dạng hàm e mũ thì quy trình 
phức tạp hơn. 
Trước hết ta viết toán tử 1Oˆ trong biểu diễn toán tử sinh hủy (9): 
 1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ( ) exp 2O t t A iK A , (P1) 
với tham số mới 
2 2
1 2 / 2t t t  và các toán tử mới được định nghĩa như sau: 
2 2
2 21 2 1 2
1 1 1
2 2
1 2 1 2
ˆ ˆˆ
it t it t
A
t t t t
a b
, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Phương Duy Anh và tgk 
71 
2 2
2 21 2 1 2
1 1 1
2 2
1 2 1 2
ˆ ˆˆ
it t it t
A
t t t t
a b 
, (P2) 
2 2
2 21 2 1 2
1 1 1 1 1
2 2
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
it t it t
iK a b
t t t t
a b b a 
. 
Để tiện sử dụng ta kí hiệu thêm các toán tử mới: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ, , 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆM M Na b a b a a b b . (P3) 
Các toán tử (P2) và (P3) tạo thành một đại số kín, tuân theo các hệ thức giao hoán: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, 4 , , 2 , , 2A A N A N A N A A 
 , 
1 1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 4 , , 4A iK M iK A M 
 , 
1 1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 2 , , 2A M iK M A iK 
 , (P4) 
1 1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , ,M iK A iK M A , 
1 1
ˆ ˆ, 0iK N , 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,2 2M M N M N M N M M . 
Ngoài các hệ thức giao hoán (P4), tất cả các giao hoán tử còn lại của các toán tử 1Aˆ
, 1Mˆ
, 
1Kˆ , 1Nˆ , 1Mˆ , 1Aˆ đều bằng zero. Ta chú ý thêm là trong sáu toán tử nêu trên ta có hai toán tử trung 
hòa là 1 1
ˆ ˆN N  và 1 1
ˆ ˆK K  . Để dễ theo dõi, các hệ thức giao hoán (P4) có thể viết dưới dạng 
bảng sau, trong đó mỗi ô là biểu diễn của giao hoán tử của [cột, hàng]: 
1Aˆ
 1Mˆ
 1
ˆiK 1Nˆ 1Mˆ 1Aˆ 
1Aˆ
 0 0 
1
ˆ4M 1
ˆ2A 1
ˆ2iK 1
ˆ4N 
1Mˆ
 0 0 
1Aˆ
 1
ˆ2M 1Nˆ 1
ˆ2iK 
1
ˆiK 
1
ˆ4M 1Aˆ
 0 0 1Aˆ 1
ˆ4M 
1Nˆ 1
ˆ2A 
1
ˆ2M 0 0 1
ˆ2M 1
ˆ2A 
1Mˆ 1
ˆ2iK 
1Nˆ 1Aˆ 1
ˆ2M 0 0 
1Aˆ 1
ˆ4N 
1
ˆ2iK 1
ˆ4M 1
ˆ2A 0 0 
Ta sẽ đưa toán tử 1Oˆ t về dạng chuẩn như sau: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ( ) A iK A t f t A g t M h t iK l t N q t M p t AO t e e e e e e e
 , (P5) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 64-75 
72 
trong đó các hàm số cần tìm ( )f t , ( )g t , ( )h t , ( )l t , ( )q t , ( )p t có điều kiện biên như sau: 
(0) (0) (0) (0) (0) (0) 0f g h l q p . (P6) 
Để tính toán, ta xác định toán tử nghịch đảo của toán tử (P5) là: 
1 1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1
ˆ ( ) q t A p t M l t N h t iK f t A g t MO t e e e e e e
 . 
Lấy đạo hàm của toán tử (P5) theo biến số t : 
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
ˆ ˆˆ( 2 )
1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ ˆˆ( ) ( 2 )
ˆ( )
ˆ( )
ˆ( )
A iK A t
f t A g t M h t iK l t N q t M p t A
f t A g t M h t iK l t N q t M p t A
f t A g t M h t i
O t A iK A e
f t A e e e e e e
g t e M e e e e e
h t e e iK e
 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ( )
ˆ( )
ˆˆ( )
K l t N q t M p t A
f t A g t M h t iK l t N q t M p t A
f t A g t M h t iK l t N q t M p t A
f t A g t M h t iK l t N q t M
e e e
l t e e e N e e e
q t e e e e M e e
p t e e e e M e
 1
ˆ( )
1 ,
p t A
Ae
sau đó nhân hai vế cho toán tử nghịch đảo, ta thu được biểu thức: 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( 2 )
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ( )
ˆ( )
f t A g t M f t A g t M
f t A g t M f t A g t M
f t A g t M h t iK l t N l t
O t O t A iK A
f t A g t M h t e e iK e e
l t e e N e e
q t e e e e M e
 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ( ) .
N h t iK f t A g t M
f t A g t M h t iK l t N l t N h t iK f t A g t M
e e e
p t e e e e Ae e e e
 (P7) 
Ta có thể khai triển các thành phần toán tử trong (P7) bằng cách sử dụng công thức Baker-
Campbell- Hausdorff [8]: 
ˆ ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , ...
2! 3!
A Ae Be B A B A A B A A A B 
. (P8) 
Cụ thể, ta thu được: 
1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
ˆˆ ˆ ˆ( ) 4 ( )f t A g t M f t A g t Me e iK e e iK g t A f t M
 , 
 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
ˆˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 ( )f t A g t M f t A g t Me e N e e N f t A g t M
 (P9) 
cho hai thành phần đầu tiên của (P7). Cho hai thành phần tiếp theo ta cần tính các biểu thức trung 
gian như sau: 
1 1
ˆ ˆ( ) ( ) 2 ( )
1 1
ˆ ˆel t N l t N l te M e M , 1 1
ˆ ˆ( ) ( ) 2 ( )
1 1
ˆ ˆel t N l t N l te Ae A 
   1 1
ˆ ˆ( ) ( )
1 1 1
1 ˆˆ ˆcos 2 ( ) sin 2 ( )
2
h t iK h t iK
e M e h t M h t A
 , 
   1 1
ˆ ˆ( ) ( )
1 1 1
ˆ ˆ ˆcos 2 ( ) 2sin 2 ( )h t iK h t iKe Ae h t A h t M 
, 
1 1
ˆ ˆ( ) ( ) 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )g t M g t Me M e M g t N g t M
, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Phương Duy Anh và tgk 
73 
1 1
ˆ ˆ( ) ( ) 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 4 ( )f t A f t Ae M e M f t iK f t M
, 
1 1
ˆ ˆ( ) ( )
1 1 1
ˆˆ ˆ 2 ( )f t A f t Ae N e N f t A
, 
1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
1 1 1 1 1
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ,
f t A g t M g t M f t A
e e M e e
M f t iK g t N g t f t A g t f t M
1 1
ˆ ˆ( ) ( ) 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆˆ4 ( ) 4 ( )f t A f t Ae Ae A f t N f t A
, 
1 1
ˆ ˆ( ) ( ) 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆˆ2 ( ) ( )g t M g t Me Ae A g t iK g t A
, 
1 1
ˆ ˆ( ) ( )
1 1 1
ˆ ˆ ˆ2 ( )g t M g t Me N e N g t M
, 
1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
1 1 1 1 1
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 ( ) 4 ( ) 8 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) .
f t A g t M f t A g t M
e e Ae e
A g t i K f t N f t g t M f t g t A
Kết hợp các công thức trung gian trên ta có: 
 
 
 
1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1
1
1
2
1
2 2
1
ˆ
1 ˆˆcos 2 sin 2
2
ˆsin 2 2 cos 2
ˆ2 sin 2 cos 2
ˆ4 sin 2 4 cos 2
f t A g t M h t iK l t N l t N h t iK g t M f t A
s
l t
e e e e M e e e e
h t M h t A
g t h t f t h t iK
e f t h t g t h t N
g t f t h t g t f t h t M
 2 2 1
1 ˆ4 sin 2 2 cos 2
2
f t g t h t g t f t h t A 
 
 
 
  
  
 (P10) 
   
    
    
1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 ( ) 2 ( )
1 1
2 ( )
1
2 ( )
1
ˆ
ˆ ˆcos 2 ( ) e 2sin 2 ( ) e
ˆ2 ( )cos 2 ( ) 4 ( )sin 2 ( ) e
ˆ4 ( )cos 2 ( ) 2 ( )sin 2 ( ) e
8 ( )
f t A g t M h t iK l t N l t N h t iK f t A g t M
l t l t
l t
l t
e e e e A e e e e
h t A h t M
g t h t f t h t iK
f t h t g t h t N
f t
     
    
2 2 2 ( )
1
2 2 2 ( )
1
ˆ( ) cos 2 ( ) 2 ( ) 4 ( ) sin 2 ( ) e
ˆ4 ( ) ( ) cos 2 ( ) 4 ( ) ( )sin 2 ( ) e .
l t
l t
g t h t g t f t h t M
f t g t h t g t f t h t A
 (P11) 
Đem (P9), (P10), (P11) thế vào (P7), sau đó đồng nhất các hệ số cho từng toán tử ta thu được 
hệ phương trình vi phân sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 64-75 
74 
    
    
1
2 ( )
2 ( ) 2 2
ˆ : 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
e 2 ( ) ( ) ( )cos 2 ( ) 2 ( )sin 2 ( )
1
e 4 ( ) ( ) 2 ( )cos 2 ( ) ( )sin 2 ( ) ,
2
l t
l t
A f t h t g t f t l t
g t f t q t h t p t h t
f t g t p t h t q t h t
 (P12) 
    
    
1
2 ( ) 2 2
2 ( )
ˆ : 0 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
e ( ) 4 ( ) ( )cos 2 ( ) 2 ( )sin 2 ( )
4e ( ) ( ) 2 ( )cos 2 ( ) ( )sin 2 ( ) ,
l t
l t
M g t f t h t g t l t
g t f t q t h t p t h t
f t g t p t h t q t h t
 (P13) 
    
    
2 ( )
1
2 ( )
ˆ : 2 ( ) 2e ( ) ( )cos 2 ( ) 2 ( )sin 2 ( )
e ( ) 2 ( )cos 2 ( ) ( )sin 2 ( ) ,
l t
l t
iK h t f t q t h t p t h t
g t p t h t q t h t
 (P14) 
    
    
2 ( )
1
2 ( )
ˆ : 0 ( ) e ( ) ( )cos 2 ( ) 2 ( )sin 2 ( )
2e ( ) 2 ( )cos 2 ( ) ( )sin 2 ( ) ,
l t
l t
N l t g t q t h t p t h t
f t p t h t q t h t
 (P15) 
   1ˆ : 0 ( )cos 2 ( ) 2 ( )sin 2 ( ) ,M q t h t p t h t (P16) 
   2 ( )1ˆ : 2e ( )sin 2 ( ) 2 ( )cos 2 ( )
l tA q t h t p t h t . (P17) 
Từ các phương trình trên ta có thể biến đổi lại thành hệ các phương trình vi phân gọn hơn. 
Thật vậy, đem (P16) và (P17) thế vào (P14) và (P15) ta thu được: 
( ) 4 ( )l t f t , ( ) 2 2 ( )h t g t . (P18) 
Đem (P16), (P17) thế vào (P12) và (P13), sau đó sử dụng (P18) ta có hệ hai phương trình cho ( )f t 
và ( )g t : 
  
22( ) 4 ( ) ( ) 1f t f t g t , (P19) 
  ( ) 8 ( ) 1 ( )g t f t g t . (P20) 
Bằng cách đặt ( ) 2 ( ) ( ) 1F t if t g t và ( ) 2 ( ) ( ) 1G t if t g t , hệ phương trình (P19)-(P20) 
dễ dàng giải được với điều kiện biên (P6) ra các nghiệm sau: 
2
( )
1 4
t
f t
t
, 
2
2
4
( )
1 4
t
g t
t
 . (P21) 
Thế các nghiệm thu được (P21) vào phương trình (P18), sau đó giải các phương trình vi phân 
bậc một với các điều kiện biên (P6) ta thu được: 
 ( ) arctan(2 )h t t , 2
1
( ) ln(1 4 )
2
l t t . (P22) 
Đem nghiệm thu được (P22) thế vào (P16) và (P17) ta thu được hệ phương trình vi phân bậc một 
cho các hàm số ( )q t và ( )p t . Nghiệm của hệ phương trình này với điều kiện biên (P6) dễ dàng 
thu được: 
2
( )
1 4
t
p t
t
, 
2
2
4
( )
1 4
t
q t
t
. (P23) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Phương Duy Anh và tgk 
75 
Như vậy ta đã thu được dạng chuẩn của toán tử dạng e-mũ (bỏ dấu gạch ngang vì phía trên 
không có) như sau: 
1 1 1
2 2
2
1 1 1 112 2 2 2
1
ˆ ˆˆ( 2 )
1
4 41ˆ ˆˆ ˆˆln(1 4 )ˆarctan(2 )1 4 1 4 1 4 1 42
ˆ ( )
.
A iK A t
t t t t
A M M At N
t iKt t t t
O t e
e e e e e e
 (P24) 
Ở đây ta có thành phần toán tử 
 2 21 2 1 1 1ˆarctan 2 ˆ ˆ
1
ˆ
i t t K m m
Q e e
 
 , (P25) 
với các toán tử 
 2 21 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , arctan 2 .
it t it t
m a b m a b n a a b b t t
t t t t
 
cũng tạo thành đại số kín: 
  
1 1 1 1 1 1 1
1 2
1 1 1 1 1
2 2
1 2
1 2
1 1 1 1 1
2 2
1 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 2 2 ,
ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 2 2 .
m m a a b b n
it t
n m a b m
t t
it t
m n b a m
t t
Thực hiện theo quy trình tương tự như trên, ta cũng tính được: 
 2 22 2 2 21 2 1
1 2 1 1 2 1
1
ˆln 1 4ˆ ˆ2 22
1
ˆ
t t nt t m t t m
Q e e e
 . 
Như vậy ta thu được dạng chuẩn của toán tử 
1
ˆ ( )O t dạng e-mũ (bỏ dấu gạch ngang) thuận tiện 
cho các tính toán dại số như sau 
2 22 2
1 21 2
1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 11 2 1 2 1 2 1 1 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2
1 12 2 2 2
1 1 2 1 2
4
ˆ ˆ
1
ˆln 1 44 1 4 1 ˆ ˆ2 22 2 2
1 1 2
4
ˆˆ
ˆ / 2 4 1 4 12 2
1 2
ˆ ( )
4 1 .
t tt t
A M
t t nt t t t t t m t t m
t t t t
M A
N t t t t
O t t e e e e e
t t e e
 (P26)