Phương pháp mới xác định hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ các vật liệu ẩm

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
52 
PHƯƠNG PHÁP MỚI XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN NHIỆT 
VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT ĐỘ CÁC VẬT LIỆU ẨM 
A NEW METHOD TO DETERMINE THERMAL CONDUCTIVITY 
AND THERMAL DIFFUSIVITY COEFFICIENTS 
OF WET MATERIALS 
Trần Văn Phú1, Nguyễn Hay2, Lê Quang Huy3, 
1Trường Đại học Thành Tây, 2 Trường Đại học Nông Lâm TP Hồ Chí Minh, 
3 Trường Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng 
Tóm tắt: Trên cơ sở nghiệm của bài toán dẫn nhiệt và khuếch tán ẩm với điều kiên 
loại 2 đối xứng, các tác giả đề xuất một phương pháp mới xác định đồng 
thời hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ của vật liệu ẩm. 
Abstract: Based on the solution of heat conduction and moisture diffusion problem 
under symmetric boundary conditions of the second kind, the authors 
propose a new method to simultaneously determine thermal conductivity 
and thermal diffusivity coefficients of wet materials. 
1. MỞ ĐẦU 
Xác định các thông số nhiệt vật lý của 
vật liệu nói chung như nhiệt dung 
riêng, hệ số dẫn nhiệt... có 2 nhóm 
phương pháp: phương pháp ổn định và 
phương pháp không ổn định [5,6]. 
Trong kỹ thuật sấy, do dẫn nhiệt và 
khuếch tán ẩm xảy ra trong quá trình 
không ổn định ban đầu nên các thông 
số nhiệt vật lý nói chung và hệ số dẫn 
nhiệt cũng như hệ số dẫn nhiệt độ nói 
riêng của các vật liệu này chỉ được xác 
định theo phương pháp không ổn định 
[6]. Trong bài báo này chúng tôi đề 
xuất một phương pháp mới cho phép 
đồng thời xác định cả hai hệ số: hệ số 
dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ của vật 
liệu ẩm ở một nhiệt độ và độ ẩm trung 
bình ban đầu nào đó. Trong các ấn 
phẩm tiếp theo chúng tôi sẽ đăng tải 
ứng dụng của phương pháp này để xác 
định hệ số dẫn nhiệt độ và hệ số dẫn 
nhiệt độ của phấn hoa và một số vật 
liệu khác. 
Cở sở toán học của phương pháp do 
chúng tôi kiến nghị là hai nghiệm giải 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
53 
tích gần đúng của bài toán dẫn nhiệt 
và khuếch tán ẩm trong một tấm phẳng 
vơi điều kiện biên loại 2 đối xứng khi 
Fourier đủ bé. Vì vậy, trước khi xây 
dựng phương pháp mới xác định hai hệ 
số này chúng ta xem xét mô hình vật lý 
và mô hình toán học của bài toán 
sau đây. 
2. MÔ HÌNH VẬT LÝ 
Giả sử có một tấm phẳng vật liệu ẩm 
chiều dày 2R với độ ẩm và nhiệt độ ban 
đầu đã biết tương ứng bằng w0 và t0. 
Khi  > 0 trên hai mặt của tấm phẳng 
duy trì một dòng nhiệt không đổi 
J1 W/m
2. Do tốc độ khuếch tán ẩm bé 
hơn rất nhiều so với tốc độ dẫn nhiệt 
[3,6] nên khi Fourier đủ bé chúng ta có 
thể xem hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn 
nhiệt độ được xác định trong thời thời 
gian đó là giá trị của hai hệ số nói trên 
ứng với độ ẩm ban đầu w0. Để xác định 
trường nhiệt độ cũng như nhiệt độ 
trung bình trong thời gian đủ bé ta đặt 
trong nửa tấm phẳng n cặp nhiệt cách 
đều nhau. Khi đó bằng thực nghiệm 
chúng ta dễ dàng đo được nhiệt độ t1, 
t2,, tn. Trong đó nhiệt độ t1 là nhiệt 
độ trên bề mặt tiếp xúc với nguồn nhiệt 
phẳng J1 và nhiệt độ tn là nhiệt độ ở 
tâm của tấm phẳng. Giả sử khi thời 
gian  = n nhiệt độ tn bắt đầu tăng lên, 
nói cách khác với  = n thì chiều dày 
thấm nhiệt [1,6] bằng một nửa chiều 
dày tấm phẳng R. Từ mô hình thực 
nghiệm này chúng ta dễ dàng xác định 
được nhiệt độ t1 và nhiệt độ trung bình 
ttb ở thời điểm  = n . 
3. MÔ HÌNH TOÁN HỌC 
Mô hình toán học xác định trường nhiệt 
độ và trường thế dẫn ẩm không thứ 
nguyên trong nửa tấm phẳng có dạng 
[3,8]: 
2
2
2
122
1
2
11
1
X
a
X
a
Fo 





 (1) 
2
2
2
222
1
2
21
2
X
a
X
a
Fo 





 (2) 
 0)0,()0,( 21   XX (3) 
 constKi
X
Fo


 1
1 ),1( (4) 
constPnKiKi
X
Fo


 12
2 ),1( (5) 
 0
),0(),0( 21 




X
Fo
X
Fo
 (6) 
Trong (1) ÷ (6): 
0
0
1
),(
),(
T
TxT
FoX
 

 là nhiệt độ 
không thứ nguyên; 
0
0
2
),(
),(

 
 
x
FoX là thế dẫn ẩm 
không thứ nguyên; 
R
x
X là tọa độ không gian và 
2R
a
Fo

 là thời gian không thứ 
nguyên; 
0
1
1
T
RJ
Ki

 là tiêu chuẩn Kirpichev của 
dòng nhiệt; 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
54 
0
2
2
m
RJ
Ki là tiêu chuẩn Kirpichev 
của dòng ẩm. 
KoPnLua  111 , KoLua  12 , 
LuPna 21 , Lua 22 
Trên đây chúng ta đã sử dụng các tiêu 
chuẩn đồng dạng sau: Lu - tiêu chuẩn 
Luikov,  - tiêu chuẩn biến pha, 
Ko - tiêu chuẩn Kochovich và Pn - tiêu 
chuẩn Pasnov. 
Trong mô hình toán học (1) ÷ (6), 
chúng ta đã tính đến ảnh hưởng qua lại 
giữa quá trình dẫn nhiệt và khuếch tán 
ẩm trong lòng vật liệu thể hiện bởi hai 
hệ số chéo a12 và a21. Ảnh hưởng của 
dẫn nhiệt đến quá trình khuếch tán ẩm 
trên bề mặt được thể hiện bởi tiêu 
chuẩn Pasnov Pn. Ngược lại, nếu bỏ 
qua ảnh hưởng qua lại giữa dẫn nhiệt 
và khuếch tán ẩm hay các hệ số chéo 
a12, a21 và tiêu chuẩn Pn bằng nhau và 
bằng không thì từ (1) ÷ (6) chúng ta sẽ 
có hai mô hình toán học của hai hiện 
tượng dẫn nhiệt và khuếch tán ẩm riêng 
rẽ nhau với điều kiện biên loại 2. 
Chẳng hạn khi đó mô hình toán học của 
bài toán dẫn nhiệt thuần túy với điều 
kiện biên loại 2 có dạng: 
2
1
2
1
XFo 



 (7) 
 0)0,(1  X (8) 
 constKi
X
Fo


 1
1 ),1( (9) 
 0
),0(1 


X
Fo
 (10) 
Trở lại mô hình toán học (1) ÷ (6), nếu 
đặt vecter thế ),( FoX và bi vecter 
dòng Ki(Fo) tương ứng bằng: 
)),(),,((),( 21 FoXFoXFoX   (11) 
 ),( 211 KiPnKiKiKi (12) 
Thì theo [6,8] trong đại số Jordan riêng 
hệ phương trình )2()1(  với các điều 
kiện đơn trị )6()3(  được viết lại dưới 
dạng vecter ma trận sau: 
2
2 ),(),(
X
FoX
A
Fo
FoX




 (13) 
 0)0,(  X (14) 
 Ki
X
Fo


),1(
 (15) 
 0
),0(


X
Fo
 (16) 
Trong phương trình (13) A là ma trận 
vuông với các hệ số aij cho trong hệ 
(1) ÷ (2) với i, j = 1,2. Đến đây chúng 
ta có thể rút ra mấy nhận xét sau đây: 
Trước hết chúng ta thấy rằng phương 
trình dưới dạng vecter ma trận (13) với 
điều kiện đơn trị )16()14(  có dạng 
dẫn nhiệt với điều kiện biên loại 2 đối 
xứng. Về hình thức hệ phương trình 
(13) với các điều kiện đơn trị 
)16()14(  hoàn toàn tương tự như 
phương trình (7) với điều kiện đơn trị 
)10()8(  . Do đó, nghiệm chính xác 
cũng như gần đúng dưới dạng vecter 
ma trận của bài toán )16()13(  hoàn 
toàn có thể thu được nhờ phương pháp 
biến đổi tích phân, chẳng hạn biến đổi 
tích phân Laplace [3,4,8] như bài toán 
dẫn nhiệt thuần túy )10()7(  . Tất 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
55 
nhiên, các nghiệm này chứa hàm ma 
trân vuông A. Khi đó nhờ định lý 
Sylvester chúng ta có thể chuyển 
nghiệm dưới dạng vecter ma trận về 
dạng giải tích thông thường [6,8]. 
Hơn nữa, phân bố nhiệt độ 
),(1 FoX và phân bố thế dẫn ẩm 
),(2 FoX có dáng điệu hoàn toàn 
như nhau nhưng chúng khác nhau một 
hệ số nào đó. Sự tương tự này không 
chỉ đối với bài toán truyền nhiệt truyền 
chất với điều kiện biên loại 2 mà chúng 
tôi [6,7,8] cũng đã chứng minh sự 
tương tự này cho bài toán trao đổi nhiệt 
ẩm với điều kiện biên loại 3. Chính sự 
tương tự này giữa phân bố nhiệt độ 
),(1 FoX và phân bố thế dẫn ẩm 
),(2 FoX trong bài toán truyền nhiệt 
truyền chất với điều kiện biên loại 3 mà 
từ năm 2007 chúng tôi [8] đã đề xuất 
một phương pháp mới xác định thời 
gian sấy. 
Trở lại bài toán truyền nhiệt truyền chất 
của vật liệu ẩm với điều kiện biên loại 
2 trên đây chúng ta thấy rằng, khi tính 
đến ảnh hưởng qua lại giữa dẫn nhiệt 
và khuếch tán ẩm hoặc không tính đến 
ảnh hưởng đó thì nghiệm của bài toán 
dẫn nhiệt với điều kiện biên loại 2 đối 
xứng đóng một vai trò quan trọng trong 
việc xác định các đặc trưng nhiệt vật lý. 
Vì vậy dưới đây chúng ta thảo luận 
nghiệm của bài toán này. 
4. NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN 
DẪN NHIỆT THUẦN TÚY VỚI 
ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 2 ĐỐI 
XỨNG TRONG TẤM PHẲNG 
Bằng phương pháp đơn giản nghiệm 
ảnh trong biến đổi tích phân Laplace 
trong [6] chúng tôi đã giải bài toán 
(7)  (10) với điều kiện Fo đủ bé. 
Nghiệm giải tích gần đúng với điều 
kiện đơn trị nói trên của bài toán này có 
dạng: 
 FoXKiFoFoX ),1(),(   (17) 
Ở đây: 
  
 


 
Fo
X
Fo
X
Fo
FoX
4
)1(
exp
4
)1(
exp
1
),1(
22
 (18) 
Mặt khác, theo [4] nghiệm giải tích chính xác của bài toán (7)  (10) bằng: 
 
 
1 2
)12(
2
)12(
2),(
n Fo
Xn
ierfc
Fo
Xn
ierfcFoKiFoX (19) 
Cũng theo [4] khi Fo đủ bé, cụ thể khi Fo 0.3 chuỗi trong nghiệm (19) có thể chỉ 
lấy số hạng thứ nhất với n = 1. Khi đó, nghiệm (19) gần đúng bằng: 
 
Fo
X
ierfc
Fo
X
ierfcFoKiFoX
2
1
2
1
2),( (20) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
56 
Trong nghiệm (19) và (20) hàm đặc 
biệt ierfc bằng: 
 ierfcx = )exp(
1 2xderfc
x

x
d
x

)exp(
2 2 (21) 
Hàm đặc biệt ierfcx với x = 0 2 cho 
trong [4]. 
Do tính chất đặc biệt của các hàm 
),( Fox và ierfcx sẽ thảo luận dưới 
đây chúng ta sẽ sử dụng nghiệm (17) để 
tính nhiệt độ trung bình tích phân và 
nghiệm (20) để xác định nhiệt độ tại bề 
mặt của tấm phẳng. 
5. PHƯƠNG PHÁP MỚI XÁC 
ĐỊNH HỆ SỐ DẪN NHIỆT VÀ HỆ 
SỐ DẪN NHIỆT ĐỘ 
5.1. Nhiệt độ trên bề mặt vật 
liệu (X =1) tại thời điểm  =n 
Thay X = 1 vào nghiệm (20) ta được: 



  0
1
2),1( 11 ierfc
Fo
ierfcFoKiFo
 (22) 
Theo [4] khi Fo đủ bé, chẳng hạn khi 
Fo = 0,5 thì ierfc(1/0,5) = ierfc2 = 
0,0010. Trong khi đó 
1
0 ierfc = 
0,5642. Nói cách khác khi Fo đủ bé ta 
luôn có 
Fo
ierfcierfc
1
0 . Do đó, 
nhiệt độ trên bề mặt vật liệu (X = 1) 
gần đúng bằng: 
 FoKiFo 11
2
),1(
  (23) 
5.2. Nhiệt độ trung bình tích 
phân trong tấm phẳng tại thời 
điểm  =n 
Tích phân từ -1 đến +1 nghiệm (17) ta 
được nhiệt độ trung bình tích phân ở 
thời điểm n bằng: 
dX
Fo
X
FoX
KiFo
Fotb 
 
1
1 2
1
exp
1
)(
Đặt )1( Xy và )1( Xy , khi 
đó: 
dX
Fo
X
Fo 
1
1 2
)1(
exp
1
dy
Fo
y
Fo
 2
)(
exp
1
2
2 
Khi đó nhiệt độ trung bình tích phân 
được viết lại dưới dạng biến số mới ± y 
bằng: 
dy
Fo
y
Foy
KiFo
Fotb 
 
2
2 2
exp
1
)(
 (24) 
Theo [2] hàm 
Fo
y
Fo 2
exp
1
khi Fo càng bé thì giá trị của nó càng 
“tập trung” xung quanh trục -2 và +2. 
Do đó, khi Fo đủ bé một cách gần đúng 
ta có: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
57 
 1
2
exp
1
2
2
dy
Fo
y
Fo 
 (25) 
Như vậy, nhiệt độ trung bình tích phân 
(24) gần đúng bằng: 
 KiFoFotb
4
1
)(  (26) 
5.3. Các công thức xác định hệ 
số dẫn nhiệt và hệ số dẫn 
nhiệt độ 
Thay 
2R
a
Fo

 , 
0
1
1
T
RJ
Ki

 vào các 
đẳng thức (23) và (26) và giải hệ 
phương trình với 2 ẩn số là hệ số dẫn 
nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ a ta tìm 
được hai công thức cho phép ta xác 
định đồng thời hai đại lượng này khi 
n : 
),1(
)(4
2
10
11
 


tbt
RJ


 (27) 
),1(
)(8
2
1
2
1
2
 



 tb
R
a (28) 
Cuối cùng có thể thấy rằng, hai công 
thức (27) và (28) không những cho 
phép chúng ta xác định đồng thời hai 
đặc trưng quan trong và quan hệ của 
chúng với nhiệt độ của các vật liệu nói 
chung mà còn có thể thiết lập mối quan 
hệ này với không chỉ nhiệt độ mà cả 
với độ ẩm của các loại vật liệu sấy nói 
riêng. 
Chúng tôi đã ứng dụng thành công mô 
hình (27) và (28) và đã xác định được 
hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ 
cũng như quan hệ của chúng với nhiệt 
độ và độ ẩm của một vài vật liệu sấy. 
Kết quả cụ thể sẽ công bố trong các bài 
báo tiếp theo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Bio M., Các nguyên lý biến phân trong trao đổi nhiệt, NXB Năng lượng, M. 1975 
(tiếng Nga). 
[2] Greber G., Erk S., Các cơ sở của học thuyết về trao đổi nhiệt, NXB Tài liệu tham 
khảo nước ngoài, M., 1958 (tiếng Nga). 
[3] Luikov A.B., Mykhailov I.A., Lý thuyết truyền nhiệt truyền chất, NXB Năng lượng, 
M., 1969 (tiếng Nga). 
[4] Luikov A.B., lý thuyết dẫn nhiệt, NXB Cao đẳng, M., 1967 (tiếng Nga). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557) 
SỐ 7 - 2014 
58 
[5] Vertogratsky A.B., và các cộng sự, Phương pháp và thiết bị xác định đồng thời các 
đặc trưng nhiệt vật lý của các vật liệu dạng tấm phẳng, Tạp chí Vật lý kỹ thuật, T6, 
N3, 1979 (tiếng Nga). 
[6] Trần Văn Phú, Dịch chuyển nhiều cấu tử trong các quá trình công nghệ và các 
phương pháp xác định các đặc trưng nhiệt-ẩm của các sản phẩm thực phẩm và các 
vật liệu ẩm khác, Luận án TSKH, Riga 1988 (tiếng Nga). 
[7] Trần Văn Phú, Kỹ thuật sấy, NXB Giáo dục, Hà Nội 2010. 
[8] Trần Văn Phú, Những vấn đề chọn lọc của lý thuyết truyền nhiệt truyền chất và các 
phương pháp xác định thời gián sấy, Bài giảng cao học Trường Đại học Bách Khoa, 
Hà Nội 2012. 
Giới thiệu tác giả: 
Tác giả Trần Văn Phú bảo vệ luận án tiến sĩ năm 1975 ở Ucraina, 
tiến sĩ khoa học năm 1988 ở Latvia, giáo sư năm 2001. Tác giả hiện 
là Trưởng Ban Thanh tra giáo dục Trường Đại học Thành Tây. 
Hướng nghiên cứu chính là truyền nhiệt truyền chất và kỹ thuật sấy.