Phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán nội lực hệ khung vòm Cycloid phẳng

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
10 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG 
TÍNH TOÁN NỘI LỰC HỆ KHUNG VÒM CYCLOID PHẲNG 
ThS. LÂM THANH QUANG KHẢI 
Trường Đại học Cửu Long 
Tóm tắt: Việc sử dụng mô hình phần tử hữu hạn 
trong tính toán hệ kết cấu khung (cột và dầm ngang) 
đã trở nên khá đơn giản trong việc tính toán nội lực 
và chuyển vị của hệ. Tuy nhiên đối với hệ khung 
vòm (cột và vòm) thì trở nên phức tạp do việc phải 
xây dựng ma trận độ cứng cho vòm. Tuỳ thuộc vào 
vòm đang xét là vòm tròn, vòm parabol, vòm 
cycloid,... mà ta có ma trận độ cứng khác nhau. 
Trong bài báo này tác giả đã xây dựng ma trận độ 
cứng cho phần tử vòm cycloid từ phương trình trạng 
thái tại 2 đầu của thanh cong và là cơ sở để xây 
dựng ma trận độ cứng cho các loại vòm cong khác. 
Dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực 
cho hệ khung vòm cycloid phẳng chịu tải trọng tĩnh. 
Từ khoá: Vòm cycloid, kết cấu khung, ma trận 
độ cứng, thanh cong. 
Abstract: Using the finite element modelling in 
the frame analysis (column and beam) is much easy 
normally. But use the “exact” finite element method 
in the curve system (column and arch) possibly be 
more complicated due to establishment of the 
stiffness matrix for the curve (arches) elements. 
Depending on the arch is considering: the circular 
arch, parabolic arch, cycloid arch... but have 
different stiffness matrix. In this paper the authors 
have built stiffness matrix for cycloid arch element. 
Using finite element method for calculating flat 
cycloid arch by static loads. 
Key words: cycloid arch, frame structure, 
stiffness matrix, curved bar. 
1. Đặt vấn đề 
Kết cấu thanh cong ngày càng được sử dụng 
rộng rãi trong nhiều ngành: từ ngành xây dựng dân 
dụng như: những mái vòm của các cổng chào, vòm 
cuốn trong các công trình vĕn hóa nghệ thuật, cung 
điện, nhà thờ, đến các ngành giao thông như: các 
loại cầu vòm, cầu dẫn trong các cảng hàng không, 
bến tàu hoặc cầu vượt trên cạn, 
Trong tính toán thanh cong bằng phương pháp 
phần tử hữu hạn, ta thường chia thanh cong thành 
các đoạn thẳng gãy khúc. Tất nhiên khi chia thanh 
cong thành các đoạn thẳng gãy khúc thì dẫn đến độ 
chính xác hạn chế do phụ thuộc vào số đoạn chia. 
Mặt khác khi sử dụng phương trình giải tích của trục 
cong để tính thanh cong thì hầu như khắc phục 
được nhược điểm đó. Phương pháp này được cố 
GS.TSKH. Nguyễn Trâm đề xuất trong luận án tiến 
sĩ khoa học tại Liên Xô (cũ) [5] và được tác giả 
nghiên cứu và tiếp tục phát triển phương pháp này 
để tính toán nội lực và chuyển vị cho các hệ khung 
vòm phẳng khác nhau. Mặc dù độ chính xác về mặt 
lý thuyết của phương pháp cao nhưng chưa được 
quan tâm đúng mức cũng như khá phức tạp trong 
tính toán. Ngoài ra, khi sử dụng phần tử cong thì số 
phần tử sẽ ít hơn so với phần tử “thanh-dầm” thông 
thường, nhưng với tốc độ phát triển mạnh của phần 
cứng máy tính ngày nay thì vấn đề chia nhiều phần 
tử khi sử dụng phần tử thông thường dễ dàng được 
giải quyết do sự mở rộng vượt bậc của bộ nhớ 
trong và bộ nhớ ngoài so với thập niên 80-90 của 
thế kỷ trước. Vì thế phần tử cong hầu như không sử 
dụng trong các chương trình phần tử hữu hạn 
thương mại. Mặc dù vậy, về mặt lý thuyết việc xây 
dựng ma trận độ cứng của các phần tử cong còn 
khá xa lạ đối với các kỹ sư, chuyên gia trong lĩnh 
vực phần tử hữu hạn và phương pháp số. Do đó, 
vấn đề nghiên cứu này có ý nghĩa khoa học và thực 
tiễn nhất định. 
Vì vậy ở đây tác giả đã kết hợp việc sử dụng 
phương trình giải tích của trục cong để tính ma trận 
độ cứng cho vòm, từ đó dùng phương pháp phần tử 
hữu hạn để tính nội lực cho hệ khung vòm cycloid. 
2. Nội dung nghiên cứu 
Gọi vecto bao gồm các thành phần lực và 
chuyển vị của tiết diện là vecto E gọi là vecto trạng 
thái trong tiết diện. Như vậy trong không gian 3 
chiều vecto E này sẽ có tất cả 12 thành phần 
[1][4], đó là: 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 11 
       TT PMUPUE  Tzxzxzxzyx PPMMuuu ......... 
Trong đó: xu , yu , zu : các thành phần của vecto chuyển vị thẳng; x , y , z : các thành phần của vecto 
chuyển vị xoay; xM , yM , zM : các thành phần của vecto mô men; xP , yP , zP : các thành phần của vecto lực; 
U : vecto chuyển vị tổng quát; P : vecto lực tổng quát hoặc tải trọng ngoài. 
 Hình 1. Phần tử vòm tổng quát 
Dưới dạng ma trận, ta có các thành phần trạng thái tại đầu 2 so với tại đầu 1 của thanh cong: 
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
x x
y y
z z
x x
y y
z z
M Mz z y y
M Mz z x x
M My y x x
P P
P P
P P
       
 (1) 
Để đơn giản (1), ta dùng dạng ma trận chia khối: 
    1P12
1
1
33
123
2
2
2 10
1 PAP 




 P
MA
P
M 
Trong đó:   
0
0
0
1212
1212
1212
12
xxyy
xxzz
yyzz
A 
 31 , 30 : ma trận đơn vị và ma trận không có kích thước 3x3 
Tương tự ta có:     bd
bd
bd
T UUAU UUAU 


 

 


 1
U
12
1
1
33
213
2
2
2 10
1 
Cuối cùng ta được phương trình trạng thái tại 2 đầu thanh cong bất kỳ: 
          



1
1
12
1
1
1*
212
2
2
0 P
U
A
ABAA
P
U
P
TU ds 
Hay:    iijj T EE 
    iij
ipppu
upuu
j
j TTT
TT EP
U
P
UE 




 (2) 
Với:    UijuuT A         11* iTjup dsT ABA   0 puT    pijppT A 
 Trong đó: T: ma trận đặc trưng cho phần tử cong; iE , jE : vec to trạng thái tại đầu i và j. 
 uuT , upT , puT , ppT : ma trận chia khối 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
12 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
 Sau khi biến đổi (2) ta được: 




j
i
upppuuuppppu
upuuup
j
i
TTTTTT
TTT
U
U
P
P
11
11
 Tóm lại ta có ma trận độ cứng K của phần tử vòm sau khi biến đổi: 
2221
1211
kk
kkK ij (3) 
Trong đó: 
                   TiiUijTjiuuup dsdsTTk *1*1111 ABAAABA 
                  TjjTjipijuppp dsdsTTk *1*1122 ABAABAA 
          Tjiup dsTk *1112 ABA 
                 Tijuuuuuppppu dsTkTTTTk *122121 ABA 
2.1 Phần tử vòm phẳng 
Công thức (3) là công thức tính ma trận độ cứng của phần tử vòm không gian. Còn vòm phẳng có trục 
nằm trong mặt phẳng toạ độ 0xy nên trong bài toán phẳng một số thành phần trong vecto trạng thái sẽ bằng 
không, do đó ma trận sẽ giảm kích thước từ 12x12 xuống 6x6. 
Các vecto P và U mỗi vecto chỉ còn 3 thành phần: 
   Tyxz PPM P   Tzyx uu  U 
Trong đó: các thành phần zP , xM , yM , zu , x , y không có, do đó các hàng và cột tương ứng trong 
các ma trận đặc trưng có thể loại bỏ. 
Ma trận dạng   
2
1
10
1
100
010
1
i
ii
i
AxyA với    iii xyA 21 i 
   
2
121
1212
12 10
1
100
010
1 AxxyyPA với   Txx yyA  
21
12
12 
   
 yyyx
xyxxH P 'cos'cos
'cos'cos    zzHM 'cos 
Do đó:  
zz
yyyx
xyxx
H
H
M
P
'cos00
0'cos'cos
0'cos'cos
0
0*H 
Mặt khác ta có: 
1cos
coscos
coscos
z'z ds
dyx'yy'x
ds
dxy'yx'x
Ma trận  *H có thể biểu diễn thông qua đạo hàm dsdxx S ' và dsdyy S ' 
  
100
0''
0''
SS
SS
xy
yx
*H 
Do ma trận  *H là ma trận vuông phản xứng nên có tính chất sau: 
    TPP HH 1 và    TMM HH 1    
100
0''
0''
1
SS
SST xy
yx
** HH 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 13 
   
00
01
120
01
2 EA
EI
ds
EAM
z
P Do 
 012
2
zEI
ds 
   
z
M EIM
1      
EA
y
EA
yx
EA
yx
EA
x
HMH
SSS
SSS
T
PPPP 2
2
''.'
'.''
M 
       
z
T
MMMM EIHMH
1M    
zz
M EI
x
EI
yAM 
Các ma trận con của  B có dạng: 
    
z
zM
T
EI
x
EI
y
A M     
zz
zzM
T
EI
x
EI
xy
EI
xy
EI
y
AA 2
2
M 
       
z
S
z
SS
z
SS
z
S
M
T
P
EI
x
EA
y
EI
xy
EA
yx
EI
xy
EA
yx
EI
y
EA
x
AA 22
22
''.'
'.''
MM 
Ghép vào, ta được ma trận  B :  
zzz
z
S
z
SS
z
z
SS
z
S
z
EI
x
EI
y
EI
EI
x
EA
y
EI
xy
EA
yx
EI
x
EI
xy
EA
yx
EI
y
EA
x
EI
y
1
''.'
'.''
22
22
B (4) 
2.2 Phần tử dầm chịu uốn 
Để kiểm tra độ chính xác việc xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng, ta sử dụng ma trận độ 
phần tử vòm phẳng này để tính ma trận độ cứng cho phần tử thanh thẳng mà ta đã biết ma trận độ cứng. 
Xét phần tử thẳng (hình 2), phần tử có 2 bậc tự do ở mỗi đầu. 
 Hình 2. Phần tử thanh thẳng 
Ta có : 
 10
1 aTuu 
20
62
2
a
aa
EI
aTup 
 a
a
EI
aTpp 0
1 
Vậy ma trận độ cứng K của phần tử thanh thẳng: 
23
21
12 612
26
a
EI
a
EI a
EI
a
EI
Tk up 
23
21
11 612
46
.
a
EI
a
EI a
EI
a
EI
TTk uuup 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
14 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
23
21
22 612
46
.
a
EI
a
EI a
EI
a
EI
TTk uppp 
23
2
2221 612
26
.
a
EI
a
EI a
EI
a
EI
Tkk uu 
aaaa
aa
aaaa
aa
a
EIK
3636
2313
3636
1323
2
22
22 (5) 
=> Hoàn toàn giống trong các tài liệu đã xuất 
bản. Do ma trận độ cứng của phần tử thanh thẳng 
được suy ra từ ma trận độ cứng của phần tử vòm 
phẳng đã lập. Mà ma trận độ cứng của phần tử 
thanh thẳng đứng, vì vậy ma trận độ cứng của phần 
tử vòm phẳng phải đúng. 
2.3 Hệ khung vòm cycloid [3] 
Sau khi ta xây dựng được ma trận  B cũng 
như ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng. Ta 
xây dựng ma trận độ cứng cho vòm cycloid. 
Xét hệ khung phẳng có thanh trên dạng vòm 
cycloid, vòm có trục nằm trong mặt phẳng toạ độ 
oxy, chân cột đứng của khung bị ngàm chặt, chịu tải 
trọng tác dụng như hình vẽ (hình 3). 
Hình 3. Hệ khung vòm cycloid 
Phương trình chính tắc của vòm cycloid: 
cos1
sin
ay
ax 20 
 Ta có: 2sin2
22 
 ad
dy
d
dx
d
ds 
 2sin
2sin2
cos1
'
'' 
a
a
s
xx S 2cos
2sin2
sin
'
'' 
a
a
s
yy S 
Ma trận dạng B: 
    
EI
a
EI
a
EI
a
EI
a
EA
a
EI
a
EI
a
EI
a
EI
a
EA
a
EI
a
dsB
22
2
332
332
2
0
8
3
328
45
12816
3
8
3
328
3
32
15
256
3
16
3
32
B 
 Vậy ma trận độ cứng k của phần tử vòm cycloid, với k là ma trận 6x6: 
2221
1211
2 kk
kkk . 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 15 
             11*111
100
10
01
100
010
1
 Bx
y
B
xy
dsk I
III
T
II ABA 
         TIIII dsk *122 ABA  
100
210
001
100
010
201
1 aB
a
            
100
210
001
100
10
01
100
010
1
11*1
12 aBx
y
B
xy
dsk II
IIII
T
III ABA 
             11*121
100
010
201
100
10
01
100
010
1
 B
a
x
y
B
xy
dsk I
IIIII
T
III
ABA 
Ví dụ: Giả sử cho hệ khung vòm cycloid như (hình 3). Cho a=1m, kNPP yx 10 , 610210xE (kN/m2), 
02.0 A (m2), 510.5 I (m4). Vẽ biểu đồ lực dọc, lực cắt, mô men uốn của mỗi phần tử. 
Giải: 
Ta có phương trình phần tử hữu hạn của hệ:    FUK 
  






4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
M
F
F
M
F
F
M
F
F
M
F
F
U
U
U
U
U
U
U
U
K
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x




  






4
4
4
1
1
1
3
3
3
2
2
2
0
0
0
0
10
10
0
0
0
0
0
0
M
F
F
M
F
F
U
U
U
U
K
y
x
y
x
y
x
y
x

  






0
0
0
0
10
10
6610
3
3
3
2
2
2
6


y
x
y
x
U
U
U
U
x 
Các điều kiện biên: 0444111  yxyx UUUU 03332 MFFM yx 1022 yy FF 
Vậy các phản lực gối tựa tại nút 1, 4 (ngàm): 






3.8941
3.5973
1.6831-
4.3330
13.5973-
1.0593-
4
4
4
1
1
1
M
F
F
M
F
F
y
x
y
x
mkN
kN
kN
mkN
kN
kN
.
.
Biểu đồ lực dọc, lực cắt và mô men uốn của hệ (hình 4): 
(sang trái) 
(hướng xuống) 
(ngược chiều kim đồng hồ) 
(sang trái) 
(hướng lên) 
(ngược chiều kim đồng hồ) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
16 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
 Hình 4. Biểu đồ nội lực hệ khung vòm cycloid 
3. Kết luận 
Trên cơ sở ma trận  B , có thể xây dựng được 
ma trận độ cứng cho các phần tử vòm khác nhau 
như: vòm tròn, vòm parabol... 
Với cách xây dựng ma trận độ cứng của phần 
tử vòm từ phương trình giải tích của trục cong có 
thể sẽ khắc phục được sai số khi chia đoạn cong 
thành các đoạn thẳng gãy khúc. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Lâm Thanh Quang Khải, Nguyễn Trâm (2011), “Ma 
trận của kết cấu dầm cong chịu lực phức tạp trong 
không gian 3 chiều”, Tạp chí xây dựng (ISSN 0866-
0762) - Bộ xây dựng, số tháng 10/2011 
[2]. Lâm Thanh Quang Khải (2013), “Xây dựng bài toán 
dầm cong phẳng dạng vòm parabol chịu tải trọng 
phân bố đều”, Tạp chí xây dựng (ISSN 0866-0762) - 
Bộ xây dựng, số tháng 1/2013 
[3]. Lâm Thanh Quang Khải (2013), “Xác định nội lực và 
chuyển vị đứng vòm cycloid chịu nhiều tải trọng tập 
trung”, Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng (ISSN 
1859-1566) –Viện KHCN Xây dựng, số 1/2013 
[4]. Nguyễn Trâm (1995), “Kết cấu dầm cong phẳng chịu 
lực phức tạp trong không gian 3 chiều”, Tuyển tập 
công trình khoa học Trường Đại Học Xây Dựng, số 
3/1995, Tr 11-17 
[5]. Nguyễn Trâm, “Lý thuyết tính toán không gian kết cấu 
nhịp cầu như một hệ tổng thể phức tạp”, Luận án tiến 
sỹ khoa học (bản dịch từ tiếng Nga). 
Ngày nhận bài:04/6/2016. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối:04/10/2016.