Phương pháp số phân tích phi tuyến và dao động tự do kết cấu cáp

 BÀI BÁO KHOA H
C 
 PH  NG PHÁP S  PHÂN TÍCH PHI TUY N VÀ DAO NG 
 T DO K T C U CÁP 
 Nguy n V nh Sáng 1, Nguy n V Lu t1 
Tóm t t: Bài báo này trình bày phân tích phi tuy ến hình h ọc của k ết c ấu cáp d ưới tác d ụng c ủa t ải 
tr ọng t ĩnh h ọc nh ư c ủa tr ọng l ượng b ản thân và l ực c ăng tr ước. Ph ươ ng pháp ph ần t ử h ữu h ạn s ử 
dụng công th ức Lagrange k ết h ợp v ới đa th ức n ội suy đẳ ng tham s ố. Sơ đồ l ặp Newton-Raphson v ới 
tải tr ọng gia t ăng để xác đị nh chuy ển v ị t ĩnh h ọc c ủa k ết c ấu cáp. Ngoài ra, dao động t ự do c ủa k ết 
cấu cáp này c ũng được xem xét, t ần s ố dao độ ng t ự nhiên c ủa k ết c ấu cáp c ũng được xác đị nh theo 
ph ươ ng pháp ph ần t ử h ữu h ạn đẳ ng tham s ố này. Ví d ụ s ố được trình bày để đánh giá độ chính xác 
và tin c ậy c ủa ph ươ ng pháp này so sánh v ới các k ết qu ả đã được công b ố tr ước đây. 
T khóa: Kt c u cáp, phân tích phi tuy n, phân tích àn d o, phơ ng pháp ph n t  h u h n, phn 
t cáp, phi tuy n hình h c, phi tuy n v t li u, dao ng t  do. 
 1. T NG QUAN 1 lng b n thân và chuy n v  c xác  nh d a 
 Ph n t  cáp là thành ph n k t c u quan tr ng trên ph ơ ng pháp hàm ph t. S ơ  l p t i gia 
trong nhi u k t c u c ng khác nhau nh  c u dây tng Newton – Raphson c s  d ng  gi i 
cáp, công trình bi n và ngoài kh ơi, dây gia quy t v n  phi tuy n hình h c ch u t i tr ng 
cng cho tháp, ng dây t i in, k t c u mái tnh h c c a k t c u cáp. Ngoài ra, v n  dao 
sân v n  ng Vì s  ng x  phi tuy n cao ng t  do d a trên ph ơ ng pháp ph n t  h u 
trong phân t  này, nh h ng c a  m m và hn  xu t c ng c trình bày  xác  nh 
chuy n v  l n trong cáp nên c xem xét trong mi t n s  dao  ng t  nhiên u tiên c a k t 
vi c thi t l p ph ơ ng trình cân b ng. Có hai lo i cu cáp và các d ng dao  ng c a m i t n s  
ph n t  cáp, ph n t  dây v ng v i  võng nh  u tiên này. 
và ph n t  dây võng v i  võng l n. Cáp nông 2. THI T L P PH N T  CÁP 
c  nh ngh a b i cáp có t  s   võng trên u tiên, xem xét ba c u hình c a ph n t  
chi u dài nh p nh  h ơn 1:8 theo (Irvine HM, cáp c bi u di n trong s  h ng c a h  t a  
1981). M c dù s ơ  th c c a cáp có d ng dây -Các nh  trên (Hình 1). 
võng, hình d ng c a m t ph n t  cáp nông có 
 0x , 1x , 2x
th  c xem nh  m t d ng parabol. Nhìn 3 3 3
 2
chung, hai ph ơ ng pháp chính có th  c s  x 0+ 2u d s 0 2 0 2
 i 0 xi +0 u+d x+d 0 u
dng  thi t l p ph n t  cáp: (1) ph ơ ng pháp C2
 d1s 0 1 0 1
 0 1 xi +0 u+d x+d 0 u
phân tích d a trên bi u th c gi i tích chính xác xi +0 u
ca ph n t  dây võng và (2) ph ơ ng pháp ph n C1
 0 0 0
t h u h n d a trên hàm a th c n i suy. 0 d s xi+d x
 xi
 Trong bài báo này, ph n t  h u h n có hai, C0
 0 0 1 2
ba và b n im nút (theo Nam-Il Kim, Son Thai x2, x2, x2
& Jaehong Lee 2016) d a trên hàm a th c n i 
suy c trình bày. Tr ng thái cân b ng c a k t 0 1 2
 x1, x1, x1 
cu cáp d i tác d ng c a l c c ng tr c, tr ng 
 Hình 1. Cấu hình ban đầu và hai c ấu hình 
1 Cơ s ở 2 - Đại h ọc Th ủy L ợi. nối ti ếp c ủa ph ần t ử cáp 
KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 3
 Chuy n v  gia t ng t  cu hình (C ) n c u ψ
 1 trong ó, n là s  nút m i ph n t  và k là 
hình (C 2): hàm n i suy chuy n v  mà nh ng h  s  c a hàm 
 u=2 u − 1 ui; =÷ 1 3
 i0 i 0 i (1) này  c cho trong nh  ng s  h  ng c a t a  
 Trong thi t l p gia t ng, ten x ơ Green – gc r. Trong bài báo này, ph n t   ng tham s  
Lagrange 0ε ca cáp c xác  nh b i ph ơ ng hai, ba và b n im nút c s  d ng và các 
trình sau: bi u th c chi ti t cho ψ k c trình bày trong 
 22 1 2 0 2 (K.J. Bathe, 1996). 
 ( dS) −( dS) = 2 0ε ( dS )
 (2) n 
 0 1 u=ψ uk ; ( i = 1,2,3)
 d xduii d0 udu ii dudu ii i∑ k i (10)
 0ε =2 + 2 + 2 (3) k =1 
 0dS 0 dS2 0 dS
 () () () Ho  c d  i d  ng ma tr  n 
 trong ó 0 e và 0η là bi n d ng àn h i và u= Ψ u (11) 
 1 n
phi tuy n t ơ ng ng, xác  nh nh  sau: ψ00 ψ 00 
 1 n 
 0 1 Ψ = 0ψ 0...0 ψ 0 
 d xduii d0 udu ii (12)
 e = + 1 n 
 0 2 2 (4) 00ψ 00 ψ
 ()0dS() 0 dS   
 x 
 Chi u dài cung t i m t im i ca ph n t  
 dui du i
 0η = cáp c cho b i: 
 0 2 (5)
 2()dS n
 k 
 Sro()= ∑ψ k () rS o (13)
  c ng ti p tuy n tính và phi tuy n và véc 
 k =1 
tơ l c c ánh giá b ng cách s  d ng các k
 trong ó So là chi u dài cung t i im nút k 
hàm a th c n i suy Lagrange. Trong h t a  tham chi u  n c u hình ban u. 
Lagrange, các ph ơ ng trình có th  c xác i v i tính toán t nh, m i quan h  l c-chuy n 
nh cho ph n t  ng theo ph ơ ng trình d i 
 v gia t ng h p l c có th  c xác  nh theo: 
ây: 
 [KKu] +[ σ ] { ∆= ucb} { FFF} +{ } − { int } (14)
 AE∆∆εδε dS + A σδη ∆ dS =ℜ− A σδ ∆ edS ( 33nn× 33 nn × ) 31n× 31 n × 31 n × 31 n × 
 ∫T ∫ ∫ (6)
 So So S o trong  ó [ K u ] và [ Kσ] tơ ng ng là ma tr n  
 trong ó So là chi u dài cung c a ph n t  cng ph  thu c chuy n v  và ph  thu c ng 
cáp t i c u hình ban u; A và ET tơ ng ng là su t, {Fc} và {Fint } tơ ng ng là véc t ơ ngo i 
di n tích m t c t ngang và mô un àn h i ti p lc và n i l c, {Fb} là véc t ơ t i b n thân ph n 
tuy n c a ph n t . ℜ là công c a ngo i l c. t. Ph n ph  thu c chuy n v  c a ma tr n  
 Phân tích ph n t   ng tham s : cng c xác  nh nh  sau: 
 +1
 Công th c xác  nh hàm n i suy chuy n v  K= AEBB +T BB + Jdr
 [][][]u33nn×∫ ToL 31 n × oL 13 × n (15)
i v i các ph n t  ng tham s  b i công th c −1 
tng quát nh  sau: trong ó: ma tr n quan h  chuy n v  - bi n 
 n (r− r ) dng nh  [Bo] có th  c vi t nh  sau: 
 ψ ()r= f () r = k
 k k ∏ (7) B= B,..., B
 i=1 ()ri− r k [ o]1× 3 n [ o1 on ] (16) 
 i# k 
 trong  ó: 
 trong ó r là t a  t  nhiên c a nút i 
 i ∂x∂ψk ∂ x ∂ ψ k∂x ∂ ψ k 
 []B = 1, 2 , 3
 Ta  các nút xi bên trong ph n t  trong h  ok 1× 3   (17)
 ∂∂SS ∂∂ SS ∂∂ SS  
ta   -các có th  c cho nh  m t hàm t a trong ó 
 nút r i r c nh  sau: k k k
 ∂ψ ∂∂r ψ1 ∂ ψ
 n = =
 x=ψ xk ; ( i = 1,2,3) ∂S ∂∂ Sr Jr ∂ (18a)
 i∑ k i (8) 
 k =1 
 ∂x∂r ∂ x 1 n ∂ ψ k
 Bi u th c ma tr n c trình bày nh  sau: 1 1 k
 = = ∑ xi (18b)
 ∂∂∂S SrJ ∂ r
 x= Ψ x (9) k = 1 
4 KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 
 trong ó: J là nh th c Jacobi. c xác  nh  u tiên và s  d ng ph ơ ng pháp 
 n k hàm ph t theo sau: 
 ∂ψ k
 j 2
 J= ∑ S o (19) 1 T T α j
 ∂r Π={}uKuuR[]{}{}{} − +− uu$ (29)
 k=1 2 2 ( ) 
 Bng cách s  d ng th  t c chu n cho bài 
 trong ó [K] =[ Ku ] + [ K σ ] là ma tr n  
toán phi tuy n hình h c, [BL] c xác  nh nh  
 R= F + F
sau: cng ti p tuy n, { } { c} { b } là véc t ơ t i 
 B= B,..., B ngo i l c;  là h ng s  lò xo o v i giá tr  t ơ ng 
 [ L]1× 3 n [ L1 Ln ] (20)
  i l  n. 
 trong ó: j
 T
 k k k (30)
   ([]K+α eej j){}{} u = R + α ue$ j
 ∂u1∂ψ ∂ u 2 ∂ ψ∂u3 ∂ ψ 
 []BLk = , , 
 1× 3 ∂∂SS ∂∂ SS ∂∂ SS (21)  xác  nh tr ng thái cân b ng ban  u c a 
   
 n k h cáp b ng cách gi i b ng ph ơ ng trình cân 
 ∂u1∂r ∂ u 1 1 ∂ ψ k
 = = ∑ ui bng gia t ng k t h p v i ph ơ ng pháp hàm 
 ∂∂∂S SrJ ∂ r (22)
 k =1 ph  t nh  sau: 
 j
 Ma tr n  c ng ph  thu c ng su t có th  T $
 ([]K+α eej j){}{} ∆=+ u R α ue j − {} F int (31)
c xác  nh nh : 
 +1 4. PHÂN TÍCH DAO NG T  DO 
 T
 K= ABσ  BJdr 4.1 Ph ư ng trình c  b n dao  ng t  do 
 [][]σ 33n× n∫ NL 31 n ×   [] NL (23)
 −1 c  a h  có c  n 
 1 n
 ∂ψ ∂ ψ  .. .
 00 00  Mut()+ Cut () + Kut ()0 = (32)
 ∂S ∂ S  [][][] 
 ∂ψ1 ∂ ψ n 
 trong ó: [K] =[ KL] + [ K LN ] là ma tr n  
 []BNL = 0 0 ...0 0 
 3× 3 n ∂S ∂ S 
   (24) cng g m thành ph n tuy n tính và phi tuy n. 
 ∂ψ1 ∂ ψ n 
 00 00  [M] là ma tr n kh i l ng c xác  nh t  
 ∂S ∂ S  
 phép c u ph ơ ng Gauss: 
 σ 0 0  +1
   T
 σ  = 0 σ 0 []M=ρ A{}{} Ψ Ψ J dr (33)
   3× 3   (25) ∫
 0 0 σ  −1 
 [ C ] là ma tr  n c  n nh  t xác  nh theo ph ơ ng 
 Ti b n thân ph n t {Fb} c cho b i: pháp Ryleigh v i h  s   c tr ng: 
 +1
 T C=α M + α K (34)
 F= AH fJdr [ ] M[ ] K [ ] 
 {}b3n× 1 ∫ [] {} b (26)
 −1 v  i α M , α K t ơ ng  ng là h  s  kh i l ng và 
 trong ó {ƒb} là tr ng l ng trên m t th  tích h s  c n t  l   c ng xác  nh qua hai t n s  
ơ n v  theo các h ng xi , và riêng dao ng t  do 1, 2 và t  s  c n c a k t 
 ψ1 00 ψ n 00  cu 1, 2: 
   2ω ω
 H = 0ψ1 0 ...0 ψ n 0 α=1 2 ωξωξ − (35)
 []3× 3 n   (27) M 2 2 ()21 12
 1 n  ω2− ω 1
 00ψ 00 ψ  
 2 
 Véc t ơ n i l c ph n t  {F } có th  c xác αK =() ωξωξ22 − 11 (36) 
 int ω2− ω 2
nh nh : 2 1 
 +1 T 4.2 Xác nh t n s  dao  ng t  nhiên c a h  
 F= Aσ BB + Jdr i v i ph ơ ng trình (32) khi phân tích dao 
 {}int 3n× 1 ∫ []o L (28)
 −1 3n× 1  ng t  do không c  n h  có d  ng sau: 
 3. XÁC NH TR NG THÁI CÂN B NG ..
 Mut()+ Kut ()0 =
BAN U C A CÁP [][] (37) 
 i v i phân tích àn d o phi tuy n k t c u Nghi m chuy n v  c a ph ơ ng trình (37): 
 ut( ) = Ge −iωk
cáp, tr ng thái cân b ng ban  u c a cáp có th  k (38) 
KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 5
 2 −iωk su t tr c v i c u hình c th  hi n trên Hình 
 ([K] −ωk[ MGe]) k = 0 (39)
 2 và các thông s  k  thu t th  hi n  Bng 1. 
 trong ó: ω , G ln l t là t n s  t  nhiên và 
 k k Ph n t  cáp này ã c nghiên c u b i 
véc t ơ chuy n v  c a dao  ng th  kth . 
 (Jayaraman và Knudson, 1981), (Ozdermir, 
 Tn s  dao  ng t  nhiên c a các d ng dao 
 1979) and (Desai et al, 1988), các k t qu  
ng c xác  nh v i  nh th c (40) d i ây 
 chuy n v  c a nghiên c u này s  c so sánh, 
có giá tr  b ng 0: 
 ánh giá v i các nghiên c u trên. Ban u, mô 
 K−ω 2 M = 0 (40)
 [ ] k [ ] hình cáp là không ng su t và bi n d ng v i 
 5. VÍ D  S  chi u dài ban u là L 0.  xác  nh c u hình 
 5.1 Phân tích t nh h c cáp n ng su t cân b ng c a cáp, chúng ta s  d ng thu t toán 
tr ưc ch u t i phân b   u hàm ph t  ánh giá v i các b c gia t ng t i 
  ví d   u tiên này, chúng ta xét cáp ng tr ng  các vòng l p c a mô hình. 
 Hình 2. Cáp ứng su ất tr ước ch ịu t ải phân b ố đề u 
Bng 1.  c tr ưng ca cáp n ng su t tr ưc trên chi u dài cáp ch u t i tr ng phân b   u wu 
 = 3,5024 N/m. Chuy n v  ngang và ng t i nút 
 Các thông s  S li u 
 2 t i gi a nh p c trình bày  Bng 2 bi 
Di n tích m t c t ngang 41, 94 mm 2
 nghiên c u này và các nhà nghiên c u khác, 
Mô un àn h i 2
 131.0kN / mm ng th i so sánh k t qu  nghiên c u thu c. 
Tr ng l ng b n thân cáp wg −46.12N / m Kt qu  thu c b i ph ơ ng pháp ki n ngh   
Chi u dài ban u c a cáp L 0 253, 98 m ca nghiên c u trùng h p v i các k t qu  c a 
 2
ng su t ban  u c a cáp 131.0kN / mm các tác gi  khác ã công b .  ng th i, ph n t  
 Trong ví d  này, ph n t   ng tham s  hai tuy n tính s  d ng a th c n i suy b c th p h ơn 
im nút, ph n t  ba im nút, ph n t  b n cho th y k t qu  h i t  ch m h ơn, ph n t  có 4 
im nút c kh o sát t  2  n 256 ph n t  nút chuy n v  h i t  r t nhanh. 
 Bng 2. So sánh chuy n v   ng t i nút 2 d ưi tác d ng c a t i phân b   u (m) 
 Kt qu  nghiên c u Jayaraman 
 Ozdermir, Desai et al 
 S ph n Chuy n và Knudson 
 w = Lo i ph n t  1979 (1988) 
 u t v  ng (1981) 
 2 -3,5192 
 4 -3,3770 
 8 -3,3456 
 wu = Ph n t  hai 16 -3,3379 
 -3,3434 -3,3426 -3,3411 
 −3,5024N / m im nút 32 -3,3361 
 64 -3,3356 
 128 -3,3355 
 256 -3,3354 
6 KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 
 2 -3,3526 
 4 -3,3366 
 8 -3,3355 
 Ph n t  ba 16 -3,3354 
 im nút 32 -3,3354 
 64 -3,3354 
 128 -3,3354 
 256 -3,3354 
 2 -3,3354 
 4 -3,3354 
 8 -3,3354 
 Ph n t  b n 16 -3,3354 
 im nút 32 -3,3354 
 64 -3,3354 
 128 -3,3354 
 256 -3,3354 
 5.2 Phân tích dao d ng t  do k t c u cáp t ng tham s  có hai, ba và b n im nút 
ng su t tr ưc và t i phân b   u tơ ng ng. K t qu  h i t  c a t n s  dao  ng 
 Trong ph n này, s  d ng ph n t   ng tham t nhiên u tiên thu c t  nghiên c u này là 
s có hai, ba và b n im nút  phân tích t n s  0.3852Hz, trùng v i k t qu  c a tác gi  
dao ng t  nhiên c a h  cáp ơn ng l c tr c. (Ozdermir, 1979)  a ra.   t k t qu  này, 
Kt qu  phân tích t n s  dao  ng t  nhiên c a i v i d ng ph n t   ng tham s  hai im nút 
h c kh o sát b i chia ph n t  v i s  ph n t  cn chia 128 ph n t , trong khi ph n t  d ng ba 
t 2 n 128 ph n t . T n s  dao  ng t  nhiên và b n im nút t ơ ng ng s  ph n t  là 16 và 4 
u tiên c a ra b i (Ozdermir, 1979) là ph n t . Mô hình phn t  bn im nút cho k t 
0.3582Hz. qu  hi t  nhanh nh t. Trên Hình 3 th  hi n 
 Kt qu  c a m i t n s  dao ông t  nhiên mi d ng dao  ng t  nhiên u tiên c a ph n 
ca h  c th  hi n  Bng 2 khi kh o sát ph n t cáp. 
 Bng 3. M ưi t n s  dao  ng  u tiên c a ph n t  cáp 
 Lo i S Mode dao ng 
 ph n t  ph n t  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 2 0.4058 8.7575 - - - - - - - - 
 4 0.3920 0.6637 1.0808 8.1553 17.5252 28.4724 - - - - 
 Ph n t  
 8 0.3870 0.6205 0.9641 1.3345 1.7457 2.1688 2.5235 8.0013 16.3054 25.2302 
 hai 
 16 0.3857 0.6094 0.9256 1.2430 1.5768 1.9237 2.2888 2.6724 3.0755 3.4945 
 im 
 32 0.3853 0.6067 0.9160 1.2198 1.5312 1.8446 2.1635 2.4870 2.8169 3.1531 
 nút 
 64 0.3853 0.6060 0.9136 1.2140 1.5198 1.8249 2.1322 2.4401 2.7500 3.0612 
 128 0.3852 0.6058 0.9130 1.2126 1.5170 1.8200 2.1244 2.4284 2.7333 3.0383 
 2 0.3891 0.6583 1.1664 7.9795 15.9993 28.6942 - - - - 
 4 0.3856 0.6104 0.9358 1.2475 1.7174 2.2290 2.7774 7.9521 15.9541 24.2338 
 Ph n t  8 0.3853 0.6061 0.9145 1.2180 1.5316 1.8526 2.1858 2.4547 2.9737 3.3995 
 ba im 16 0.3852 0.6058 0.9129 1.2125 1.5172 1.8209 2.1270 2.4343 2.7447 3.0581 
 nút 32 0.3852 0.6058 0.9128 1.2122 1.5161 1.8185 2.1221 2.4252 2.7290 3.0327 
 64 0.3852 0.6057 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7279 3.0309 
 128 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 
KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 7
 2 0.3856 0.6098 0.9547 1.3239 2.0941 7.9506 15.9997 24.4676 32.7813 52.8414 
 4 0.3852 0.6059 0.9140 1.2201 1.5371 1.8758 2.2475 2.5384 3.3912 4.0707 
Ph n t  8 0.3852 0.6058 0.9129 1.2122 1.5166 1.8199 2.1257 2.4405 2.7467 3.0660 
ba im 16 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4247 2.7282 3.0315 
 nút 32 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 
 64 0.3852 0.6057 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 
 128 - - - - - - - - - - 
 Hình 3. Mười dạng dao độ ng t ự do c ủa cáp hai ph ần t ử 
 6. K T LU N VÀ KI N NGH  6.2 Ki n ngh  
 6.1 K t lu n Ph ơ ng pháp ph n t  h u h n  ng tham s  
 Ph ơ ng pháp ph n t  h u h n  ng tham s  s d ng  phân tích t nh h c và ng h c k t 
kt h p phép c u ph ơ ng Gauss c s  d ng cu cáp có  chính xác và hi u qu  trong gi i 
 xác  nh ng x  c a k t c u cáp d i tác quy t các v n  liên quan n cơ h c k t c u 
dng t nh h c và dao ng t  do em l i hi u và v t r n. K t qu  c a nghiên c u này có th  
qu  cao. Ph ơ ng pháp s  c phát tri n d a c xem xét s  d ng làm n n t ng c ơ b n cho 
trên hàm a th c n i suy Lagrange  xác  nh các nghiên c u khác có nh h ng nhi u b i k t 
và phân tích k t c u cáp này. Ph n t   ng tham cu cáp nh  phi tuy n v t li u, ng x  c a k t 
s có hai, ba và b n im nút c s  d ng, cu cáp khi ch u các tác  ng c a  ng  t hay 
trong ó k t qu  c a ph n t  b n im nút cho gió theo th i gian. Ngoài ra, có th  s  d ng 
s h i t  nhanh h ơn trong tính toán. ph ơ ng pháp này  tính toán các k t c u cáp 
 Kt qu  thu c t  bài báo này so v i các khác nh  c u dây v ng, dây võng, k t c u mái 
nghiên c u khác cho sai s  nh . sân kh u, công trình ngoài kh ơi 
TÀI LI U THAM KH O 
Irvine HM (1981) Cable structures, The MIT Press, Cambridge, MA, USA. 
K.J. Bathe (1996), Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 
Nam-Il Kim, Son Thai & Jaehong Lee (2016), Nonlinear elasto-plastic analysis of slack and taut 
 cable structures , Engineering with Computers, DOI 10.1007/s00366-016-0440-7. 
8 KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 
Thai HT, Kim SE (2011), Practical advanced analysis software for nonlinear inelastic dynamic 
 analysis of steel structures , Journal of Constructional Steel Research 67 (2011) 453–461. 
Thai HT, Kim SE (2011), Nonlinear static and dynamic analysis of cable structures , Finite Elem 
 Anal Des 47:237-246. 
O’Brien W, Francis A (1964) Cable movements under two-dimensional loads, J Struct Div, ASCE 
 90:89-123. 
Jayaraman H, Knudson W (1981) A curved element for the analysis of cable structures, Comput 
 Struct 14:325-333. 
Desai et al (1988), Geometric nonlinear static analysis, Computer & Structures Vol. 29, No 6, pp 
 1001-1009. 
Ozdemir (1979), A finite element approach for cable problems , Solides Structures Vol. 15, pp 427-437. 
 Abstract: 
 NUMERICAL METHOD OF STRUCTURAL CABLE FREE VABRITION 
 AND NONLINEAR ANYLYSIS 
This paper presents the geometrically nonlinear analysis and free vibration analysis subjected to 
self-weight, pretension, and external loads. The finite element procedure is used the Lagrangian 
formulation associated with isoparametric interpolation polynomials. The Newton-Raphson 
iterative scheme with incremental load determined the static displacement of the cable structure. In 
addition, the free vibration of this cable structure is also considered, the natural frequency of the 
cable structure is also determined by the parametric finite element method. Numerical example is 
presented to evaluate the accuracy and reliability of this method in comparison with previously 
investigated results. 
Keywords: Cable structures; Nonlinear analysis; Elasto-plastic analysis; Finite element method; 
Catenary cable element; Geometrical nonlinearity; Material inelasticity, Free vibration 
 Ngày nh ận bài: 20/02/2017 / 
 Ngày ch ấp nh ận đă ng: 30/6/2017 
KHOA HHCC K THUT THY LI VÀ MÔI TRNG - S 58 (9/2017) 9