Tăng cường phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình chữ N dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 1A (2018), tr. 5-13 
 5 
TĂNG CƯỜNG PHI TUYẾN KERR CHÉO CỦA HỆ NGUYÊN TỬ 
BỐN MỨC NĂNG LƯỢNG CẤU HÌNH CHỮ N DỰA TRÊN HIỆU ỨNG 
TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ 
Nguyễn Lê Thủy An (2), Vũ Ngọc Sáu (1), Đoàn Hoài Sơn (3) 
1 Trường Đại học Vinh 
2 Trường TH, THCS, THPT Ngô Thời Nhiệm tại Quận 9, TP. Hồ Chí Minh 
3 Trường Đại học Hà Tĩnh 
Ngày nhận bài 01/4/2018, ngày nhận đăng 10/6/2018 
Tóm tắt: Chúng tôi nghiên cứu sự tăng cường hệ số phi tuyến Kerr chéo của hệ 
nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình chữ N bằng phương pháp giải tích. Các kết 
quả được áp dụng cho hệ nguyên tử 87Rb cho thấy khi có mặt của hiệu ứng EIT (có mặt 
của chùm laser điều khiển) thì hệ số phi tuyến Kerr được tăng cường vài lần (có biên 
độ cỡ 10-6 cm2/W) xung quanh cửa sổ EIT. Trên đồ thị hệ số phi tuyến Kerr xuất hiện 
hai miền giá trị âm-dương hai bên tần số cộng hưởng. Biên độ và dấu của hệ số phi 
tuyến Kerr điều khiển được theo cường độ hoặc tần số của trường laser điều khiển. Kết 
quả giải tích là hữu ích cho sự quan sát thực nghiệm và nghiên cứu các ứng dụng liên 
quan. 
I. MỞ ĐẦU 
Hiện nay, vật liệu phi tuyến Kerr được ứng dụng rộng rãi trong công nghệ quang 
tử, là yếu tố cơ bản để cấu thành các thiết bị quan trọng như: lưỡng ổn định quang, điều 
biến pha, chuyển m ch toàn quang, bộ nắn xung quang, bộ nh quang, v.v [1, 2]. 
Ngoài ra, các vật liệu phi tuyến Kerr hiện nay còn được quan tâm trong các nghiên cứu 
cơ bản như t o các quang soliton, trộn bốn sóng phi tuyến kết hợp và các hiệu ứng phi 
tuyến bậc ba [2, 3]. 
Thực tế, có hai hiệu ứng phi tuyến Kerr thường gặp đó là phi tuyến Kerr tự biến 
điệu pha (self-Kerr) và phi tuyến Kerr biến điệu pha chéo (gọi tắt là phi tuyến Kerr chéo 
hay cross-Kerr). Như vậy, cấu hình cơ bản cho hiệu ứng phi tuyến Kerr chéo là hệ 
nguyên tử/phân tử ba mức năng lượng bao gồm một dịch chuyển dò và một dịch chuyển 
tín hiệu để gây ra hiệu ứng phi tuyến Kerr chéo cho chùm ánh sáng dò. Đối v i các vật 
liệu thông thường, hệ số phi tuyến thường rất nhỏ và do đó hiệu suất của hiệu ứng phi 
tuyến trong các thiết bị ứng dụng liên quan là không cao. 
Những năm gần đây, các nhóm nghiên cứu thường sử dụng các vật liệu trong suốt 
cảm ứng điện từ (EIT-electromagnetically induced transparency) [4] để tăng cường hệ số 
phi tuyến của môi trường [5-10]. Bên c nh phi tuyến Kerr của môi trường EIT được tăng 
cường hàng triệu lần so v i các vật liệu truyền thống thì hệ số hấp thụ của môi trường 
cũng rất nhỏ thậm chí triệt tiêu hoàn toàn [6], vì vậy các hiệu ứng phi tuyến trở nên rất 
nh y ngay cả khi cường độ ánh sáng rất nhỏ, thậm chí vài photon [5]. Dựa trên hiệu ứng 
EIT, lần đầu tiên H. Schmidt and A. Imamoglu đã chứng minh được hệ số phi tuyến Kerr 
chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình N được tăng cường vài lần so v i 
khi không có EIT [7]. Sau đó, Kang và các cộng sự đã đo được bằng thực nghiệm sự dịch 
chuyển pha l n của chùm dò được gây ra bởi một chùm tín hiệu có cường độ yếu trong 
Email: sauvn04@yahoo.com (V. N. Sáu)
N. L. T. An, V. N. Sáu, Đ. H. Sơn / Tăng cường phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng 
 6 
hệ nguyên tử Rb [8]. Sự tăng cường phi tuyến Kerr tự biến điệu pha cũng đã được quan 
sát thực nghiệm lần đầu bởi Min Xiao và cộng sự [9] và đã được khảo sát bằng giải tích 
trong công trình [10]. 
Mặc dù phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức chữ N đã được ư c lượng 
bởi H. Schmidt t i các giá trị đặc biệt của các chùm ánh sáng song chưa cho thấy được sự 
biến thiên của phi tuyến Kerr chéo theo các thông số của các trường laser. Do đó, việc 
dẫn ra một biểu thức giải tích của phi tuyến Kerr chéo trong cấu hình bốn mức chữ N 
theo các thông số của các chùm ánh sáng và khảo sát sự biến thiên của nó theo các thông 
số điều khiển là cần thiết. Sự khảo sát chi tiết phi tuyến Kerr chéo như vậy giúp chúng ta 
hiểu rõ hơn về sự tăng cường và điều khiển phi tuyến Kerr chéo dựa trên hiệu ứng EIT. 
Trong bài báo này, chúng tôi dẫn ra biểu thức giải tích cho hệ số phi tuyến Kerr 
chéo của hệ nguyên tử bốn mức chữ N và khảo sát sự biến thiên của phi tuyến Kerr theo 
các tham số của các trường ánh sáng như cường độ, tần số. Mô hình giải tích là hữu ích 
cho sự quan sát thực nghiệm và triển khai các ứng dụng liên quan. 
II. MÔ HÌNH LÝ THUYẾT 
 ét hệ lượng tử nguyên tử/phân tử) bốn mức năng lượng được kích thích bởi ba 
trường laser theo cấu hình N như trên hình 1. Một trường laser dò có cường độ yếu Ep 
v i tần số 
p
 kích thích dịch chuyển |1  |3, một trường laser điều khiển có cường độ 
m nh Ec v i tần số c kích thích dịch chuyển |2  |3 và trường laser tín hiệu có cường 
độ yếu ES v i tần số S kích thích dịch chuyển |2  |4. Trong cấu hình này, trường 
laser điều khiển đóng có vai trò t o môi trường trong suốt cảm ứng điện từ cho trường 
laser dò, còn trường laser tín hiệu t o ra hiệu ứng phi tuyến Kerr chéo cho trường laser 
dò. 
Hình 1: Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình N 
Các tần số abi cảm ứng bởi các trường laser điều khiển, laser dò và laser tín hiệu lần 
lượt được định nghĩa là: 
32 c
c
E
, 
31 p
p
E
 và 
42 S
S
E
 (1) 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 1A (2018), tr. 5-13 
 7 
v i 
nm
 là mômen lưỡng cực điện dịch của chuyển giữa hai tr ng thái |m và |n. Độ lệch 
tần số của chùm laser điều khiển, laser dò và laser tín hiệu so v i tần số dịch chuyển 
nguyên tử được định nghĩa tương ứng là: 
32c c
  , 
31
p p
  và 
42
S S
  . (2) 
Dư i tác dụng của các trường ánh sáng thì sự tiến triển theo thời gian của tr ng thái của 
hệ nguyên tử được mô tả bởi phương trình Liouville [10]: 
 ,
i
H  (3) 
trong đó, toán tử amilton toàn phần có d ng: 
0 IH H H , (4) 
ở đây, H0 và HI tương ứng là phần amilton không nhi u lo n và nhi u lo n được xác 
định trong gần đúng lưỡng cực điện bởi: 
 0 1 2 3 41 1 2 2 3 3 4 4H     , (5) 
3 1 3 2 4 2 .
2 2 2
p c S
i t i t i tc SP
IH e e e c c
     , (6) 
trong đó, c.c, là phần liên hợp phức. 
Số h ng  đặc trưng cho các quá trình phân rã của nguyên tử có d ng [10]: 
42 42 32 32 31 31L L L     (7) 
v i 
1
(2 )
2
ij ji ij ij ji ij ji
L       (8)
 , ( 1 5)
ij
i j i j là toán tử độ cư trú khi i = j và là toán tử lưỡng cực khi i 
 j; ij là tốc độ suy giảm độ kết hợp giữa các tr ng thái được liên hệ v i các tốc độ phát 
 tự phát từ tr ng thái i t i j , ij như sau [10]: 
1
2 
   
 
k i l j
ij ij jk
E E E E
 . (9) 
Từ các phương trình 1) - (9), chúng ta thu được hệ các phương trình cho các phần tử ma 
trận mật độ như sau: 
11 31 13 21 22 31 33 41 44
( )
2
P
i

    (10) 
22 32 23 42 24 42 22 32 33 21 22
( ) ( )
2 2
C S
i i
 
    (11)
33 23 32 13 31 43 44 32 33 31 33
( ) ( )
2 2
C P
i i
 
    (12)
N. L. T. An, V. N. Sáu, Đ. H. Sơn / Tăng cường phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng 
 8 
44 24 42 43 42 41 44
( ) ( )
2
S
i

    (13)
 12 21 12 32 13 14( )
2 2 2
C SP
P C
i ii
i  
 
 (14) 
 13 31 13 33 11 12( )
2 2
CP
P
ii
i  

 (15)
 14 41 14 34 12( )
2 2
SP
P C S
ii
i  

 (16)
 21 21 21 31 23 41( )
2 2 2
C SP
P C
i ii
i  
 
 (17) 
 23 32 23 33 22 43 21( )
2 2 2
C S P
C
i i i
i  
  
 (18) 
 24 42 24 44 22 34( )
2 2
S C
S
i i
i  
 
 (19)
 31 31 31 11 33 21( )
2 2
CP
P
ii
i  

 (20)
 32 32 32 22 33 12 34( )
2 2 2
C SP
C
i ii
i  
 
 (21)
 34 43 34 14 24 32( )
2 2 2
C SP
S C
i ii
i  
 
 (22)
 41 41 41 21 43( )
2 2
S P
P C S
i i
i  
 
 (23)
 42 42 42 22 44 43( )
2 2
S C
S
i i
i  
 
 (24)
 43 43 43 23 41 42( )
2 2 2
S CP
S C
i ii
i  
 
 (25)
Do trường laser dò được giả sử yếu hơn nhiều so v i trường laser điều khiển và bé hơn 
nhiều cường độ bão hòa) nên phần Hamilton tương tác v i trường laser dò được em như 
là phần nhi u lo n. ét trên phương diện độ cư trú, lúc đầu độ cư trú tập trung ở tr ng 
thái 1 , tức là 
(0)
11
1 , (0) (0) (0)
22 33 44
 0 và (0) 0,
nm
n m . Từ các phương 
trình 19), (22), (25), chúng ta rút ra được nghiệm 
31
 là:
 221 41
31 2 2
31 21 41 31 41
4
2 4
P S
S C
i  
    
 
   
. (26)
Phần tử ma trận mật độ 
31
 liên hệ v i độ cảm điện theo hệ thức:
31
31
0
2 
p
N
E

 

. (27) 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 1A (2018), tr. 5-13 
 9 
Thay biểu thức 2 ) vào 2 ), ta được: 
2 2
13 21 41
2 2
0 31 41 21 31 41
( 4 )
( 4 )
  
  
S
S C
N i  

     
. (28) 
Mặt khác, đối v i môi trường đối ứng tâm thì độ cảm điện toàn phần có thể được khai 
triển thành các số h ng tuyến t nh và phi tuyến như sau: 
(1) 2 (3)3 pE   . (29) 
Để tìm biểu thức của phi tuyến Kerr chéo, chúng ta khai triển Taylor biểu thức của  theo 
tần số của chùm tín hiệu S, thu được hai thành phần tuyến tính và phi tuyến tương ứng 
là:
2
(1) 13 21 41
2
0 41 21 31 41
4
( 4 )
 
C
iN  

    
; (30)
2 2 2 2
(3) 13 24 13 24 21 41
3 2 3 2 2
0 41 21 31 41 0 41 21 31 41 21 31
4
3 ( 4 ) 3 ( 4 )( 4 )
   
C C C
iN iN     

           
 (31) 
trong đó: 
 21 21( )P Ci  ,  31 31Pi  ,  41 41( )P C Si  . (32)
 Chiết suất phi tuyến được tính theo công thức [2]:
 (3)
2 2
0 0
3Re( )
2
n
n c


 . (33)
 iểu thức giải t ch 33) được sử dụng để nghiên cứu khả năng điều khiển và tăng cường 
phi tuyến Kerr chéo khi có EIT cho hệ lượng tử bốn mức năng lượng. 
III. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 
Các kết quả tính toán cho phi tuyến Kerr chéo được áp dụng cho hệ nguyên tử 
87
Rb v i các mức |1, |2, |3 và |4 được lựa chọn là 2
1/25 , 1S F , 
2
1/25 , 2S F , 
2
1/25 , 1P F và 
2
3/25 , 2P F . Tốc độ phân rã của tr ng thái kích thích là 6 MHz và các 
tham số khác được chọn là [10, 11]: N = 5 1011 nguyên tử/cm3, d31 = 1,6 10
-29
 C.m và 
d24 = 2 10
-29
 C.m. 
Để thấy được sự tăng cường của hệ số phi tuyến Kerr chéo n2 khi có EIT so v i 
khi không có EIT, chúng tôi vẽ đồ thị của n2 theo độ lệch tần số của trường laser dò khi 
cố định tần số của trường laser điều khiển cộng hưởng v i dịch chuyển |2|3 tức là 
0c ) và tần số abi t i giá trị Ωc = 0 đường nét đứt) và Ωc = 4 MHz đường nét 
liền), các tham số của trường laser tín hiệu là S = 0 và S = 1 M z, như mô tả trên hình 
2. Ở đây, đường chấm chấm là đồ thị hệ số hấp thụ (phần ảo của độ cảm điện (1) ở 
phương trình 30) khi có mặt trường laser điều khiển v i Ωc = 4 MHz. Rõ ràng, trên phổ 
hấp thụ xuất hiện một miền tần số trong suốt ngay t i cộng hưởng. Đồng thời, hệ số phi 
tuyến Kerr được tăng cường vài lần biên độ cỡ 10-6 cm2/W) t i hai miền xung quanh tần 
số cộng hưởng. 
N. L. T. An, V. N. Sáu, Đ. H. Sơn / Tăng cường phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng 
 10 
H n 2: Sự biến thiên của n2 theo ∆p khi 4MHzc đường liền nét) và khi 0c đường đứt 
nét) đường chấm chấm mô tả đồ thị hệ hấp thụ. Các tham số khác: c = 0, S = 0 và S = 1 
MHz. 
H n 3: Sự biến thiên của n2 theo c khi cố định 3p M z và 0c . Các tham số 
của laser tín hiệu là S = 0 và S = 1 MHz. 
 iên độ và dấu của hệ số phi tuyến Kerr điều khiển được theo cường độ (hay tần 
số Rabi) của laser điều khiển như mô tả trên hình 3. Ở đây các tham số được sử dụng là 
 p = 3 MHz, c = 0, S = 0 và S = 1 M z. Từ hình 3 chúng ta thấy biên độ của n2 thay 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 1A (2018), tr. 5-13 
 11 
đổi theo c, ngoài ra một cực trị dương của n2 có thể được chuyển thành một cực trị âm. 
Điều này có nghĩa là sự thay đổi cường độ trường laser điều khiển không chỉ thay đổi 
được độ l n mà cả về dấu của hệ số phi tuyến Kerr. 
H n : Sự biến thiên của n2 theo ∆c khi c = 1 MHz, p = 0. Các tham số của laser tín 
hiệu là S = 0 và S = 1 MHz. 
Ngoài sự điều khiển hệ số phi tuyến Kerr n2 theo cường độ laser điều khiển, 
chúng ta cũng có thể điều khiển n2 theo tần số c như mô tả trên hình 4. Các tham số sử 
dụng trong hình 4 là p = 0, c = 1 MHz, S = 0 và S = 1 MHz. Từ hình 4 chúng ta 
thấy hệ số phi tuyến Kerr cũng được tăng cường xung quanh tần số cộng hưởng của laser 
điều khiển. Điều này có nghĩa là bằng cách thay đổi tần số laser điều khiển thì biên độ và 
dấu của n2 cũng thay đổi. 
IV. KẾT LUẬN 
Trong công trình này chúng tôi đã dẫn ra được biểu thức giải tích cho hệ số phi 
tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình chữ N. Bằng cách vẽ đồ 
thị của hệ số phi tuyến Kerr theo các tham số của các trường laser chúng tôi thu được 
một số kết quả sau: thứ nhất, khi có mặt của hiệu ứng EIT (tức là có mặt của chùm laser 
điều khiển) thì hệ số phi tuyến Kerr được tăng cường vài lần có biên độ cỡ 10-6 cm2/W) 
xung quanh cửa sổ EIT, tức là trên đồ thị hệ số phi tuyến Kerr xuất hiện hai miền giá trị 
âm-dương hai bên tần số cộng hưởng; thứ hai, biên độ và dấu của hệ số phi tuyến Kerr 
điều khiển được theo cường độ hoặc tần số của trường laser điều khiển. Việc tìm ra được 
biểu thức giải t ch của hệ số phi tuyến Kerr n2 theo các tham số cấu trúc mật độ h t, 
cường độ liên kết t đối giữa các mức k ch th ch, các tốc độ phân rã của các tr ng thái 
lượng tử) và các tham số của trường laser điều khiển tần số và cường độ sáng) có 
N. L. T. An, V. N. Sáu, Đ. H. Sơn / Tăng cường phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng 
 12 
nghĩa quan trọng bởi nó không chỉ cho phép chúng ta nghiên cứu định lượng về sự tăng 
cường và khả năng điều khiển phi tuyến Kerr của môi trường EIT mà còn t o thuận lợi 
cho lựa chọn tham số thực nghiệm trong tương lai. Ngoài ra, kết quả giải t ch đã góp 
phần làm sáng tỏ bản chất của sự tăng cường phi tuyến Kerr dựa trên hiệu ứng EIT và 
định hư ng cho các nghiên cứu ứng dụng trong chế t o các thiết bị quang tử có ngưỡng 
phi tuyến thấp. 
 Lời cảm ơn: Công trình này được thực hiện dư i sự tài trợ của đề tài “Điều khiển 
hệ số phi tuyến Kerr của khí nguyên tử Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ, 
định hư ng ứng dụng trong quang học phi tuyến ngưỡng thấp”, mã số B2018-HHT-04. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Guang S. He and Song H. Liu, Physics of nonlinear optics, World Scientific, 1999. 
[2] R. W. Boyd, Nonlinear Optics 3
rd
, Academic Press, 2008. 
[3] A. Joshi and M. Xiao, Controlling nonlinear optical processes in multi-level atomic 
systems, Progress in Optics, Ed. E. Wolf, 49, 2006, 97-175. 
[4] K. J. Boller, A. Imamoglu, S. E. Harris, Observation of electromagnetically induced 
transparency, Phys. Rev. Lett., 66, 1991, 2593. 
[5] S. E. Harris and L. V. Hau, Nonlinear optics at low light levels, Phys. Rev. Lett. 82, 
1999, 4611. 
[6] M. Fleischhauer, A. Imamoglu and J. P. Marangos, Electromagnetically induced 
transparency: Optics in coherent media, Rev. Mod. Phys., 77, 2005, 633-673. 
[7] H. Schmidt and A. Imamoglu, Giant Kerr nonlinearities obtained by 
electromagnetically induced transparency, Opt. Lett. 21, 1996, 1936. 
[8] H. Kang and Y. Zhu, Observation of large Kerr nonlinearity at low light intensities, 
Phys. Rev. Lett. 91, 2003, 093601. 
[9] H. Wang, D. Goorskey and M. Xiao, Atomic coherence induced Kerr nonlinearity 
enhancement in Rb vapor, J. Mod. Opt., Vol. 49, No. 3, 2002, 335-347. 
[10] L. V. Doai, D. X. Khoa and N. H. Bang, EIT enhanced self-Kerr nonlinearity in the 
three-level lambda system under Doppler broadening, Phys. Scr. 90, 2015, 045502. 
[11] Daniel A. Steck, Rubidium 87 D Line Data,  
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 1A (2018), tr. 5-13 
 13 
SUMMARY 
ENHANCEMENT OF CROSS-KERR NONLINEARITY 
IN FOUR-LEVEL N-TYPE ATOMIC SYSEM BASED ON 
ELECTROMAGNETICALLY INDUCED TRANSPARENCY 
We study enhancement of cross-Kerr nonlinearity in four-level N-type atomic 
system by the analytical method. The results apply to the 
87
Rb atoms and show that in the 
presence of the EIT effect (i.e., the presence of coupling laser field), the Kerr nonlinear 
coefficient is enhanced several order of magnitudes (about 10
-6
 cm
2
/W) around the EIT 
window. That is, on the Kerr nonlinear graph the two positive and negative values are 
found on both sides of the resonant frequency. The amplitude and sign of the Kerr 
nonlinear coefficient can be controlled versus the intensity or frequency of the coupling 
laser field. Analytical results are useful for experimental observation and related 
applications.