Tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 95 
TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MẠNG NƠRON TẾ BÀO 
CÓ XUNG VÀ TRỄ BIẾN THIÊN 
Đặng Thị Thu Hiền*, Nguyễn Thị Nhàn, Nguyễn Thị Hiền 
Trường Đại học Hoa Lư, Ninh Bình 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu mô hình mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên, là 
mở rộng của mô hình trong [1], [2]. Dựa trên việc xây dựng hàm Lyapunov và sử dụng một số kĩ 
thuật giải tích như: tính chất của hàm liên tục trên một đoạn, tính chất của inf và sup , chúng 
tôi sẽ xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục mới cho điểm cân bằng của mạng nói trên. Ngoài 
ra, chúng tôi cũng lấy ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 
Từ khóa: Ổn định mũ toàn cục, Mạng nơron tế bào , Xung, Trễ, Hàm Lyapunov. 
Ngày nhận bài: 22/01/2019; Ngày hoàn thiện: 19/02/2019; Ngày duyệt đăng: 28/02/2019 
GLOBAL EXPONENTIAL STABILITY CRITERIA FOR IMPULSIVE 
CELLULAR NEURAL NETWORKS WITH TIME – VARYING DELAYS 
Dang Thi Thu Hien
*
, Nguyen Thi Nhan, Nguyen Thi Hien 
Hoa Lu University, Ninh Binh 
ABSTRACT 
In this paper, we study the model of impulsive cellular neural networks with time – varying delays, 
which is an extension of the model in [1], [2]. Based on the construction of the Lyapunov function 
and the use of some analytical techniques such as the properties of continuous functions on a 
segment, the properties of inf, sup, , and... we will build new global exponential stability criteria 
for the equilibrium point of the networks mentioned above. In addition, we also take example to 
illustrate the results achieved. 
Keywords: Global expontial stability, cellular neural networks, impulsive, delay, lyapunov function. 
Received: 22/01/2019 ; Revised: 19/02/2019 ; Approved: 28/02/2019 
* Corresponding author: Tel: 0947133778; Email: dtthien@hluv.edu.vn 
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 96 
GIỚI THIỆU 
Trong những năm gần đây mạng nơron tế bào 
có xung và trễ biến thiên đã thu hút được sự 
quan tâm nghiên cứu sâu rộng và mạnh mẽ 
của khắp các nhà khoa học trên thế giới vì các 
ứng dụng liên quan đến xử lí tín hiệu và hình 
ảnh, liên kết bộ nhớ, phân loại mẫu... Đã có 
nhiều kết quả công bố về sự ổn định mũ toàn 
cục cho điểm cân bằng của mạng. Kết quả 
trong [4], [7] cho thấy sự phụ thuộc của độ trễ 
 vào các thời điểm xung, cụ thể yều cầu 
1, 1k kt t k  
được đặt ra, do đó kết 
quả chỉ có giá trị đối với sự chậm trễ nhỏ nên 
không có ý nghĩa đối với một số ứng dụng 
thực tế. Kết quả trong [2], [3] đòi hỏi 
( ) 0D v t , nghĩa là mạng ban đầu (không 
xung) cần được ổn định. 
Kết quả trong [1] của Bo wu, Yang Liu, 
Jianquan Lu đạt được mà không cần điều 
kiện ( ) 0D v t , tức là mạng ban đầu không 
có tác động của xung có thể không ổn định, 
điều này cho thấy xung đóng vai trò quan 
trọng trong việc làm cho điểm cân bằng của 
mạng ổn định mũ toàn cục. 
Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng mô 
hình trong [1], [2], cụ thể sẽ nghiên cứu mô 
hình (1.1) dưới đây. Chúng tôi sẽ xây dựng 
tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân 
bằng của mạng (1.1). Kết quả của chúng tôi 
có lợi thế so với một số kết quả đã công bố, 
cụ thể: độ trễ  là bị chặn tùy ý và điều kiện 
( ) 0D v t không cần đặt ra. 
 (1)
trong đó 
 i 1,2,...,n,n 2 là số nơron của mạng, 
 j(t) là sự truyền trễ dọc theo sợi trục của các nơron thứ j và thỏa mãn j0 (t) ,   
0 1 20 t t t ..., k
k
lim t
 ,
0t là thời điểm ban đầu, 1 2t , t ,..., là các thời điểm xung, 
   nPC : ,0 , (t)    liên tục trừ ra tại hữu hạn các điểm t mà tại đó tồn tại 
(t ), (t )
  và (t ) (t)   , 
 BC PC:   bị chặn trên ,0  , với BC ta xác định 
 s ,0
sup (s) ,

 
  
 Điểm 
* * * * T n
1 2 nx (x ,x ,...,x ) được gọi là điểm cân bằng của hệ (1.1) nếu 
n n
* * *
i i ij j j ij j j i
j 1 j 1
*
i i
0 c x a f (x ) b g (x ) I
, i 1,2,..., n
0 P (x )
  (2) 
Kí hiệu
0x(t) x(t, t , )  là nghiệm của hệ (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu 0tx  , tức là 
 
0t 0
x (s) x(t s) (s),s ,0   . Giả sử nghiệm của (1) liên tục khắp nơi trừ tại các thời 
điểm xung kt mà tại đó nghiệm liên tục trái và tồn tại giới hạn phải. 
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 97 
Ta sẽ nghiên cứu mô hình (1) với các giả sử sau 
1A ) Tồn tại các hằng số i iL 0, N 0,i 1,2,...,n thỏa mãn 
i 1 i 2 i 1 2 i 1 i 2 i 1 2 1 2f (x ) f (x ) L | x x |, g (x ) g (x ) N x x , x ,x ,i 1,2,...,n.  
2A ) Các hàm iP liên tục trên , *i i k ik i k i k ik kP x (t ) x (t ) x ,1 d 1 d ,   
trong đó 
k0 d 1 , i 1,2,...,n,k 1,2,..., 
3A ) Tồn tại duy nhất điểm cân bằng thỏa mãn (2). 
MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 
 Định nghĩa 1. Hàm nV : được gọi là thuộc lớp 0V nếu 
( i) V liên tục trên mỗi tập n
k 1 k(t , t ] ,k 1,2,..., và 0V(t,0) 0, t t ,  
(ii) V(t, x) là Lipschitz địa phương theo x, 
(iii) Với mỗi k 1,2,... tồn tại giới hạn 
k
k
(t,y) (t ,x)
lim V(t, y) V(t , x).
Định nghĩa 2. Cho hàm 
0V V . Với 
n
k 1 k(t, x) [t , t ) ,k 1,2,... , đạo hàm trên bên phải 
của 0V V đối với hệ (1) được xác định bởi: 
h 0
V t h, x(t h) V t, x(t)
D V t, x(t) lim .
h 
Định nghĩa 3. Điểm cân bằng 
* * * * T
1 2 nx (x ,x ,..., x ) của hệ (1) được gọi là ổn định mũ toàn 
cục nếu 0, M 1  sao cho: 0
(t t )* *
0 0x(t, t , ) x M x e , t t .

   
 Đặt 
*
i i iy (t) x (t) x ,i 1,2,...,n thì hệ (1) trở thành: 
n n
' * * * *
i i i ij j j j j j ij j j j j j j
j 1 j 1
*
i k i i k i
y (t) c y (t) a f y (t) x f (x ) b g y (t (t)) x g (x )
.
y (t ) P y (t ) x , i 1,2,..., n, k 1,2,...
  
 
Bất đẳng thức Yuong: Cho a,b 0 và p,q 1 thỏa mãn 
1 1
1
p q
 . Khi đó: 
p qa b
ab .
p q
KẾT QUẢ CHÍNH 
Trong mục này, chúng tôi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân bằng của mạng 
nơron tế bào có xung và trễ biến thiên (1). 
Định lí 1. Giả sử 
1 2 np 1, , ,..., 0 và các điều kiện 1 3A A được thỏa mãn. Đặt: 
p pn n n
j jp 1 p 1
1 i i j ij j ij 2 i
1 i n 1 i n
j 1 j 1 j 1i i
k min pc L (p 1) L a N b , k max N . 
  
Giả sử: 
1k 0 và 0, 0  : 
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 98 
 (i) 21 p
k 1
k e
k ,k 1,2,...
d

   , với 
00 d 1, kd được cho trong 2A , 
 (ii) 
k 1 k k 1plnd ( )(t t ),k 1,2,...   
Khi đó, điểm cân bằng của hệ (1) là ổn định mũ toàn cục. 
Chứng minh. Đặt 
max 1 2 n min 1 2 nmax{ , ,..., }, min{ , ,..., }. 
Ta xác định hàm Lyapunov 
n
p
i i
i 1
v(t) V t, y(t) y (t)
  và xét 
1
n pp
i
i 1
y(t) y (t) .
 
Với 
0t t và kt t ,k 1,2,... ta có:
n
p 1 '
i i i i
i 1
D v(t) p y (t) sgn(y (t)) y (t)
  . Do đó: 
n n
p 1 * *
i i i i i ij j j j j j
i 1 j 1
D v(t) p y (t) sgn y (t) c y (t) a f y (t) x f (x )
  
n
* *
ij j j j j j j
j 1
b g y (t (t)) x g (x )
  
 
n n n
p p 1 p 1
i i i j ij i j j ij i j j
i 1 j 1 j 1
p c y (t) L a y (t) y (t) N b y (t) y t (t) .
  
   
Áp dụng bất đẳng thức Yuong với 
p
p 1,q
p 1
ta có: 
p
p
p 1 pj p 1
j ij i i ij
y (t) p 1
y (t) a y (t) y (t) a ,
p p
p
p
j jp 1 p p 1
j j ij i i ij
y t (t) p 1
y t (t) b y (t) y (t) b .
p p
  
  
Do đó 
p pn n n
pj p 1 p 1
i i j ij j ij i i
i 1 j 1 j 1i
D v(t) pc L (p 1) L a N b y (t) 
   
n n
pj
i i i i
i 1 j 1 i
N y t (t) .
  
  
Suy ra, 
1 2
t s t
D v(t) k v(t) k sup v(s) 
  
 . Đặt 
p
k 1 k 1
1
sup
d 
 
 
 
. 
Từ giả thiết 
1A )
1 1
1 2p
k 1 2 2
k k1
, k 1 k k e .
d k e k e

 
    
      
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 99 
Theo 
2A ) ta có 
1 0( )(t t )
p
k 1
1
e 1
d
  
 . Do đó, M 1: 1 0( )(t t )e M e .    (3) 
Suy ra: 1 0 1 0
p p p
(t t ) (t t )* * *x x e M x e .
  
  
   
Tiếp theo ta đi chứng minh: 0
p
(t t )*
max 0 1v(t) M x e , t (t , t ].
  

   
Để làm điều này, ta chỉ cần chứng minh: 1 0
p
(t t )*
max 0 1v(t) M x e , t (t , t ].
  

   (4)
Vì v(t) liên tục trái tại 1t nên để chứng minh (4) ta chỉ cần chứng minh: 
1 0
p
(t t )*
max 0 1v(t) M x e , t (t , t ).
  

   (5)
Giả sử (5) không đúng. Khi đó tồn tại 0 1t (t , t ) sao cho 
1 0
p p
(t t )* *
max max 0v(t) M x e x v(t s), s [ ,0].
  
 
     (6)
Đặt 1 0p (t t )*max 0t =inf t : v(t) M x e , t (t , t)    . 
Dễ thấy, 0t (t , t) và 
1 0
p
(t t )*
max
0
v(t) M x e
.
v(t) v(t), t [t , t]
  

  
  
 (7) 
Đặt: 
 p*max 0t sup t : v(t) x , t [t , t)  0t [t , t) : 
(8)
Với s [ ,0], t [t, t]   thì 0t s [t , t] [t , t]    . Do đó từ (3), (7), (8) ta có:
1 0
p p
(t t )* *
max maxv(t s) M x e e x e v(t) e v(t).
    
 
      
Suy ra 1 2 1 2D v(t) k v(t) k e v(t) ( k k e )v(t) ( )v(t), t [t, t]
        . 
Do đó hàm ( )tu(t) v(t)e   nghịch biến trên [t, t]. Do đó: 
1 0
p p
(t t )( )(t t ) * ( )(t t ) *
max maxv(t) v(t)e x e x e
     
 
   
 1 0
p
(t t )*
maxM x e v(t)
  

  (vô lý) (5) đúng 
Tiếp theo ta đi chứng minh: 0
p
(t t )*
max k 1 kv(t) M x e , t (t , t ], k 1.
  
 
    
Giả sử: 
0
p
(t t )*
max k 1 kv(t) M x e , t (t , t ], k=1,2,...,m. 
  
 
   (9)
Ta sẽ chứng minh: 0
p
(t t )*
max m m 1v(t) M x e , t (t , t ]
  
 
   . (10) 
Vì v(t) liên tục trái tại m 1t nên để chứng (10) ta chỉ cần chứng minh :
0
p
(t t )*
max m m 1v(t) M x e , t (t , t ).
  
 
   
 (11)
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 100 
Giả sử (11) không đúng. Ta xác định 0p (t t )*m m 1 maxt=inf t (t , t ) : v(t) M x e .    
Ta có: 
n np pp* *
m i i m i i m i i im i m i
i 1 i 1
v(t ) y (t ) P y (t ) x 1 x (t ) x 
    
 m 0
n
p p (t t )p * p p *
i m i m i m m m max
i 1
d x (t ) x d v(t ) d M x e
  

  
 0 0m 1 m
p p
(t t ) (t t )(t t )p * *
m max maxd e M x e M x e .
    
 
   
Từ đó 
mt t . Từ tính liên tục của v(t) và tính chất của inf ta có:
(12)
Đặt: 0m 1 m p (t t )(t t )* p *m max mt sup t | v(t) d e M x e , t (t , t) .     
Dễ thấy 
*
mt (t , t) và thỏa mãn
0m 1 m
p
(t t )(t t )* p *
m maxv(t ) d M x e e .
   

  
Với 
*t [t , t], s [ ,0]   ta có 
m mt s (t , t ]  hoặc mt s (t , t) hoặc t s t. 
Từ (6), (9), (12) ta có: 
0 0
p p
(t s t ) (t t )* * (t t )
max maxv(t s) M x e M x e e e
    
 
   
 0 m 1 m
*
p
(t t ) (t t )*
max p
m
v(t )e
M x e e e .
d

   

  
*
p
t s t m
v(t )e
sup v(s)
d

  
 *
1 2 p
m
e
D v(t) k k v(t) ( )v(t), t [t , t].
d

    
Từ đó hàm ( )tu(t) v(t)e   nghịch biến trên 
*[t , t] . Điều này dẫn đến: 
* *
0m 1 m
p
(t t )(t t )* ( )(t t ) p * ( )(t t )
m maxv(t) v(t )e d M x e e e
       

  
*
0 0m 1 m m 1 m
p
(t t ) ( )(t t )( )(t t ) (t t )* ( )(t t )
maxe M x e e e e
         

  
*
0 0m 1 m
p p
(t t ) (t t )(t t )* (t t ) *
max maxM x e e e M x e v(t)
     
 
   (vô lý). 
Vậy ta đã chứng minh được: 
(13)
Hiển nhiên (13) đúng khi 
0t t . Do đó: 
0
p
(t t )*
max 0v(t) M x e , t t . 
  

   
Vì 
1 0
p
1
p (t t )
p * * pmax
min 0 0
min
v(t) y(t) x(t, t , ) x y(t) M x e , t t .


    
Do đó, điểm cân bằng của hệ (1) là ổn định mũ toàn cục. 
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 101 
Trong Định lí 1, cho
i 1, i 1,2,...,n  ta có hệ quả sau: 
Hệ quả 2: Giả sử p 1 và các điều kiện 1 3A A được thỏa mãn. Đặt: 
p pn
p 1 p 1
1 i i j ij j ij 2 i
1 i n 1 i n
j 1
k min pc nL (p 1) L a N b , k max nN . 

Giả sử : 
1k 0 và 0, 0  : 
 (i) 21 p
k 1
k e
k ,k 1,2,...
d

   với 
00 d 1 và kd được cho trong 2A , 
 (ii) 
k 1 k k 1pln d ( )(t t ),k 1,2,...   
Khi đó, điểm cân bằng của hệ (1.1) là ổn định mũ toàn cục. 
VÍ DỤ 
 Sau đây chúng tôi lấy ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 
Ví dụ 1. Xét mạng nơron tế bào có xung và trễ sau: 
2 2
'
i i i ij j j ij j j j i k 0
j 1 j 1
x (t) c x (t) a f x (t) b g x (t (t)) I , t t , t t
    , trong đó 
 i i i i i i i i 0 k k 1
1
f (x ) x 1 x 1 , g (x ) x 1 x 1 (i 1,2), t 0, t t 0.08,
2
1 2 1 2
0.10.1 1 0.2
A ,B ,c c 3, I 3.4181818, I 0.3545456,
0.10.2 0.3 0.2
2
1 20 (t) (t) sin (t) 1,    
1 k
1 k
2 k
2 k
1.8181818 x (t )
x (t 0)
2 ,k 1,2,...
1.0606064 x (t )
x (t 0)
6
Dễ thấy 
i if ,g thỏa mãn điều kiện 1A với i iL 1, N 2, i 1,2 . Ta tính được 1 2k 1.9,k 4, 
1k 2k
3 7
, , ,k 1,2,...
2 6
  Chọn
kd 0.8,k 0,1,2,..., 4.7, 0.01,p 2,   ta thấy 
các điều kiện 
2 3A ,A và của Hệ quả 2 đều được thỏa mãn. Vậy điểm cân bằng duy nhất 
* Tx (0.6060606,0.1515152) của mạng là ổn định mũ toàn cục. 
Ví dụ 2 . Xét mạng nơron tế bào có xung và trễ sau: 
2 2
'
i i i ij j j ij j j j i k 0
j 1 j 1
x (t) c x (t) a f x (t) b g x (t (t)) I , t t , t t
    , trong đó 
 i i i i i i
1 10.6 1 1.5
g f ,f (x ) x 1 x 1 (i 1,2),A ,B ,
1.5 0.1 112
  
1 2 1 2 0 k k 1c c 4, I 1.31379308,I 1.05517244, t 0, t t 0.11, 
Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 
 Email: jst@tnu.edu.vn 102 
1 k
1 k
2
1 2
2 k
2 k
1.81034481 2x (t )
x (t 0)1 1 50 (t) (t) cos t , , k 1,2,...
0.43103445 3x (t )10 10 x (t 0)
8
    
Dễ thấy 
i if ,g thỏa mãn điều kiện 1A với 
i iL N 1,i 1,2 . Ta tính được 
1 2k 1.2045,k 2 1k 2k
3 5
, , ,k 1,2,...
5 8
  
Chọn 
kd 0.9,k 0,1,2,..., 1.3, 0.1,p 1.5   
dễ thấy giả sử 
2 3A ,A và các điều kiện của 
Hệ quả 2 đều được thỏa mãn. Vậy điểm cân 
bằng duy nhất 
* Tx (0.60344827, 0.08620689) của 
mạng là ổn định mũ toàn cục. 
KẾT LUẬN 
Nếu ,1i ig f i n thì mô hình (1.1) chính 
là mô hình trong [1], [2]. Như vậy kết quả của 
chúng tôi vừa góp phần xây dựng thêm tiêu 
chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân 
bằng của mô hình trong [1], [2] vừa góp phần 
mở rộng kết quả ở mô hình tổng quát hơn. 
Với kết quả của chúng tôi, điều kiện ràng 
buộc trên các tham số của mạng là độc lập với 
độ trễ  ; hơn nữa, kết quả cũng cho thấy 
xung đóng vai trò quan trọng trong việc làm 
cho điểm cân bằng của mạng ổn định mũ toàn 
cục ngay cả khi mạng bạn đầu không xung có 
thể không ổn định, điều này đặc biệt có ý 
nghĩa đối với các ứng dụng trong kỹ thuật và 
công nghệ. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bo wu, Yang Liu, Jianquan Lu (2012), “New 
results on global expontial stability for impulsive 
cellular neural networks with any bouned time – 
varying delays”, Mathematical and Computer 
Modelling, 55, pp.837 – 843. 
2. Ivanka M. Stamova, Rajcho Ilarionov (2010), 
“On global exponential stability for impulsive 
cellular neural networks”, Computers and 
Mathematics with Application, 59, pp. 3508–3515. 
3. Shair Ahmad, IvankaM.Stamova (2008), 
“Global exponential stability for impulsive 
cellular neural networks with time – varying 
delays”, Nonlinear Analysis, 69, pp.786 – 795. 
4. Xinzhi Liu and Qing Wang (2008), “Impulsive 
stabilization of high – order hopfield –type neural 
networks with time – varying delays”, iee 
transactions on neural networks, 19 (1), pp. 71-79. 
5. Shui – Ming Cai, Feng –Dan Xu, Zeng – Rong 
Liu, Wei – Xing Zheng (2009), “Exponential 
stability analysis for impulsive neural networks 
with time – varying delays”, The third international 
symposium on optimization and systems biology, 20 
-22, pp. 81 – 88. 
6. Huan Zhang, Wenbing Zhang, Zhi Li (2018), 
“Stability of delayed neural networks with impulsive 
strength – dependent average impulsive intervals”, 
Journal of nonlinear sciences and applications, 11, 
pp. 602 – 612. 
7. Qing wang, Xinzhi Liu (2008), “Impulsive 
stabilization of cellular neural networks with time 
delay via lyapunov functionals”, J.Nonlinear Sci. 
App, 1, pp.72 – 86.