Tối ưu hệ TMD để giảm dao động trong cầu đường sắt cao tốc

40 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 26, Feb 2018 
TỐI ƯU HỆ TMD ĐỂ GIẢM DAO ĐỘNG TRONG 
 CẦU ĐƯỜNG SẮT CAO TỐC 
OPTIMIZATION OF TMD FOR REDUCING VIBRATIONS 
 OF HIGH-SPEED RAILWAY BRIDGES 
Mai Lựu 
Khoa Công Trình Giao Thông 
Đại học Giao Thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh 
Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu tối ưu hệ TMD để giảm dao động cộng hưởng trong cầu đường sắt 
cao tốc, đặc biệt là các kết cấu có đa đỉnh cộng hưởng gần nhau. Quá trình cực tiểu hàm đối tượng 
được dựa trên thuật toán DK để tối ưu các tham số của hệ cản TMD một cách trực tiếp và đồng thời 
trên các mode dao động khác nhau. Do đó, phương pháp trình bày có thể làm cho hệ TMD hoạt động 
hiệu quả hơn so với các phương pháp truyền thống trước đây. 
Từ khóa: Đa đỉnh cộng hưởng, cầu đường sắt cao tốc, hệ cản TMD, phép lặp DK. 
Chỉ số phân loại: 2.4 
Abstract: This paper deals with the optimization of TMD systems to suppress multi-resonant 
dynamic structural response of high-speed railway bridges. Unlike the previous methods, the 
presented method minimizes the objective function using the DK-iteration algorithm. Therefore, the 
parameters of TMDs can be optimized directly and simultaneously on different modes contributing 
significantly to the multi-resonant peaks in order to make the TMDs more effective and robust. 
Keywords: Multi-resonant response, high-speed railway bridge, tuned mass damper, DK-
iteration. 
Classification number: 2.4 
1. Giới thiệu 
Hệ cản TMD (tuned mass damper) hay 
gọi là hệ giảm chấn động lực đã được nghiên 
cứu ứng dụng thành công trong nhiều kết cấu 
công trình thực tế nhằm giảm dao động dưới 
các tải trọng gió và động đất. Tuy nhiên, hầu 
hết các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào các 
kết cấu như nhà cao tầng, các trụ tháp cao, 
cầu cho người đi bộ, Một số công trình 
nghiên cứu gần đây đã tập trung vào việc 
giảm dao động cho các công trình cầu đường 
sắt cao tốc. 
Đối với các kết cấu cầu dầm liên tục, cầu 
dây văng, cầu dây võng,  các tần số cơ bản 
có xu hướng tiến lại gần nhau, nghĩa là sự 
đóng góp của các mode cao trong các dao 
động là rất đáng kể và gây ra hiện tượng đa 
đỉnh cộng hưởng trong kết cấu nhịp dưới tác 
dụng tải trọng đoàn tàu cao tốc. Do đó, việc 
tối ưu hệ TMD cần xem xét hiện tượng này. 
Nhóm nghiên cứu của Yau và Yang 
[1,2] cũng đã nghiên cứu vấn đề đa đỉnh 
cộng hưởng như trình bày ở trên cho cầu dây 
văng và cầu dàn thép. Nhóm đã sử dụng hệ 
TMD lai (hybrid TMD system) bao gồm 
nhiều hệ TMD nhỏ phối hợp với nhau để làm 
giảm dao động cộng hưởng ở nhiều tần số 
khác nhau. Lời giải của nhóm nghiên cứu 
này dựa trên nghiên cứu của Den Hartog, hay 
thường được gọi là phương pháp điểm cố 
định trong miền tần số. Kết quả nghiên cứu 
đã cho thấy rằng hệ thống TMD lai có thể 
làm giảm các dao động cộng hưởng rất hiệu 
quả khi đoàn tàu vận hành ở tốc độ cao. Tuy 
nhiên, nhược điểm của phương pháp này là 
phải tối ưu các TMD một cách độc lập theo 
từng mode đơn và sau đó mới phối hợp thành 
một hệ thống hoàn chỉnh. Điều này có thể 
làm suy giảm hiệu quả của hệ TMD. 
Trong bài báo này, các tham số của hệ 
TMD được tối ưu trực tiếp và đồng thời trên 
các mode khác nhau để tìm ra sự phối hợp 
giữa các tham số động học trong thiết bị 
TMD và làm cho chúng hoạt động hiệu quả 
ổn định nhất có thể. Lời giải của phương 
pháp đề xuất trong nghiên cứu này thu được 
bằng một thủ tục duy nhất dựa trên thuật toán 
lặp DK và thậm chí có thể xét các tham số 
động học không chắc chắn của hệ kết cấu 
(norm-bounded uncertainty parametes) trong 
tiêu chuẩn tối ưu H∞. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 26-02/2018 
41 
Để đánh giá kết quả thu được, một số 
các mô phỏng bằng số thông qua cách sử 
dụng phương pháp phần tử hữu hạn để mô 
phỏng kết cấu và thiết bị cản với các tham số 
tối ưu được xác định dựa trên thuật toán đề 
xuất và đồng thời tiến hành so sánh kết quả 
với các phương pháp nghiên cứu trước đây. 
2. Cơ sở tính toán 
*Mô hình động học của hệ thống 
Hệ thống dầm, TMDs và đoàn tải trọng 
được thể hiện như hình 1 và hình 2. Tất cả 
các tham số của đoàn tải trọng được thể hiện 
trong bảng 1. Tải trọng đoàn tàu được xem là 
tác dụng đúng tim cầu và di chuyển theo 
phương dọc với tốc độ không đổi. 
Hình 1. Mặt cắt ngang cầu với TMD. 
s
sm
s
3 11 3 3.525 d
D
31133.525
DNxD
d
B
s
Bs
V
k Z
d
L
Z
Z
F F
Cs
sm
skCs
sm
skCs
x0
Hình 2. Mặt cắt ngang cầu với TMD. 
Bảng 1. Các tham số của mô hình tải trọng đoàn tàu 
cao tốc HSLM-A8 (Eurocode). 
Tên N D (m) d(m) F(kN) 
A8 12 25 2.5 190 
Ghi chú: 
N là số toa tàu ở giữa; 
D và d lần lượt là chiều dài toa và khoảng cách 
trục; 
F là tải trọng trục. 
Từ mô hình trên, phương trình dao động 
của hệ thống được dẫn ra như sau: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 22
2 2 2
, , ,
( , ) ( , )
0; 1...
j
B B B
B B B
v T
s sj sj sj Bj sj sj Bj T
Z x t Z x t Z x t
EI m c
x x t t
F x t F x t
m Z c Z Z k Z Z j N
∂ ∂   ∂∂
+ +  
  
 = +
 + − + − = =
∂ ∂ ∂ ∂

  
(1) 
Trong đó: 
EIB, ZB, mB và cB là độ cứng, chuyển vị 
đứng, khối lượng và tính chất cản của kết cấu 
nhịp; 
Fv(x,t) là tổng tải trọng theo phương 
đứng tác dụng lên dầm; 
FT(x,t) là tổng tải trọng được tạo ra bởi 
các TMDs; 
NT là tổng số các TMDs; 
msj, csj, ksj và Zsj là khối lượng, hệ số 
cản, độ cứng và chuyển vị của TMD thứ i. 
Fv(x,t) được xác định như sau: 
( ) ( )
1
( , ) H
vN
v i i i
i
F x t x vt a F t tδ
=
= − − −  ∑ (2) 
Trong đó: 
Nv là tổng các trục tải trọng; 
Fi là tải trọng của trục xe thứ i; 
v là tốc độ chuyển động của đoàn tàu; 
ai là khoảng cách từ trục tải trọng thứ i 
đến trục tải trọng đầu tiên; 
ti là thời điểm mà trục bánh xe thứ i bắt 
đầu tác dụng lên dầm cầu. 
Hàm ( )x aδ − là hàm Dirac Delta và 
hàm ( )H it t− được định nghĩa bằng hiệu 
của hai hàm Heaviside 
( ) ( ) [ ]0 0H H H ( )/i i i Bt t t t t t v l= +− − − − . 
Lời giải giải tích cho hệ thống phương 
trình dao động (1) là không thể thực hiện 
được. Do đó, phương pháp số sẽ được sử 
dụng để xác định các dao động của kết cấu 
nhịp có lắp đặt hệ TMD dưới tác dụng của tải 
trọng của đoàn tàu cao tốc HSLM-A8. Để 
tìm lời giải này, phương pháp phần tử hữu 
hạn được sử dụng để mô phỏng hệ thống 
nhiều bậc tự do (MDOF) và phương pháp gia 
tốc trung bình để giải trực tiếp hệ thống 
phương trình dao động này. 
*Hàm mục tiêu và thuật toán lặp DK 
Phần này sẽ xây dựng cơ sở lý thuyết để 
tối ưu các tham số của TMD. 
Hệ phương trình (1) có thể viết lại trong 
không gian mode như sau: 
42 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 26, Feb 2018 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 1...
0; 1...
j
Bi Bi Bi Bi Bi Bi vi Ti B
s sj sj sj Bj sj sj Bj T
m q t c q t k q t F t F t i N
m Z c Z Z k Z Z j N
+ + = + =
+ − + − = =



 
  
(3) 
Trong đó: 
mBi, cBi và kBi là các khối lượng, hệ số 
cản và độ cứng của mode dao động thứ i đối 
với dầm chính. 
Lực mode thứ i được tạo ra bởi hệ TMD 
được viết như sau: 
( ) ( )
1
( )
T
j j j j
N
Ti Bi j s s B s sj Bj
j
F d k Z Z c Z Zφ
=
 = − + − ∑   
Và ngoại lực tác động ứng với mode dao 
động thứ i được xác định như sau: 
[ ]
10
1
( ) H( ) ( )
H( ) ( )
B v
v
l N
vi k k k Bi
k
N
k k Bi k
k
F F x vt a t t x dx
F t t vt a
δ φ
φ
=
=
= − − −
= − −
∑∫
∑
Nói chung, lực mode của TMD FTi có 
thể làm cho hệ phương trình (3) bị "kết lại" 
(coupled) với nhau bởi vì lực này phụ thuộc 
vào tất cả các tọa độ mode dao động của 
dầm. Tuy nhiên, theo nghiên cứu trước đây 
của Gawronski [4] cho thấy rằng "Hàm 
truyền của hệ thống kết cấu ở tần số cộng 
hưởng thứ i xấp xỉ bằng hàm truyền của 
mode dao động thứ i ở tần số cộng hưởng 
đó". Điều đó có nghĩa là sự đóng góp của các 
mode dao động khác với mode dao động thứ 
i tới hàm truyền của cả hệ kết cấu ở mode 
cộng hưởng thứ i có thể bỏ qua. Ngoài ra, 
mục tiêu của phương pháp trình bày là thiết 
lập hàm truyền của kết cấu và sau đó cực tiểu 
hàm truyền này trên dãi tần số quanh các 
điểm cộng hưởng để xác định các tham số tối 
ưu của TMD. Do đó, việc xấp xỉ ở trên hoàn 
toàn có thể chấp nhận được trong suốt quá 
trình giải bài toán tối ưu. Đối với mode dao 
động thứ i, phương trình (3) có thể được viết 
lại một cách xấp xỉ như sau: 
( )
( ) 0
j
Bi Bi Bi Bi Bi Bi vi Ti
s sj sj sj Bi j Bi
sj sj Bi j Bi
m q c q k q F F
m Z c Z d q
k Z d q
φ
φ
+ + = +
  + − + 
  + − ≈  
 
 
 (4) 
Khi đó, các phương trình (4) đã được 
tách rời và có thể sử dụng nguyên lý chồng 
chất mode thông thường như trong các bài 
toán cơ bản của động lực học kết cấu. 
Theo nghiên cứu [5], sau một số phép 
biến đổi toán học, từ hệ thống phương trình 
(4) có thể xây dựng hàm truyền hệ thống cho 
mode thứ i là Tzwi như sau: 
( ) 1 1 11
zT C I A B D
w
ui
wzi i i ui ui
ui
s −= = − + (5) 
Trong đó: 
Đại lượng zui chứa các tham số đầu ra 
như chuyển vị, gia tốc của kết cấu và wui 
chứa các tham số đầu vào như tải trọng tác 
dụng; 
Các ma trận Ai, Bi, Ci, Di là các ma 
trận trạng thái của toàn bộ hệ thống; 
I là ma trận đơn vị. 
Chi tiết các ma trận này được trình bày 
chi tiết trong [5]. 
Trong nghiên cứu này, phương pháp lặp 
DK [3] được sử dụng để cực tiểu hàm truyền 
Twzi trong miền tần số, từ đó có thể xác định 
được các tham số tối ưu của các TMD và 
được viết như sau: 
−
∈ ∞
−
∈ ∞
 α
  < γ α 
 
1
NB
1
1 1 wz1 1D D
1K
NB NB wzNB NBD D
min D T D ;...
min
... ; min D T D
 (6) 
Trong đó: 
NB là số mode dao động cần xem xét; hệ 
số αi, với i=1,..., NB là hệ số điều khiển mức 
độ ảnh hưởng giữa các mode với nhau trong 
tiến trình tối ưu; 
K là ma trận chứa các tham số tối ưu của 
hệ TMD; 
γ là hằng số cận trên; 
D là tập hợp của các ma trận Di, với Di 
là ma trận tỉ lệ dạng đường chéo làm cho γ 
nhỏ nhất có thể. 
Theo [3], bằng cách cực tiểu hàm mục 
tiêu (6) theo ma trận biến thiết kế K (và cố 
định ma trận D) hoặc theo ma trận biến D (và 
cố định K), kết quả tối ưu của các tham số 
TMDs sẽ được tìm thấy. Để bắt đầu tiến trình 
giải lặp, ma trận D phải được chọn trước, và 
thường được chọn là ma trận đơn vị. Khi đó, 
thuật toán lặp DK trong [3] được tóm tắt: 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 26-02/2018 
43 
i. K-step: Cực tiểu (6) và cố định D, có 
thể sử dụng thuật toán tối ưu Nelder - Mead 
Simplex để tìm lời giải tối ưu, tức là tìm K. 
ii. D-step: Tìm D bằng cách cực tiểu (6) 
và cố định K, với K mới tìm được. 
iii. So sánh D: Với D ở bước trước đó. 
Nếu sai số chấp nhận được thì ngừng tiến 
trình giải lặp, ngược lại thay thế giá trị trước 
đó D bởi giá trị sau cùng và quay lại bước 
thứ 1. 
3. Kết quả áp dụng 
Dựa trên cơ sở lý thuyết được dẫn ra ở 
trên, trong mục này sẽ tiến hành áp dụng mô 
hình trên một công trình cụ thể để đánh giá 
phân tích. Ngoài ra, hiệu quả của các TMD 
với các tham số hệ thống được tối ưu từ thuật 
toán tối ưu đề xuất sẽ được so sánh với các 
TMD có các tham số tối ưu thu được từ thuật 
toán đề xuất của Yau và Yang [1,2]. 
Kết cấu nhịp dầm liên tục hai nhịp phân 
tích trong nghiên cứu này được lấy từ công 
trình cầu đường sắt cao tốc thực tế đã được 
nghiên cứu bởi Giáo sư Karoumi và cộng sự 
[6]. Các thông số động học cơ bản của kết 
cấu nhịp dầm liên tục được liệt kê trong bảng 
2. Kết cấu dầm có tiết diện không đổi và 
được lắp hệ TMDs phía dưới đáy dầm như 
hình 3. Hệ thống mô hình đoàn tàu cao tốc 
HSLM-A8, với các thông số tải trọng trong 
bảng 1. 
Bảng 2. Các tham số động học của dầm. 
L(m) 
mB 
(kg/m) 
ζB 
(%) 
ω1 
(rad/s) 
ω2 
(rad/s) 
20 3.4×104 2.5 21.1 33.0 
Ghi chú: 
L là chiều dài một nhịp; 
mB là khối lượng trên đơn vị chiều dài; 
ζ B là tỉ số cản của dầm dọc; 
ωi là tần số dao động tự nhiên. 
Hình 3. Bố trí hệ thống TMD. 
Các TMD có khối lượng tổng cộng 
khoảng 2% khối lượng mode đầu tiên. Các 
tham số của hệ TMDs được tối ưu bằng thuật 
toán đề xuất trong nghiên cứu này và được 
liệt kê chi tiết trong bảng 3. 
Bảng 3. Các tham số tối ưu của TMD được xác định 
bằng phương pháp lặp DK. 
xs/L 
ms 
(kg) 
ks 
(N/m) 
cs 
(Ns/m) 
TMD1,1 1/4 3408.8 1.54×106 0.84×104 
TMD2,1 1/4 3408.8 3.65×106 1.31×104 
TMD1,2 3/4 3408.8 1.42×106 0.74×104 
TMD2,2 3/4 3408.8 3.75×106 1.35×104 
Trong đó: 
xs là khoảng cách từ TMD thứ s đến đầu dầm; 
L=2LB với LB là chiều dài một nhịp; 
ms là khối lượng của TMD thứ s; 
ks và cs là độ cứng và hệ số cản của TMD thứ s. 
Để đánh giá hiệu quả của phương pháp 
trình bày, nghiên cứu này sẽ sử dụng phương 
pháp tối ưu được công bố gần đây nhất của 
Giáo sư Yau và các cộng sự [1,2] và được 
gọi là phương pháp DHOP (Modified Den 
Hartog's Optimization Procedure). Thuật 
toán tối ưu của nhóm tác giả Yau dựa trên lý 
thuyết của Den Hartog's. Quá trình tối ưu 
gồm hai tiến trình. Đầu tiên, là quá trình cực 
tiểu và "làm bằng" các đỉnh cộng hưởng 
(equalizing the response peaks), sau đó các 
tham số của TMDs được hiệu chỉnh lại một 
lần nữa để xét tính chất cản của kết cấu. 
Ngoài ra, phương pháp này chỉ xét trường 
hợp TMD đặt tại giữa của các nhịp, nếu các 
TMD được phân bố tại các vị trí khác nhau 
thì phương pháp DHOP không có khả năng 
tìm các tham số tối ưu của hệ TMDs. Các 
thông số tối ưu của TMD theo phương pháp 
tối ưu DHOP trình bày trong bảng 4. 
Bảng 4. Các tham số TMD bằng phương pháp DHOP. 
xs/L 
ms 
(kg) 
ks 
(N/m) 
cs 
(Ns/m) 
TMD1,1 1/4 4010.4 1.75×106 1.09×104 
TMD2,1 1/4 2807.2 3.04×106 0.72×104 
TMD1,2 3/4 4010.4 1.75×106 1.09×104 
TMD2,2 3/4 2807.2 3.04×106 0.72×104 
Bảng 5. Chuyển vị và gia tốc lớn nhất của dầm chính. 
∆ (mm) a (m/s2) 
Không lắp TMD 15.34 11.49 
Phương pháp DHOP 8.24 6.88 
Phương pháp DK 8.28 6.02 
44 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 26, Feb 2018 
Hình 4. Gia tốc tại giữa nhịp thứ 2 của dầm chính ở 
tốc độ cộng hưởng. 
Như các kết quả được thể hiện trên hình 
4 và trong bảng 4, các chuyển vị lớn nhất của 
dầm có lắp đặt các TMDs được tối ưu bằng 
phương pháp trước đây DHOP và phương 
pháp đề xuất DK là không khác nhau nhiều. 
Trong khi đó, gia tốc lớn nhất của dầm trong 
trường hợp dùng phương pháp DK giảm hơn 
14% so với trường hợp tối ưu theo phương 
pháp trước đây. Tính hiệu quả này là do các 
thông số của TMD được tối ưu theo pương 
pháp đề xuất có thể tối ưu một cách đồng 
thời các mode dao động khác nhau mà ảnh 
hưởng đáng kể trong quá trình cộng hưởng 
để tìm ra được sự kết hợp giữa các tham số 
trong hệ cản và làm cho hệ TMDs làm việc 
hiệu quả hơn. Trong khi đó, phương pháp đề 
xuất của Giáo sư Yau thì các TMD được tối 
ưu một riêng lẻ và tính trên từng mode khác 
nhau sau đó phải dùng tiến trình thứ hai là 
kết hợp toàn bộ hệ và kể tới tính cản của kết 
cấu nhịp. Do đó, tiến trình thứ hai có thể làm 
lệch các tham số tối ưu thật sự của hệ TMD. 
Trong khi đó, phương pháp đề xuất đã khắc 
phục hoàn toàn các nhược điểm này và dẫn 
đến hệ TMDs làm việc hiệu quả hơn. 
4. Kết luận 
Trong bài báo này đã trình bày phương 
pháp tiếp cận mới để xác định các tham số tối 
ưu của hệ TMD được lắp đặt trong cầu dầm 
đường sắt tốc độ cao. Dựa trên các phân tích 
về lý thuyết và mô phỏng tính toán đã cho 
thấy rằng việc sử dụng hệ TMDs có thể làm 
giảm ứng xử động học của kết cấu nhịp ở 
vùng tốc độ cộng hưởng rất hiệu quả, có thể 
đưa dao động lớn nhất của kết cấu nhịp vào 
vùng an toàn theo quy định của các tiêu 
chuẩn. Vì vậy, đây làm một giải pháp khá 
phù hợp cho việc nâng cấp cải tạo công trình 
để tiết kiệm kinh phí và không ảnh hưởng 
quá trình lưu thông hiện trạng trong quá trình 
sửa chữa. Ngoài ra, cách tiếp cận mới của 
phương pháp đề xuất có thể làm cho TMD 
hiệu quả hơn khi phân tích trên các kết cấu 
đa đỉnh cộng hưởng. Kết quả này đã chứng 
minh trong cầu dầm liên tục 
Tài liệu tham khảo 
[1] J.D. Yau,Y.B. Yang (2004), Vibration reduction 
for cable-stayed bridges traveled by high-speed 
trains, J. Finite Elem .Anal .Des. 40(2004)341–
359. 
[2] J.D. Yau,Y.B. Yang, A wide band MTMD system 
for reducing the dynamic response of continuous 
truss bridges to moving train loads, J. Struct. Eng. 
26 (2004) 1795–1807. 
[3] S. Skogestag and I. Postlechtwaite (1996), 
Multivariable feedback control, analysis and 
design. John Willey and Sons, Chichester. 
[4] W. K. Gawronski (2004), Advanced Structural 
Dynamics and Active Control of Structures. 
Springer. 
[5] M. Luu (2014), Structural Control Systems in 
High-speed Railway Bridges, PhD Thesis. 
[6] R. Karoumi and J.Wiberg (2006), Kontrol av 
Dynamiska Effekter av Passerande Tag Pa 
Botniabanans Broar - Sammanfattning. 
Stockholm - Royal Institute of Technology - 
KTH, Structural Design and Bridges. 
 Ngày nhận bài: 5/1/2018 
 Ngày chuyển phản biện:9/1/2018 
 Ngày hoàn thành sửa bài: 25/1/2018 
 Ngày chấp nhận đăng: 31/1/2018