Ứng dụng Matlab trong việc xác định điểm tiếp xúc trên bánh răng côn răng thẳng

 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 56
KHOA HỌC
ỨNG DỤNG MATLAB TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐIỂM TIẾP XÚC 
TRÊN BÁNH RĂNG CÔN RĂNG THẲNG 
APPLICATION OF MATLAB IN DETERMINING CONTACT POINTS ON STRAIGHT BEVEL GEARS 
Nguyễn Hồng Lĩnh 
TÓM TẮT 
Bài báo nghiên cứu về lý thuyết ăn khớp không gian của truyền động bánh 
răng và sự hình thành vết tiếp xúc trong quá trình truyền động khi có sai lệch về 
hình dạng thiết kế. Qua lý thuyết nghiên cứu về ăn khớp, tác giả đã ứng dụng 
công cụ lập trình Matlab để tìm các điểm tiếp xúc với các giá trị góc xoay của 
bánh răng trong không gian qua đó làm công cụ dự đoán vết tiếp xúc cho bộ 
truyền bánh răng côn thẳng thân khai trong nghiên cứu và sản xuất. 
Từ khóa: Vết tiếp xúc, bánh răng côn thẳng, thân khai. 
ABSTRACT 
The paper researches the theory of the meshing of the gear transmission 
and the formation of contact traces when the gear set has a deviation of the 
design shape. Applying the theory of the meshing the author used Matlab 
programming tool to find the points of contact with rotation angle values of the 
gears in space. Therefore, the created tool to allows us to predict the tooth 
contact of straight bevel gear set in the research and manufacture 
Keywords: Tooth contact, Straight bevel, involute. 
Trường Đại học Điện lực 
Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
Email: linhnh@epu.edu.vn 
Ngày nhận bài: 02/02/2019 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 11/4/2019 
Ngày chấp nhận đăng: 25/4/2019 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Trong sản xuất sẽ là lý tưởng nếu sản xuất được các sản 
phẩm không có khuyết tật về hình dạng. Tuy nhiên trong 
gia công bánh răng không thể tránh được một số lỗi. Ngay 
cả khi đã gia công chính xác các bánh răng thì quá trình lắp 
ráp cũng có thể gây ra các lỗi cho bánh răng bởi sự sai lệch 
về dịch chuyển của trục hoặc sai lệch về lệch tâm. Thậm chí 
ngay cả khi việc lắp ráp được thực hiện một cách chính xác 
thì khả năng đàn hồi của vật liệu cũng là nguyên nhân làm 
cho bánh răng gặp lỗi truyền động. Ngoài ra, tại điểm bắt 
đầu và điểm kết thúc của sự ăn khớp cũng có thể là nguyên 
nhân gây nên sự thay đổi nhanh chóng trong tải trọng trên 
mỗi răng. Đặc biệt với các bộ truyền bánh răng có biên 
dạng được xây dựng dựa trên đường thân khai thường rất 
hay nhạy cảm với các sai lệch và làm cho quá trình làm việc 
của bánh răng không ổn định, giảm khả năng tải và tuổi 
thọ. Chính vì vậy việc kiểm tra chất lượng của bộ truyền 
bánh răng côn răng thẳng có thể được tiến hành thông qua 
việc kiểm tra chất lượng của vết tiếp xúc dưới điều kiện làm 
việc tải trọng nhẹ mà không cần phải kiểm tra các tiêu chí 
riêng biệt về kích thước vi mô như: sai số profile, sai số lead, 
sai số pitch,[4,5]. Ngoài ra việc kiểm tra chất lượng bánh 
răng thông qua vết tiếp xúc có thể bù cho các sai số lắp đặt 
và các sai lệch khác của bộ truyền trong điều kiện làm việc. 
Hình 1. Quá trình kiểm tra vết tiếp xúc bánh răng côn của hãng KHK 
Theo lý thuyết tạo hình thì hai bánh răng côn thẳng 
được xây dựng từ đường thân khai ở điều kiện lý tưởng sẽ 
tiếp xúc với nhau theo một đường thằng ở mọi thời điểm, 
tuy nhiên do nhiều lý do khác nhau (độ chính xác thiết kế, 
độ chính xác gia công, độ chính xác lắp ráp, biến dạng vật 
liệu,) mà các bề mặt này khi tiếp xúc với nhau chỉ tiếp xúc 
với nhau tại một điểm duy nhất, ở điểm tiếp xúc này do có 
biến dạng dẻo làm cho điểm tiếp xúc bị lan ra thành một 
vùng tiếp xúc nhỏ, khi bánh răng chuyển động sẽ sinh ra 
vùng tiếp xúc cho bề mặt răng. Việc xác định được điểm 
tiếp xúc của từng thời điểm sẽ giúp cho các nhà thiết kế và 
chế tạo bánh răng có thể dự đoán được vùng tiếp xúc lý 
thuyết khi có sai lệch qua đó kiểm soát được chất lượng bộ 
truyền một cách tốt hơn. 
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
2.1. Lý thuyết biểu diễn bề mặt răng 
Trong tài liệu [3], F.Litvin đã dựa trên cơ sở nghiên cứu 
về lý thuyết ăn khớp phẳng và ăn khớp không gian bằng 
phương pháp giải tích đã chỉ ra rằng: Bề mặt làm việc của 
bánh răng trong không gian sẽ được biểu diễn hợp lý nhất 
thông qua phương trình thông số véc-tơ. Véc-tơ bán kính 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57
của điểm nằm trên bề mặt lầm việc (hình 2) được xác định 
trong hệ tọa độ Đề các tuyệt đối có dạng như sau: 
( , ) ( , ) ( , )r x u v i y u v j z u v k= + +
 (1) 
Trong đó: 
u, v - các thông số của phương trình bề mặt. 
, ,i j k
 - véc tơ chỉ phương lần lượt theo trục x, y, z. 
Hình 2. Thông số bề mặt không gian 
Theo hình học vi phân thì hai thông số u, v được coi là 
độc lập khi thỏa mãn điều kiện: 
r rx 0
u v
 
 
 (2) 
Nếu một trong hai thông số u, v không đổi thì phương 
trình (2) sẽ trở thành phương trình đường cong. Giả sử 
v = vi = const thì phương trình (2) sẽ trở thành phương trình 
đường cong thông số u: r = r(u,vi), ngược lại nếu u = ui = 
const thì phương trình (2) sẽ trở thành phương trình đường 
cong thông số v: r = r(u,vi). 
2.2. Lý thuyết ăn khớp[2,3] 
Để nắm được về lý thuyết ăn khớp bánh răng đầu tiên 
chúng ta cần hiểu rõ về lý thuyết ăn khớp trong không 
gian. Công trình nghiên cứu [2] là công trình nghiên cứu cơ 
bản đầu tiên về lý thuyết ăn khớp không gian, trong nghiên 
cứu này tác giả đã trình bày lý thuyết chung về tạo hình bề 
mặt răng ăn khớp trong không gian đối tiếp bằng phương 
pháp bao hình. Theo lý thuyết khi xét đến điều kiện tiếp 
xúc thì hai bề mặt răng được hình thành sẽ có tiếp xúc với 
nhau theo điểm hoặc đường. Sau này các nhà nghiên cứu 
đã ứng dụng kết quả trên với luận điểm: tại điểm tiếp xúc 
của hai bề mặt đối tiếp ăn khớp với nhau trong không gian 
thì véc-tơ chuyển động tương đối cần phải nằm trong mặt 
phẳng tiếp tuyến với bề mặt đối tiếp. Việc này có thể được 
diễn giải như sau: 
Khi ăn khớp, hai bề mặt răng chỉ tiếp xúc với nhau tại 
một điểm duy nhất trong mọi thời điểm (hình 3), để tìm 
được điểm tiếp xúc M của hai bề mặt tại một thời điểm bất 
kỳ thì chúng ta cần biểu diễn hai bề mặt trên dưới dạng 
phương trình vét tơ (1 và 2). Khi đó để thỏa mãn điều kiện 
ăn khớp thì tọa độ điểm ăn khớp M1 của bề mặt 1 trên hệ 
quy chiếu cố định (O1X1Y1Z1) và tọa độ điểm ăn khớp M2 
của bề mặt 2 trên hệ quy chiếu cố định (O1X1Y1Z1) phải 
trùng nhau (M1  M2) đồng thời véc tơ pháp tuyến n1 của 1 
tại điểm M1 và véc tơ pháp tuyến n2
của 2 tại điểm M2 phải 
cùng phương và ngược chiều nhau. 
Hình 3. Mô tả tiếp xúc bề mặt không gian 
2.3. Lý thuyết hình thành vết tiếp xúc [3] 
Hình 4. Tiếp xúc hình elip 
Tại mỗi điểm tiếp xúc giữa hai bề mặt răng thì dưới tác 
dụng của tải trọng và tính biến dạng dẻo của vật liệu chế tạo 
mà hai bề mặt răng sẽ tiếp xúc với nhau trong một vùng tiếp 
xúc xung quanh điểm tiếp xúc lý thuyết. Vùng tiếp xúc này là 
một hình elip có tâm đối xứng là điểm tiếp xúc lý thuyết và 
có kích thước phụ thuộc vào tính đàn hồi của vật liệu, độ 
cong bề mặt răng và hướng của bề mặt tiếp xúc (hình 4). 
Trong các nghiên cứu của mình Litvin đã nghiên cứu và mô 
hình hóa toán học được vùng tiếp xúc elip này với thông số 
bán kính được mô tả bằng công thức sau: 
Bán kính lớn: 
1I 1II 2I 2II
2 2
1I 1II 1I 1II 2I 2II 2I 2II
δa 2.
(k +k )-(k +k )
- (k -k ) 2(k -k )(k -k )cos(2σ)+(k -k )
=
 (3) 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 58
KHOA HỌC
Bán kính nhỏ: 
1I 1II 2I 2II
2 2
1I 1II 1I 1II 2I 2II 2I 2II
δb 2.
(k +k )-(k +k )
(k -k ) 2(k -k )(k -k )cos(2σ)+(k -k )
=
+ 
 (4) 
Trong đó: 
- k1I và k1II là độ cong của bề mặt bánh răng chủ động 
- k2I và k2II là độ cong của bề mặt bánh răng bị động 
- 1e
và 2e
 là véc tơ chỉ phương chính của hai bề mặt 
răng tại điểm tiếp xúc lý thuyết 
-  là góc tạo bởi 1e
và 2e
-  là biến dạng dẻo vật liệu 
3. ỨNG DỤNG MATLAB ĐỂ GIẢI ĐIỂM TIẾP XÚC TRÊN 
BÁNH RĂNG CÔN THẲNG THÂN KHAI 
3.1. Xây dựng bề mặt răng thân khai [6] 
a) Hệ tọa độ bề mặt hông răng 
b) Hình cầu thân khai 
Hình 5. Mô tả xây dựng bề mặt răng 
Giả sử P là một điểm nằm trên bề mặt hông răng với Cp 
là đường tròn cơ sở có tâm O’, Q là điểm cơ sở trên trên Cp, 
T là điểm tiếp tuyến trên mặt côn cơ sở và α là góc hình 
côn. Khi đó để thỏa mãn lý thuyết ăn khớp răng thì phương 
trình của mặt côn cơ sở sẽ có dạng (hình 5b): 
2 2 2 2X Y Z . tan α+ = (5) 
Nếu gọi β là góc hợp bởi O’Q và O’T
thì phương trình 
của mặt phẳng tiếp tuyến π sẽ có dạng: 
π(X , Y , Z ,β) X. cos α. cosβ Y. cos α sinβ Z. sin α 0= + = (6) 
Do P thuôc π và Op = OQ = r nên: 
P P P
2 2 2 2
P P P
X .cosα.cosβ Y .cosαsinβ Z .sinα 0
X Y Z r
+ = 
+ + = 
 (7) 
Ngoài ra theo lý thuyết ăn khớp thì TQ TP= nên ta có: 
os
2 2
P P
2 2 2 2
P
(X r.sin .cos ) (Y r.sin sin )
(Z r.c ) r . .sin
  + 
+ =  
(8) 
Giải hệ phương trình (7) và (8) ta sẽ thu được: 
os (1- )
2 2 2 2β .sin α β .sin αX r.sinα.cosβ(1 ) r.β.sinα sinβ 1P 2 4
2 2 2 2β .sin α β .sin αY r.sinα.sinβ(1 ) r.β.sinα cosβ 1P 2 4
2 2β .sin αZ r.c αP 2
= + 
= 
=
(9) 
Kết quả thu được ở trên là là tọa độ trong không gia của 
điểm P. Qua đó chúng ta thu được phương trình bề mặt bên 
răng của bánh răng côn răng thẳng sẽ có dạng như sau: 
os (1- )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
P
β .sin α β .sin αS(r,β) r.sinα.cosβ(1 ) r.β.sinαsinβ 1 i
2 4
β .sin α β .sin αr.sinα.sinβ(1 ) r.β.sinαcosβ 1 j
2 4
β .sin αZ r.c α k
2
= + 
+ 
+ = 
(10) 
Với i 0R r R 
Hình 6. Tọa độ điểm thuộc bề mặt răng 
3.2. Xây dựng hệ tọa độ và ma trận chuyển đổi [3] 
Hình 7. Các hệ tọa độ gắn lên bộ truyền 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 59
Đầu tiên, từ quan hệ ăn khớp trong không gian chúng 
ta gắn vào các bánh răng các hệ quy chiếu như trên hình 7. 
Qua hệ tọa độ chúng ta xác định được các ma trận chuyển 
thuần nhất giữa các hệ tọa độ như sau: 
2 2
2 2
2q
cosφ sinφ 0 0
sinφ cosφ 0 0
M
0 0 1 0
0 0 0 1
 =
qf
cos 0 sin 0
0 1 0 0
M
sin 0 cos 0
0 0 0 1
  
 =
  
1 1
1 1
1q
cosφ sinφ 0 0
sinφ cosφ 0 0
M
0 0 1 0
0 0 0 1
 =
 (11) 
2 2
2f 2 2
cosφ sinφ 0
L sinφ cosφ 0
0 0 1
 = 
qf
cos 0 sin
L 0 1 0
sin 0 cos
  
 = 
   
s
1 1
1f 1 1
cosφ sinφ 0
L inφ cosφ 0
0 0 1
 = 
 (12) 
Các vec tơ pháp tuyến của hai bề mặt được xây dựng 
như sau: 
1 1
1 1
1
1 1
1 1
R R
xr β
n
R R
xr β
 
 
=
 
 
 và 2 2
2 2
2
2 2
2 2
R R
xr β
n
R R
xr β
 
 
=
 
 
 (13) 
Véc tơ vị trí của điểm và vector pháp tuyến của bánh 
răng 1 trên hệ tọa độ cố định Sf 
(r , , )
(r , , )
f1 f1 1 1 1 f1 1
f1 f1 1 1 1 f1 1
R R φ β M R
n φ β Ln n
= =
= =
 (14) 
Véc tơ vị trí của điểm và vec tơ pháp tuyến của bánh 
răng 2 trên hệ tọa độ cố định Sf 
(r , , )
(r , , )
f2 f2 2 2 2 fq q2 2
f2 f2 2 2 2 fq q2 2
R R φ β M R
n φ β L L
M
n n
= =
= =
 (15) 
Để đảm bảo hai bề mặt răng tiếp xúc nhau trong suốt 
quá trình ăn khớp như trên hình 3 thì cần phải thỏa mãn hệ 
phương trình sau: 
(r , , ) (r , , )
(r , , ) (r , , )
f1 1 1 1 f1 2 2 2
f1 1 1 1 f1 2 2 2
R φ β R φ β
n φ β n φ β
=
=
 (16) 
3.3. Xây dựng chương trình 
Bài toán sử dụng công cụ Matlab để dự đoán điểm tiếp 
xúc có lưu đồ thuật toán như hình 8 được hiểu như sau: 
(1) Đầu tiên chúng ta cần xây dựng hai biên dạng bề 
mặt răng (bề mặt tiêu chuẩn hoặc bề mặt có tồn tại sai số) 
và gắn chúng lên hai hệ tọa độ theo phương trình (10) 
(2) Sau đó đưa hai hệ tọa độ của hai bề mặt về hệ quy 
chiếu lắp ráp (hình 5) 
(3) Xây dựng và tạo quan hệ giữa các ma trận ăn khớp 
(11), (12) và (13) 
(4) Xây dựng véc tơ pháp tuyến của các bề mặt (14) 
(5) Sử dụng Matlab để giải hệ phương trình quan hệ 
giữa hai bề mặt với điều kiện lý thuyết ăn khớp 
(6) Mô tả và trả về kết quả điểm 
j1>jdinh
Xây dựng bề mặt răng theo 
(10)
Trả kết quả
Yes
No
Thông tin đầu vào
(Z, m, ∑, Δα,... )
Xây dựng các ma trận theo 
(11) và (12)
Xây dựng véc tơ pháp tuyến 
theo (13)
j1 :=0
j1:=j1+0.08
Giải phương trình (16)
Tìm tọa độ (R,β) 
Hình 8. Lưu đồ thuật toán xây dựng điểm tiếp xúc 
3.4. Kết quả chương trình 
Ứng dụng chương trình để giải cho bộ truyền bánh 
răng côn thăng thân khai có thông số như trên bảng 1. 
Bảng 1. Các thông số chính bộ truyền Z11,16-m8 [1] 
Thông số Ký hiệu 
Thứ 
nguyên 
Giá trị 
Bánh chủ động Bánh bị động 
Số răng bị động Z - 16 11 
Modul m - 8 8 
Bề rộng răng B mm 30 30 
Góc hợp trục ∑ Độ 90 90 
Góc áp lực Độ 20 20 
Cấp chính xác (DIN) - 3 3 
Hệ số dịch chỉnh  - 0 0 
Kết quả mô phỏng biên dạng răng trên Matlab như hình 9. 
Kết quả mô phỏng điểm tiếp xúc ở điều kiện lý tưởng và 
điều kiện thay đổi biên dạng bánh răng bị động với các 
trường hợp = 0,01, = 0,05 và = -0,1 như bảng 2 và 
hình 10. 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 60
KHOA HỌC
Hình 9. Biên dạng bộ truyền bánh răng Z16-11m8 
Bảng 2. Thông số tọa độ cực điểm tiếp xúc 
STT 
Góc xoay (rad) Tọa độ cực tiếp xúc trên 2 bánh răng 
Bánh 1 (j1) Bánh 2 (j2) 1 (rad) 2 (rad) R1 (mm) R2 (mm) 
 = 0,01 
1 0,000 -3,026 -0,462 1,095 66,016 66,016 
2 0,080 -3,064 -0,554 1,062 66,016 66,016 
3 0,160 -3,102 -0,646 1,027 66,016 66,016 
4 0,240 -3,140 -0,737 0,991 66,016 66,016 
5 0,320 -3,179 -0,828 0,954 66,016 66,016 
6 0,428 -3,232 -0,950 0,901 66,016 66,016 
 = 0,05 
1 0,000 -3,051 -0,455 0,975 66,473 66,473 
2 0,080 -3,094 -0,547 0,935 66,016 66,016 
3 0,160 -3,137 -0,640 0,894 66,016 66,016 
4 0,240 -3,181 -0,732 0,851 66,016 66,016 
5 0,320 -3,225 -0,823 0,806 66,016 66,016 
6 0,428 -3,286 -0,945 0,742 66,016 66,016 
 = 0 
1 0,000 -3,075 -0,436 0,849 66,016 66,016 
2 0,080 -3,123 -0,530 0,802 66,016 66,016 
3 0,160 -3,172 -0,623 0,753 66,016 66,016 
4 0,240 -3,221 -0,714 0,702 66,016 66,016 
5 0,320 -3,271 -0,805 0,649 66,012 66,012 
6 0,428 -3,338 -0,927 0,573 66,016 66,016 
 = -0,1 
1 0,000 -3,116 -0,354 0,566 66,016 66,016 
2 0,080 -3,175 -0,448 0,505 66,016 66,016 
3 0,160 -3,234 -0,540 0,441 66,016 66,016 
4 0,240 -3,293 -0,630 0,372 66,016 66,016 
5 0,320 -3,353 -0,717 0,300 66,016 66,016 
6 0,428 -3,435 -0,831 0,195 66,016 66,016 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 61
Hình 10. Mô tả tiếp xúc của hai bề mặt răng 
4. KẾT LUẬN 
Qua kết quả nghiên cứu được thể hiện trong bảng 2 và 
hình 7 chúng ta thấy rằng, khi có sai lệch về hình dạng bề 
mặt răng (trong trượng hợp thí nghiệm là ) thì vết tiếp 
xúc có xu hướng chạy về đỉnh răng khi dương và chạy 
về chân răng khi âm. Với kết quả đạt được chúng ta có 
thể áp dụng phương trình (3) và (4) để dự đoán được vết 
tiếp xúc lý thuyết trong trường hợp có sai lệch hoặc trong 
trường hợp cần sự tinh chỉnh bề mặt bánh răng. 
Kết quả của bài báo đóng góp vai trò trong việc nghiên 
cứu và chế tạo các bánh răng côn răng thẳng khi quan tâm 
đến tiêu chí vết tiếp xúc cũng như khả năng làm việc của 
bộ truyền động. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. TCVN 1991-1977. Truyền động bánh răng côn thẳng - Thông số cơ bản 
(1977). 
[2]. T.Oliver, Theore geometry des engrenages (1842). 
[3]. Fador L.Litvin, Alfonso Fuentes, 2004. Gear geometry and applied theory. 
Cambridge University Press 
[4]. The Gleason Works, 1986. Bevel gear development and testing procedure. 
Gear technology 
[5]. Technical standards DIN, 1986. DIN 3965 - Toleranzen fur 
kegelradverzahnungen. German technical standard 
[6]. Y.C.Tsai, P.C.Chin, 1987. Surface geometry of straight and spiral bevel 
gears. Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design. 
AUTHOR INFORMATION 
Nguyen Hong Linh 
Electric Power University 
School of Mechanical Engineering, Hanoi University of Science and Technology