Ứng dụng nguyên lý cực đại Pontryagin trong bài toán cực tiểu tổng nhiệt lượng của thiết bị bay hạ cánh

Tên lửa & Thiết bị bay 
Đ. T. Mai, V. B. Ngọc, “Ứng dụng nguyên lý cực đại Pontryagin  thiết bị bay hạ cánh.” 
14 
øng dông NGUYªN Lý cùc ®¹i PONTRYAGIN TRONG 
BµI TO¸N CùC TIÓU TæNG NHIÖT L­îNG 
CñA THIÕT BÞ BAY H¹ C¸NH 
ĐẶNG THỊ MAI*, VI BẢO NGỌC** 
Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu về thiết bị bay vào bầu khí quyển với ràng buộc 
của dòng vận tốc và tổng chịu tải, khi đó, phải cực tiểu hóa tổng nhiệt lượng tại 
điểm cuối của quá trình hạ cánh. Độ xa của thiết bị bay tại thời điểm cuối cùng 
phụ thuộc vào các biến được chọn từ cực tiểu tổng nhiệt lượng. Để giải quyết vấn 
đề này chúng tôi sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin và hệ Dubovitskij 
Milutin. Bài toán biên được giải nhờ vào sự đưa vào các tham biến nhiễu và lời 
giải theo sự lựa chọn các biến. Các kết quả tính toán mô phỏng được thực hiện 
trên Matlab. 
Từ khóa: Nguyên lý cực đại; Điều khiển; Sự quá tải; Tổng nhiệt lượng; Cực tiểu. 
1. BÀI TOÁN 
Nghiên cứu bài toán về việc lựa chọn góc tấn công của thiết bị bay đang giảm 
vận tốc trong khí quyển với điều kiện cực tiểu hóa tổng luồng nhiệt lượng có tính 
đến các giới hạn sự chịu tải của thiết bị bay. Tổng nhiệt lượng của thiết bị được 
cho dướii dạng tích phân sau: 
1
3 2
0
T
Q CV dt . (1) 
Cần phải xác định trạng thái điều khiển )(tCy để Q(T) trong (1) đạt giá trị nhỏ 
nhất với các điều kiện ràng buộc sau: 
mgG
V
qN
G
S
qCCn yx 
,
2
,
2
22 , (2) 
 2maxmin , yxoxyyy kCCCCCC , (3) 
2
0 0 2
, , sin
( )
H
x
R S
e g g V C q g
R H m
 
, (4) 
cos , siny
S V g
C q H V
mV R H V
  
, (5) 
cosRV
L
R H
 
 (6)
trong đó, 

n là tổng chịu tải, q là áp suất động, là tỉ khối của khí quyển, V là 
vận tốc của thiết bị,  là góc của quỹ đạo nghiêng, H là độ cao của thiết bị bay, L 
là độ xa, G là trọng lượng của thiết bị, m là khối lượng, 0g là gia tốc rơi tự do trên 
bề mặt hành tinh, R là bán kính hành tinh, xC là hệ số cản, yC là hệ số nâng của 
lực, S là diện tích của thiết bị, NCCCkC yyxo ,,,,,,,
maxmin
0  là các giá trị hằng 
số. Hệ (1) (6) với các điều kiện ban đầu t = 0: 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 34, 12-2014 
15
 00)( VtV t , 00)(  tt , 00)( HtH t , 00)( LtL t , .0)( 0 ttQ (7) 
Và điều kiện giới hạn: 
 ,)( aTL ,,,)( 111 HTHTVTV  (8) 
 T - không cố định, trong đó a là tham biến. 
2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI 
TRONG TRƯỜNG HỢP CHÍNH QUY 
Tín hiệu bay hạ cánh từ trạng thái ban đầu xác định theo công thức (7) đến 
trạng thái cuối thỏa công thức (8) một cách tối ưu theo nghĩa là cực tiểu tổng nhiệt 
lượng trong quá trình mà quỹ đạo tối ưu phải thỏa mãn điều kiện chính quy trong 
[3, 4]. Trong bài toán trên điều kiện chính quy tương đương với điều kiện sau: 
 .,0 Nn
C
n
y




 (9) 
Trong trường hợp này, nguyên lý cực đại có dạng sau đây: 
 1,H V L QP P H P V P L P Q L t n N  
  

, (10) 
 .,,,,
Q
P
L
P
H
P
V
PP QLHV











 (11) 
trong đó, t là nhân tử Lagrange được xác định từ điều kiện Bliss [3,4]: 
 0 





yy C
n
t
C
 . (12) 
 gọi là hàm Pontryagin, 1L là hàm Lagrange. QLHV PPPPP ,,,, là các biến bổ 
trợ liên hợp. Để hạn chế các dạng trong bất đẳng thức (2), chúng ta thực hiện điều 
kiện bổ sung không chặt: 
 0 

Nnt . (13) 
Do đó, hệ (1)  (6) là otonom và tại thời gian hạ cánh không có bất kỳ giới hạn nào 
tác động lên, dẫn đến hàm Pontryagin trong (10) đồng nhất bằng 0, tức là: 
 QLHVyy PPPPPPLHVxCuuxP ,,,,,,,,,,0,,   (14) 
Biến bổ trợ liên hợp tPQ được xác định theo điều kiện tiêu chuẩn: 
 tPQ  -1. (15) 
Điều kiện ban đầu của hệ (11) chưa biết và chính là các tham biến của bài toán. 
Do tPQ  -1 và 0,,  uxP nên tồn tại ba biến tự do: 
 321 0,0,0 CPCPCP LV  , (16) 
theo đó, 0HP được xác định từ điều kiện 0,,  uxP . Trong trường hợp này tại 
thời điểm cuối của quỹ đạo số hàm trong (8) trùng với số tham số tự do của bài 
toán (1)- (8), (10), (11) vì thời gian T không cố định và là biến tự do. Theo nguyên 
lý cực đại chương trình điều khiển được lựa chọn từ điều kiện 
Tên lửa & Thiết bị bay 
Đ. T. Mai, V. B. Ngọc, “Ứng dụng nguyên lý cực đại Pontryagin  thiết bị bay hạ cánh.” 
16 
 min)(max TQkhiП
yC
 (17) 
Chúng ta viết một phần của hàm Pontryagin trong (10), phần phụ thuộc vào 
biến điều khiển :)(tC y 
m
SVC
P
m
VSC
P xV
y
22
2
0
  . (18) 
Điều khiển )(tCy có thể không chỉ nhận giá trị đầu mút trong (3) mà các giá trị 
của nó còn được xác định từ điều kiện: 
 maxmin0 ,
2
,0 yyy
V
y
y
CCC
VkP
P
C
C

  . (19) 
Khi đó ta cần tính toán ba giá trị của hàm 0 (18) 
     yyy CCC 03max02min01 ,, , 
và xác định giá trị cực đại của 0 
 321
max
0 ,,max   . (20) 
Hệ thức (20) xác định đặc trưng của điều khiển tối ưu đối với bài toán 
Pontryagin, tức là khi điều kiện Nn 

. Lời giải của bài toán ban đầu đơn giản 
đi rất nhiều nếu điều kiện biên bên phải của quỹ đạo được kiểm soát bởi điều kiện 
 1HTH . (21) 
Trong trường hợp này lời giải của bài toán biên (1) – (8) được xác định bằng 
điều kiện giới hạn 
 11 )(, VTVT  , aTL . (22) 
và phụ thuộc vào ba hằng số tự do 21, CC và 3C (16). Do đó, bài toán ban đầu dẫn 
tới bài toán biên ba biến (1) – (8), (11), (16), (22) và điều khiển tối ưu tCy được 
xác định tại mỗi thời điểm t thỏa mãn nguyên lý cực đại (20). 
3. HẠN CHẾ SỰ QUÁ TẢI 
Trong bài toán đã cho sự khó khăn của việc xác định quỹ đạo hình học tối ưu 
liên hệ với sự xác định thời điểm ra của giới hạn Nn 

 (2). Nhận thấy rằng 
tổng quá tải 

n trong (2) có hai thành phần xn và yn : 
 22
0
2
0
2
,
2
,
2
yxxxyy nnnC
mg
SV
nC
mg
SV
n 

 , (23) 
Trong giới hạn (2), ta đưa vào giới hạn mới: 
 0,, 11 uxNnnNnn xyxy . (24) 
Khi chọn 1N thích hợp từ bất đẳng thức (24) hiển nhiên sẽ thỏa mãn giới hạn (2), 
và bất đẳng thức trong (24) tương đương với bất đẳng thức sau: 
   221 yxxy nnnnN , (25) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 34, 12-2014 
17
dấu bằng xảy ra khi 0 yC . Trong (24) ta lấy đạo hàm của ux, theo yC : 
  yy
y
kCsignC
mg
SV
C
2
2 0
2

 
. (26) 
Trong trường hợp này, nhân tử Lagrange t đối với giới hạn 0, ux trong 
(24) được xác định theo công thức: 
  yy
yV
kCsignCV
gVCkP
P
t
2
2
2 0

 . (27) 
4. ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CỰC TRỊ 
TRONG TRƯỜNG HỢP KHÔNG CHÍNH QUY 
Xét trường hợp quỹ đạo tối ưu được bảo toàn trong khoảng khi mà Nn 

, 
và trên khoảng này tại điểm nào đó 0 



yC
n
. Tập các điểm được xác định bởi 
phương trình [3]: 
 Nn
C
n
y




,0 , (28) 
được gọi là tập các điểm không chính quy. Đối với bài toán đang xét 0 



yC
n
khi 0 yC . Đối với bài toán đã cho ta sử dụng kết quả đã có của A. I. Dubovistkij 
và A. A. Miliutin [3, 4]. Theo [3, 4], khi có sự xuất hiện của điểm không chính 
quy thì hệ các phương trình liên hợp có dạng sau: 
 (29) 
.0
,0
Q
L
P
P
 Ở đây, t là nhân tử Lagrange, d
dt

 là hàm mở rộng. Nhân tử t và hàm mở 
rộng 
d
dt

 phải thỏa mãn điều kiện bổ sung không chặt: 
 0, 0y dt n N C
dt

 

. (30) 
Tên lửa & Thiết bị bay 
Đ. T. Mai, V. B. Ngọc, “Ứng dụng nguyên lý cực đại Pontryagin  thiết bị bay hạ cánh.” 
18 
Từ (29) dẫn đến tại tập các điểm không chính quy (28) các biến bổ trợ liên hợp HP 
và VP sẽ nhận thêm các giá trị 
H
n



 và 
V
n



 khi 0  . Trong đó chỉ tồn tại 
trường hợp không chính quy từ trường hợp chính quy, trong đó các biến bổ trợ liên 
hợp là các hàm không liên tục đối với lớp ràng buộc hỗn hợp 0, ux [3, 4]. 
Hơn nữa, điều kiện (28) – (30) trên quỹ đạo tối ưu cần phải thực hiện nhân tử 
Lagrange khả tích và điều kiện tiêu chuẩn. 
5. VÍ DỤ LỜI GIẢI SỐ 
Để cụ thể cho bài toán, chúng ta giải bài toán cực tiểu hóa tổng nhiệt lượng của 
tàu con thoi khi hạ cánh [7], với các hằng số và điều kiện biên (do vận tốc của thiết 
bị bay lớn nên các giá trị dưới đây không sử dụng hệ thứ nguyên SI mà đã được 
quy về thứ nguyên với đơn vị độ dài là km): 
min
yC = -0.5; 6.0
max yC ; 50000 
m
S 12 kgkm ; 30 10.3769.2
 kgkm 3 , 
kmR 2.6371 ; 88.00 xC ; k = 0.5 ; 
3
0 10.8.9
 g 2 kms , 
C = 20; N = 4 ; 145.0  1 km ;  0 = -1.25 deg;V(0) = 0.35 1 kms , 
H(0)= 100km; L(0) = 0km; Q(0) = 0. 
Mô phỏng thuật toán sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin trình bày ở trên 
trong môi trường Matlab nhận được kết quả như sau: Hình 1 minh họa cho độ cao 
của tàu con thoi theo thời gian, ta thấy rằng độ cao H giảm nhanh từ 100km xuống 
đến 40km trong khoảng thời gian [0, 200s]. Trong hình 2 minh họa trạng thái của 
biến điều khiển yC thay đổi theo thời gian để đảm bảo Q(T) nhận giá trị cực tiểu 
với các ràng buộc ban đầu của bài toán. Hình 4 cho thấy vận tốc của tàu con thoi 
cũng giảm đáng kể trong khoảng thời gian này. Hình 5, mô tả góc của quỹ đạo 
nghiêng. Hình 6 minh họa cho độ xa của tàu khi hạ cánh theo thời gian. Ta thấy 
rằng độ xa L(t) không tăng nhiều sau khoảng thời gian 200s. Hình 7, trong khoảng 
thời gian [0, 200s] tổng nhiệt lượng của bề mặt tàu tăng nhanh và ổn định trong 
khoảng thời gian gần khi hạ cánh [200- 720s]. Theo mô phỏng ở trên ta thấy sức 
nóng của bề mặt tàu có thể coi là đã được cực tiểu hóa trong quá trình hạ cánh. 
 t[s] 
Hình 1. Độ cao H(t). 
 t [s] 
 Hình 2. Hệ số nâng của lực )(tC y . 
H [km] yC 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 34, 12-2014 
19
Hình 3. Tổng chịu tải n . 
 Hình 4. Vận tốc V(t). Hình 5. Góc của quỹ đạo nghiêng )(t . 
 Hình 6. Độ xa )(tL . Hình 7. Tổng nhiệt lượng 
Q[10 ]sec)( 332/135 kmkgkm 
6. KẾT LUẬN 
Bài báo đã giải quyết được vấn đề cực tiểu hóa tổng nhiệt lượng trong phương 
trình (1) với các ràng buộc trong các phương trình (2)(8) bằng cách sử dụng 
nguyên lý cực đại Pontryagin và hệ Dubovistkij Miliutin, đồng thời xây dựng được 
ví dụ số minh họa trên phần mềm Matlab. Bài toán biên với ba tham biến trong 
t [s] 
t [s] 
t [s] t [s] 
V [km/s] 
L [km] 
[deg]
Q 
t [s] 
n 
Tên lửa & Thiết bị bay 
Đ. T. Mai, V. B. Ngọc, “Ứng dụng nguyên lý cực đại Pontryagin  thiết bị bay hạ cánh.” 
20 
phương trình (22) được giải khi cố định một giá trị của tham biến a. Bài toán biên 
đã được giải bằng phương pháp lặp theo biến t trong tài liệu [6]. Vấn đề tiếp theo 
là chúng ta có thể chọn được giá trị mong muốn của tham biến a từ bài toán cực 
tiểu tổng nhiệt lượng trong phương trình (1). 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. A.E. Bryson and Y.-C. Ho, Applied Optimal Control, Rev. Printing 
(Hemisphere, New York, 1975). 
[2]. Ярошевский В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. 
— М.: Наука, 1988. 
[3]. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.В. 
Необходимое условие в принципе максимума. — М.: Наука, 1990. 
[4]. Дикусар В.В., Милютин А.А. Количественные и качественные методы в 
принципе максимума — М.: Наука, 1989. 
[5]. O. von Struk and R. Bulirsch. Direct and indirect methods for trajectory 
optimization. Annals of Operations Research 37(1992)357-373 
[6]. Дикусар В. В, Кошька М, Фигура А. Продолжение решений в прикладных 
задач оптимального управления. М.,МФТИ. 2001. 
 [7]. M. H Breitner and H. Josef Pesch. Reentry trajectory optimization under 
atmospheric uncertainty as a differential Game. Advances in dynamic games 
and applications, 1994. 
ABSTRACT 
THE MINIMUM TOTAL LANDING HEATING 
BY THE MAXIMUM PRINCIPLE PONTRYAGIN 
The article will research a landing into the atmosphere with the flow 
velocity constraint, i.e. the total load by means of minimizing the total thermal 
energy at the end of the landing process. The lander’s distance at the last moment 
depends on the variables selected from the total thermal energy minima. To deal 
with the problem, we apply the Pontryagin maximum principle and the scheme 
Dubovitskij Milutin. Boundary value problems are solved by the introduction and 
continuation of the perturbation parameters and solutions for the selected 
parameter. The results of simulations performed on Matlab. 
Keywords: Maximum principle; Control; The overload; Total heat; Minimum. 
Nhận bài ngày 21 tháng 09 năm 2014 
Hoàn thiện ngày 14 tháng 10 năm 2014 
Chấp nhận đăng ngày 26 tháng 11 năm 2014 
Địa chỉ: * Trường đại học Giao thông Vận tải, 
 ** Học viện Kỹ thuật quân sự.