Ứng xử động của dầm Sandwich lõi từ vật liệu cơ tính biến thiên hai chiều chịu lực di động

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 23 
ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA DẦM SANDWICH LÕI TỪ VẬT LIỆU 
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN HAI CHIỀU CHỊU LỰC DI ĐỘNG 
TS. LÊ THỊ HÀ 
Đại học Giao thông vận tải 
Tóm tắt: Bài báo phân tích dao động của dầm 
sandwich lõi làm từ vật liệu cơ tính biến thiên hai 
chiều (2D-FGM) chịu lực di động. Mặt đáy của dầm 
hoàn toàn bằng kim loại, mặt trên làm bằng gốm. 
Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, sử dụng 
phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp phương 
pháp Newmark để tính đáp ứng động cho dầm. 
Ngoài ra, bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của tham 
số vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động của 
dầm. Kết quả số trong bài báo sẽ minh họa ảnh 
hưởng của các tham số vật liệu, tỉ số hình học đến 
đáp ứng tần số và tham số động cho dầm. 
Abstract: This paper analysis vibration of 
sandwich beams with bi-directional functionally 
graded core excited by a moving concentrated load. 
The lower face is made of isotropic metal, whereas 
the upper face is isotropic ceramic. Using the third-
order shear deformation theory,a finite element 
formulation is derived and used in combination with 
the Newmark method in computing the vibration 
response. A parametric study is carried out to 
highlight the effect of the material distribution and 
moving load speed on the vibration characteristics 
of the beams. The numerical results show that the 
two grading indexes which govern the variation of 
the effective material properties have opposite effect 
on the natural frequencies, dynamic magnification 
factor.The influence of the aspect ratio on the 
dynamic behavior of the beams is also examined 
and discussed. 
1. Giới thiệu 
Kết cấu dầm được làm từ vật liệu FGM với khả 
năng kháng nhiệt tốt đang ngày càng được ứng 
dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại. 
Các bài toán tĩnh học và động học về kết cấu dầm 
FGM đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước 
quan tâm nghiên cứu nhưng chủ yếu là xét đến kết 
cấu với các tính chất vật liệu biến đổi theo một 
hướng không gian. Trong thực tế, kết cấu dầm như 
vậy sẽ không thể chống lại được các tác dụng cơ và 
nhiệt theo nhiều hướng, vì thế việc nghiên cứu kết 
cấu dầm với các tính chất vật liệu biến đổi theo hai 
hoặc ba hướng không gian là rất quan trọng. Đối 
với dầm sandwich cho vật liệu FGM thay đổi theo 
một hướng không gian, một số nhà khoa học trong 
và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu. Chẳng 
hạn, trên cơ sở lý thuyết dầm bậc ba cổ điển, Võ 
Phương Thức và cộng sự [1] đã xây dựng phương 
trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là 
vật liệu thuần nhất, lớp mặt trên và mặt dưới là FG 
hoàn hảo và sử dụng phương pháp phần tử hữu 
hạn để tính tần số dao động riêng và dạng mode 
dao động của dầm. Bằng lý thuyết dầm bậc ba cải 
tiến, Nguyễn và cộng sự [2] phân tích dao động và 
mất ổn định của dầm sandwich với các điều kiện 
biên khác nhau. Tác giả đã chỉ ra rằng, tần số dao 
động tự do chịu ảnh hưởng nhiều bởi sự thay đổi 
của chỉ số phân bổ vật liệu và ảnh hưởng bởi sự 
thay đổi chiều cao của lõi dầm Ngoài ra, Volkan 
and Muhittin [3] phân tích dao động tự do và mất ổn 
định của dầm sandwich bằng phương pháp phần tử 
hữu hạn nhiều bậc (multi-layer finite element). Với lý 
thuyết dầm bậc cao của Reddy, Lê Thị Hà và Trần 
Thị Trâm [4] tính toán đáp ứng động của dầm 
sandwich lớp mặt trên và mặt dưới là FGM biến 
thiên một chiều chịu lực di động. Bài báo nghiên 
cứu ảnh hưởng của tham số vật liệu FGM có lỗ 
rỗng biến thiên theo chiều dày dầm, ảnh hưởng của 
nhiệt độ, tỉ số giữa chiều cao lõi dầm và chiều cao 
dầm đến đáp ứng động lực học của dầm. 
Theo như tác giả biết thì mới có một số ít tác giả 
nghiên cứu về kết cấu dầm FGM với tính chất vật 
liệu thay đổi theo hai hướng là chiều dài và chiều 
dày của dầm, gọi tắt là dầm 2D- FGM. Điển hình, 
Simsek [5] đã nghiên cứu sự mất ổn định của dầm 
2D Timoshenko FGM, các tính chất vật liệu thay đổi 
theo cả chiều dày và chiều dài của dầm nhưng bằng 
quy luật mũ. Tải trọng mất ổn định tới hạn của dầm 
2D- FG thu được bằng phương pháp Ritz. Tác giả 
đã chỉ ra rằng ứng xử mất ổn định của dầm 2D- FG 
chịu ảnh hưởng lớn bởi các tham số vật liệu. Dao 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
24 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 
động tự do và cưỡng bức của dầm 2D Timoshenko 
FG dưới tác động của tải trọng di động cũng được 
nghiên cứu bởi Simsek [6], phương trình chuyển 
động được giải với sự trợ giúp của phương pháp 
tích phân Newmark-β ẩn, kết quả nhận được chỉ ra 
rằng các đáp ứng tự do và cưỡng bức cũng chịu 
ảnh hưởng bởi các tham số vật liệu. Gần đây, bằng 
phương pháp phần tử hữu hạn, Nguyễn và cộng sự 
[6] nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm 
Timoshenko 2D-FGM chịu tác dụng của lực di động. 
Trong đó, dầm được cấu tạo bởi bốn vật liệu thành 
phần, tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của phân bố 
vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động của dầm. 
Trong bài báo này, tác giả phân tích đáp ứng 
động của dầm sandwich có lõi làm bằng vật liệu 2D-
FGM chịu lực di động, lớp bề mặt trên làm từ vật 
liệu gốm và lớp dưới hoàn toàn là vật liệu thuần 
nhất kim loại. Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc 
cao của Shi [7], bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của 
tham số phân bố vật liệu theo chiều dài và dày dầm, 
ảnh hưởng tốc độ của lực di động, ảnh hưởng của 
các tỉ số giữa chiều cao của lõi dầm và chiều cao 
của dầm đến dao động của dầm sẽ được khảo sát 
chi tiết trong bài báo. 
2. Dầm sandwich chịu tác dụng của lực di động 
 Hình 1 minh họa dầm sandwich có lõi làm từ 
vật liệu 2D-FGM và lớp bề mặt trên và dưới dầm là 
vật liệu thuần nhất và dầm chịu tác dụng của lực di 
động với vận tốc không đổi. Giả thiết lực F là một 
đại lượng không đổi. Trên hình vẽ, trục 0x được 
chọn ở giữa dầm và trục 0z vuông góc với mặt 
phẳng giữa dầm. Trong bài báo này, giả thiết dầm 
có chiều dài L, chiều cao h, chiều cao lõi dầm hc, lõi 
của dầm luôn luôn đối xứng qua trục giữa của dầm. 
Lực di chuyển trên dầm luôn bám dính với dầm 
trong suốt quá trình di chuyển từ đầu dầm đến cuối 
dầm và lực chuyển động với tốc độ không thay đổi 
trong suốt chiều dài dầm. 
 F 
Hình 1. Dầm sandwich có lõi làm bằng vật liệu 2D-FGM chịu lực F di động 
Thể tích vật liệu của dầm theo các lớp được giả thiết theo quy luật số mũ: 
3
2
1
( , ) 1 ;
2 2
1
( , ) 1 ;
2 2 2
( , ) 0 ;
2 2
c
c
nm
c c
c
c
c c
c
h h
V x z z
h hx z
V x z z
l h
h h
V x z z
 (1) 
trong đó: - thể tích của vật liệu gốm 
trong các lớp của dầm (k=1, 2, 3), m,n lần lượt là 
chỉ số mũ của vật liệu khi phân bố theo chiều dài và 
chiều dày dầm, x - biến minh họa cho vật liệu thay 
đổi theo trục x và z - biến minh họa vật liệu thay đổi 
theo trục z. 
Tính chất hiệu dụng P (mô đun đàn hồi, mô đun 
trượt, mật độ khối,) cho dầm sandwich có lõi làm 
từ vật liệu 2D- FGM được viết như sau: 
 ( , ) ( ) ( , )k kc m c mP x z P P V x z P (2) 
x 
z 
 Kim loại 
2D- FGM 
 Gốm 
hc 
0 
x 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 25 
trong đó: Pc, Pm - tính chất hiệu dụng của gốm và 
kim loại, P
k
 - tính chất hiệu dụng cho tầng thứ k của 
dầm. 
Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của 
Shi [8], chuyển vị dọc trục u(x,z,t) và chuyển vị 
ngang w(x, z, t) tại điểm nào đó, được cho như sau: 
0
0
3
,000
),,(
)(),,(
wtzxw
zwzutzxu x  
 (3) 
trong đó: t - biến thời gian, , u0(x, t) và 
w0(x, t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển 
vị ngang của điểm bất kì nằm trên trục giữa của 
dầm, γ0 - góc quay sinh ra do sự trượt của thiết diện 
ngang của dầm, z - khoảng cách từ điểm đến trục 
giữa dầm. 
Biến dạng dọc trục và biến dạng trượt , 
tính được dựa trên trường chuyển vị (3). 
 30, 0, 0, 0,
2
0 03
xx x x xx x
xz
u z w z
z
  
  
 (4)
Từ đó, trường ứng suất tiếp và ứng suất pháp được tính toán: 
3
0, 0, 0, 0,
2
0 0
( , ). ( , )[ ( ) ]
( , )
( , ) 3
2(1 )
x xx x x xx x
xz xz
E x z E x z u z w z
E x z
G x z z
   
   

 (5) 
trong đó: E(x,z) và G(x,z) tương ứng là mô đun đàn hồi và mô đun trượt phụ thuộc vào hai biến x, z, 
biểu thức cho hàm năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm sandwich lõi 2D- FGM được viết như sau: 
2 2
11 0, 12 0, 0, 0, 22 0, 0,
2 2 2
0 34 0, 0, 44 0, 0, 0, 66 0, 44 0
2 ( ) ( )1
2 2 2 ( )
L
x x x xx x xx
x x x x xx x
A u A u w A w
U dx
A u A w A B
 
     
 (6)
trong đó, A11, A12, A22, A34, A44, A66 và B44 là các độ cứng của dầm được định nghĩa như sau: 
2 3 4 6
11 12 22 34 44 66
2 2 4
44
( , , , , , )( , ) ( , )(1, , , , , )
( , ) ( , )(1 6 9 )
k
A
k
A
A A A A A A x z E x z z z z z z dA
B x z G x z z z dA 
 (7) 
Trong biểu thức (7), A là diện tích thiết diện ngang của dầm, E
k
(x,z), G
k
(x,z) tương ứng là mô đun đàn 
hồi và mô đun trượt tầng thứ k của dầm sandwich. 
Từ trường chuyển vị (3), biểu thức động năng cho dầm sandwich có thể được xây dựng dưới đây: 
2 2 2 2 2
11 0 0 22 0 0, 66 0 12 0 0 0,
0 34 0 0 44 0 0 ,
( ) ( ) 2 ( )1
2 2 2 ( )
L
x x
o x
I u w I w I I u w
T dx
I u I w
  
   
 (8) 
Trong biểu thức (8), I11, I12, I22, I34, I44, I66 là các mô-men khối lượng được định nghĩa như sau: 
2 3 4 6
11 12 22 34 44 66( , , , , , )( , ) ( , )(1, , , , , )
k
A
I I I I I I x z x z z z z z z dA (9) 
trong đó: - mật độ khối lớp thứ k của 
dầm sandwich có lõi là vật liệu 2D- FGM. 
Thế năng của lực di động (V) được viết như sau: 
( ) ( )iV Fw x x vt (10) 
trong đó: δ(.) - hàm Dirac delta và x - tọa độ 
được đo từ đầu trái đến đầu phải của dầm. Sử dụng 
phương pháp phần tử hữu hạn, ta chia dầm thành 
nhiều phần tử, mỗi phần tử chiều dàilvà mỗi phần tử 
có 2 nút, mỗi nút có 4 bậc tự do. Từ đó các chuyển 
vị và góc trượt ngang được nội suy từ các chuyển vị 
nút như sau: 
u0 = Nu.d, w0 = Nw.d, γ0 = Nγ.d (11) 
trong đó: Nu, Nw và Nγ tương ứng là kí hiệu các 
ma trận hàm dạng cho u0,w0 và γ0. Ở đây hàm dạng 
tuyến tính được sử dụng cho chuyển vị dọc trục 
u0(x, t) và góc trượt ngang γ0, hàm dạng Hermit cho 
chuyển vị ngang. Ngoài ra, d là vec tơ chuyển vị nút 
cho một phần tử dầm và được khởi tạo từ nút phần 
tử dầm dựa trên trường chuyển vị (3). Sử dụng các 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
26 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 
hàm nội suy, biểu thức của năng lượng biến dạng 
đàn hồi được viết dưới dạng: 
1
2
TU d kd
 (12) 
Trên biểu thức (12), k là ma trận độ cứng phần 
tử được biểu diễn dưới dạng: 
k = k11 + k12 + k22 + k34 + k44 + k66 + ks (13)
và: 
11 , 11 , 12 , 12 , ,
0 0
22 , , 22 , , 34 , 34 ,
0 0
2
44 , 44 , , 66 , 66 ,
0 0
44
0
; 2 ( ) ;
( ) ( ) ; 2 ;
2 ( ) ; ;
l l
T T
u x u x u x x w xx
l l
T T
x w xx x w xx u x x
l l
T T
x x w xx x x
l
T
s
N A N dx N A N N dx
N N A N N dx N A N dx
N A N N dx N A N dx
N B N dx

  
   
 
k k
k k
k k
k
 (14) 
Tương tự, động năng của dầm được viết dưới dạng: 
1
2
T
T
t t
  
  
d d
m (15) 
trong đó: m - ma trận khối lượng phần tử nhất quán biểu diễn như sau: 
 m = m11 + m12 + m22 + m34 + m44 + m66 (16) 
và 
11 11 12 12 ,
0 0
22 , 22 , 34 34
0 0
2
44 , 44 , 66 66
0 0
; 2 ;
; 2 ;
2 ; ;
l l
T T
u w u w u w x
l l
T
T
w x y w x u
l l
T T
x y w x
N N I N N dx N I N N dx
N N I N N dx N I N dx
N I N N dx N I N dx

 
  
m m
m m
m m
 (17) 
Các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng 
phần tử được ghép nối lại để tạo thành ma trận độ 
cứng và ma trận khối lượng tổng thể cho dầm. 
Phương trình vi phân chuyển động cho dầm 
sandwich theo ngôn ngữ phần tử hữu hạn được 
thiết lập: 
ex MD KD F (18) 
trong đó: D,M và K tương ứng là véc-tơ chuyển 
vị nút, ma trận khối lượng và ma trận độ cứng tổng 
thể của kết cấu dầm, trong (18) ma trận cản được 
bỏ qua. Sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp 
Newmark giải ra được các đáp ứng động cho dầm. 
F
ex
 trong (18) là vectơ lực nút của dầm. 
3. Kết quả số 
Cho dầm sandwich lõi FGM gồm hai pha, gốm 
(alumina-Al2O3, Ec= 380 Gpa, ρc = 3960 kg/m
3
,ν=0.3) và kim loại (nhôm-Al, Em= 70 Gpa, ρm= 2702 
kg/m
3
,ν=0.3). Tham số tần số trong bài báo được 
chuẩn hóa theo công thức: 
2
1 m
m
L
h E
 
 (19) 
Trong công thức (19), µ - tham số tần số cơ bản 
của dầm, ω1 - tần số dao động cơ bản của dầm. 
Tham số động học cho dầm được chuẩn hóa theo 
công thức (20) như: 
st
d
w
tLw
D
),2/(
max 0 (20) 
Trong (20), Wst = F L
3
/48EmI là độ võng tĩnh 
của dầm thép chịu tác dụng lực F tại giữa dầm. Tần 
số và tham số động lực học trong bảng 1 và 2 được 
tính toán khi cho m=0 và sử dụng các thông số hình 
học và vật liệu theo tài liệu so sánh. Từ bảng 1 và 2, 
các kết quả mà bài báo thu được hoàn toàn đáng tin 
cậy. Các kết quả tính toán cho dầm sandwich dưới 
đây khi cho tỉ số L/h=20. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 27 
Bảng 1. So sánh tham số tần số của dầm sandwich lõi FGM (hc/h = 0.5, m=0) 
 L/h n=0 n=0.5 n=1 n=2 n=5 n=10 
Tài liệu [2] 5 4.0691 3.7976 3.6636 3.5530 3.4914 3.4830 
Bài báo 4.0685 3.7878 3.6484 3.5356 3.4799 3.4795 
Tài liệu [2] 20 4.2445 3.9695 3.8387 3.7402 3.7081 3.7214 
Bài báo 4.2446 3.9696 3.8379 3.7392 3.7077 3.7215 
Bảng 2. Tham số động học của dầm tương ứng với tốc độ lực di động (hc=h, m=0) 
n Dd [8] Dd [bài báo] v(m/s) [8] v(m/s) [bài báo] 
0.2 1.0344 1.0395 222 221 
0.5 1.1444 1.1497 198 197 
1 1.2503 1.2561 179 177 
2 1.3376 1.3441 164 162 
Gốm 0.9328 0.9373 252 251 
Kim loại 1.7324 1.7408 132 130 
Hình 2 minh họa tham số tần số của dầm 
sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D-FGM với các 
giá trị khác nhau của n và m. Trên hình vẽ, tác 
giả cố định tỉ số L/h=20, tỉ số hc/h thay đổi 
(hc/h=14, 1/2, 2/3, 3/4). Từ hình 2, ta thấy rõ ảnh 
hưởng của tham số vật liệu, tỉ số hc/h đến tham 
số tần số cơ bản của dầm. Với một giá trị n cho 
trước thì tham số tần số có xu hướng giảm dần 
khi tăng dần n. Đồng thời sự giảm này rõ hơn khi 
giá trị m cao. Ảnh hưởng của tham số vật liệu 
theo chiều dài dầm m cũng giống như ảnh 
hưởng của tham số vật liệu theo chiều dày dầm. 
Ngoài ra, hình 2 cũng chỉ ra ảnh hưởng của tỉ số 
hc/h đến tham số tần số của dầm. Khi tỉ số hc/h 
mà tăng dần thì tham số tần số cũng tăng dần 
lên. 
Hình 3 chỉ ra mối quan hệ giữa tham số động 
học và tốc độ của lực di động, hình bên trái cố định 
tham số vật liệu theo chiều dày (n=0.5), thay đổi giá 
trị tham số vật liệu theo chiều dài (m=0, 0.5,1, 1.5), 
hình bên phải cố định tham số vật liệu theo chiều 
dài và thay đổi giá trị tham số vật liệu theo chiều dày 
(n=0, 0.5,1, 1.5). Hình vẽ đã minh họa, khi tăng 
tham số vật liệu n, m lên thì tham số động học cũng 
tăng nhẹ bất kể tham số vật liệu nào thay đổi hay cố 
định. Ngoài ra, hình 3 chỉ ra sự tăng giảm của tham 
số động học khi tham số vận tốc của lực di động 
thay đổi. 
Hình 2. Mối quan hệ giữa tham số tần số và các tham số vật liệu n và m 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
28 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 
Hình 3. Mối quan hệ giữa tham số động học và tốc độ của lực di động (hc/h=1/2) 
Hình 4 minh họa mối quan hệ giữa tham số động 
học và tham số vật liệu n,m khi cho một số giá trị 
của tỉ số hc/h(hc/h=14, 1/2, 2/3, 3/4). Hình vẽ chỉ ra 
ảnh hưởng rất rõ nét của tham số vật liệu theo 
chiều dày và chiều dài dầm lên tham số động học 
của dầm. Khi tham số vật liệu n,m tăng dần lên thì 
tham số động học tăng mạnh khi tỉ số hc/h=14, ½, 
tăng nhẹ khi tỉ số hc/h= 2/3, ¾. Điều này rất dễ hiểu, 
vì tỉ số hc/h tăng đồng nghĩa lõi dầm 2D-FGM tăng 
lên làm dầm cứng hơn. Hình 4 chỉ ra rằng, khi tỉ số 
hc/h có xu hướng tăng dần thì tham số động học lại 
có xu hướng giảm dần. 
4. Kết luận 
 Bài báo đã phân tích đáp ứng động của dầm 
sandwich lõi 2D-FGM tựa giản đơn chịu lực di động 
bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Dựa trên hàm 
dạng tuyến tính cho chuyển vị dọc trục và góc trượt 
ngang, hàm dạng Hermit cho chuyển vị ngang, tác 
giả thiết lập được ma trận độ cứng và ma trận khối 
lượng cho dầm sandwich. Dưới sự hỗ trợ của 
Maple và Matlap, tham số tần số cơ bản của dầm 
được tính cho một vài giá trị khác nhau của tham số 
vật liệu,n,m. Kết quả bài báo đã chỉ ra rằng, tham số 
tần số, tham số động học của dầm sandwich có lõi 
làm từ vật liệu 2D-FGM chịu ảnh hưởng nhiều bởi 
tham số vật liệu và tốc độ của lực di động. Các 
tham số tần số giảm dần khi tham số vật liệu n, m, 
tăng lên. Tuy nhiên, khi tỉ số hc/h của dầm tăng lên 
thì tham số động học của dầm lại giảm đi. 
Hình 4. Mối quan hệ giữa tham số động học và tham số vật liệu (v=100m/s) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 29 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Vo, T.P., H.T.Thai, T.K.Nguyen, A.Maheri, and J. 
Lee (2014). Finite lement model for vibration and 
buckling of functionally graded sandwich beams 
based on a refined shear deformation theory. 
Engineering Structures, 64, pp. 12-22. 
2. Nguyen, T.K., T.T.P. Nguyen, P.T. Vo, and H.T.Thai 
(2015). Vibration and buckling analysis of FG 
sandwich beams by a new higher-order shear 
deformation theory. Composite Part B, 76, pp. 273-
285. 
3. Volkan Kahyaa and Muhittin Turana (2018). Vibration 
and stability analysis of functionally graded sandwich 
beams by a multi-layer finite element. Composites Part 
B, 146, pp. 198-2012. 
4. Lê Thị Hà, Trần Thị Trâm (2016). Phân tích ứng xử 
động của dầm sandwich có vỏ là FGM chịu lực di 
động. Tạp chí giao thông vận tải, số 58, trang 34. 
5. M. Simsek (2016). Buckling of timoshenko beams 
composed of two-dimensional functionally graded 
material (2d-fgm) having different boundary conditions. 
Composite Structures, 149, 304–314. 
6. M. Simsek (2015). Bi-directional functionally graded 
materials (bdfgms) for free and forced vibration of 
timoshenko beams with various boundary conditions. 
Composite Structures, 133, 968–978. 
7. G.shi and K. Y. Lam (1999). Finite element formulation 
vibration analysis of composite beams based on 
higher-order beam theory. Journal of Sound and 
Vibration, 219, pp. 696-610. 
8. Şimşek, M., and T. Kocatürk. Free and forced vibration 
of a functionally graded beam subjected to a 
concentrated moving harmonic load, Composite 
Structures 90(2009), pp.465–473. 
Ngày nhận bài: 31/01/2019. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 26/3/2019.