Xác định miền cường độ của vật liệu không đồng nhất sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn và kỹ thuật đồng nhất hóa

Đại học Nguyễn Tất Thành 
1 Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1 
Xác định miền cường độ của vật liệu không đồng nhất 
sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn và kỹ thuật đồng nhất hóa 
Nguyễn Hoàng Phương 
Khoa Kiến trúc - Xây dựng - Mỹ thuật ứng dụng, Đại học Nguyễn Tất Thành 
nhphuong@ntt.edu.vn 
Tóm tắt 
Bài báo này trình bày phương pháp xác định miền giới hạn vật liệu không đồng nhất bằng sự 
kết hợp thuật đồng nhất hóa và lý thuyết phân tích giới hạn. Bài toán phân tích giới hạn cho 
một phần tử đại diện (RVE) được xem xét nhằm tìm được tải trọng giới hạn của các trường 
hợp tải trọng khác nhau. Miền tải trọng biến thiên đại diện cho các trường hợp ứng suất tương 
ứng của một điểm vật liệu được khảo sát. Việc áp dụng rời rạc hóa miền chuyển vị biến thiên 
trong bài toán phân tích giới hạn nhằm taọ điều kiện thuận lợi trong việc khai báo điều kiện 
biên tuần hoàn cho bài toán. Bài toán phân tích giới hạn tích hợp lý thuyết đồng nhất hóa được 
triển khai dưới dạng bài toán tối ưu hình nón bậc hai (SOCP). Các trường hợp tải trọng giới 
hạn của phần tử đaị diện hình thành miền giới hạn của một vật liệu không đồng nhất. Ví dụ số 
được thực hiện và so sánh với các nghiên cứu của các tác giả khác về cường độ vật liệu không 
đồng nhất nhằm thể hiện sự hiệu quả của phương pháp. 
® 2018 Journal of Science and Technology - NTTU 
Nhận 27.12.2017 
Được duyệt 21.01.2018 
Công bố 01.02.2018 
Từ khóa 
Phân tích giới hạn, kỹ thuật 
đồng nhất hóa, miền cường 
độ của vật liệu không đồng 
nhất, chương trình tối ưu 
hóa hình nón bậc hai 
(SOCP) 
1. Giới thiệu 
Việc trộn l n các vật liệu khác nhau để tạo thành các vật 
liệu mới, vật liệu không đồng nhất, đang ngày càng trở nên 
ph biến trong các cấu kiện của công trình. Qua đó, nhu cầu 
về việc xác định các tiêu chu n d o của các vật liệu mới 
này chiếm vai tr quan trọng trong việc t nh toán và ước 
lượng khả n ng làm việc của kết cấu. Hiện nay, hầu hết các 
t nh chất này được thống kê và t nh toán thông qua các th 
nghiệm thực tế. Việc này s d n đến chi ph cho việc xác 
định t nh chất của vật liệu là rất lớn. Vì vậy, các mô ph ng 
số được thực hiện nhằm giảm thiểu các chi ph th nghiệm 
này. Hơn thế nữa, ch ng ta cần các phương pháp hiệu quả 
và nhanh chóng để có thể tiết kiệm về thời gian t nh toán. 
Các nghiên cứu trước đ y đ chứng t được sự hiệu quả về 
nghiệm và thời gian t nh toán của bài toán ph n t ch giới 
hạn trong việc xác định cường độ của vật liệu không đồng 
nhất [1,2]. Tuy nhiên, m t hạn chế về các v ng l p làm thời 
gian t nh toán khá lớn. Việc kết hợp giữa lý thuyết đồng 
nhất hóa và ph n t ch giới hạn có thể giải quyết được yêu 
cầu này. 
Trong những n m gần đ y, các nghiên cứu xác định cường 
độ của vật liệu không đồng nhất, ph n t ch giới hạn của kết 
cấu vi mô, ngày càng phát triển và được ch trọng. Lý 
thuyết đồng nhất hóa kết hợp ph n t ch giới hạn được đề 
xuất trong việc xác định cường độ vật liệu v mô của vật 
liệu cốt sợi [4-6 . Một ph n t ch giới hạn đồng nhất hóa dựa 
trên phần tử hữu hạn và phương trình tuyến t nh được đề 
xuất trong [7 để t nh toán cường độ vật liệu v mô theo tiêu 
chu n Tresca. Ứng xử của hình l ng trụ có l r ng được 
nghiên cứu trong [8,9 bởi mô hình Gurson với cả trường 
động học và t nh học c ng như lý thuyết đồng nhất hóa. 
Dựa vào phần tử hữu hạn và thuật toán đ i ng u điểm nội, 
một đề xuất của tiêu chu n cường độ cấp độ v mô và ph n 
t ch n định của đất được gia cường bởi cọc đá được trình 
bày [10-14 . Trong trường hợp dành cho tấm tuần hoàn, 
một lý thuyết nghiên cứu về việc đồng nhất hóa miền cường 
độ của tấm love-Kirchhoff nhiều lớp cứng d o lý tưởng 
được trình bày [15,16 , và kết quả số thu được xác định tiêu 
chu n cường độ chịu uốn trong [17,18 . Bằng việc kết hợp 
kỹ thuật đồng nhất hóa, ph n t ch giới hạn động học và 
chương trình phi tuyến, tải trọng giới hạn và cơ cấu phá 
hoại của vật liệu composite tuần hoàn theo tiêu chu n chảy 
d o hình elip được xác định [19-24 . Sử dụng trường ứng 
suất đàn hồi của cấu tr c vi mô tuần hoàn, một phương 
pháp trực tiếp t nh học kết hợp với đồng nhất hóa được 
trình bày [25-29 trong bài toán ph n t ch giới hạn 2D và 
3D cho vật liệu h n hợp kim loại tuần hoàn. Trong phương 
pháp này, dạng mạnh của phương trình c n bằng được xấp 
x bằng dạng yếu, và được th a m n trung bình bằng việc 
sử dụng trường chuyển vị. Dựa trên phương pháp tuyến 
t nh, ph n t ch giới hạn của kết cấu bê tông cốt th p được 
nghiên cứu [30-34]. 
Đại học Nguyễn Tất Thành 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1 
2 
Mục tiêu của bài báo này là phát triển một lý thuyết đồng 
nhất hóa cho ph n t ch giới hạn của vật liệu tuần hoàn với 
trường chuyển vị biến thiên (tuần hoàn) được xấp x . N ng 
lượng tiêu tán d o hay hàm mục tiêu được chuyển về dạng 
t ng bình phương. Ngoài ra, điều kiện biên tuần hoàn được 
áp cho biên chu vi phần tử đại diện RVE. Điều kiện công 
ngoại của phần tử đại diện được thay bằng công nội trên 
điểm vật liệu cấp độ v mô. Qua đó, phương pháp ph n t ch 
giới hạn được kết hợp với lý thuyết đồng nhất hóa và được 
sử dụng trong bài báo này. 
2. Lý thuyết phân tích giới hạn 
Trong phần này, lý thuyết ph n t ch giới hạn được tóm 
lược. Một vật thể cứng d o lý tưởng được xem x t với biên 
 và chịu lực thể t ch f và lực bề m t g trên biên t nh học 
t . Biên động học u được ràng buộc và u t   . 
 Công ngoại lực và công nội lực có thể được thể hiện thông 
qua 
 . 
 
   f u g u
T T
d d
t
F u (1) 

  σ u σ ε u
T
, dU (2) 
Với 
T
xx yy xy   ε u là ma trận biến dạng. 
Hệ số tải trọng phá hoại ch nh xác có thể được xác định 
bằng cách giải một bài toán tối ưu hóa sau đ y
  U    σ σ u umax | : , FB (3.1) 
 = 
 uσ
σ umax min ,U
CB
 (3.2) 
 = 
 u σ
σ umin max ,U
C B
 (3.3) 
 = 
 u
umin D
C
 (3.4) 
Với n ng lượng tiêu tán d o được k hiệu uD là một 
hàm theo σ và u như sau 
σ
u σ umax ,D U
B
 (4.1) 
 0 σ σ| xB X (4.2) 
Với σ được gọi là tiêu chu n d o. Phương trình (3.1) 
và (3.4) là phương trình t nh học và động học của bài toán 
ph n t ch giới hạn. Phương trình động học (3.4) s được sử 
dụng trong bài báo này. 
Hầu hết các tiêu chu n d o hiện nay đều có thể được biểu 
diễn như sau 
 1 σ σ PσT (5) 
Với P là một ma trận hữu hiệu bao gồm các hệ số của 
phương trình cường độ của vật liệu. Trong trường hợp tiêu 
chu n von Mises, P được áp dụng với vật liệu đ ng hướng 
và ứng suất ph ng 
2
0
1
1 0
2
1 1
1 0
2
0 0 3

P (6) 
Với 0 là ứng suất chảy d o k o dọc trục. Bên cạnh đó, 
trong trường hợp là vật liệu bất đ ng hướng như tiêu chu n 
của Hill, ma trận P khi đó là 
0
0
0 0
P
G H H
H H F
N
 (7) 
Với G, H, F và N là các hằng số đ c trưng của vật liệu bất 
đ ng hướng và được xác định như sau 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
  
  
  
xx yy zz
xx zz yy
zz yy xx
H
G
F
 (8.1) 
2
1

xy
N (8.2) 
Với , ,xx yy zz   lần lượt là ứng suất chảy d o k o dọc trục 
theo ba trục và xy là ứng suất chảy d o cắt. 
Theo hướng tiếp cận động học của bài toán ph n t ch giới 
hạn, n ng lượng tiêu tán d o được khai triển thành biểu 
thức với biến là biến dạng. Khi đó, n ng lượng tiêu tán d o 
được viết lại như sau 

   ε ε ε
T dD (9) 
Với 1  P 
3. Lý thuyết đồng nhất hóa 
Xem x t một vật thể không đồng nhất cấp độ v mô 
2V . Theo các lý thuyết đ được x y dựng của chuyên 
đề I, bài toán kết cấu không đồng nhất ở cấp độ v mô được 
thay thế bằng hai bài toán, đó là bài toán đồng nhất ở cấp 
độ v mô và bài toán kết cấu không đồng nhất ở cấp độ vi 
mô. Điều quan trọng của phương pháp này là sự liên hệ 
giữa hai cấp độ này. Bên cạnh đó, bài toán cấp độ vi mô, 
phần tử đại diện (RVE), phải th a m n các ràng buộc nhằm 
đảm bảo được sự liên hệ này. 
Ngoài ra, k ch thước của phần tử đại diện (RVE) đ được 
sự quan t m rất lớn của các nhà nghiên cứu. Hơn thế nữa, 
k ch thước này phải đủ nh để thuận lợi cho việc t nh toán 
nhưng lại phải đủ lớn khi so với các cốt liệu để có thể đ c 
Đại học Nguyễn Tất Thành 
3 Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1 
trưng cho vật liệu. Trong nghiên cứu này, giả thiết rằng các 
cốt liệu rất nh so với k ch thước của phần tử đại diện 
(RVE). 
Mối liên hệ giữa hai cấp độ được thể hiện qua định lý trung 
bình 
M m
1
d

 
 E ε ε (10.1) 
M m
1
d

 
 Σ σ σ (10.2) 
Với ,M Mε σ lần lượt là biến dạng và ứng suất tại một điểm 
vật liệu của cấp độ v mô. ,m mε σ lần lượt là biến dạng và 
ứng suất tại một điểm vật liệu của cấp độ vi mô. K hiệu 
đại diện cho trung bình thể t ch trên toàn bộ thể t ch phần tử 
đại diện (RVE), và  là diện t ch của phần tử đại diện. 
Khi t nh toán ở cấp độ vi mô, biến dạng và ứng suất được 
ph n ra hai thành phần. Đầu tiên là hằng số biến dạng và 
ứng suất của một chất điểm ở cấp độ v mô. Phần c n lại s 
là một biến dạng biến thiên và ứng suất biến thiên. Điều 
này được thể hiện như sau 
 m mx x ε E ε (11.1) 
 m mx x σ Σ σ (11.2) 
Qua đó, chuyển vị trên RVE c ng được thể hiện bằng hai 
thành phần 
 u x x u xm mE (12) 
Định lý trung bình (10.1), (10.2) phải được đảm bảo. Do 
đó, trung bình thể t ch của biến dạng biến thiên và ứng suất 
biến thiên trên RVE phải bị triệt tiêu 
0 0 ε σ;m m (13) 
Ngoài ra, chuyển bị trên biên của phần tử đại diện phải đảm 
bảo điều kiện tuần hoàn. Điều kiện tuần hoàn ở đ y là tuần 
hoàn về chuyển vị và đối ng u về ứng suất trên các biên đối 
nhau. Điều này d n đến bất kì trường chuyển vị khả d động 
và trường ứng suất c n bằng th a m n điều kiện tuần hoàn 
đều th a điều kiện c n bằng n ng lượng của Hill-Mandel 
 Σ E σ ε: :m m (14) 
4. T nh toán đồng nhất hóa cho phân tích giới hạn 
Những nghiên cứu trên thế giới [24-28 đ t nh toán ứng 
suất đàn hồi của kết cấu vi mô tuần hoàn thông qua ứng 
suất Σ ho c biến dạng Ε để xấp x trong bài toán ph n 
t ch giới hạn. Gần đ y, Jeremy và các cộng sự [17 đ công 
bố một nghiên cứu sử dụng đồng nhất hóa trong ph n t ch 
giới hạn tấm tuần hoàn, qua đó trường động học đ được sử 
dụng thông qua biến độ cong. Tuy nhiên, trong nghiên cứu 
này trường động học ở cấp độ vi mô s được sử dụng với 
trường ứng suất tại cấp độ v mô. Nhờ mối liên hệ giữa ứng 
suất tại một điểm vật liệu cấp độ v mô và lực trên biên của 
phần tử đại diện. Do đó, khi xác định được lực giới hạn của 
phần tử đại diện đồng ngh a với việc ta xác định được ứng 
suất cực đại tại một điểm vật liệu cấp độ v mô. 
Bên cạnh đó, các nghiên cứu trước đ y sử dụng mô hình 
k o n n theo hai phương kết hợp ph p xoay góc để xác định 
dần không gian ứng suất giới hạn. Trong nghiên cứu này, 
ứng suất tiếp xy đ được đưa vào mô hình nhằm trực tiếp 
tìm được không gian ứng suất giới hạn của vật liệu. Không 
gian ứng suất giới hạn của vật liệu này mô tả tiêu chu n 
chảy d o của vật liệu. 
Bài toán ph n t ch giới hạn kết hợp lý thuyết đồng nhất hóa 
cho phần tử đại diện (RVE) được biểu diễn như sau 
  

   ε ε ε ε
T
min dM M (15.1) 
s.t 0 0 1  u ε
T
MF V (15.2) 
 u x tuần hoàn trên biên d (15.3) 
 ε Lu trong miền  (15.4) 
Bài toán tối ưu (15) được x y dựng trên việc xấp x trường 
chuyển vị biến thiên u 
 n . Điều kiện biên tuần hoàn 
Điều kiện biên tuần hoàn được thực hiện thông qua việc cân 
bằng các c p chuyển vị biến thiên đối xứng trên biên của 
phần tử đại diện (RVE). 
  u u (16) 
Với  , lần lượt là biên chủ động và biên bị động 
tương ứng trên biên phần tử đại diện 
Ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các bậc tự do tuần 
hoàn thành công thức sau 
 Cd = 0 (17) 
Với ma trận C là ma trận ràng buộc giữa các bậc tự do tuần 
hoàn bao gồm các hệ số {-1;0;1} 
Triển khai bài toán với kỹ thuật rời rạc hóa phần tử hữu hạn 
và t ch ph n Guass như sau 
1
   
   B d ε B d ε
T
min
NG
P
i i M i M
i
 (18.1) 
s.t 0 0 1 ε
T
MV (18.2) 
 Cd = 0 (18.3) 
Đại học Nguyễn Tất Thành 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1 
4 
5. Ví dụ số 
Việc ứng dụng kỹ thuật đồng nhất hóa kết hợp với ph n 
t ch giới hạn cho kết cấu vi mô tuần hoàn được thực hiện 
cho trường hợp vật liệu có l . Bài toán ứng suất ph ng được 
lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và được giải bằng công cụ 
mosek[37 . Phần tử đại diện RVE có dạng hình vuông 
 ( = 1mm)a a a . Nghiệm của bài toán s là tập hợp các tải 
trọng giới hạn của phần tử đại diện c ng như là ứng suất 
giới hạn của điểm vật liệu v mô. Do đó, ứng suất giới hạn 
tại một điểm vật liệu cấp độ v mô được xác định như sau 
max 0
 Σ Σ (21) 
Vật liệu có l r ng được xem là một vật liệu h n hợp đ c 
biệt. RVE có l hình chữ nhật và hình tr n tại t m được thể 
hiện ở Hình 2 
l hình chữ nhật (
1 2 0.1 0.5L L mm ) 
và l hình tr n ( / 0.25r a ) 
 n . Bài toán RVE của vật liệu có l r ng 
 (a) 2038 phần tử T3 (b) 1752 phần tử T3 
 n . Lưới phần tử hữu hạn T3 
bài toán l tròn và l hình chữ nhật 
RVE chịu tác dụng của c p lực vuông góc 11 22,  trong 
m t ph ng 1 2,x x như trong h nh 2 Vật liệu nền cho 
RVE l hình chữ nhật là aluminium Al với ứng suất chảy 
d o 
0 137 MPa . Ngoài ra, vật liệu nền cho RVE l hình 
tr n là mild steel St3S với ứng suất chảy d o 
0 273 MPa . Bài toán này được so sánh với kết quả của 
Li [20,21 sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn động học 
kết hợp với thuật giải l p và Zhang và cộng sự [28 sử 
dụng hướng tiếp cận bán cận dưới. 
Phần tử hữu hạn tam giác ba n t (T3) được sử dụng cho mô 
hình t nh toán như h nh 3 Miền ứng suất giới hạn tại một 
điểm vật liệu có l r ng tr n với hai góc xoay khác nhau (
00 và 045 ) được trình bày theo h nh 4 Các kết quả 
ph hợp với kết quả của Li [20,21 và Zhang [28 . 
 n . Miền ứng suất giới hạn 
của vật liệu có l hình tròn (r/a=0.25) 
Bên cạnh đó, ứng xử của vật liệu có l được khảo sát khi 
k o dọc trục có góc thay đ i dần 
0 00 90 với hai k ch 
thước l khác nhau 
2 0.5L mm và 2 0.7L mm. Kết quả 
được thể hiện trong h nh 5 v h nh 6 Những kết quả này 
tương đồng với kết quả của Li [20 (chênh lệch khi góc 
xoay bằng không là 0.47%) và th nghiệm của Litewka và 
các cộng sự [36 ( chênh lệch khi góc xoay bằng không là 
0.47%). 
 n . Cường độ kéo dọc trục 
với góc k o thay đ i (L1=0.1mm; L2=0.5mm) 
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
-10 10 30 50 70 90
L
ự
c 
k
 o
 g
iớ
i 
h
ạn
Góc xoay 
Cường độ kéo dọc trục với góc kéo thay 
đổi (L1=0.1, L2=0.5) 
Thí nghiệm kết quả Li nghiên cứu này 
Đại học Nguyễn Tất Thành 
5 Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1 
 n . Cường độ kéo dọc trục 
với góc k o thay đ i (L1=0.1mm; L2=0.7mm) 
Kết luận 
Bài báo này đ trình bày phương pháp kết hợp giữa lý 
thuyết đồng nhất hóa và lý thuyết ph n t ch giới hạn nhằm 
tìm được không gian ứng suất giới hạn của vật liệu v mô. 
Trường chuyển vị biến thiên được xấp x trong bài toán 
ph n t ch giới hạn phần tử đại diện RVE. Các trường hợp 
tải trọng giới hạn trên biên của phần tử đại diện đại diện 
cho không gian 2D ứng suất giới hạn của một điểm vật liệu 
v mô. Bài toán được xem x t lần lượt là tấm có một l hình 
tròn và hình chữ nhật. Nghiệm của bài toán thể hiện được 
không gian 2D ứng suất giới hạn tương đồng với các kết 
quả nghiên cứu khác. 
Tài liệu tham khảo 
1. M. A. Save, C. E. Massonnet, G. de Saxce. Plastic 
Analysis and Design of Plates, Shells and Disks. North-
Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics, 
vol. 43. Elsevier: Amsterdam, 1997 
2. J. Salencon. Yield Design. Wiley.com, 2013. 
3. Suquet, P. Elements of homogenization for inelastic 
solid mechanics. In: Sanchez-Palencia, E., Zaoui, A. 
(Eds.), Homogenization Techniques for Composite 
Media, Lecture Notes in Physics, Springer, New York, 
1987; 272, 193–278. 
4. P. de Buhan, A. Taliercio. A homogenization approach 
to the yield strength of composite materials. European 
Journal of Mechanics - A/Solids 10 (1991) 129–154. 
5. A. Taliercio. Lower and upper bounds to the 
macroscopic strength domain of a fiber-reinforced 
composite material. International Journal of Plasticity 8 
(1992) 741–762. 
6. A. Taliercio, P. Sagramoso. Uniaxial strength of 
polymeric-matrix fibrous composites predicted through 
a homogenization approach. International Journal of 
Solids and Structures 14 (1995) 2095–2123. 
7. P. Francescato, J. Pastor. Lower and upper numerical 
bounds to the off-axis strength of unidirectional fiber-
reinforced composite by limit analysis methods. 
European Journal of Mechanics - A/Solids 16 (1997) 
213–234. 
8. T. H. Thai, P. Francescato, J. Pastor. Limit analysis of 
unidirectional porous media. Mehanics Research 
Communications 25 (1998) 535–542. 
9. M. Trillat, J. Pastor. Limit analysis and Gurson‟s 
Model. European Journal of Mechanics - A/Solids 24 
(2005) 800–819 
10. B. Jellali, M. Bouassida, P. de Buhan. A 
homogenization method for estimating the bearing 
capacity of soils reinforced by columns. International 
Journal for Numerical and Analytical Methods in 
Geomechanics 29 (2005) 989–1004. 
11. B. Jellali, M. Bouassida, P. de Buhan. Stability analysis 
of an embankment resting upon a column-reinforced 
soil. International Journal for Numerical and Analytical 
Methods in Geomechanics 35 (2011) 1243–1256 
12. G. Hassen, M. Gueguin, P. de Buhan. A 
homogenization approach for assessing the yield 
strength properties of stone column reinforced soils. 
European Journal of Mechanics A/Solids 37 (2013) 
266–280. 
13. M. Gueguin, G. Hassen, P. de Buhan. Numerical 
assessment of the macroscopic strength criterion of 
reinforced soils using semidefinite programming. 
International Journal for Numerical Methods in 
Engineering 99(2014) 522–541. 
14. M. Gueguin, G. Hassen, P. de Buhan. Stability analysis 
of homogenized stone column reinforced foundations 
using a numerical yield design approach. Computers 
and Geotechnics 64 (2015) 10–19. 
15. J. Dallot, K. Sab. Limit analysis of multi-layered plates. 
Part I: The homogenized Love-Kirchhoff model. Journal 
of the Mechanics and Physics of Solids 56 (2008) 561–
580. 
16. J. Dallot, K. Sab. Limit analysis of multi-layered plates. 
Part II: Shear effects. Journal of the Mechanics and 
Physics of Solids 56 (2008) 581–612. 
17. J. Bleyer, P. de Buhan. A computational 
homogenization approach for the yield design of 
periodic thin plates. Part I: Construction of the 
macroscopic strength criterion. International Journal of 
Solids and Structures 51 (2014) 2448–2459. 
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
-10 10 30 50 70 90L
ự
c 
k
 o
 g
iớ
i 
h
ạn
Góc xoay 
Cường độ kéo dọc trục với góc kéo thay đổi 
(L1=0.1; L2=0.7) 
Thí nghiệm kết quả Li Nghiên cứu này 
Đại học Nguyễn Tất Thành 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1 
6 
18. J. Bleyer, P. de Buhan. A computational 
homogenization approach for the yield design of 
periodic thin plates. Part II: Upper bound yield design 
calculation of the homogenized structure. International 
Journal of Solids and Structures 51 (2014) 2460–2469. 
19. V. Carvelli, G. Maier, A. Taliercio. Kinematic limit 
analysis of periodic heterogeneous media. Computer 
Modeling in Engineering and Science 1 (2000), 19–30 
20. H. X. Li, H. S. Yu. Limit analysis of composite 
materials based on an ellipsoid yield criterion. 
International Journal of Plasticity 22 (2006), 1962–
1987. 
21. H. X. Li, H. S. Yu. Limit analysis of ductile composites 
based on homogenization theory. Proc. R. Soc. Lond. A 
459 (2003) 659–675. 
22. H. X. Li. Limit analysis of composite materials with 
anisotropic microstructures: A homogenization 
approach. Mechanics of Materials 43 (2011) 574–585. 
23. H. X. Li. Microscopic limit analysis of cohesive-
frictional composites with nonassociated plastic flow. 
European Journal of Mechanics A/Solids 37 (2013) 
281– 293. 
24. H. X. Li. A microscopic nonlinear programming 
approach to shakedown analysis of cohesive-frictional 
composites. Composites: Part B 50 (2013) 32–43. 
25. D. Weichert, A. Hachemi, F. Schwabe. Shakedown 
analysis of composites. Mechanics Research 
Communications 26 (1999) 309-318. 
26. D. Weichert, A. Hachemi, F. Schwabe. Application of 
shakedown analysis to the plastic design of composites. 
Archive of Applied Mechanics 69 (1999) 623–633. 
27. H. Magoariec, S. Bourgeois, O. D´ebordes. Elastic 
plastic shakedown of 3D periodic heterogeneous media: 
A direct numerical approach. International Journal of 
Plasticity 20 (2004) 1655–1675. 
28. H. Zhang, Y. Liu, B. Xu. Plastic limit analysis of ductile 
composite structures from micro- to macro-mechanical 
analysis. Acta Mech. Solida Sin. 22 (2009) 73–84. 
29. A. Hachemi ., M. Chen, G. Chen, D. Weichert. Limit 
state of structures made of heterogeneous materials. 
International Journal of Plasticity 63 (2014) 124–137. 
30. 30. D. De Domenico, A. A. Pisano, P. Fuschi. A FE-
based limit analysis approach for concrete elements 
reinforced with FRP bars. Compos Struct 
2014;107:594–603. 
31. A. A. Pisano, P. Fuschi, D. De Domenico. A layered 
limit analysis of pinned-joints composite laminates: 
numerical versus experimental findings. Composites: 
Part B 2012;43:940–52. 
32. A. A. Pisano, P. Fuschi, D. De Domenico. Failure 
modes prediction of multi-pin joints FRP laminates by 
limit analysis. Composites: Part B 2013;46:197–206. 
33. A. A. Pisano, P. Fuschi, D. De Domenico. Peak load 
prediction of multi-pin joints FRP laminates by limit 
analysis. Compos Struct 2013;96:763–72. 
34. D. De Domenico. RC members strengthened with 
externally bonded FRP plates: A FE-based limit 
analysis approach. Composites: Part B 2015;71:159–
174. 
35. J. Bleyer, C. V. Le, P. de Buhan. Limit analysis of 
plates and slabs using a meshless equilibrium 
formulation. International Journal for Numerical 
Methods in Engineering 103 (2015) 894–913. 
36. A. Litewka, A Sawczuk, J. Stanislawska. Simulation of 
oriented continuous damage evolution J. Mech. Theor. 
Appl. 5 (1884) 675–688. 
37. Mosek, The Mosek optimization toolbox for MATLAB 
manual, 2015
.
Determine yield domain of heterogeneous materials using limit analysis method and 
homogenization method 
Nguyen Hoang Phuong 
Faculty of Architecture - Civil Engineering - Applied Art, Nguyen Tat Thanh University 
Abstract This paper presents a method to determine Yield domain of Heterogeneous materials with limit analysis and 
homogenization method. The limit analysis of Representative Volume Element (RVE) is implemented to find limit loads in 
various cases. The Domain of various cases represents for the stress of one point in materials. The Discretion of fluctuation 
displacements in limit analysis problem provides advantages of using periodic boundary constraint. The limit analysis and 
the homogenization method are performed in Second Order Cone Program (SOCP). The various limit loads of RVE create 
the limit domain of heterogeneous materials. The Numerical is done and compared with results of other research. It shows 
the effects of this method. 
Keywords Limit analysis, homogenization method, Yield strength, Second order cone programming (SOCP)