Xác định vị trí vết nứt trong dầm FGM bằng phân tích Wavelet dừng các dạng dao động riêng

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018. 12 (7): 20–33
XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẾT NỨT TRONG DẦM FGM BẰNG PHÂN
TÍCH WAVELET DỪNG CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
Ngô Trọng Đứca, Trần Văn Liêna,∗, Nguyễn Thị Hườnga
aKhoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
Nhận ngày 23/10/2018, Sửa xong 26/11/2018, Chấp nhận đăng 29/11/2018
Tóm tắt
Bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc xác định vết nứt trong các kết cấu hệ dầm bằng vật liệu có
cơ tính biến thiên (FGM) dựa trên phân tích wavelet dừng (SWT) các dạng dao động riêng có kể đến ảnh hưởng
của nhiễu trắng Gausian. Các dạng dao động riêng được xác định từ mô hình phần tử thanh FGM chịu kéo, nén
và uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực (DSM). Kết quả nghiên cứu
cho thấy phương pháp đề xuất là một phương pháp khả thi và hiệu quả.
Từ khoá: vết nứt; FGM; DSM; SWT; dạng dao động riêng.
DETERMINATIONOFCRACKLOCATION INBEAMUSINGUSING STATIONARYWAVELET TRANS-
FORM OF MODE SHAPES
Abstract
This paper proposed new crack identification method on multiple cracked beams made of functionally graded
material (FGM) by using stationary wavelet transform (SWT) of measured mode shapes. This study also in-
vestigated the influence of Gaussian noise to SWT. Cracks were modelled as equivalent springs and mode
shapes are obtained from multiple cracked FGM beam element model. The investigated results show that crack
identification method by using SWT of mode shapes is efficient and realizable.
Keywords: crack; FGM; DSM; SWT; mode shapes.
https://doi.org/10.31814/stce.nuce2018-12(7)-03 c© 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)
1. Tổng quan
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được làm từ hỗn hợp của gốm và kim loại, có khả năng chịu
nhiệt, chống ăn mòn của gốm và độ bền cơ học cũng như làm giảm ứng suất nhiệt của kim loại. Đây
là một loại vật liệu composite thế hệ mới, có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ
thuật trong môi trường nhiệt độ cao như là hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, máy phát điện
hay công nghiệp ô tô. Với các ưu điểm đó, vật liệu FGM được sử dụng cho các kết cấu, chi tiết quan
trọng thường xuyên làm việc trong môi trường khắc nghiệt.
Vết nứt hay hư hỏng xuất hiện trong kết cấu FGM ảnh hưởng nghiêm trọng đến khả năng làm việc
của cấu kiện. Do đó, vấn đề xác định vết nứt trong kết cấu FGM là thực sự cần thiết và đã thu hút sự
chú ý của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Hầu hết các nghiên cứu hiện nay về xác định vị
trí vết nứt trong kết cấu đều sử dụng phương pháp thí nghiệm không phá hủy dựa trên các đặc trưng
động lực như là tần số, dạng dao động riêng, hàm phản ứng tần số,... Các đặc trưng động lực học của
∗Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: lientv@nuce.edu.vn (Liên, T. V.)
20
Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
dầm FGM có vết nứt được xác định bằng các phương pháp giải tích [1–6], phương pháp bán giải tích
Galerkin [7], phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [8–10], và phương pháp độ cứng động lực (DSM)
[11–14].
Trong số các phương pháp khác nhau sử dụng để xác định vị trí và số lượng vết nứt của kết cấu
[15], phương pháp phân tích wavelet có hiệu quả lớn, đặc biệt là nhận dạng các hư hỏng, vết nứt nhỏ
trong kết cấu. Liew và Wang [16] chứng minh rằng vị trí vết nứt trên dầm đơn giản có thể xác định
được từ phân tích wavelet các ứng xử dao động riêng đo dọc theo dầm tại thời điểm nhất định. Nghiên
cứu này tiếp tục được phát triển bởi Wang và Deng [17] cho trường hợp phản ứng xung của dầm và
tấm với các điều kiện biên khác nhau. Chang và Chen [18] đã đề xuất một phương pháp để xác định
vị trí và độ sâu của dầm có nhiều vết nứt dựa trên phân tích không gian wavelet các dạng dao động
riêng. Việc dự đoán độ sâu vết nứt được đơn giản hóa bằng cách sử dụng vị trí vết nứt dự đoán và các
tần số dao động riêng. Zhong và Oyadiji [19] chứng minh rằng phân tích wavelet dừng (SWT) là công
cụ hiệu quả cho việc chẩn đoán vết nứt chỉ dựa trên dạng riêng của kết cấu dầm. Hầu hết các nghiên
cứu đã công bố đều sử dụng phân tích wavelet để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dạng dầm, những
nghiên cứu về hệ kết cấu hệ thanh thường chỉ được thực hiện thông qua FEM.
Đối với vật liệu FGM, Banerjee và cộng sự [10] đã đưa ra hai phương pháp khác nhau để nhận
dạng vết nứt trong dầm Timoshenko FGM. Ở phương pháp thứ nhất, các tác giả vẽ lên những đường
đồng mức tần số dựa vào vị trí và kích thước vết nứt, và giao điểm của các đường đồng mức của từng
dạng dao động là cơ sở để dự đoán vị trí cũng như chiều sâu vết nứt. Phương pháp thứ hai dựa trên mô
hình mặt phản ứng (RSM) hồi quy được tối ưu hóa bằng thuật toán gen di truyền (GA). Tại Việt Nam,
tác giả Khiêm và Huyên [20] đã đề xuất một phương pháp chẩn đoán 1 vết nứt trên dầm Timoshenko
FGM dựa trên biểu thức giải tích của các tần số dao động riêng. Các phương pháp này đều có điểm
chung là dựa trên các tần số dao động riêng đầu tiên, tuy nhiên trong thực tế việc xác định chính xác
nhiều tần số dao động riêng là khó khăn, hơn nữa vết nứt tại một số vị trí trên dầm gần như không
thay đổi một tần số dao động riêng nhất định, dẫn đến khó khăn trong việc sử dụng tần số để chẩn
đoán vết nứt.
Nội dung chính của bài báo này là sử dụng phân tích SWT để chẩn đoán vết nứt trong các kết cấu
dầm FGM như dầm đơn giản, dầm liên tục nhiều nhịp,.... Đầu tiên, DSM được sử dụng để xây dựng
mô hình của phần tử dầm có nhiều vết nứt, từ đó tính toán được chính xác các tần số và dạng dao động
riêng của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt. Tiếp theo, từ các dạng dao động riêng tìm được, tác giả
đề xuất một phương pháp để chẩn đoán vị trí vết nứt trên kết cấu dầm FGM bằng cách sử dụng SWT
trên tín hiệu đo các dạng dao động riêng. Ngoài ra nghiên cứu cũng đã xét đến ảnh hưởng của nhiễu
đo đạc đến hệ số chi tiết của phân tích wavelet.
2. Xác định dạng dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt bằng DSM
2.1. Các hệ thức cơ bản
 2 
(SWT) là công cụ hiệu quả cho việc chẩn đoán vết nứt chỉ dựa trên dạng riêng của kết cấu dầm. 
Hầu hết các nghiên cứu đã công bố đều sử dụng phân tích wavelet để chẩn đoán vết nứt trong kết 
cấu dạng dầm, những nghiên cứu về hệ kết cấu hệ thanh thường chỉ được thực hiện thông qua FEM. 
Đối với vật liệu FGM, Banerjee và cộng sự [10] đã đưa ra hai phương pháp khác nhau để nhận dạng 
vết nứt trong dầm Timoshenko FGM. Ở phương pháp thứ nhất, các tác giả vẽ lên những đường 
đồng mức tần số dựa vào vị trí và kích thước vết nứt, và giao điểm của các đường đồng mức của 
từng dạng dao động là cơ sở để dự đoán vị trí cũng như chiều sâu vết nứt. Phương pháp thứ hai dựa 
trên mô hình mặt phản ứng (RSM) hồi quy được tối ưu hóa bằng thuật toán gen di truyền (GA). Tại 
Việt Nam, tác giả Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Ngọc Huyên [20] đã đề xuất một phương pháp 
chẩn đoán 1 vết nứt trên dầm Timoshenko FGM dựa trên biểu thức giải tích của các tần số dao động 
riêng. Các phương pháp này đều có điểm chung là dựa trên các tần số dao động riêng đầu tiên, tuy 
nhiên trong thực tế việc xác định chính xác nhiều tần số dao động riêng là khó khăn, hơn nữa vết 
nứt tại một số vị trí trên dầm gần như không thay đổi một tần số dao động riêng nhất định, dẫn đến 
khó khăn trong việc sử dụng tần số để chẩn đoán vết nứt. 
Nội dung chính của bài báo này là sử dụng phân tích SWT để c ẩn đoán vết nứt trong các kết cấu 
dầm FGM như dầm đơn giản, dầm liên tục nhiều n ịp .... Đầu tiên, DSM được sử dụng để xây dựng 
mô hình của phần tử dầm có n iều vết nứt, từ đó tính toán được chính xác các tần số và dạng dao 
động riêng của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt. Tiếp theo, từ các dạng dao động riêng tìm được, 
tác giả đề xuất một phương pháp để chẩn đoán vị trí vết nứt trên kết cấu dầm FGM bằng cách sử 
dụng SWT trên tín hiệu đo các dạng dao động riêng. Ngoài ra nghiên cứu cũng đã xét đến ảnh 
hưởng của nhiễu đo đạc đến hệ số chi tiết của phân tích wavelet. 
2. Xác định dạng dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt bằng DSM 
2.1. Các hệ thức cơ bản 
Xét dầm có chiều dài L, tiết diện chữ nhật với kích thước được chế tạo từ vật liệu FGM 
(Hình 1) với hàm đặc trưng vật liệu có dạng lũy thừa [21] 
(1) 
trong đó R lần lượt là mô-đun đàn hồi E, mô-đun trượt G và mật độ khối lượng ρ; chỉ số t và b ký 
hiệu vật liệu lớp trên và lớp dưới; z là tọa độ tính từ mặt giữa của dầm. Giả thiết biến dạng bé, các 
chuyển vị của dầm Timoshenko tại một điểm trên tiết diện có dạng 
 (2) 
trong đó u0(x,t), w0(x,t) là chuyển vị của điểm trên trục trung hòa; h0 là khoảng cách từ trục trung 
hòa đến trục x; q là góc xoay của tiết diện quanh trục y. Cách xác định h0 cũng như xét ảnh hưởng 
của vị trí thực đường trục trung hòa đến dao động của dầm FGM đã được trình bày trong [21]. Ký 
hiệu 
(3) 
và các ma trận, véc-tơ 
hbA ´=
{ } { } { } 1( ) ;
2 2 2
n
b t b
z h hR z R R R z
h
æ ö= + - + - £ £ç ÷
è ø
),(),,(;),()(),(),,( 000 txwtzxwtxhztxutzxu =--= q
( ) ( )( )
( ) ( )( ) .,,1)(,,
;)(;,,1)(,,
2
00221211
33
2
00221211
ò
ò ò
--=
=--=
A
A A
dAhzhzzIII
dAzGAdAhzhzzEAAA
r
h
Hình 1: Dầm FGM có nhiều vết nứt 
b 
h 
x 
z Trục trung hòa Et Gt rt µt 
Eb Gb rb µb 
Hình 1. Dầm FGM có nhiều vết nứt
21
Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Xét dầm có chiều dài L, tiết diện chữ nhật với kích thước A = b × h được chế tạo từ vật liệu FGM
(Hình 1) với hàm đặc trưng vật liệu có dạng lũy thừa [21]
{R(z)} = {Rb} + {Rt − Rb}
(
z
h
+
1
2
)n
;−h
2
≤ z ≤ h
2
(1)
trong đó R lần lượt là mô-đun đàn hồi E, mô-đun trượtG và mật độ khối lượng ρ; chỉ số t và b ký hiệu
vật liệu lớp trên và lớp dưới; z là tọa độ tính từ mặt giữa của dầm. Giả thiết biến dạng bé, các chuyển
vị của dầm Timoshenko tại một điểm trên tiết diện có dạng
u(x, z, t) = u0(x, t) − (z − h0) θ(x, t);w(x, z, t) = w0(x, t) (2)
trong dó u0(x, t),w0(x, t) là chuyển vị của điểm trên trục trung hòa; h0 là khoảng cách từ trục trung
hòa đến trục x; θ là góc xoay của tiết diện quanh trục y. Cách xác định h0 cũng như xét ảnh hưởng của
vị trí thực đường trục trung hòa đến dao động của dầm FGM đã được trình bày trong [21]. Ký hiệu
(A11, A12, A22) =
∫
A
E(z)
(
1, z − h0, (z − h0)2
)
dA; A33 = η
∫
A
G(z)dA
(I11, I12, I22) =
∫
A
ρ(z)
(
1, z − h0, (z − h0)2
)
dA
(3)
và các ma trận, véc-tơ
[A] =
 A11 −A12 0−A12 A22 0
0 0 A33
 ; [Π] =
 0 0 00 0 A33
0 −A33 0
 ; [D] =

ω2I11 −ω2I12 0
−ω2I12 ω2I22 − A33 0
0 0 ω2I11

{z} = {U,Θ,W}T =
∞∫
−∞
{u0(x, t), θ(x, t),w0(x, t)}Te−iωtdt
(4)
Trong miền tần số, phương trình dao động của dầm có dạng [21]
[A]
{
z′′
}
+ [Π]
{
z′
}
+ [D] {z} = {0} (5)
trong đó
{
z′
}
là đạo hàm theo không gian của hàm z. Nghiệm tổng quát của phương trình (5) khi không
có vế phải có thể viết dưới dạng
{z0(x, ω)} = [G(x, ω)]{C} (6)
với {C} = (C1, . . . ,C6)T là các hằng số độc lập và
[G(x, ω)] =

α1ek1x α2ek2x α3ek3x α1e−k1x α2e−k2x α3e−k3x
ek1x ek2x ek3x e−k1x e−k2x e−k3x
β1ek1x β2ek2x β3ek3x −β1e−k1x −β2e−k2x −β3e−k3x
 (7)
Đối với dầm có vết nứt tại tiết diện có tọa độ e, vết nứt được mô hình hóa bằng hai lò xo: lò xo
dọc có độ cứng T và lò xo xoắn có độ cứng R (Hình 2). Điều kiện liên tục tại vị trí vết nứt là [21]
U(e + 0) = U(e − 0) + γ1U′x(e);Θ(e + 0) = Θ(e − 0) + γ2Θ′x(e);W(e + 0) = W(e − 0)
U′x(e + 0) = U′x(e − 0);Θ′x(e + 0) = Θ′x(e − 0);W′x(e + 0) = W′x(e − 0) + γ2Θ′x(e)
(8)
22
Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
 3 
 (4) 
Trong miền tần số, phương trình dao động của dầm có dạng [21] 
 (5) 
Với là đạo hàm theo không gian của hàm z. Nghiệm tổng quát của phương trình (5) khi không 
có vế phải có thể viết dưới dạng 
 (6) 
với là các hằng số độc lập và 
(7) 
Đối với dầm có vết nứt tại tiết diện có tọa độ e, vết nứt được mô hình hóa bằng hai lò xo: lò xo dọc 
có độ cứng T và lò xo xoắn có độ cứng R (hình 2). Điều kiện liên tục tại vị trí vết nứt là [21] 
 (8) 
Các tham số g1, g2 trong (8) là hàm của các tham số vật liệu như mô-đun đàn hồi, chiều cao dầm, hệ 
số nở ngang Poisson,... bao gồm cả trường hợp dầm đồng nhất Et=Eb=E0 hay RE=1 
 (9) 
trong đó 
(10) 
Với , và a là chiều sâu vết nứt. Ký hiệu là nghiệm riêng của (5) 
thỏa mãn các điều kiện ban đầu 
 (11) 
và 
[ ] [ ] [ ]
{ } { } { }
2 2
11 12 11 12
2 2
12 22 33 12 22 33
2
33 33 11
0 0
0 0 0 0 0
0 ; 0 0 ; 0
0 0 0 0 0 0
, , ( , ), ( , ), ( , )
A Π D
z T T i t
A A I I
A A A I I A
A A I
U W u x t x t w x t e dtw
w w
w w
w
q
¥
-
-¥
é ù- -é ù é ù
ê úê ú ê ú= - = = - -ê úê ú ê ú
ê úê ú ê ú-ë û ë û ë û
= Q = ò
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }A z Π z D z 0¢¢ ¢+ + =
{ }z¢
{ } [ ]{ }CGz ),(),(0 ww xx =
{ } TCC ),...,( 61=C
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
---
=
---
---
---
xkxkxkxkxkxk
xkxkxkxkxkxk
xkxkxkxkxkxk
eeeeee
eeeeee
eeeeee
(x
321321
321321
321321
321321
321321
bbbbbb
aaaaaa
w),G
)()0()0(;)0()0(;)0()0(
)0()0(;)()0()0(;)()0()0(
2
21
eeWeWeeeUeU
eWeWeeeeUeUeU
xxxxxxx
xx
Q¢+-¢=+¢-Q¢=+Q¢-¢=+¢
-=+Q¢+-Q=+Q¢+-=+
g
gg
2 2
1 11 1 1 2 22 2 2/ 2 (1 ) (s) ; / 6 (1 ) (s)A T h f A R h fg p n s g p n s= = - = = -
( )
( )( )
2
1 2
2 2 3 4 5
1
6 7 8
2
2
2 3 224( , ) ; ( , ) ;
1 1 1 3(3 ) 2 1
( ) (0.6272 0.17248 5.92134 10.7054 31.5685 67.47
139.123 146.682 92.3552 )
( ) (0.6272 1.04533
E tE E E
E E E
E E b
R n ER n R n R nR n R n R
R n R n n n E
f s s s s s s s
s s s
f s s s
s s a a
+ æ ö+ + +
= = - + =ç ÷+ + + + + +è ø
= - + - + - +
+ - +
= - 2 3 4 5
6 7 8
4.5948 9.9736 20.2948 33.0351
47.1063 40.7556 19.6 )
s s s s
s s s
+ - + - +
+ - +
01 2 h ha = + s a h= { }( , )c x wz
{ } ( ) { } ( )TxcTxxc eeeU )(,0,0)0(;0),(),()0( 221 Q¢=¢Q¢¢= ggg zz
Hình 2: Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình hai lò xo tương đương 
a 
h 
a) 
R 
b) T 
Hình 2. Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình hai lò xo tương đương
Các tham số γ1, γ2 trong (8) là hàm của các tham số vật liệu như mô-đun đàn hồi, chiều cao dầm,
hệ số nở ngang Poisson,... bao gồm cả trường hợp dầm đồng nhất Et = Eb = E0 hay RE = 1
γ1 = A11/T = 2pi
(
1 − v2
)
hσ1 f1(s); γ2 = A22/R = 6pi
(
1 − v2
)
hσ2 f2(s) (9)
trong đó
σ1(RE , n) =
2 (RE + n)
(RE + 1) (1 + n)
; σ2(RE , n) =
24
RE + 1
(
3RE + n
3(3 + n)
− 2RE + n
2 + n
α +
RE + n
1 + n
α2
)
; RE =
Et
Eb
f1(s) = s2(0,6272 − 0,17248s + 5,92134s2 − 10,7054s3 + 31,5685s4 − 67,47s5+
+ 139,123s6 − 146,682s7 + 92,3552s8)
f2(s) = s2(0,6272 − 1,04533s + 4,5948s2 − 9,973 s3 + 20,2948s4 − 33,0351s5+
+ 47,1063s6 − 40,7556s7 + 19,6s8)
(10)
với α = 1/2 + h0/h, s = a/h và a là chiều sâu vết nứt. Ký hiệu {zc(x, ω)} là nghiệm riêng của (5) thỏa
mãn các điều kiện ban đầu
{zc(0)} = (γ1U′x(e), γ2Θ′x(e), 0)T ; {z′c(0)} = (0, 0, γ2Θ′x(e))T (11)
và
{z′0(e)} =
(
U′0(e) Θ
′
0(e) W
′
0(e)
)T
(12)
Ta nhận được [21]
{zc(x)} = [Φ(x)] [Σ]
{
z′0(e)
}
= [Gc(x)]
{
z′0(e)
}
(13)
trong đó [Gc(x)] là ma trận 3×
[Gc(x)] =
 α1 cosh k1x α2 cosh k21x α3 cosh k3xcosh k1x cosh k21x cosh k3x
β1 sinh k1x β2 sinh k2x β3 sinh k3x

 δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23
δ31 δ32 δ33

 γ1 0 00 γ2 0 ... m có 1 vết nứt, vị trí vết
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi lần 
Hình 9: Dầm liên tục có vết nứt
b 
h 
L1=0,7m L2=1,2m L3=0,6m 
a) b) c) 
Hình 6: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ sâu vết nứt 30% và số mũ thay đổi lần lượt là n=0,1; 1; 10.
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ sâu vết nứt 30% và tỷ số Et/Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5. 
a) b) c)
a) b) c) 
Hình 8: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 4 vết nứt phân bố đều trên dầm và độ sâu vết nứt đều thay đổi là 10%, 20%, 30%. 
Hình 7. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 1 vết nứt ở vị
trí 0,2 m, độ sâu vết nứt 30% và tỷ số Et/Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5
10 
3.2. Dầm liên tục nhiều nhịp
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33; 
Et/Eb=2; rb=7850kg/m3; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m, 
h=0,1m (hình 9).
Hình 10 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi lần
Hình 9: Dầm liên tục có vết nứt
b 
h 
L1=0,7m L2=1,2m L3=0,6m 
a) b) c) 
Hình 6: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ sâu vết nứt 30% và số mũ thay đổi lần lượt là n=0,1; 1; 10.
Hình 7: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ sâu vết nứt 30% và tỷ số Et/Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5. 
a) b) c) 
c) a) b) 
M 
có 4 vết nứt phân bố đều trên dầm và độ sâu vết nứt đều thay đổi là 10%, 20%, 30%. Hình 8. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 4 vết nứt phân
bố đều trên dầm và độ sâu vết nứt đều thay đổi là 10%, 20%, 30%
30
Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Ta nhận thấy:
- Biểu đồ hệ số chi tiết của các dạng dao động khác nhau đều có điểm gián đoạn tại vị trí vết nứt.
- Giá trị đỉnh của các biểu đồ tăng lên khi chiều sâu vết nứt tăng lên, nghĩa là vết nứt lớn thì biểu
đồ hệ số chi tiết càng rõ nét.
- Đối với các vết nứt có độ sâu như nhau nhưng tại các vị trí khác nhau thì biên độ đỉnh cũng khác
nhau, biên độ đỉnh lớn ứng với vị trí vết nứt làm thay đổi lớn dạng dao động. Như vậy, biên độ đỉnh
phụ thuộc không những vào vị trí vết nứt mà còn phụ thuộc độ sâu vết nứt.
- Khi tăng số lượng điểm lấy mẫu thì ảnh hưởng của chiều sâu vết nứt đến dạng gián đoạn của
biểu đồ hệ số chi tiết vẫn ổn định, đồng thời giá trị tuyệt đối của biên độ tăng lên đáng kể và vùng xảy
ra sự gián đoạn cũng thu hẹp lại.
- Khi số mũ n càng nhỏ hoặc tỷ số Et/Eb càng lớn thì dầm nhạy cảm hơn với vết nứt, biểu đồ hệ
số chi tiết có bước nhảy lớn.
4.2. Dầm liên tục nhiều nhịp
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et = 70 GPa; ρt = 2780 kg/m3; µt = 0,33;
Et/Eb = 2; ρb = 7850 kg/m3; µb = 0,33 và số mũ đặc trưng vật liệu n = 0,5. Kích thước tiết diện: b =
0,1m, h = 0,1m (Hình 9).
 10 
3.2. Dầm liên tục nhiều nhịp 
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33; 
Et/Eb=2; rb=7850kg/m3; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m, 
h=0,1m (hình 9). 
Hình 10 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết 
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi lần 
lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 11 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của 
dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ hai bên trái (trên nhịp dầm thứ 2), chiều 
sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 12 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng 
dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ ba (trên nhịp dầm 
thứ 3), chiều sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. 
Hình 9: Dầm liên tục có vết nứt 
b 
h 
L1=0,7m L2=1,2m L3=0,6m 
a) b) c) 
Hình 10: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM 
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
Hình 9. Dầ liên tục có vết nứt
Hình 10 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí
vết nứt là x1 = 0,2 m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi
lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 11 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của
dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1 = 0,2 m, tính từ nút thứ hai bên trái (trên nhịp dầm thứ 2), chiều
sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 12 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao
động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1 = 0,2 m, ính từ út thứ ba (trên nhịp dầm thứ
3), chiều sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%.
3.2. Dầm liên tục nhiều nhịp
Xét dầm liên tục FGM với ác tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33; 
Et/Eb=2; rb=7850kg/m3; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m, 
h=0,1m (hình 9).
Hình 10 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi lần 
lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 11 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của
dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ hai bên trái (trên nhịp dầm thứ 2), chiều 
s
â
u 
vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 12 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng 
Hình 9: Dầm liên tục có vết nứt
b 
h 
L1=0,7m L2=1,2m L3=0,6m 
c) a) b) 
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%,
Hình 10. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 vết nứt ở vị
trí 0,2 m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h =10%, 20%, 30%
Ta nhận thấy:
- Tương tự với trường hợp dầm đơn giản, các biểu đồ hệ số chi tiết đều có điểm gián đoạn tại vị
trí vết nứt.
31
Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
 10 
3.2. Dầm liên tục nhiều nhịp 
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33; 
Et/Eb=2; rb=7850kg/m3; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m, 
h=0,1m (hình 9). 
Hình 10 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết 
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi lần 
lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 11 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của 
dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ hai bên trái (trên nhịp dầm thứ 2), chiều 
sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 12 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng 
dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ ba (trên nhịp dầm 
thứ 3), chiều sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. 
Hình 9: Dầm liên tục có vết nứt 
b 
h 
L1=0,7m L2=1,2m L3=0,6m 
a) b) c) 
Hình 10: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM 
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
Hình 11: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 
vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm thứ hai, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
a) b) c) 
Hình 12: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM 
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm thứ ba, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
c) a) b) 
Hình 11. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 vết nứt ở vị
trí 0,2 m trên nhịp dầm thứ hai, độ sâu vết nứt thay đổi a/h = 10%, 20%, 30%
 10 
3.2. Dầm liên tục nhiều nhịp 
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33; 
Et/Eb=2; rb=7850kg/m3; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m, 
h=0,1m (hình 9). 
Hình 10 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết 
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi lần 
lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 11 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của 
dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ hai bên trái (trên nhịp dầm thứ 2), chiều 
sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 12 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng 
dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ ba (trên nhịp dầm 
thứ 3), chiều sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. 
Hình 9: Dầm liên tục có vết nứt 
b 
h 
L1=0,7m L2=1,2m L3=0,6m 
a) b) c) 
Hình 10: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM 
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
Hình 11: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 
vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm thứ hai, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
a) b) c) 
Hình 12: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM 
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm thứ ba, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30% 
c) a) b) 
Hình 12. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 vết nứt ở vị
trí 0,2 m trên nhịp dầm thứ ba, độ sâu vết nứt thay đổi a/h = 10%, 20%, 30%
- Giá trị đỉnh của các biểu đồ tăng lên khi chiều sâu vết nứt tăng lên, nghĩa là vết nứt lớn thì biểu
đồ hệ số chi tiết càng rõ nét.
- Đối với các vết nứt có độ sâu như nhau nhưng tại các vị trí khác nhau, trên các nhịp dầm khác
nhau thì biên độ đỉnh cũng khác nhau, biên độ đỉnh lớn ứng với vị trí vết nứt làm thay đổi lớn dạng
dao động. Như vậy, biên độ đỉnh phụ thuộc không những vào vị trí vết nứt mà còn phụ thuộc độ sâu
vế nứt.
5. Kết luận
Trong bài báo này, các tác giả đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc xác định vết nứt
trong dầm FGM (dầm đơn giản, dầm liên tục nhiều nhịp) có nhiều vết nứt dựa trên phân tích SWT
đối với các dạng dao động riêng có kể đến ảnh ưởng của nhiễu trắng Gausian. Tần số và các dạng
dao động riêng được xác định từ mô hình phần tử thanh đàn hồi chịu kéo, nén và uốn có nhiều vết nứt
theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực. Kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp
này có tính khả thi, hiệu quả và có thể áp dụng vào thực tế.
Lời cảm ơn
Tác giả chân thành cảm ơn sự hỗ trợ tài chính của Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia
(NAFOSTED) cho đề tài mã số 107.02-2017.301.
32
Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tài liệu tham khảo
[1] Ke, L. L., Yang, J., Kitipornchai, S., Xiang, Y. (2009). Flexural vibration and elastic buckling of a
cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials. Mechanics of Advanced Materials and
Structures, 16(6):488–502.
[2] Yang, J., Chen, Y., Xiang, Y., Jia, X. L. (2008). Free and forced vibration of cracked inhomogeneous
beams under an axial force and a moving load. Journal of Sound and Vibration, 312(1-2):166–181.
[3] Aydin, K. (2013). Free vibration of functionally graded beams with arbitrary number of surface cracks.
European Journal of Mechanics-A/Solids, 42:112–124.
[4] Yang, J., Chen, Y. (2008). Free vibration and buckling analyses of functionally graded beams with edge
cracks. Composite Structures, 83(1):48–60.
[5] Wei, D., Liu, Y., Xiang, Z. (2012). An analytical method for free vibration analysis of functionally graded
beams with edge cracks. Journal of Sound and Vibration, 331(7):1686–1700.
[6] Sherafatnia, K., Farrahi, G., Faghidian, S. A. (2013). Analytic approach to free vibration and buckling
analysis of functionally graded beams with edge cracks using four engineering beam theories. Interna-
tional Journal of Engineering-Transactions C: Aspects, 27(6):979–990.
[7] Kitipornchai, S., Ke, L. L., Yang, J., Xiang, Y. (2009). Nonlinear vibration of edge cracked functionally
graded Timoshenko beams. Journal of Sound and Vibration, 324(3-5):962–982.
[8] Yu, Z., Chu, F. (2009). Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version
of finite element method. Journal of Sound and Vibration, 325(1-2):69–84.
[9] Akbas¸, S¸. D. (2013). Free vibration characteristics of edge cracked functionally graded beams by using
finite element method. International Journal of Engineering Trends and Technology, 4(10):4590–4597.
[10] Banerjee, A., Panigrahi, B., Pohit, G. (2016). Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam
under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA. Nondestructive
Testing and Evaluation, 31(2):142–164.
[11] Su, H., Banerjee, J. (2015). Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally
graded Timoshenko beams. Computers & Structures, 147:107–116.
[12] Lien, T. V., Duc, N. T., Khiem, N. T. (2017). Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded
beam-like structures by using dynamic stiffness method. Vietnam Journal of Mechanics, 39(3):215–228.
[13] Lien, T. V., Duc, N. T., Khiem, N. T. (2017). Free vibration analysis of multiple cracked functionally
graded Timoshenko beams. Latin American Journal of Solids and Structures, 14(9):1752–1766.
[14] Khiem, N. T., Lien, T. V. (2002). The dynamic stiffness matrix method in forced vibration analysis of
multiple-cracked beam. Journal of Sound and Vibration, 254(3):541–555.
[15] Sohn, H., Farrar, C. R., Hemez, F., Czarnecki, J. (2003). A review of structural health monitoring litera-
ture: 1996–2001. Los Alamos National Laboratory, USA.
[16] Liew, K. M., Wang, Q. (1998). Application of wavelet theory for crack identification in structures. Journal
of Engineering Mechanics, 124(2):152–157.
[17] Wang, Q., Deng, X. (1999). Damage detection with spatial wavelets. International Journal of Solids and
Structures, 36(23):3443–3468.
[18] Chang, C. C., Chen, L. W. (2005). Detection of the location and size of cracks in the multiple cracked
beam by spatial wavelet based approach. Mechanical Systems and Signal Processing, 19(1):139–155.
[19] Zhong, S., Oyadiji, S. O. (2007). Crack detection in simply supported beams without baseline modal
parameters by stationary wavelet transform. Mechanical Systems and Signal Processing, 21(4):1853–
1884.
[20] Khiem, N. T., Huyen, N. N. (2017). A method for crack identification in functionally graded Timoshenko
beam. Nondestructive Testing and Evaluation, 32(3):319–341.
[21] Liên, T. V., Khiêm, N. T. (2017). Phương pháp độ cứng động lực trong phân tích và chẩn đoán kết cấu.
Nhà xuất bản Xây dựng.
33