Bài giảng Cơ học công trình - Chương 3: Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm - Trần Minh Tú

CƠ HỌC CÔNG TRÌNH
TRẦN MINH TÚ – KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP 
ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Chương 3
THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Chương 3. Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
NỘI DUNG
3.1. Định nghĩa - nội lực
3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3.3. Biến dạng - Hệ số Poisson 
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
3.5. Ứng suất cho phép và hệ số an toàn – Điều
kiện bền
3.6. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.1. Định nghĩa
Định nghĩa: Thanh được gọi là chịu kéo hoặc nén
đúng tâm nếu trên mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại một
thành phần ứng lực là Nz (Nz>0 – đi ra khỏi mặt cắt
ngang)
bar pin
hanger
cable
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.1. Định nghĩa
Biểu đồ lực dọc:
Dùng phương pháp mặt cắt, xét cân bằng một
phần thanh, lực dọc trên đoạn thanh đang xét
xác định từ phương trình cân bằng
0 ...zZ N 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3.2.1. Thí nghiệm
 Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đường thẳng // trục thanh
thớ dọc
- Hệ những đường thẳng ┴ trục thanh
mặt cắt ngang
3.2.2. Quan sát
- Những đường thẳng // trục thanh
=> vẫn // trục thanh, k/c hai đường
kề nhau không đổi
- Những đường thẳng ┴ trục thanh
=> vẫn ┴ , k/c hai đường kề nhau thay đổi
Giả thiết biến
dạng
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3.2.3. Các giả thiết về biến dạng
GT 1- Giả thiết mặt cắt ngang phẳng
(Bernouli)
Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng
và vuông góc với trục thanh, sau biến
dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục
GT 2 - Giả thiết về các thớ dọc
Các lớp vật liệu dọc trục không có tác
dụng tương hỗ với nhau (không chèn
ép, xô đẩy lẫn nhau)
• Ứng xử vật liệu tuân theo định luật Hooke (ứng suất tỉ lệ
thuận với biến dạng)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3.2.4. Công thức xác định ứng suất
• Giả thiết 1 => t 0
• Giả thiết 2 => sx = sy =0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp sz
 Theo định nghĩa - Lực dọc trên mặt cắt ngang: 
Theo định luật Hooke: 
Mà theo gt1: ez = const => sz = const 
z zEs e 
( )
z z
A
N dAs 
 z zN As 
z
z
N
A
s 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3.2.5. Ứng suất trên mặt cắt
nghiêng
 Cắt thanh chịu lực bởi mặt cắt
nghiêng với trục thanh góc q.
Trên mặt cắt nghiêng có ứng
suất pháp s và ứng suất tiếp t.
 Xét sự cân bằng của phân tố
ABC, viết tổng hình chiếu các
lực tác dụng lên hai phương
của ứng suất pháp và ứng suất
tiếp, ta nhận được:
P
P
s
t
A
B C
q
sz
2
zcoss s q 
1
sin 2
2
zt s q 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
 Thanh chiều dài L chịu kéo
đúng tâm
DL - độ dãn dài tuyệt đối
 Phân tố chiều dài dz có độ
dãn dài tuyệt đối Ddz (biến
dạng dọc)
 Biến dạng dài tỉ đối
zN c
A
 onst
E
 z
N L
L
EA
D 
d
z
D
d
z
z
dz
dz
e
D
 zdz dzeD 
0 0
s
eD 
L L
z
z
dz
L dz
E
0
D 
L
zN dzL
EA
EA -
độ cứng
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
 Thanh gồm nhiều đoạn chiều dài, độ cứng và lực dọc 
trên mỗi đoạn thứ i là Li, (EA)i, Nzi
zi
i
N
EA
 const 
z1 1 z2 2 z3 3
1 2 3
N L N L N L
L ...
EA EA EA
D 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
HỆ SỐ POISSON
 Theo phương z trục thanh – biến
dạng dọc ez
 Theo hai phương x, y vuông góc
với z – biến dạng ngang ex, ey
 Poisson tìm được mối liên hệ:
x y ze e e 
 - hệ số Poisson
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Hệ số Poisson
Vật liệu Hệ số Vật liệu Hệ số
Thép 0,25-0,33 Đồng đen 0,32-0,35
Gang 0,23-0,27 Đá hộc 0,16-0,34
Nhôm 0,32-0,36 Bê tông 0.08-0,18
Đồng 0,31-0,34 Cao su 0,47
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 3.1 (1)
b a
B
A2
F2
F1
A1
C D
Cho thanh có tiết diện thay đổi chịu tải
trọng dọc trục như hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ lực dọc.
2. Xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất
3. Xác định chuyển vị theo phương dọc
trục của trọng tâm tiết diện D.
Biết F1=10kN; F2=25kN; A1=5cm
2; A2=8cm
2
a=b=1m; E=2.104kN/cm2
Bài giải
1. Dùng PP mặt cắt viết biểu thức lực dọc
trên mỗi đoạn thanh
z1
F1
DNCD
1 10CDN F kN 
a
F2
F1
C D
z2
NBC
1 2 15BCN F F kN 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
b a
B
A2
F2
F1
A1
C D
10
N
kN
15
Biểu đồ lực dọc:
2. Xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất
2
1
10
2( / )
5
CD
CD
N
kN cm
A
s 
2
2
15
1,875( / )
8
BC
BC
N
kN cm
A
s 
22( / )
max
kN cms 
3. Chuyển vị của điểm D
2 1
. .BC CD
D BD BC CD
N b N a
w L l l
EA EA
 D D D 
2 2
2
4
1 15.10 10.10
0,0625.10 ( )
2.10 8 5
Dw cm
Ví dụ 3.1 (2)
=> Chuyển dời sang phải
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đặc trưng cơ học của vật liệu:
 Là các thông số đánh giá khả năng chịu lực, chịu biến
dạng của vật liệu trong từng trường hợp chịu lực cụ
thể
Để xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu:
tiến hành các thí nghiệm với các loại vật liệu
khác nhau
Vật liệu
Vật liệu dẻo
Vật liệu giòn
Phá hủy khi biến dạng lớn
Phá hủy khi biến dạng bé
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Mục tiêu làm thí nghiệm:
 Xác định khả năng chịu lực
 Xác định khả năng chịu biến dạng
 Xác định các “tính chất vật liệu”
Đặc trưng cơ học (g.h tỉ lệ, g.h chảy, g.h bền)
Độ cứng, độ mềm, 
Độ bền uốn, độ bền phá hủy,..
Nhiệt độ, độ ẩm,
 Đồ thị ứng suất – biến dạng: không phụ thuộc vào
kích thước mẫu thí nghiệm => Xác định cơ tính của
vật liệu
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Các loại máy thí nghiệm.
 Điện - Cơ.
 Thủy lực.
 Một chiều.
 Nhiều chiều
Đo biến dạng và chuyển vị
 Khung trượt lực
 Cảm biến chuyển vị
(Extensometer)
 Cảm biến điện trở (single, 
rosette, array, ) 
 Cảm biến quang học (Optical 
extensometers)
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Thí nghiệm kéo – nén
Mẫu thí nghiệm: hình dạng, kích thước qui định
theo tiêu chuẩn (TCVN, ISO, ASTM,)
Qui trình thí nghiệm tiến hành theo tiêu chuẩn qui
định.
Ghi lại quan hệ lực kéo (nén) và biến dạng dài
tương ứng
Suy ra đồ thị quan hệ ứng suất pháp – biến dạng
dài tỉ đối
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Thí nghiệm kéo – nén (*)
Máy đa năng
Mẫu kéo
Mẫu nén
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
MẪU 
THÍ
NGHIỆM 
VÀ 
MÁY
KÉO -
NÉN
ĐÚNG
TÂM
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
3.4.1. Thí nghiệm kéo mẫu vật liệu dẻo
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đồ thị kéo mẫu vật liệu dẻo
qui ước (A0 không đổi)
thực (A0 thay đổi)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đồ thị chia 3 giai đoạn
1. Giai đoạn tỉ lệ: ứng suất tỉ lệ bậc nhất với biến dạng dài tỉ đối
 Ứng suất lớn nhất - giới
hạn tỉ lệ stl
 Giới hạn chảy sch –
giá trị ứng suất lớn nhất
2. Giai đoạn chảy: ứng suất
không tăng nhưng biến dạng
tăng
3. Giai đoạn củng cố: quan
hệ ứng suất - biến dạng là
phi tuyến (CDE)
 Giới hạn bền sb –
giá trị ứng suất lớn nhất
stl, sch, sb - đặc trưng cơ học
của vật liệu
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
stl, sch, sb - đặc trưng về tính bền của vật liệu. 
Đặc trưng cho tính dẻo:
Biến dạng dài tỷ đối sau đứt
Độ thắt tỷ đối sau đứt
1 0
0
100%
L L
L
e
1 0
0
A
100%
A
A

L1 - Chiều dài mẫu sau khi đứt
L0 - Chiều dài mẫu trước khi đứt
A1 - Diện tích chỗ thắt khi đứt
A0 - Diện tích tiết diện trước khi đứt
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
3.4.2. Thí nghiệm nén mẫu vật liệu dẻo
s
eO
Nén
F
F
Kéo
sch
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
3.4.3. Thí nghiệm kéo - nén mẫu vật liệu giòn
- Không xác định được giới hạn tỉ lệ
và giới hạn chảy, chỉ xác định được
giới hạn bền
s
e
Nén
Kéo
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
KẾT LUẬN
Vật liệu dẻo: khả năng chịu kéo và nén như
nhau
Vật liệu giòn: Khả năng chịu nén lớn hơn nhiều
so với khả năng chịu kéo
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.5. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
 Thí nghiệm => ứng suất nguy hiểm s0 – tương ứng với
thời điểm vật liệu mất khả năng chịu lực
s0
sch – vật liệu dẻo
sb – vật liệu giòn
- Khi tính toán, không bao giờ tính theo ứng suất nguy hiểm: vật liệu
không đồng nhất, điều kiện làm việc thực tế khác với PTN, tải trọng
vượt quá thiết kế,=> Hệ số an toàn
s0
Nguy hiểm
- Vật liệu làm việc an toàn khi ứng suất xuất hiện chưa vượt quá ứng
suất nguy hiểm: s < s0
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.5. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
Dùng trị số ứng suất cho phép để tính toán:
n - hệ số an toàn - đặc trưng cho khả năng dự trữ
về mặt chịu lực (n>1)
n = n1.n2.n3
• n1- hệ số kể đến sự đồng nhất của vật liệu
• n2 - hệ số kể đến điều kiện làm việc, phương pháp
tính toán,
• Các hệ số lấy theo qui phạm
  0
n
s
s 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.5. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
Điều kiện để thanh làm việc an toàn => Điều
kiện bền
• Vật liệu dẻo:
• Vật liệu giòn:
• Kéo (nén) đúng tâm
    chzmax z minmax ,
n
s
s s s
 
k
b
zmax k n
s
s s  
n
b
z min n n
s
s s 
 zz
N
A
s s 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.5. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
Ba bài toán cơ bản
a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền
b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang
c. Bài toán tìm giá trị cho phép của tải trọng
 z 0
N
A n
s
s s 
 .zN As 
 
zN
A
s
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
• Hệ siêu tĩnh: là hệ mà ta không thể xác định
được hết các phản lực liên kết và nội lực trong
hệ nếu chỉ nhờ vào các phương trình cân bằng
tĩnh học
• Số ẩn số > số phương trình cân bằng
=> viết thêm phương trình bổ sung – phương
trình biến dạng
• Ví dụ
3.6. Bài toán siêu tĩnh
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 3.6. Bài toán siêu tĩnh
D
2A
B C
A
a 3a
P
RB RD
Cho thanh tiết diện thay đổi chịu tải trọng
như hình vẽ. Vẽ biểu đồ lực dọc.
Bài giải
1. Giả sử phản lực tại ngàm B và D có
phương, chiều như hình vẽ. 
- Pt cân bằng: 
B DR R P (1) Bài toán siêu tĩnh
0BD BC CDL L LD D D (2)
Điều kiện biến dạng:
3
0
2
BC CD
BD
N a N a
L
EA EA
D (3)
NBC
C
P RD
D
CD DN R BC DN R P 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
RB
D
2A
B C
A
a 3a
P
RD
 .3
0
2
D D
R P a R a
EA EA
 2 3 0D DR P R 
2
5
DR P 
2
5
CDN P 
3
5
BCN P 
2
5
P
3
5
P
N
Ví dụ 3.6. Bài toán siêu tĩnh
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.7. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
 Ổn định là khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng (hình
dạng hình học) ban đầu của kết cấu
P
- Thanh thẳng, dài, mảnh, một đầu
ngàm, một đầu chịu nén đúng tâm bởi
lực P
- Nguyên nhân làm thanh bị cong=>
Mô hình hoá bởi lực ngang R
R
P
R
Trạng
thái tới
hạn
Pth
Trạng
thái cân
bằng
ổn định
Trạng
thái c.b
không ổn
định
- Thanh thẳng, chịu nén đúng tâm:
Thanh ở trạng thái cân bằng ổn định
- Thanh cong: Thanh ở trạng thái cân
bằng không ổn định
- Tồn tại trạng thái trung gian : trạng
thái tới hạn. Tải trọng tương ứng gọi là
tải trọng tới hạn Pth
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
P
Trạng thái
mất ổn
định
R
- Khi P>Pth: hệ mất ổn định, xuất hiện mô
men uốn do lực dọc gây nên => biến
dạng hệ tăng nhanh => Hệ bị sụp đổ
- Thiết kế theo điều kiện ổn định:
th
od
P
P
k
kôđ - hệ số an toàn về ổn định
- Xác định Pth ???
3.6. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.6. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
3.6. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
z
y
- Thanh thẳng, hai đầu liên kết khớp chịu nén đúng tâm
=> Xác định lực tới hạn
- Bài toán do Leonard Euler giải năm 1774
 LỰC TỚI HẠN EULER
3.6. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
- thanh mất ổn địnhthP P 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
 Liên kết hai đầu khác
nhau => hệ số ảnh hưởng
liên kết 
2
min
2th
EI
P
L

 = 1
 = 0,5  = 0,7
 = 2
Công thức Euler
khớp - khớp
ngàm – ngàm trượt
ngàm – tự do
ngàm – khớp
3.6. Ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
Thiết kế theo điều kiện ổn định:
ôd
thPP
k
 kôđ – hệ số an toàn về ổn định
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Câu hỏi ???
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com