Bài giảng Cơ học công trình - Chương 4: Thanh chịu xoắn thuần túy và chịu uốn phẳng - Trần Minh Tú

CƠ HỌC CÔNG TRÌNH
TRẦN MINH TÚ – KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP 
ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Chương 4
THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY 
VÀ CHỊU UỐN PHẲNG
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1. THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1. Thanh chịu xoắn thuần túy
4.1.1. Khái niệm chung
4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
4.1.4. Điều kiện bền
4.1.5. Điều kiện cứng
NỘI DUNG
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ thanh chịu xoắn
y
x
z
F
A
B C
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ thanh chịu xoắn
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.1. Khái niệm chung (1)
1. Định nghĩa
Thanh chịu xoắn thuần túy
là thanh mà trên các mặt cắt
ngang của nó chỉ có một
thành phần nội lực là mô
men xoắn Mz nằm trong mặt
phẳng vuông góc với trục
thanh.
Ví dụ: Các trục truyền động, các
thanh trong kết cấu không gian,
Ngoại lực gây xoắn: mô
men tập trung, mô men
phân bố, ngẫu lực trong
mặt cắt ngang
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.1. Khái niệm chung (2)
 Xác định mô men xoắn nội
lực trên mặt cắt ngang –
PHƢƠNG PHÁP MẶT CẮT
 Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt
ngang, nếu Mz có chiều thuận
chiều kim đồng hồ thì nó mang
dấu dƣơng và ngƣợc lại.
 Mz nội lực trên mặt cắt ngang
bằng tổng mô men quay đối với
trục thanh của những ngoại lực
ở về một bên mặt cắt
zM
> 0
0zM  Mz =
2. Biểu đồ mô men xoắn nội lực
y
z
x
z
y
x
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (1)
1. Thí nghiệm
Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đƣờng thẳng //
trục thanh
- Hệ những đƣờng tròn
vuông góc với trục thanh
- Các bán kính
QUAN SÁT
- Các đƣờng // trục thanh
=> nghiêng đều góc g so
với phƣơng ban đầu
- Các đƣờng tròn vuông
góc với trục thanh =>
vuông góc, khoảng cách 2
đƣờng tròn kề nhau không
đổi
- Các bk trên bề mặt thanh
vẫn thẳng và có độ dài
không đổi
g
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (2)
GIẢ THIẾT
Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang
trƣớc biến dạng là phẳng và vuông góc với trục
thanh thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông
góc với trục. Khoảng cách giữa 2 mặt cắt ngang
là không đổi.
Gt2 – Gt về các bán kính: Các bán kính trƣớc và
sau biến dạng vẫn thẳng và có độ dài không đổi.
Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (3)
2. Công thức tính ứng suất
 Từ gt1 => ez=0 =>z=0
 Từ gt2 => ex=ey=0 => x=y=0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng
suất tiếp
 Ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc
với bán kính, chiều cùng chiều mô
men xoắn nội lực
z
p
M
I
  
zM
max

K
O
 – toạ độ điểm tính ứng suất
Mz – mô men xoắn nội lực
Ip – mô men quán tính độc cực
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (4)
 Biến thiên của ứng suất tiếp theo
khoảng cách là bậc nhất => Biểu
đồ ứng suất tiếp
 Những điểm nằm trên cùng đƣờng
tròn thì có ứng suất tiếp nhƣ nhau.
 Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi
mặt cắt ngang
 Wp =Ip/R là mô men chống xoắn của
mặt cắt ngang
ax .
W
z z
m
p p
M M
R
I
 
4
3W / / 2 0,2
32
p
D
D D
 3 4W 0,2 1p D  
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
• Trƣớc biến dạng : ab//Oz;
• Chịu xoắn: ab => ac
j - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt
cắt ngang cách nhau chiều dài L
g - góc trƣợt (biến dạng góc)
• Góc xoắn (góc xoay) tương đối
giữa hai mặt cắt ngang A và B
L
g
j
A B
O
a b
c
 
0
A L
z z
AB
p pB
M dz M dz
rad
GI GI
j 
 G – mô-đun đàn hồi khi trƣợt của vật liệu
 GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
 Khi trên đoạn AB chiều dài L có
z
AB
p
M L
GI
j 
 Khi đoạn AB gồm n đoạn, trên mỗi đoạn
thứ i có chiều dài li : 
constz
p i
M
GI
 1
n
z
AB i
i p i
M
l
GI
j

z
p
M
const
GI
 [ / ]z
p
Md
rad m
dz GI
j
 
 Góc xoắn tỉ đối: góc xoắn giữa hai mặt cắt cách nhau 1 đ.v chiều dài
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Bài tập - Ví dụ 4.1
 Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay đổi chịu
tác dụng của mô men xoắn ngoại lực nhƣ hình vẽ
1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất
3. Tính góc xoắn của mặt cắt ngang D
Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2
2a
B
a
C D
D
M 3M
2
D
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Bài tập - Ví dụ 4.1
1. Biểu đồ mô men xoắn
Đoạn CD 
Đoạn BC
2a
B
a
C D
D
M 3M
2
D
D
3MM
CD
z
z1
C D
D
M 3M
z2 a
M
BC
z
Mz
kNm
15
10
 10 z a
3 15CDzM M kNm 
2 10BCzM M kNm 
 20 2 z a
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.1
2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất
3. Góc xoắn tại D
2
max 7,5( / )kN cm 
2a
B
a
C D
D
M 3M
2
D
Mz
kNm
15
10
2
max 2
3 3
15 10
7,5( / )
0,2 0,2 10CD
CD
zM kN cm
D

2
max 2
3 3
10 10
0,625( / )
0,2 200,2 2
BC
BC
zM kN cm
D

D BC CD j j j
2CD BCz z
D CD BC
p p
M a M a
GI GI
 j
2 2 2 2
3 4 3 4
15 10 10 10 10 2 10
0,02( )
8 10 0,1 10 8 10 0,1 20
D rad
j
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.4. Điều kiện bền
1. Điều kiện bền
2. Ba bài toán cơ bản: 
a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền
b) Bài toán 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang
c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác
dụng
  0
n

 - 0 xác định từ thực nghiệm
 ax
pW
z
m
M
  
   
3
3
pW 0,2
0,2
z zM Md d
 
 pW .zM  
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.1.5. Bài toán siêu tĩnh
Bài toán siêu tĩnh
 Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phƣơng trình cân
bằng tĩnh học thì ta không thể xác định hết các phản
lực, cũng nhƣ các thành phần nội lực trong thanh.
 Phƣơng pháp giải: Viết thêm phƣơng trình bổ sung –
phƣơng trình biểu diễn điều kiện biến dạng
 Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực
A
M
B2
d d
a 2a
D
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.2
• Giả sử phản lực tại ngàm
MA, MD có chiều như hình vẽ.
• Ta có: MA + MD = M (1)
• Điều kiện biến dạng
jAD = 0 (2)
d
a 2a
D
M MA D
A
M
B2
d
D
M DM
z
z
CD
2AB BDz z
AD AB BD AB BD
p p
M a M a
GI GI
 j j j
BD
z DM M 
AB
z DM M M 
4 4
2
0
0,10,1 2
D D
AD
M M a M a
G dG d
j
1 32
; 
33 33
D AM M M M 
Mz
M/33
32M/33
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm Xoắn thuần túy
Nội lực Nz Mz
Ứng suất
Phân bố
ứng suất 
z
z
N
A
 z
p
M
I
 
z const 
max
z
p
M
W
 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm Xoắn thuần túy
Định luật
Hooke
Biến dạng
Biến dạng
z zE e G g 
0
L
z zN dz N LL
EA EA
0
L
z z
p p
M dz M L
GI GI
j
 1 1
n n
zi i
i
i i i
N L
L L
EA 
  
 1 1
n n
zi i
i
i i p i
M L
GI
j j
  
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2. THANH CHỊU UỐN PHẲNG
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2. Thanh chịu uốn phẳng
NỘI DUNG
4.2.1. Khái niệm chung
4.2.2. Uốn thuần túy thanh thẳng
4.2.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.1. Khái niệm chung (1)
 Thanh chịu uốn: khi có tác dụng của ngoại lực trục thanh
thay đổi độ cong
 Dầm: thanh chịu uốn
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.1. Khái niệm chung (2)
 Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục đối
xứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn,); mặt phẳng tải trọng trùng mặt
phẳng đối xứng của dầm => Uốn phẳng
 Mặt phẳng tải trọng: mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh
 Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng chứa trục thanh và 1
trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.1. Khái niệm chung (3)
 Phân loại uốn phẳng
 Uốn thuần túy phẳng
 Uốn ngang phẳng
 Ví dụ: thanh chịu uốn phẳng
 Trên đoạn BC: Mx≠0, Qy=0
 => Uốn thuần túy phẳng
 Trên đoạn AB,CD: Mx≠0,
Qy≠0
=> Uốn ngang phẳng
 F
F
FaFa
M x
Q y
F F
z
V VA D= F
= F
a b a
B C DA
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (1)
Uốn thuần túy phẳng
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (2)
1. Định nghĩa: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên
các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng
lực là mômen uốn Mx nằm trong mặt phẳng quán tính
chính trung tâm.
Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục
thanh và vuông góc với trục thanh
2. Các giả thiết về biến dạng của thanh
a. Thí nghiệm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (3)
Vạch trên bề mặt ngoài của thanh
• Hệ những đƣờng thẳng // trục thanh =>
thớ dọc
• Hệ những đƣờng thẳng vuông góc với
trục thanh => mặt cắt ngang
Cho thanh chịu uốn thuần túy phẳng
QUAN SÁT
• Các đƣờng thẳng // trục thanh =>
đƣờng cong // trục, khoảng cách giữa
các đƣờng cong kề nhau không đổi
• Các đƣờng thẳng vuông góc với trục
thanh => vẫn thẳng và vuông góc với
trục thanh
• Các thớ phía trên bị co (chịu nén), các
thớ dƣới bị dãn (chịu kéo)
thớ dọcmặt cắt ngang
M M
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Biến dạng của thanh chịu uốn
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Kéo
Nén
Biến dạng của thanh chịu uốn
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (4)
GIẢ THIẾT
a. Giả thiết mặt cắt ngang phẳng:
mặt cắt ngang trƣớc biến dạng là
phẳng và vuông góc với trục
thanh thì sau biến dạng vẫn
phẳng và vuông góc với trục
b. Giả thiết về các thớ dọc: trong
quá trình biến dạng các lớp vật
liệu dọc trục không có tác dụng
tƣơng hỗ với nhau
Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi
Tồn tại lớp trung hoà: gồm các thớ
dọc không bị dãn cũng không bị
co.
Đƣờng trung hòa: Giao tuyến của
lớp trung hoà với mặt cắt ngang
M M
Lớp trung hoà
Đƣờng
trung hoà
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (5)
3. Ứng suất trên mặt cắt ngang
a. Biến dạng dài của thớ dọc
có khoảng cách y đến thớ
trung hoà
Xét vi phân chiều dài của thớ
dọc dz = cd. Sau biến dạng cd
có độ dài là c’d’.
Biến dạng dài tỉ đối:
thớ trung hoà
c d
a b
c d
dj
dz
1 2
1 2
1 2
1 2
y
y
a b
 ' '
z
y d ddz c d cd y
dz cd d
 j j
e
 j 
 z
y
 e
 bán kính cong của thớ trung hoà
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (6)
b. Quan hệ ứng suất - biến dạng
Từ gt 1: góc vuông không thay đổi
=>  = 0
Từ gt 2: x = y= 0
=> Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại
duy nhất ứng suất pháp z
Theo định luật Hooke
y
z
x
dA 
x
y
z
K
z zE  e z
y
E 
1
???? 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (7)
c. Công thức tính ứng suất pháp
Tải trọng gây uốn nằm trong mặt
phẳng yOz và vuông góc với trục
thanh nên: Nz=My=0 và Mx≠0. Ta
có:
y
z
x
dA 
x
y
z
K
Mx
0z z
A A
E
N dA ydA  
0x
A
ydA S 
Đƣờng trung hoà đi qua trọng tâm
của mặt cắt ngang
0y z
A A
E
M x dA xydA  
0xy
A
xydA I 
Hệ trục Oxy là hệ trục
quán tính chính trung tâm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (8)
Mx>0: căng thớ dƣới
Mx<0: căng thớ trên
=> Để thuận tiện ta thƣờng dùng công
thức tính toán
y
z
x
dA 
x
y
z
K
Mx
2
x z x
A A
E E
M y dA y dA I  
1 x
x
M
EI
EIx – độ cứng của dầm chịu uốn
Mx – mô men uốn nội lực
 – bán kính cong của thớ trung hoà
z
y
E 
x
z
x
M
y
I
 
Thay biểu thức của bán kính cong 
vào biểu thức xác định ứng suất pháp
y – tung độ điểm cần tính ứng suất
x
z
x
M
y
I
 
thuộc vùng kéo
thuộc vùng nén
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (9)
d. Biểu đồ ứng suất pháp
 Các điểm càng xa ĐTH thì trị tuyệt đối ứng suất pháp
càng lớn
 Các điểm nằm trên ĐTH thì có z=0
 Các điểm nằm trên đƣờng thẳng // ĐTH thì có z=const
=> Biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp theo chiều
cao mặt cắt ngang
 Biểu đồ ứng suất pháp là đƣờng thẳng đi qua gốc toạ độ
=> để vẽ đƣợc biểu đồ chỉ cần tính ứng suất pháp tại
điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang
 Đánh dấu (+) để biểu diễn phần ứng suất kéo và dấu (-)
biểu diễn phần ứng suất nén
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (10)
 Mặt cắt ngang có hai trục đối
xứng
max
2
x x
x x
M Mh
I W
 
min
2
x x
x x
M Mh
I W
 
/ 2
x
x
I
W
h
 - mô men chống uốn của mặt cắt ngang
x
y
min
max
h/2
h/2
2
6
x
bh
W 
3
30,1
/ 2 32
x
x
I D
W D
D
  Hình chữ nhật:  Hình tròn:
 Hình vành khăn: 
3
4 3 41 0,1 1
/ 2 32
x
x
I D
W D
D
  
d
D
 với
z
Mx
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (11)
 Mặt cắt ngang có 1 trục
đối xứng
x
y
t
h
b min
max
ynmax
ykmax
max max
x xk
k
x x
M M
y
I W
 
min max
x xn
n
x x
M M
y
I W
 
max
k x
x k
I
W
y
max
n x
x n
I
W
y
ykmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo
ynmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén
z
Mx
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.2. Uốn thuần túy phẳng (12)
4. Điều kiện bền
Dầm làm bằng vật liệu dẻo
Dầm bằng vật liệu giòn
Ba bài toán cơ bản
 Kiểm tra điều kiện bền: 
 Xác định kích thƣớc của mặt cắt ngang: 
 Xác định tải trọng cho phép:
   max minmax ,   
   max min ; k n    
 max
x
x
M
W
  
 
x
x
M
W 

 x xM W 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (1)
1. Định nghĩa
Thanh gọi là chịu uốn ngang
phẳng nếu trên các mặt cắt
ngang của nó đồng thời có cặp
ứng lực là mômen uốn Mx, lực
cắt Qy nằm trong mặt phẳng
quán tính chính trung tâm.
Giả thiết mặt cắt ngang phẳng
không còn đúng
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Biến dạng thanh chịu uốn ngang phẳng
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (2)
Hai thành phần ứng lực
Mx => ứng suất pháp
Qy => ứng suất tiếp
Ứng suất pháp
Trong đó
 Mx là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang
 Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục
quán tính chính trung tâm Ox
 y là tung độ của điểm tính ứng suất
Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dưới và Mx < 0 khi làm
căng thớ trên.
 x
z
x
M
y
I
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (3)
2. Ứng suất tiếp:
Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b<<h.
Ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zuravxki:
 Có phƣơng // với phƣơng lực cắt Qy, cùng chiều lực
cắt Qy
 Phân bố đều trên chiều rộng tiết diện
 Ký hiệu zy
 Công thức Zuravxki ???
y
z
x
zy
Qy
y
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (4)
Công thức Zuravxki
 
c
y x
zy
x c
Q S
I b
h
b=b
y
§THx
y
Ac
c
Qy là lực cắt theo phƣơng y tại mặt cắt ngang.
Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x.
bc chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất
là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều
rộng tiết diện tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của tiết
diện).
là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt
c
xS
CA
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (5)
 Ứng suất tiếp trên mặt cắt
ngang chữ nhật
x
y
h
b=
y
b
c
max
AC
2
21
2 2 2 2 4
c
x
h h b h
S y y b y
2 2
2 2
3 3
12 6
.
. 2 4 4
y y
zy
Q Qb h h
y y
bh b bh

 0
2
zy
h
y  
ax
3
0 
2
y
m
Q
y
bh
 
3
12
x
bh
I 
.C Cx CS y A 
Cb b 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (6)
4. Điều kiện bền
Xét tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng. Biểu đồ
ứng suất trên tiết diện:
K, N – chỉ có ứng suất pháp
C- chỉ có ứng suất tiếp
B- có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp
x
y
N
K
C
B
Mx
z
max
min
max
h
/2
h
/2
maxmax

minmin
max
max



B
B
B
B
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (7)
Kiểm tra bền cho điểm xa đƣờng trung hòa nhất
Mặt cắt ngang nguy hiểm: mặt cắt có mô men uốn lớn nhất
(vật liệu dẻo: trị tuyệt đối của mô men lớn nhất, vật liệu
giòn: mô men âm và mô men dƣơng lớn nhất)
Vật liệu dẻo:
Vật liệu giòn:
   max minmax ,   
   max min ; k n    
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (8)
 Kiểm tra bền cho điểm trên đƣờng trung hòa
Mặt cắt nguy hiểm: Mặt cắt có trị tuyệt đối Qy lớn nhất
Vật liệu dẻo:
 axmmax   
  0
n

 - nếu dùng thực nghiệm tìm 0
 
 
2

 - nếu dùng thuyết bền 3
 
 
3

 - nếu dùng thuyết bền 4
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
4.2.3. Uốn ngang phẳng (9)
 Kiểm tra bền cho điểm có cả ứng suất pháp và ứng suất
tiếp
Mặt cắt ngang nguy hiểm: có trị tuyệt đối Mx và Qy
cùng lớn
Điểm kiểm tra: điểm có ứng suất pháp và ứng suất tiếp
cùng lớn (điểm tiếp giáp giữa lòng và đế với mặt cắt
ngang chữ I)
Dầm bằng vật liệu dẻo:
  2 2t® z zy( ) 4( ) (TB3)
  2 2t® z zy( ) 3( ) (TB4)
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
BÀI TẬP – Ví dụ 4.1 (1)
 ĐỀ BÀI:
Cho dầm mặt cắt ngang chữ nhật chịu tải trọng nhƣ hình vẽ
• Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
• Xác định ứng suất pháp cực đại tại mặt cắt ngang nguy
hiểm
• Kiểm tra điều kiện bền cho dầm, biết []=1,5 kN/cm2
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.1 (2)
 BÀI GIẢI:
• Giải phóng liên kết và xác định các phản lực
 0 : 40kN 14kNy B B DF M R R  
• Dùng phƣơng pháp mặt cắt
• Mặt cắt 1 - 1
1 1
1 1 1
0 20 kN 0 20kN
0 20kN 0m 0 0
yF Q Q
M M M


• Mặt cắt 2 - 2
2 2
2 2 2
0 20 kN 0 20kN
0 20kN 2.5m 0 50kN m
yF Q Q
M M M
 


• Mặt cắt 3 – 3
• Mặt cắt 4 – 4
• Mặt cắt 5 – 5
• Mặt cắt 6 – 6
3 3
4 4
5 5
6 6
26kN 50kN m
26kN 28kN m
14kN 28kN m
14kN 0
Q M
Q M
Q M
Q M
 
 
 
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.1 (3)
• Từ biểu đồ các thành phần ứng lực ta 
thấy, mặt cắt ngang nguy hiểm tại B có:
max max26kN 50kN mBQ M M 
Q
kN
M
kNm
• Ứng suất pháp cực đại
221 1
6 6
6 3
3
max
max 6 3
0.080m 0.250m
833.33 10 m
50 10 N m
833.33 10 m
x
x
W bh
M
W

 
6 2
max 60.0 10 Pa=60MPa=6kN/cm 
• Ta thấy: max > [] => Dầm không thoả
mãn điều kiện bền
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.2 (1)
 Cho dầm mặt cắt ngang thép chữ I chịu tải trọng nhƣ hình
vẽ. Biết ứng suất cho phép của thép []=16 kN/cm2. Hãy
chọn số hiệu mặt cắt ngang thép theo điều kiện bền ứng
suất pháp của dầm.
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.2 (2)
• Xác định phản lực liên kết tại A và D
 5m 60kN 1.5m 50kN 4m 0
58.0kN
58.0kN 60kN 50kN=0
52.0kN
A D
D
y A
A
M V
V
F V
V


• Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn nội lực.
52.0kN
60kN
8kN
A A
B A q
B
Q V
Q Q S
Q
• Mô men lớn nhất tại: 
Q = 0 => z = 2,6 m.
max
( ) 67.6kNmQM S AE 
Q
kN
58
66Mmax
M
kNm
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 4.2 (3)
• Điều kiện bền theo ứng suất pháp của 
dầm:
 
max
min 2
6 3 3
67.6kN m
16kN/cm
422.5 10 m 422.5 m
M
W
c


 
 
max max
max x
x
M M
W
W
 

• Chọn số hiệu thép từ bảng tra
3
xW [mm ]
I 27 371
I 27a 407
I 30 472
I 30a 518
I 33 597
Thep
30I
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Câu hỏi ???
National University of Civil Engineering
Tran Minh Tu
tpnt2002@yahoo.com
Thank You