Bài giảng Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Chương 10: Các phương pháp tính quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính

Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
1
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ 
trong mạch điện tuyến tính.
I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển.
II. Phƣơng pháp tích phân Duyamen và hàm Green.
III. Phƣơng pháp toán tử Laplace.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
2
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
 Tƣ tƣởng chung của phƣơng pháp:
 Mô hình toán học của bài toán quá trình quá độ trong mạch tuyến tính là Hệ phương trình vi 
phân + sơ kiện.
 Đối với phương pháp tích phân kinh điển, ta sử dụng nguyên tắc xếp chồng trong mạch tuyến
tính để giải.
 Ý nghĩa:
 Nghiệm xác lập xxl(t):
 Về mặt vật lý:
o Nghiệm xác lập được tìm ở chế độ mới (sau khi đóng cắt khóa K).
o Nghiệm xác lập được nguồn (kích thích) của mạch duy trì quy luật biến thiên của
nó đặc trưng cho quy luật biến thiên của nguồn.
( ) ( ) ( )qd xl tdx t x t x t 
I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển.
I.1. Nội dung phƣơng pháp:
 Tìm nghiệm của quá trình quá độ xqđ(t) dưới dạng xếp chồng nghiệm của quá trình xác lập xxl(t) và
nghiệm của quá trình tự do xtd(t).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
3
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.1. Nội dung phƣơng pháp.
 Ý nghĩa:
 Nghiệm xác lập xxl(t):
 Về mặt toán học:
o Nghiệm xác lập là nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế phải là kích thích
của mạch ta đã biết cách tính nghiệm xác lập khi kích thích của mạch là nguồn
hằng, nguồn điều hòa, hay nguồn chu kỳ.
 Nghiệm tự do xtd(t):
 Về mặt vật lý:
o Nghiệm tự do không được nguồn duy trì.
o Nghiệm tự do tồn tại trong mạch là do quá trình đóng cắt khóa K làm thay đổi kết
cấu hay thông số của mạch.
 Về mặt toán học:
 Nghiệm tự do là nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất (phương trình vi
phân có vế phải bằng 0)
( ) ( ) ( )qd xl tdx t x t x t 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
4
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.1. Nội dung phƣơng pháp.
 Về mặt toán học, nghiệm tự do của phương trình thuần nhất có dạng:
 Mặt khác, ta có đạo hàm, tích phân của hàm A.ept luôn có dạng hàm mũ:
( ) . pttdx t Ae 
( )
. . . ( )
( )
( ). . . .
pttd
td
pt pt td
td
dx t
p A e p x t
dt
x tA
x t dt A e dt e
p p
 Như vậy, phương trình vi phân thuần nhất sẽ có dạng:
2( , . , . ..., . ) 0ntd td td tdx p x p x p x 
 Giải phương trình ta có được (n) nghiệm {p1 ...pn}. Với mỗi pk cho ta một nghiệm dạng Ak.e
p
k
.t
 Vậy nghiệm của quá trình quá độ sẽ có dạng:
.
1
( ) ( ) . k
n
p t
qd xl k
k
x t x t A e
 
 Cần lập và giải phương trình 
đặc trưng để tìm nghiệm tự do.
 Để phương trình vi phân có nghiệm không triệt tiêu các hệ số của nó phải triệt tiêu.
0p (phương trình đặc trưng)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
5
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.
 Nghiệm tự do là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (không có vế phải). Vậy đối với bài
toán mạch, đó là phương trình vi phân được lập cho các mạch điện triệt tiêu nguồn.
 Các cách lập phƣơng trình đặc trƣng của mạch:
 Đại số hóa phương trình thuần nhất:
 Lập (hệ) phương trình vi tích phân của mạch ở chế độ mới.
 Loại bỏ các nguồn kích thích thu được phương trình vi phân thuần nhất.
 Thay thế:
(.) (.)
1
(.). (.)
d
p
dt
dt
p
 Rút ra được phương trình đặc trưng 
(ma trận đặc trưng)
 Cho: Δp = 0 tìm được các số mũ đặc trưng pk.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
6
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.
Ví dụ:
C3
i3(t)
i1(t)
E
KR1
R2
i2(t)
L2Lập phương trình mạch:
1 2 3
2
1 1 2 2 2
1 1 3
3
0
. . .
1
. . ( 0)C
i i i
di
R i R i L E
dt
R i i dt u E
C
 Phương trình với nghiệm tự do:
1 2 3
1 2 3
2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 3
1 1 3
3
0
0
. . 0 . . . . 0
1
1 . . ( 0) 0
. . ( 0) 0 .
td td td
td td td
td
td td td td td td
td td C
td td C
i i i
i i i
di
R i R i L R i R i p L i
dt
R i i u
R i i dt u p C
C
  
1
1 2 2 2
3
1
1 1 1 0
. 0 . 0
1 0
0
.
td
td
td
i
R R p L i
i
R
p C
Viết dạng ma trận:
Δp itd
Để itd ≠ 0 Δp = 0
2 2 1 1 2 2
1 1
( ) ( ) 0p R pL R R R pL
pC pC
2 2 2 0p p 
1,2 1p j 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
7
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.
 Các cách lập phƣơng trình đặc trƣng của mạch:
Đại số hóa mạch điện:
 Phương trình mạch điện có dạng phương trình vi phân là vì trong mạch điện tồn tại các
phần tử có quán tính L (quán tính từ trường), C (quán tính điện trường).
 Có thể lập phương trình đặc trưng trực tiếp mạch điện (đã triệt tiêu nguồn) ở chế độ xác
lập mới bằng cách đại số hóa mạch điện: L ↔ p.L ; C ↔ 1/p.C.
 Tính tổng trở vào hoặc tổng dẫn vào của 1 nhánh bất kỳ và cho bằng 0.
Chứng minh: Khi xét mạch ở chế độ mới, đã triệt tiêu nguồn, nếu ta nhân dòng tự do (hoặc điện áp tự
do) của 1 nhánh bất kỳ với tổng trở vào (hoặc tổng dẫn vào) của nhánh đó thì phải bằng 0 vì mạng 1
cửa xét trong trường hợp này là không nguồn.
( ). 0
( ). 0
K vao Ktd
Kvao Ktd
Z p i
Y p u
Để nghiệm tự do không triệt tiêu thì:
( ) 0
( ) 0
Kvao
Kvao
Z p
Y p
( ) 0
( ) 0
Kvao
Kvao
Z p
Y p
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
8
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.
Ví dụ: Lập phương trình đặc trưng của mạch sau.
2 2 2 1
3
1
( . ) ( // )
.
vaoZ R p L R
p C
C3
i3(t)
i1(t)
E
KR1
R2
i2(t)
L2
i3td
i1td
R1
R2
i2td
p.L2
3
1
.p C
đại số hóa
R1
i3td
R2
i2td
p.L2
3
1
.p C
Zvao 1
1 1 2 2
3
1
( . ) //
.
vaoZ R p L R
p C
 3 1 2 2
3
1
//( . )
.
vaoZ R R p L
p C
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
9
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.
( ) ( ) ( )qd xl tdx t x t x t 
 Giá trị của số mũ đặc trưng sẽ quyết định dáng điệu của quá trình tự do quyết định đến dáng điệu 
của quá trình quá độ trong mạch:
 Dấu của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do sẽ tăng hay giảm khi t ∞ (quá trình quá 
độ sẽ tiến đến 0 hay tiến đến nghiệm xác lập).
 Độ lớn của số mũ đặc trưng quyết định tốc độ biến thiên của quá trình tự do.
 Dạng nghiệm của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do là dao động hay không dao động.
Phƣơng trình 
đặc trƣng
Thông số, cấu 
trúc mạch điện
Đặc điểm quá 
trình quá độ
Số mũ đặc 
trƣng pk
Điều chỉnh
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
10
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.
a. Đa thức đặc trƣng có nghiệm thực đơn pk.
 Dạng nghiệm tự do:
.
1
( ) . k
n
p t
td k
k
x t A e
 
 Dáng điệu nghiệm tự do:
 Nếu pk < 0: Nghiệm tự do sẽ giảm về 0 
 quá trình quá độ sẽ đi đến nghiệm xác lập xxl(t).
 Nếu pk > 0: Nghiệm
tự do tăng lên ∞ khi t ∞.
 | pk | quyết định tốc độ tăng/giảm nhanh chậm của nghiệm tự do.
( )tdx t
t
A
( )tdx t
t
 Cách vẽ hàm: xtd(t) = A.e 
p.t.
1
p
  Đặt hằng số tích phân:
1
1
. 0
( )
. 0
td
Ae nêu p
t x
Ae nêu p
 
 Tại
 sau khoảng thời gian t = τ thì biên độ của xtd thay đổi e lần.
3τ
 Tại t = 0 xtd(0) = A
t = ∞
Quá trình quá độ đƣợc coi 
là xác lập khi t = 3τ
τ
A.e-1
2τ
A.e-2
pk > 0
pk < 0
Ak
- Ak
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
11
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.
b. Đa thức đặc trƣng có nghiệm thực kép p1 = p2 = p.
 Dạng nghiệm tự do:
.
1 2( ) ( . ).
p t
tdx t A A t e 
 Dáng điệu nghiệm tự do: Có dạng gần giống với trường hợp trên. Đây là giới hạn giữa quá trình 
giao động và không dao động của nghiệm quá trình quá độ.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
12
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do.
c. Đa thức đặc trƣng có nghiệm phức:
 Dạng nghiệm tự do:
.
( ) . .cos( . )k
t
td k k kx t A e t
  
 Dáng điệu nghiệm tự do:
 Nghiệm tự do sẽ dao động trong đường bao:
 Chu kỳ dao động: 
 Nếu αk > 0 nghiệm tự do sẽ tăng dần.
 Nếu αk < 0 nghiệm tự do sẽ tắt dần.
.
. k
t
Ae
2
k
T

( )tdx t
t
.
. k
t
Ae
.
. k
t
Ae
.
. k
t
Ae
.
. k
t
Ae
cos( . )k kt 
cos( . )k kt 
0k 
( )tdx t
t
0k 
 Cách vẽ nghiệm tự do:
1,2 1,2 1,2.p j  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
13
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.4. Trình tự giải quá trình quá độ theo phƣơng pháp tích phân kinh điển.
 Tìm các giá trị dòng, áp xác lập ở chế độ mới.
 Đặt nghiệm quá độ dạng:
( ) ( ) ( )qd xl tdx t x t x t 
 Lập phương trình đặc trưng và tìm nghiệm tự do của mạch ở chế độ mới.
 Tính các hằng số tích phân: (bài toán tính sơ kiện)
 Xét mạch ở chế độ cũ, tính các sơ kiện độc lập tại t = - 0.
 Áp dụng luật đóng mở tính giá trị sơ kiện độc lập tại t = + 0.
 Lập phương trình mạch ở chế độ mới. Tại t = + 0 thay các sơ kiện độc lập để tính các sơ kiện
phụ thuộc khác. Nếu cần thì đạo hàm đến cấp cần thiết để tính các sơ kiện phụ thuộc khác.
 Tổng hợp nghiệm quá độ. Vẽ và nhận xét dáng điệu của nghiệm.
 Chú ý: Trong 1 mạch điện, các biến cùng đại lượng như dòng, áp sẽ có cùng số mũ tắt, chúng chỉ 
khác nhau hằng số tích phân.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
14
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.
a. Đóng mạch R - C vào một nguồn áp hằng.
C
E
K R
 Đặt nghiệm: ( ) ( ) ( )qd xl tdx t x t x t  Nghiệm xác lập:
( )
( ) 0
Cxl
Cxl
u t E
i t
 Nghiệm tự do:
 Phương trình đặc trưng:
1
.
.
1 1
0 ( ) .
. .
t
R C
tdR p x t Ae
p C R C
 Tính hằng số tích phân:
 Sơ kiện: ( 0) 0 ( 0) 0C Cu u 
 Lập phương trình mạch ở chế độ mới:
0
1
. ( ) ( 0) ( ).
t
C CR i t u i t dt E
C
Xét tại t = + 0: . ( 0) ( 0)
E
R i E i
R
1
.
.
1( ) .
t
R C
Cqdu t E A e
1
.
.
2( ) 0 .
t
R C
Cqdi t A e
Khi t = + 0:
1 1
2
( 0) 0 .
( 0)
C
C
u E A A E
E
i A
R
 Tổng hợp nghiệm:
1
.
.
1
.
.
( ) .(1 )
( ) .
t
R C
Cqd
t
R C
Cqd
u t E e
E
i t e
R
- E
( )Ctdu t
E ( )Cxlu t
\E R
( )Cqdi t
( )Cqdu t
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
15
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.
b. Đóng mạch R - C vào một nguồn áp điều hòa
C
e(t)
K R
1( ) sin( )me t E t 
 Nghiệm tự do:
 Tìm hằng số tích phân:
 Nghiệm xác lập:
( )
1
. ( )
1 ( )
Cxl
m
Cm
Cxl
Cxl
u t
E
U du t
j C i t CR dtj C


1
1
.
t
RC
tdp x Ae
RC
 Sơ kiện: ( 0) ( 0)C Cu u 
 Lập phương trình mạch:
0
1
. ( 0) ( ). ( )
t
C CR i u i t dt e t
C
Xét tại t = +0: 11
sin
. ( 0) (0) sin ( 0) mm
E
R i e E i
R
 Nghiệm quá độ: ( ) ( ) ( )Cqd Cxl Ctdu t u t u t ( )( ) ( )Cqd Cxl t Ctdi t i i t 
Xét tại t = +0: 1 1( 0) ( 0) (0)Cqd Cxl Cxlu u A A u 
1
2 2
sin
( 0) ( 0) ( 0).mCqd Cxl Cxl
E
i i A A i
R
Quá trình đóng mạch
R - L vào nguồn áp
hằng và điều hòa đƣợc
xét tƣơng tự
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
16
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.
I.5.3. Xét quá trình quá độ với mạch cấp hai R - L - C.
C
E
R
L
K
 Phương trình đặc trưng: 2
1 1
. 0 . 0
. .
R
R p L p p
p C L L C
  
 Biện luận:
2
1
4.
R
L LC
 Nếu: 2
L
R
C
 luôn có 2 nghiệm âm 1,2 1,2p 
1 2. .
1 2( ) . .
t t
tdx t A e A e
 Nếu: 2
L
R
C
 có nghiệm kép 1,2
2
R
p
L
.
1 2( ) ( . )
t
tdx t A A t e
 Nếu: 2
L
R
C
 có 2 nghiệm phức
2
1,2 2
1
.
2 (2 )
R R
p j j
L L LC
  
.( ) . .cos( . )ttdx t Ae t
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
17
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.
Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch.
C3=1F
i3qd(t)
i1qd(t)
E=1V
KR1=1Ω
R2=1Ω
i2qd(t)
L2=1H
 Đặt nghiệm: ( ) ( ) ( )qd xl tdx t x t x t 
 Tính nghiệm xác lập:
 Tính nghiệm tự do:
 Phương trình đặc trưng:
2
1 2 2 1,2
3
1
( ) // 0 2 2 0 1R R pL p p p j
pC
  
( ) . .cos( )ttdx t Ae t 
 Tìm hằng số tích phân:
 Tại t = - 0:
3 2
1 2
( 0) 0( ) ; ( 0) ( 0) 0.5( )C L
E
u V i i A
R R
 Áp dụng luật đóng mở:
1 2 3xl
1 2
0.5( ) ; i 0( )xl xl
E
i i A A
R R
3 3 2 2
( 0) ( 0) 0( ) ; ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 0.5( )C C L Lu u V i i i i A 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
18
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.
Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch.
C3=1F
i3qd(t)
i1qd(t)
E=1V
KR1=1Ω
R2=1Ω
i2qd(t)
L2=1H
 Tìm hằng số tích phân:
 Lập phương trình mạch ở chế độ mới:
1 2 3
'
1 1 2 2 2 2
1 1 3
0
0
. . .
1
. ( 0) .
t
C
i i i
R i R i L i E
R i u i dt E
C
(*)
Xét tại t = +0:
Đạo hàm hệ phương trình (*):
' ' '
1 2 3
' ' ''
1 2 2
'
1 3
0
0
0
i i i
i i i
i i
Xét tại t = +0:
1 2 3 3
' '
1 2 2 2
1 1
( 0) ( 0) ( 0) 0 ( 0) 0.5( )
( 0) ( 0) ( 0) 1 ( 0) 0.5( / )
( 0) 1 ( 0) 1( )
i i i i A
i i i i A s
i i A
'
3( 0) 0( / )i A s 
'
1( 0) 0.5( / )i A s 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
19
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
I.5. Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ.
Ví dụ: Tính dòng điện quá  ... ới những
đoạn chắp nối của hàm φ(t)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
II.2. Phƣơng pháp hàm Green.
c. Cách tìm hàm Green g(t).
37
 So sánh công thức hàm Green và công thức tích phân Duyamen nghĩa rộng, ta có:
0
( ) ( ). ( ).
t
x t f g t d  
0
( ) ( ). ( ).
t
x t g f t d  
Hàm Green
'
0
1( ). ( ) ( ). ( ).
t
t x t h t d  
'
0
1( ). ( ) ( ). ( ).
t
t x t h t d  
Công thức Duyamen
( ) ( )
( )
dh t dh t
g t
d dt
 


( ) ( )
d
g t h t
dt
 Suy ra:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
II.2. Phƣơng pháp hàm Green.
c. Cách tìm hàm Green g(t).
38
Ví dụ 1: Tính áp uC(t) quá độ trong mạch R - C khi tác động là xung áp như hình vẽ.
e(t)
K
R
C
t
T
e(t)
U
0
 Ta có: ( ) .[1( ) 1( )]e t U t t T 
.( ) 1
C
t
uh t e
1
.R C
 với
t
.( )
0
1( ). ( ) * . . .[1( ) 1( )].d
C
t
C ut u t u g e U T
     
 Biết đáp ứng Hevixaid với áp trên tụ:
 Vậy hàm Green tương ứng: ' .( ) ( ) .
C C
t
u ug t h t e
 Áp quá độ trên tụ là:
.( ) .( )
0 0
1( ). ( ) . .1( ). . .1( ).
t t
t t
Ct u t U e d U e t d
       
 .( ) ( ) . .( )
0 0
1( ). ( ) . 1( ). . . 1 1( ). 1
t t
t t t t T
Ct u t U e t U e U e t T U e
    
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
II.2. Phƣơng pháp hàm Green.
c. Cách tìm hàm Green g(t).
39
Ví dụ 2: Tính áp quá độ uC(t), uR(t) trong mạch R - C khi tác động là xung áp hàm mũ
e(t)
K
R
C
t
e(t)
0
.. tU e 
 Đáp ứng Hevixaid của các áp uC(t), uR(t) trong mạch R-C có dạng:
. 1( ) 1( ). , ( ) 1 , 
.R C
t t
u uh t t e h t e
R C
   
 Vậy các hàm Green tương ứng là:
 Áp quá độ trên R là:
( ) ( ) .1( ).
R
t
ug t t t e
  ( ) .
C
t
ug t e
 
1
. .( ) .( ) . ( ). . .
0 0
1( ). ( ) ( ) . . . . . . . .
t
t t t t t
R
U
t u t U t e e d U e e e e e       

    
   
 Áp quá độ trên C là:
 . ( ) . ( ). . .
0 0
1( ). ( ) . . . . . . .
tt
t t t t
Ct u t U e e d U e e U e e
        
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
40
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch 
tuyến tính hệ số hằng.
I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển.
II. Phƣơng pháp tích phân Duyamen và hàm Green.
III. Phƣơng pháp toán tử Laplace.
III.1. Tinh thần của phƣơng pháp toán tử Laplace.
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
III.3. Cách tìm gốc theo ảnh Laplace.
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.1. Tinh thần của phƣơng pháp toán tử Laplace.
 Làm phép song ánh biến đổi cặp “phân bố thời gian φ(t) = 1(t).f(t) (hàm gốc thời gian) và số
phức p” với một số phức F(p) (ảnh Laplace) sao cho: 
41
t
 

( ).t dt 
p.F(p)
1
. ( )F p
p
Hệ phƣơng trình vi 
tích phân hệ số hằng
Hệ phƣơng trình đại
số tuyến tính ảnh F(p)
 Nhờ quan hệ song ánh đó:
 Giải phương trình đại số tìm ảnh F(p) tìm được nghiệm gốc φ(t).
 Xét tính chất về đại số của ảnh F(p) khảo sát được dáng điệu nghiệm của phương trình vi 
tích phân.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
42
a. Đạo hàm gốc.
 Xét hàm f(t) bất kỳ. 1(t).f(t) F(p)
 Đạo hàm của f(t):
 
'
1( ). ( ) 1( ). '( ) ( ). (0)t f t t f t t f  
'
1( ). '( ) 1( ). ( ) ( ). (0)t f t t f t t f 
1( ). '( ) . ( ) ( 0)t f t p F p f 
 Tại t = 0: ( 0) ( 0)f f f 
1( ). '( ) . ( ) ( 0) [ ( 0) ( 0)]t f t p F p f f f 
1( ). '( ) . ( ) ( 0)t f t p F p f 
t
f(t)
-0 +0
( 0) ( 0)f f f 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
43
a. Đạo hàm gốc.
 Ứng dụng:
 Xét cuộn dây:
'( ) . ( ) . ( )L
d
u t L i t L i t
dt
i(t) L
u(t)
 Chuyển sang miền ảnh:
iL(t) IL (p) uL(t) UL (p)
I(p) p.L
U(p)
L.i(-0)
( )( 0)
( )
.
L
L
U pi
I p
p p L
( ) .[ . ( ) ( 0)]L LU p L p I p i 
( ) . . ( ) . ( 0)]L LU p p L I p L i 
U(p)
I(p)
1
.p L
( 0)Li
p
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
44
b. Tích phân gốc.
 Xét hàm f(t) bất kỳ. 1(t).f(t) F(p)
 Tích phân của f(t):
0
1( ). ( ).
t
t f t dt
1
. ( )F p
p
 Ứng dụng:
 Xét tụ điện.
1
( ) (0) . ( ).C Cu t u i t dt
C
 Chuyển sang miền ảnh.
CiC(t)
uC(t)
iC(t) IC(p) uC(t)
( 0)1
( ) . ( )
.
C
C C
u
U p I p
p C p
IC(p)
UC(p)
1
.p C
( 0)Cu
p
I(p)
p.C
C.uC(-0)
UC(p)
UC(p)
( ) . . ( ) . ( 0)C C CI p p CU p C u 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
45
b. Định lý về dịch gốc.
 Xét hàm f(t) bất kỳ.
 Vậy: 
1( ). ( )t f t ( )F p
1( ). ( )t T f t T . . ( )T pe F p 
Ví dụ:
t
0.2
e(t)
10
0
1( ). ( ) 10.1( ) 10.1( 0.2)t e t t t 
0.2 0.210 10 10. .(1 )p pe e
p p p
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
46
c. Định lý về dịch ảnh.
 Xét hàm f(t) bất kỳ.
 Vậy: 
1( ). ( )t f t ( )F p
.1( ). ( ). a tt f t e ( )F p a 
d. Định lý về sự đồng dạng.
 Xét hàm f(t) bất kỳ.
 Vậy: 
1( ). ( )t f t ( )F p
1( ). ( . )t f a t
1
. ( )
p
F
a a
1( ). ( )
t
t f
a
. ( . )a F a p
e. Đạo hàm ảnh.
 Xét hàm f(t) bất kỳ.
 Vậy: 
1( ). ( )t f t ( )F p
1( ).( ). ( )t t f t ( )
d
F p
dpCuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.2. Các định lý về quan hệ ảnh - gốc.
47
f. Tích phân ảnh.
 Xét hàm f(t) bất kỳ.
 Vậy: 
1( ). ( )t f t ( )F p
1
1( ). ( )t f t
t
0
( ).
p
F p dp 
g. Định lý tích xếp.
 Xét hàm f(t) bất kỳ.
 Vậy: 
1( ). ( )t f t ( )F p
1 2
0
( ). ( ).
t
f f t d  
 1 2( ). ( )F p F p
g. Định lý về các giá trị bờ.
 Xét hàm f(t) bất kỳ. 1( ). ( )t f t ( )F p
 Vậy: 
0
lim1( ). ( )
t
t f t
lim . ( )
p
p F p
lim1( ). ( )
t
t f t
 0
lim . ( )
p
p F p
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.3. Cách tìm gốc theo ảnh Laplace.
48
a. Phép tích phân Riman-Mellin.
.11( ). ( ) ( ). .
2. .
a j
t p
a j
t f t F p e dp
j 
b. Tra bảng quan hệ ảnh - gốc.
1
1( )t
p

2
1
t
p

( ) 1t  .
1a te
p a
 
2 2
cos( . )
p
a t
p a

2 2
sin( . )
a
a t
p a

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.3. Cách tìm gốc theo ảnh Laplace.
49
c. Dùng công thức Hevixaide
 Khi xét mạch, ta thường gặp phân thức hữu tỉ dạng:
2
0 1 2 1
2
0 1 2 2
. . ... . ( )
( )
. . ... . ( )
m
m
n
n
b b p b p b p F p
F p
a a p a p a p F p
a0 an, b0 bm: hằng số thực
 Công thức Hevixaide cho gốc của ảnh Laplace F(p) khi đa thức tử số F1(p) có bậc nhỏ hơn đa thức
mẫu số F2(p) (m < n) (trong trường hợp m ≥ n, ta sẽ thực hiện phép chia đa thức).
 Nếu F2(p) = 0 có nghiệm thực, đơn: p1, p2.
1 2. .
1 21( ). ( ) . .
p t p t
t f t A e A e 
1
'
2
( )
lim
( )k
k
p p
F p
A
F p 
 với (k = 1,2)
 Nếu F2(p) = 0 có nghiệm thực kép: p1 = p2 = pk.
.
1 21( ). ( ) ( . ).
p tt f t A A t e 
21
1
2
( )
lim .( )
( )k
k
p p
F pd
A p p
dp F p 
với
21
2
2
( )
lim .( )
( )k
k
p p
F p
A p p
F p 
 Nếu F2(p) = 0 có phức: p1,2 = - α ± j.β
.1( ). ( ) 2. . .cos( . )tk kt f t A e t
  
với
.
1
'
2
( )
lim
( )k
k k k
p p
F p
A A
F p
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.3. Cách tìm gốc theo ảnh Laplace.
50
c. Dùng công thức Hevixaide
Ví dụ: Tìm hàm gốc của các ảnh sau.
1
2
( )20
( )
( 5).( 6) ( )
F p
I p
p p F p
5. 6.
1 21( ). ( ) . .
t tt i t A e A e 
1
2
2
5
( ) 0
6
p
F p
p
'
2 ( ) 2 11F p p 
1
5
20
lim 20
2. 11p
A
p 
2
6
20
lim 20
2. 11p
A
p 
5. 6.1( ). ( ) 20 ) .( t tt i t e e 
2
1
2
2
( )2
( )
.( 4) ( )
F pp
E p
p p F p
4.
0 1 2 1( ). ( ) ( . ).
tt e t A A A t e 
1
2
2 3
0 
( ) 0
4
p
F p
p p
' 2
2 ( ) 3. 16. 16F p p p 
1
0 '0
2
( ) 1
lim
( ) 8p
F p
A
F p 
21
1
4
2
( ) 7
lim .( 4)
( ) 8p
F pd
A p
dp F p 
4.1 7 91( ). ( ) . .
8 8
2
 tt e t t e 
21
2
4
2
( ) 9
lim .( 4)
( ) 2p
F p
A p
F p 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.3. Cách tìm gốc theo ảnh Laplace.
51
c. Dùng công thức Hevixaide
Ví dụ: Tìm hàm gốc của các ảnh sau.
1
2
2
( )100
( )
2. 10 ( )
F p
U p
p p F p
 1( ). ( ) 2. . .cos(3. )tt u t A e t 
2 1,2( ) 0 1 .3F p p j 
.
0
1 .3
100 100 100
lim 90
2.( 1) .6 6p j
A
p j 
1( ). ( ) 33.333. .co s(3. )
2
tt u t e t
'
2 ( ) 2. 2F p p 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
52
a. Sơ đồ toán tử.
 Sơ đồ toán tử là sơ đồ mạch ở chế độ mới trong đó các kích thích j(t), e(t) đã được chuyển sang
miền ảnh J(p), E(p); các phần tử R, L, C được chuyển sang miền ảnh kèm theo sơ kiện.
 Kích thích của mạch:
e(t)
j(t)
E(p)
J(p)
 Các phần tử
iL(t)
L
uL(t)
IL(p)
p.L
UL(p)
L.i(-0)
CiC(t)
uC(t)
IC(p)
UC(p)
1
.p C
( 0)Cu
p
p.C
I(p)
C.uC(-0)
UC(p)
RiR(t)
uR(t)
RIR(p)
UR(p)
( )( 0)
( )
.
L
L
U pi
I p
p p L
( ) . . ( ) . ( 0)]L LU p p L I p L i 
IL(p)
1
.p L
( 0)Li
p
UL(p) ( 0)1
( ) . ( )
.
C
C C
u
U p I p
p C p
( ) . . ( ) . ( 0)C C CI p p CU p C u 
( ) . ( )R RU p R I p 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
53
b. Các luật trong miền ảnh Laplace.
 Luật Ohm: ( ) . ( )
( ) . ( )
U p Z I p
I p Y U p
 Luật Kirchhoff 1: ( ) 0
nut
I p 
 Luật Kirchhoff 2: ( ) ( )
vong vong
U p E p   (có tính đến sơ kiện)
Hệ phƣơng trình 
vi tích phân + sơ kiện
Hệ phƣơng trình 
đại số ảnh Laplace + sơ kiện
Miền thời gian Miền ảnh Laplace
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
54
c. Trình tự giải bài toán quá trình quá độ.
 Tìm sơ kiện độc lập của mạch tại t = -0: uC(-0) ; iL(-0)
 Lập sơ đồ toán tử cho mạch điện ở chế độ mới.
 Lập và giải phương trình mạch trong miền ảnh Laplace để tìm nghiệm X(p)
 Tìm nghiệm quá độ xqd(t).
 Xét mạch ở chế độ cũ và tính các đáp ứng uC(t), iL(t)
 Thay tại t = -0 để tính các sơ kiện độc lập uC(-0), iL(-0)
 Lập phương trình mạch theo phương pháp: Dòng nhánh, dòng vòng, thế đỉnh, mạng 1 cửa, 2
cửa 
 Tra bảng quan hệ ảnh - gốc.
 Dùng công thức Hevixaide.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
55
c. Trình tự giải bài toán quá trình quá độ.
Ví dụ: Tìm iCqd(t) khi đóng mạch từ vị trí 1 sang vị trí 2, biết:
e1(t)
R1
C
R221
e2(t)
3 20.
1 2( ) 100.sin10 . ( ) ; ( ) 100. ( )
te t t V e t e V 
1 210 ; 100 ; 10CR R X   
Giải:
 Tìm sơ kiện độc lập uC(-0):
.
.
1max 0
1
1 100
. 45
1 . . 2
. .
C
E
U
j C
R
j C


3 0100( ) sin(10 . 45 )
2
Cu t t 
( 0) 50( ) Cu V 
 Lập sơ đồ toán tử:
R2
E2(p)1
.p C
( 0)Cu
p
2
1
2
( 0)
( )
( )1,5. 10
( )
1 ( 20)( 100) ( )
.
CuE p
F ppp
I p
p p F p
R
p C
20. 100.
1 21( ). ( ) . .
t t
Cqdt i t A e A e
1
1 '20
2
( )
lim 0,25
( )p
F p
A
F p 
1
2 '100
2
( )
lim 1,75
( )p
F p
A
F p 
20. 100.1( ). ( ) 0,25. 1,7 5.t tCqdt i t e e
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
56
c. Trình tự giải bài toán quá trình quá độ.
Ví dụ: Tính dòng quá độ trong mạch, biết:
E = 10 V = const ; R1 = 5Ω; R3 = R2 = 10Ω; L1 = 2H; L2 = 2H; M=1H.
Giải:
E
R1
R3
*
L1
K
*
R2
L2
*
p.L1
R2
*
p.L2
-2.p.M M.i2(-0)
L1.i1(-0)
M.i1(-0) L2.i2(-0)
 Tìm sơ kiện độc lập:
1
1 2 3
10
( 0) 1( )
( // ) 5 5
E
i A
R R R
1
2
( 0)
( 0) 0.5( )
2
i
i A
 Lập sơ đồ toán tử: R1
10
p
1 1 2 2 2 1
1 2 1 2
( ) . ( 0) . ( 0) . ( 0) . ( 0)
( )
. . 2. .
E p L i M i L i M i
I p
R R p L p L p M
I(p)
i2i1
0.75. 5
( )
.( 7.5)
p
I p
p p
7,5.1( ). ( ) 0,667 0,0833. ( )tt i t e A 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong 
mạch tuyến tính hệ số hằng
III.4. Tính quá trình quá độ bằng phƣơng pháp toán tử Laplace.
57
d. Nhận xét chung về phƣơng pháp.
 Ƣu điểm:
 Nhƣợc điểm:
 Giải bài toán quá trình quá độ với nguồn kích thích bất kỳ (tăng không nhanh hơn hàm e mũ)
 Chỉ cần tính sơ kiện độc lập tại t = - 0.
 Giải được trực tiếp nghiệm quá độ.
 Có thể thay thế được cho mọi phương pháp tích phân.
 Khi F2(p) là đa thức bậc cao, ta phải dùng phương pháp gần đúng để tìm nghiệm pk.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt