Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 
§1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 
1.1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm 
m phương trình, n ẩn ( ) m,n ∗∈ℕ
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2 n n 2
m1 1 m 2 2 mn n m
j
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
 (I)
 ..........................
a x a x ... a x b
trong ®ã: x ( j 1, n) : ®−îc gäi lµ c¸c Èn cña hÖ
 + + + = + + + =

 + + + =
=
ij
i
 a (i 1,m; j 1, n) : ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè cña Èn
 b (i 1,m) : ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè tù do
= =
=
×   
   
   
   = = =   
   
   
      
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
11 12 1n 11 12 1n 1
21 22 2n 21 22 2n 2
ij m n
m1 m2 mn m1 m2 mn m
 Ký hiÖu: 
a a a a a a b
a a a a a a b
A (a ) ; A 
a a a a a a b
 Ma trËn hÖ sè Ma trËn bæ sung cña hÖ 
( ) ( )
1 1
T T2 2
1 2 m 1 2 n
m n
b x
b x
B b b b ; X x x x
b x
 Ma trËn hÖ sè tù do Ma trËn Èn
              = = = =               
⋮ ⋮
Khi đó hệ (I) được viết dưới dạng AX = B; (II): được gọi là dạng ma 
trận của hệ phương trình tuyến tính 
1.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 

 Bộ số được gọi là nghiệm của hệ (I) nếu 
 với . Tập hợp tất cả các nghiệm 
của một hệ phương trình được gọi là tập hợp nghiệm của hệ phương 
trình đó. 

 Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng ẩn số được gọi là tương 
đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 
α α α ∈ ℝ n1 2 n ( , , ..., ) 
( )α = α = α α α
T
1 2 nA B, ...
§2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG 
TRÌNH TUYẾN TÍNH 
2.1. Định lý Kronecker – Capeli. Hệ phương trình tuyến tính tổng 
quát (I) có nghiệm khi và chỉ khi 
 2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer 
1. Định nghĩa hệ Cramer. Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát 
(I) được gọi là hệ Cramer nếu 
( ) ( )r A r A=
m n
A 0
 =
 ≠
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 nn n n
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
 Nh− vËy: (III): HÖ Cramer
 ..........................
a x a x ... a x b
 + + + = + + + =

 + + + =
2. Định lý Cramer. 
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức 
( )jj
A
x ; j 1,n
A
= =
Trong đó: A: là ma trận hệ số 
 Aj: là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột 
thứ j bởi cột hệ số tự do. 
 VD 1. Giải hệ phương trình 
1 2 3
2 3
1 2 3
2x x x 1
 x 3x 3
2x x x 1
 + − = + =
 + + = −
VD 2. Giải và biện luận hệ phương trình 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
ax x x 1
 x ax x 1
 x x ax 1
 + + = + + =
 + + =
 VD. Giải hệ phương trình 
Chú ý. Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính, nếu xảy 
ra trường hợp , ta không có kết luận 
“ Hệ vô số nghiệm”, để có kết luận chính xác ta phải giải hệ bằng 
phương pháp Gauss (sẽ trình bày ở sau). Còn nếu xảy ra trường 
hợp và có ít nhất một thì hệ đã cho vô nghiệm. jA 0≠
x 2 y z 1
x 2 y z 1
x 2 y z 1
 + − =− − + =
 + − =
1 2 3A A A A 0= = = =
A 0=
2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma 
trận nghịch đảo 
 Xét hpt tuyến tính AX = B với A là ma trận khả nghịch (suy ra 
hpt là hệ Cramer). Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là: X = A-1B 
VD. Giải hệ phương trình: 
3x 4y 6z 2
 y z 3
 2x 3y 4z 5
− + + = − + =
 − − =
2.4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss 
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B 
Bước 1. Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên 
hàng. Ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho. 
Bước 2. Giải hệ phương trình mới với quy tắc: Các ẩn mà các hệ số là 
các phần tử khác 0 đầu tiên trên các hàng của ma trận bậc thang được 
gọi là các ẩn ràng buộc. Các ẩn còn lại là các ẩn tự do. 
VD. Giải hệ phương trình 
A
1 2 4
4 1 3 2
1 2 3 4
1 4 3 2
 x x 5x 6 x z 2y 1
14x 3x x 5x 22 3x y z 2
a) ; b) 
 2x 4x x 11x 17 4y 9x 2z 3
5x 3y 2z 4 x 6x x x 2
 − + = + − =   − − − + = − + − =− 
 
 − + + = − + + =    − + =+ − + = 
▪ Các bước giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính bằng 
phương pháp Gauss 
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: 
 AX = B; (m phương trình, n ẩn) 
Bước 1. Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC 
trên hàng. 
Bước 2. Xét hạng của ma trận bậc thang đó 
A
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 N Õu r A r A th × h Ö v« ngh iÖm
 N Õu r A r A n th × h Ö cã ngh iÖm duy nh Ê t
 N Õu r A r A r n th × h Ö cã v « sè n gh iÖm 
 v í i n r Èn tù d o v µ r Èn rµng b uéc
≠
= =
= = <
−
i
i
i
VD. Giải và biện luận hệ phương trình 
 + + = + + =
 + + =
ax y z 1
 x ay z 1
 x y az 1
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 
THUẦN NHẤT 
3.1. Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát trong 
đó tất cả các hệ số tự do bằng 0 được gọi là hệ phương trình tuyến 
tính thuần nhất. Như vậy 
 là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn 
 + + + = + + + =

 + + + =
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m 2 2 mn n
a x a x ... a x 0
a x a x ... a x 0
 (1)
 ..........................
a x a x ... a x 0
Dạng ma trận của hệ: AX = O; với A = (aij)m×n 
Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) luôn có nghiệm 
(0,0,...,0), nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. 
3.2. Định lý. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) với n ẩn 
có nghiệm không tầm thường (tức nghiệm khác nghiệm tầm 
thường (0,0,...,0)) khi và chỉ khi r(A) < n; (A là ma trận hệ số). 
Nhận xét. Trường hợp r(A) = n thì hệ (1) chỉ có nghiệm tầm 
thường. 
Hệ quả 1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương 
trình ít hơn số ẩn thì hệ có nghiệm không tầm thường. 
▪ Khi m = n, hệ (1) trở thành 
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
n1 1 n2 2 nn n
a x a x ... a x 0
a x a x ... a x 0
 (2)
 ..........................
a x a x ... a x 0
 + + + = + + + =

 + + + =
Hệ quả 2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất dạng (2) có nghiệm 
không tầm thường khi và chỉ khi |A| = 0; (A là ma trận hệ số) 
Nhận xét. Trường hợp thì hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường. ≠A 0
3.3. Mối liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng 
quát và nghiệm của hpt tuyến tính thuần nhất tương ứng 
 Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B; (a) 
 và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: AX = O; (b) 
 Khi đó: ▪ Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (a) là nghiệm của (b) 
 ▪ Tổng một nghiệm bất kỳ của (a) và một nghiệm bất kỳ 
 của (b) là nghiệm của (a) 
VD 2. Giải hệ phương trình 
 + + = + + =
 + + =
mx y z 0
 x my z 0
x y mz 0
VD 1. Tìm m để hệ phương trình thuần nhất sau chỉ có nghiệm 
tầm thường 
4 1 2 3
1 3 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9x x 7x 8x 0
2x 3x 3x 2x 0
5x x 2x 5x 0
3x 13x 14x 13x 0
 + + − + = + − − =

 + − + = − + − =