Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính 
Chương 0: Số phức
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
www.tanbachkhoa.edu.vn
Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính. Sinh viên 
sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải 
các bài toán cơ bản: tính định thức, làm việc với ma trận, bài toán giải 
hệ phương trình tuyến tính, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tìm trị 
riêng véc tơ riêng, đưa dạng toàn phương về chính tắc. 
Mục tiêu của môn học Toán 2
Số phức
Ma trận
Định thức
Hệ phương trình tuyến tính
Không gian véc tơ
Phép biến đổi tuyến tính
Trị riêng, véctơ riêng
Dạng toàn phương
Không gian Euclide
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đi học đầy đủ.
Làm tất cả các bài tập cho về nhà.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.
Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%)
Thi cuối kỳ: tự luận (80%)
liệu tham khảo
Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng
số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia
Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao
2.
www.tanbachkhoa.edu.vn
Đỗ Công Khanh. Đại số tuyến tính. NXB ĐH quốc gia
Nội dung
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Dạng đại số của số phức
0.2 – Dạng lượng giác của số phức
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa
0.5 – Khai căn số phức
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số
0.3 – Dạng mũ của số phức
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một số
Hay, không tồn tại số thực x sao cho x2 = -1.
Định nghĩa số i
i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
i2 = -1
Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn để ký
một số mà bình phương của nó bằng –1.
thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Định nghĩa số phức
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi
được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số
thực b được gọi là phần ảo của số phức z.
Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b =
thì a + bi = a + 0i = a là một số phức.
Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z).
Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z).
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác không
được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo
Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số
phức z.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép nhân hai số phức.
Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đó
z1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i
dụ
Tìm dạng đại số của số phức
z = (2 + 5i).(3+ 2i)
Giải
= (2 + 5i)(3 + 2i)
6 + 4i + 15i + 10 i2
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 19i + 10(-1) = -4 + 19i
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
dụ
Cho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i.
Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2.
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần 
ảo tương ứng bằng nhau.
Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 bằng nhau 
khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2.
Định nghĩa sự bằng nhau
Giải
1 2 2 3 3z z i m i= + = +
2
2
3 3
m
m
= 
 = 
= 
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức.
Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó
Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i
dụ
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z = (3 + 5i) + (2 - 3i).
Giải
= (3 + 5i) + (2 - 3i)
Re( ) 5; Im( ) 2.z z = =
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp
tương ứng. Khi đó:
z w
là một số thực.z z+
là một số thực.z z
khi và chỉ khi z là một số thực.z z=
z w z w+ = +
z w z w = 
z z=
với mọi số tự nhiên n( )n nz z=
Tính chất của số phức liên hợp
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Cộng, trừ, nhân hai số phức:
Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và 
phần ảo tương ứng.
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu 
thức đại số với chú ý i2 = −1.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i).
Định nghĩa số phức liên hợp
phức được gọi là số phức liên hợp của số
phức z = a + bi.
z a bi= -
Giải.
Vậy số phức liên hợp là 14 8 .= -z i
z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i
= 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i.
Lưu ý: So sánh với số phức.
Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một cách 
khác, không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + 
như trong trường số thực. Biểu thức z1 < z2 hoặc z2 ≥ z1 không có 
nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái 
niệm so sánh một cách khác. 
------------------------------------------------------------------
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Phép chia hai số phức.
1 1 1
2 2 2
z a ib
z a ib
+
=
+
1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
( )( )
( )( )
z a ib a ib
z a ib a ib
+ -
=
+ -
1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
z a a b b b a a b
i
z a b a b
+ -
= +
+ +
Muốn chia số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 
của mẫu. (Giả sử )2 0z 
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Thực hiện phép toán
i
i
-
+
5
23
Giải.
)5)(5(
)5)(23(
5
23
ii
ii
i
i
+-
++
=
-
+
125
210315 2
+
+++
=
iii
i
i
2
1
2
1
26
1313
+=
+
=
Nhân tử và mẫu cho số phức
liên hợp của mẫu là 5 + i.
Viết ở dạng Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( , )  = +M a b z a bi
 r
b
ao x
y
2 2 mod( )= + =r a b z
cos 
: 
sin 
 = 
 =
a
r
b
r
thực
trục ảo
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2mod( ) | |= = +z z a b
Định nghĩa Môdun của số phức
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa
như sau:
Ví dụ
Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i.
Giải
Vậy mod(z) = |z| =
2 2 2 23 ( 4) 5.+ = + - =a ba = 3; b = -4.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho z = a + bi và w = c + di.
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì
2 2 2 2| | ( 0) ( 0)= + = - + -z a b a b
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).
2 2| | ( ) ( )z w a c b d- = - + -
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tìm tất cả các số phức z thỏa
| 2 3 | 5- + =z i
Giải
| 2 3 | 5z i- + =
| (2 3 ) | 5z i - - =
đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5.
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tìm tất cả các số phức z thỏa
| | | | 4z i z i- + + =
Giải
| | | | 4- + + =z i z i
Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng 
khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước (0,1) và (0,-1) 
không thay đổi bằng 4 chính là ellipse.
0.2 Dạng lượng giác của số phức
----------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa argument của số phức
Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là 
arg( ) . =z
Góc được giới hạn trong khoảng 
Lưu ý.
0 2 hoặc - 
Công thức tìm argument của số phức.
2 2
2 2
cos
sin
= = 
 +
 = =
 + 
a a
r a b
b b
r a b
hoặc tg =
b
a
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Môđun:
dụ
Tìm dạng lượng giác của số phức 1 3.= - +z i
1; 3.= - =a b
1 1
os =
23 1
- -
= =
+
a
c
r
3 3
sin =
23 1
 = =
+
b
r
Suy ra
2
3
 =
Dạng lượng giác:
2 2| | 2.= = + =r z a b
Argument:
2 2
1 3 2(cos sin )
3 3
= - + = +z i i
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tìm tất cả các số phức z thỏa
| 2 | | 2 |z z- = +
Giải
| 2 | | 2 |- = +z z
Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng
cách từ đó đến hai điểm (2,0) và (-2,0) bằng nhau.
Đây chính là trục tung.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
dụ
Tìm argument của số phức 3 .= +z i
3; 1= =a b . Ta tìm góc thỏa: 
3 3
os =
23 1
 = =
+
a
c
r
1 1
sin =
23 1
 = =
+
b
r
Suy ra
6
 =
Vậy arg(z) =
6
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2; 0= + + z a bi a b
 (cos sin ) = +z r i
Dạng lượng giác của số phức
2 2
2 2 2 2
( )= + +
+ +
a b
z a b i
a b a b
(cos sin )z r i = +
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin )z r i z r i = + = +
bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác
1 2
1 2
1 2 2
r r
z z
k 
= 
= 
= + 
Phép nhân ở dạng lượng giác
1 2 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( ))z z r r i  = + + +
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và
argument cộng lại.
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
(1 )(1 3)= + -z i i
Dạng lượng giác:
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức
(1 )(1 3).= + -z i i
2( os in ) 2( os in )
4 4 3 3
 - -
= +  +z c is c is
2 2[ os( ) in( )]
4 3 4 3
 - -
= + + +z c is
2 2( os in ).
12 12
 - -
= +z c is
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác
1 1
1 2 1 2
2 2
(cos( ) sin( ))
z r
i
z r
 = - + -
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và
argument trừ ra.
1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin )z r i z r i = + = +
2 20 0. z r
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
2 2 3
3
-
=
- +
i
z
i
Dạng lượng giác:
7 7
2( os in ).
6 6
 - -
= +z c is
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức
2 12
.
3
-
=
- +
i
z
i
- -
4(cos sin )
3 3
5 5
2(cos sin )
6 6
+
=
+
i
i
- 5 - 5
2[cos( - ) sin( - )]
3 6 3 6
= +z i
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cos sinie i = +
Định lý Euler (1707-1783)
z a bi= +
(cos sin )z r i = +
iz re =
Dạng đại số của số phức z
Dạng lượng giác của số phức z
Dạng mũ của số phức z
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tìm dạng mũ của số phức sau
3= - +z i
Dạng lượng giác:
5 5
2(cos sin )
6 6
z i
= +
Dạng mũ:
5
62
i
z e
=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ. Cho z = 2 + i. Tính z5.
=+= 55 )2( iz
=++++++= 555
44
5
323
5
232
5
41
5
50
5 22222 iCiCiCiCiCC
=++-+-++= iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532
i4138+-=
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
2 ; iz e R += 
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn
2(cos sin )z e i = +
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
3 ; a iz e a R+= 
(cos3 sin3)az e i= +
Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa
thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n
z a bi= +
2 2 2( )( ) ( ) (2 )z z z a bi a bi a b ab i=  = + + = - +
3 3 3 2 2 3( ) 3 3 ( ) ( ) ...= + = + + + =z a bi a a bi a bi bi
0 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n n nn n n nz a bi C a C a bi C a bi C bi
- -= + = + + + +
nz A iB= +
--------------------------------------------------------------
Lũy thừa bậc n của số phức i:
i=1
12 -=
iiii -=-== )1(23
1)1()1(224 =--== ii
iiiii === 145
1)1(1246 -=-== iii
iiiii -=-== )(1347
111448 === iii
Lũy thừa bậc n của i
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in = ir, với r là phần dư của n chia
cho 4.
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tính
1987=z i
1987 4 496 3=  +
1987z i=
4 496 3 3i i i += = = -
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho z = 1 + i.
a) Tìm z3;
b) Tìm z100.
Ví dụ
3 3) (1 )a z i= + 2 31 3 3i i i= + + +
1 3 3z i i= + - -
2 2z i= - +
) Tính töông töï raát phöùc taïp. Ta söû duïng caùch khaùcb
[ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i n + = +
Công thức De Moivre
Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
z a bi= + (cos sin )r i = +
2 2(cos2 sin2 )z z z r i =  = +
3 2 3(cos3 sin3 )z z z r i =  = +
1 (cos sin )n n nz z z r n i n -=  = +
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:
a) (1 + i)25 200)31( i+-b)
20
17
)212(
)3(
i
i
+
-
c)
Giải. a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác
)
4
sin
4
(cos21
iiz +=+=
Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s:
)
4
25
sin
4
25
(cos)2()]
4
sin
4
(cos2[ 252525
iiz +=+=
Bước 3. Đơn giản )
4
sin
4
(cos221225
iz +=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa căn bậc n của số phức
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong 
đó n là số tự nhiên.
(cos sin )z a bi r i = + = +
2 2
(cos sin ) (cos sin )n nn k
k k
z r i z r i
n n
+ +
= + = = +
với k = 0, 1, 2, , n – 1.
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diễn các nghiệm lên 
trên mặt phẳng phức.
3 8a)
4 3 + ib) 8
16
1
i
i+
c)
6
1
3
i
i
+
-
d) 5 12i+e) 1 2i+f)
Giải câu a)
Viết số phức ở dạng lượng giác: 8 8(cos0 sin 0)i= +
Sử dụng công thức: 
3 0 2 0 28(cos0 sin 0) 2(cos sin )
3 3
k
k k
i z i
 + +
+ = = +
0,1,2.k =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của phương
trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào.
Hệ quả
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực,
a – bi cũng là một nghiệm phức.
Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng
sau đây
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu b)
Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức: 
44
2 2
6 62(cos sin ) 2(cos sin )
6 6 4 4
 + +
+ = = +k
k k
i z i
0,1,2,3.=k
3 2(cos sin )
6 6
+ = +i i
0 z 
1 z 
2 z 
 z 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng
minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.
Định lý cơ bản của Đại số
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
dụ
làm nghiệm.
2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
làm nghiệm.
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
Đa thức cần tìm là:
1 1 2 2( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z= - - - -
( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i= - + - + - -
2 2( ) ( 9)( 4 5)P z z z z= + - +
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C.
015 =-+ iza)
0122 =-++ izzd)
0224 =++ zzc)
012 =++ zzb)
Giải. Giải phương trình 02 =++ cbzaz
acb 42 -= Bước 1. Tính
Bước 2. Tìm 2,1
2 4 =-= acb
Bước 3. 1 21 2 ; 2 2
b b
z z
a a
- + - + 
= =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ
quả ta có 2 –i cũng là nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) =
= z2 – 4z + 5
P(z) có thể ghi ở dạng
P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)
z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm
của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
Tìm tất cả các nghiệm của 
biết 2 + i là một nghiệm. 
dụ
4536144)( 234 +-+-= zzzzzP
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải phương trình sau trong C.
9 0z i+ =
dụ
9z i= - 9z i = - 9 cos sin
2 2
z i
 - -
 = +
2 2
2 2cos sin
9 9k
k k
z i
- -
+ +
 = +
0,1,...,8.k =
Kết luận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. Dạng Lượng giác của số phức
)sin(cos irz +=
. Nâng lên lũy thừa
)sin(cos)]sin(cos[ ninrirz nnn +=+=
. Căn bậc n của số phức
2
sin
2
(cos)sin(cos
n
k
i
n
k
rzirz nk
nn
+
+
+
==+=
.1,...,3,2,1 -= nk
. Dạng Đại số của số phức
biaz +=
Thực hiện phép toán
tập 1
)2(
)32(
5
2
ii
i
z
-
+
=
Viết số phức sau ở dạng lượng giác.
tập 2
)3)(1( iiz ++-=
Viết số phức sau ở dạng đại số
tập 3
5)32( iz -=
Tìm tất cả các số phức z thỏa
tập 4
1|21| +- iz
Cho |z| = 2. Chứng tỏ
tập 5
6 8 13z i+ + 
Cho |z| = 1. Chứng tỏ
tập 6
21 | 3 | 4z - 
Tìm số phức z thỏa
tập 7
2z z i- = +
Tìm số phức z thỏa
tập 8
2
1 12 6z i z+ + =
Cho z là một số phức khác 0. Tìm môđun của số phức sau
tập 9
2008z i
z

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các
phức z thỏa mãn
Bài tập 10
z
k
z i
=
-
với k là số thực dương cho trước.
Tìm số phức z thỏa mãn
Bài tập 12
4
1
z i
z i
+ 
= 
- 
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
tập 11
1
1
z
z i
-
=
-
và
3
1
z i
z i
-
=
+
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
tập 13
3 2
1
i i
z
i i
- +
= -
+
Giải phương trình .
tập 14
2 | | 0z z+ =
Viết dạng lượng giác của mỗi số phức
tập 15
2) sin 2sin
2
 a i
 + ) cos (1 sin ) b i + +
Tìm số căn bậc hai của số phức z = - 8 + 6i.
Bài tập 16
Viết số phức sau ở dạng đại số
tập 17
5)32( iz -=
Tìm tất cả các số phức z thỏa
tập 18
1|21| +- iz
Chứng minh rằng nếu là một số ảo thì |z| = 1.
tập 20
1
1
z
z
+
-
Xác định phần thực của số phức
tập 19
1
1
z
z
+
-
biết rằng |z| = 1 và 1.z 
tập 21
Tính và 5cos 5sin
Tính và ncos nsin
tập 22
Tính , với
31
1
i
i
z
+
-
=6 z
tập 23
Tính , với 16=z4 z
Bài tập 24
Tính 3 22 i+-
tập 25
Tính i41+
tập 26
Giải phương trình 07 =+ iz
tập 27
Giải phương trình 012 =-++ izz
Bài tập 28
Chứng tỏ rằng số phức 2 + 3i là một nghiệm của phương trình
05216174 234 =+-+- zzzz
và tìm tất cả các nghiệm còn lại.
Bài tập 29
Giải phương trình
02)22()2( 23 =-+++- iziziz
biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
Bài tập 30
Phân tích x3 + 27 ra thừa số bậc nhất và bậc hai.
Bài tập 31
Tính 0 2 4 2006 20082008 2008 2008 2008 2008A C C C C C= - + -    - +
Bài tập 32
Tính
 nA cos3cos2coscos ++++=
Bài tập 33
Tính
cos cos( ) cos( ) cos( )A b b b b n = + + + + + +    + +2
Viết dạng lượng giác của mỗi số phức
tập 34
2) sin 2sin
2
 a i
 + ) cos (1 sin ) b i + +
Tìm số phức z sao cho |z| = |z – 2| và một argument của z – 2 bằng
tập 35
một argument của z + 2 cộng với .
2
Chứng minh rằng nếu ba số phức thỏa mãn
tập 36
thì một trong ba số đó phải bằng 1.
1 2 3, ,z z z
1 2 3
1 2 3
| | | | | |
1
z z z
z z z
= = 
+ + = 
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
tập 37
2
2
z
z
-
+
phức z sao cho có một argument bằng .
3