Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số một biến số - Trần Thị Khiếu

Chương 2: Hàm số một biến số
ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐ
• Tập X gọi là miền xác định.
• Tập Y=f(X) gọi là miền giá trị.
• x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối 
số.
• y=f(x) gọi là biến phụ thuộc hay còn 
được gọi là hàm số và được gọi là giá trị 
của hàm f tại x.
Cho ,  ⊂ ℝ,  ≠ ∅. Một ánh xạ  từ  vào  được gọi
là hàm số của một biến số
:  → 
  ↦  =  
∀,  ∈ ;  ≠  ⇒   ≠ ().
Đơn ánh.
Toàn ánh.
∀ ∈ , ∃ ∈ :   = .
Song ánh (vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh).

∀,  ∈ ;  ≠  ⇒   ≠ ()
∀ ∈ , ∃ ∈ :   =  
.
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
∀, − ∈ :   =  − ∀, − ∈ :   = −(−)
Hàm chẵn Hàm lẻ
Hàm số tuần hoàn
() tuần hoàn trên  với
chu kỳ  nếu:
∀,  +  ∈ :   =  +
Hàm số đơn điệu
• Ta nói hàm là hàm tăng, nếu( )f x
 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x X x x f x f x 
Một hàm tăng hay hàm giảm được gọi chung là hàm
đơn điệu.
• Ta nói nói hàm là hàm giảm, nếu
• Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là
tăng (giảm) ngặt.
 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x X x x f x f x 
( )f x
Hàm số bị chặn
Ta nói hàm bị chặn trên trong  bởi  ∈ ℝ , nếu
⇒   ≤ 
, ( )x X f x A 
Ta nói hàm bị chặn dưới trong  bởi B ∈ ℝ , nếu
⇒    ≥ 
Một hàm vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là
hàm bị chặn.
( )f x
( )f x
, ( )x X f x B 
Hàm số hợp
Cho hai hàm .: ; : g X Y f Y Z 
Khi đó tồn tại hàm hợp .:f g X Z 
( ( ))h f g f g x 
Cho hai hàm .: ; : g X Y f Y Z 
Khi đó tồn tại hàm hợp .:f g X Z 
( ( ))h f g f g x 
Ví dụ. 2( ) 3; ( ) g x x f x x 
 2( ) ( ( ) ( 3) 3f g x f g x f x x 
2 2( ) ( ( )) ( ) 3g f x g f x g x x 
Hàm số hợp
Cho . Tìm các hàm sau và miền
Ví dụ.
( ) ; ( ) 2 f x x g x x 
) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g xác định của nó:
4) ( ) 2 2 a f g x x x ( ,2]f gD 
) ( ) 2 b g f x x  0,4g fD 
4) ( ) c f f x x  0,f fD 
) ( ) 2 2 d g g x x  2,2g gD 
Cho . Tìm các hàm sau và miền
Ví dụ.
( ) ; ( ) 2 f x x g x x 
) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g xác định của nó:
Hàm số ngược
Nếu f : X Y 
x  y = f(x) 
là song ánh
thì  : Y X
y x = (y) , với y = f(x)
gọi là hàm ngược của f
Ký hiệu hàm ngược : = f 1
Cách tìm hàm ngược: 
1. Từ pt y = f(x) , giải tìm x = (y).
2. Hàm số y = (x) là hàm ngược cần
tìm.
2 3y x 
3
2
y
x
13 ( )
2
x
y f x 
1. Tìm hàm ngược của y = f(x) = 2x + 3 trên R
B1: giải pt y = f(x)
B2: Đổi vai trò của x, y trong biểu thức nghiệm:
Ví dụ.
2. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2 trên R+
2( )
0
y f x x
x
1( )x y f y 
Vậy :
1( )y f x x 
Các hàm số thông dụng
Hàm lũy thừa
  = 
Hàm mũ cơ số 
∀ ∈ ℝ, () = 
,0 1xy a a , 1xy a a 
Hàm logarit cơ số 
∀ ,  ∈ ℝ × ℝ:  = log  ⟺  = 
 
log ( ), 1ay x a 
log ( ), 0< 1ay x a 
Hàm lượng giác :  ,  
y = sinx, y = cosx MXĐ: R, MGT:[–1, 1],Tuần hoàn chu kỳ  = 2
y = tanx (MXĐ: {R\ /2 + k }), y = cotx (MXĐ: R\{ k }); MGT: R,
Tuần hoàn chu kỳ  = 
Hàm lượng giác : tan ,  
Hàm biến đổi
Cho hàm y = () và  > 0.
Hàm Hyperbolic
sin hyperbolic sinh( )
2
x xe e
x
cos hyperbolic cosh( )
2
x xe e
x
tan hyperbolic
sinh( )
tanh( )
cosh( )
x
x
x
cotan hyperbolic
cosh( )
coth( )
sinh( )
x
x
x
cosh( )y x Hàm sinh( )y x Hàm
tanh( )y x Hàm coth( )y x Hàm
BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC 
1cossin 22 xx 1shch 22 xx
 yxyxyx sinsincoscoscos  yxyxyx shshchchch 
 xyyxyx cossincossinsin xyyxyx chshchshsh 
 xxx 22 sin211cos22cos xxx 22 sh211ch22ch 
 xxx cossin22sin xxx chsh22sh 
2
cos
2
cos2coscos
yxyx
yx
2
ch
2
ch2chch
yxyx
yx
2
sin
2
sin2coscos
yxyx
yx
2
sh
2
sh2chch
yxyx
yx
Cohná thö ùc lö ôuná áãaùc Cohná thö ùc Hyperbolãc
Giới hạn hàm số
• Ta gọi  −lân cận của điểm  ∈ ℝ là khoảng :
Ω  = ( − ,  + )
• Gọi A-lân cận của +∞ là khoảng Ω +∞ = (, +∞)
với A>0 và khá lớn.
• Gọi B-lân cận của −∞ là khoảng Ω −∞ =
(−∞, −) với B>0 và khá lớn.
Lân cận điểm, điểm tụ
Giới hạn hàm số
lim ( )
x a
f x l
0, 0 : ( )x a f x l     
 &fx D x a 
(hữu hạn)
Cho hàm số  = () xác định trên miền  và  là điểm tụ của . 
Ta nói  là giới hạn của  khi  tiến gần tới  (hoặc tại ) nếu
lim ( )
x a
f x
 0A 0 | | ( ) , fx a f x A x D  
lim ( )
x a
f x
 0B 0 | | ( ) , fx a f x B x D  
lim ( )
x
f x l
 0 0A | ( ) | , fx A f x l x D  
lim ( )
x
f x l
 0 0B | ( ) | , fx B f x l x D  
0 0 , 0fx D a x  
Định nghĩa. (giới hạn trái)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm a, nếu
1
| ( ) | .f x l  
1lim ( )
x a
f x l
 ký hiệu
0 0 ,0fx D x a  
Định nghĩa. (giới hạn phải)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm a, nếu
2
| ( ) | .f x l  
2lim ( )
x a
f x l
 ký hiệu
Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm
không có giới hạn.
lim ( )
x a
f x l
 ( ) ,n fx D  ,
n
n nx a x a
  
( ) nnf x l
  
Nếu tìm được hai dãy mà' 0( ),( )n nx x x 
'( ), ( )n nf x f x
hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.
Liên hệ với dãy số
Nguyên lý kẹp
Cho 3 dãy thỏa mãn
Nguyên lý kẹp
, ,f g h ( ) ( ) ( )f x g x h x 
và ,khi đó
Nếu trong lân cận của  có và , thì
khi đó
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x l
 lim ( )
x a
g x l
( ) ( )f x g x lim ( )
x a
f x
lim ( )
x a
g x
00
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
u x a
v x b
Mệnh đề
0
( )
lim ( )
v x b
x x
u x a
0 0
( ) ( ) ln ( )
lim ( ) lim
v x v x u x
x x x x
u x e
 0
lim ( ) ln( ( ))
x x
v x u x
e 
ln .b a be a 
1
lim 1
x
x
e
x 
1
lim 1
x
x
e
x 
1
0
lim 1 x
x
x e
0sin
1) lim 1 
x
x
x
0
1
2) lim 1 
x
x
e
x
20
1 cos 1
3) lim
2
x
x
x
0
ln(1 )
4) lim 1 
x
x
x
0
(1 ) 1
5) lim 
x
x
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi 0 x
0
arctan
6) lim 1 
x
x
x
0
arcsin
7) lim 1 
x
x
x
0
tan
8) lim 1 
x
x
x
1/
0
9) lim 1 
x
x
x e
1/
0
1
10) lim 1 
x
x
x
e
1) lim , 0 
x
x
 2) lim ln , 0 
x
x
3) lim , 1 
 x
x
a a
1
4) lim 1 
x
x
e
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x
BẢNG TÓM TẮT GIỚI HẠN CƠ BẢN
1 lim , lim 0
0 1 lim 0, lim
x x
x x
x x
x x
a a a
a a a
0 lim ,
0 lim 0
x
x
x
x
1a 0 1a 
0
lim ln
lim ln
x
x
x
x
0 
0 
LƯU Ý KHI TÍNH GIỚI HẠN
1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn.
2.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp.
3.Nếu dạng VĐ là 0 , , chuyển về 0/0 hoặc / 
4.Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau:
a. lấy lim của lnf(x)
b.[u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x)
c.Dạng 1 , dùng gh (1+x)1/x e
0 0
5. lim 0 lim 0
x x x x
f x f x
VÍ DỤ
0
1 cos5
1/ lim
1 cos2x
x
x 
2
0
2
1 cos5
(5 )
lim
1 cos2
(2 )
x
x
x
x
x
1/ 2 25
1/ 2 4
Dạng 0/0
25
4
2
2
(5 )
(2 )
x
x
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
sin
0
1
3 / lim
x
x
e
x 
sin
0
1 sin
lim
sin
x
x
e x
x x 
1 1 1 
Dạng 0/0
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
20
3
4 / lim
x x
x
e
x 
Dạng 0/0
2
0
1 (3 1)
lim
x x
x
e
x 
2
0
1 3 1
lim 2
2
x x
x
e
x x 
2 ln3 
Có thể biến đổi như sau:
 22 3 13
3
x
x x
x
ee
x x
2
0 1 ln
3
x e  
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
30
tan sin
5 / lim
x
x x
x 
 Dạng 0/0
2 20
1 tan 1 sin
lim
x
x x
x xx x 
2 20
1 1
lim 0
x x x 
SAI
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
30
tan sin
5 / lim
x
x x
x 
 Dạng 0/0
30
tan (1 cos )
lim
x
x x
x 
20
tan 1 cos
lim
x
x x
x x 
1
1
2
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
4 3
2 3
6 / lim
2 1
x
x
x
x
(Dạng 1 )
2 1
44lim 1
2 1
x
x x
4 3
4
lim 1
2 1
x
x x
0
4
2 1x 
(4 3)x 
16 2 8e e 
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
220
ln(1 2 )
8 / lim
sinx
x
x 
2 2
2 20
ln(1 2 )
lim 2
2 sinx
x x
x x 
Dạng 0/0
22
20
ln(1 2 )
lim 2
sin2x
x x
xx 
(Biểu thức trong ln tiến về 1)
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
21
100
0
9 / lim x
x
x e
Dạng 0 
2
1
500
2
lim
1
x
x
e
x
50
lim
u
u
e
u 
ln
9 / lim 0, 0 
  
p
x
x
x
1
0
1 / lim 1 x
x
x e
0
ln (1 )
2 / lim 1
x
x
x 
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x 
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x 
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x 
20
1 cos 1
lim
2x
x
x 
0
lim 1,
tan
x
x
x 
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x 
0
lim 1,
arctan
x
x
x 
lim 0, 1 
xx
x
a
a
  
0
sinh
8 / lim 1,
x
x
x 20
cosh 1 1
lim
2 
x
x
x
Vô cùng bé
Ví dụ
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0x x 
0
lim ( ) 0.
x x
f x
là một vô cùng bé khi , vì0x 3( ) 3sin 2f x x x 
 3
0
lim 3sin 2 0.
x
x x
Tính chất của VCB
1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB.
2) Tích của hai VCB là một VCB.
3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB.
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi .
0x x 
Giả sử
0
( )
lim .
( ) 
x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x).0 k
( ) ( ( )) f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.1 k
( ) ( ) f x g x
So sánh VCB
2 4 2 3( ) tan ; ( ) sin 2 f x x x g x x x
Vì .
2 4
2 30 0
( ) tan
lim lim 1.
( ) sin 2 
 x x
f x x x
g x x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi .0 x
3 2 2( ) sin ; ( ) tan f x x x g x x x
Vì .
2 3
20 0
( ) sin
lim lim 0.
( ) tan 
 x x
f x x x
g x x x
Ví dụ
Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi .0 x
2 2 2( ) sin 2 ; ( ) tan 3 f x x x g x x
Vì .
2 2
20 0
( ) sin 2 1
lim lim .
( ) 3tan 3 
x x
f x x x
g x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .0 x
Các vô cùng bé thường gặp khi 0x 
Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi 0x 
1) sin x x
2) -1 xe x
2
3) 1- cos
2
x
x 
4) ln(1 ) x x 
5) (1 ) -1 x x 
6) arcsin x x
7) arctan x x
8) tan x x
9) sinh x x
2
10) cosh 1
2
 
x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn 2 30
ln(1 tan )
lim
sin 
 x
x x
I
x x
2ln(1 tan ) tan  x x x x x
2 30
ln(1 tan )
lim
sin 
 x
x x
I
x x
2
20
lim 1.
x
x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn 20
ln(cos )
lim
ln(1 ) 
 x
x
I
x
20
ln(1 cos 1)
lim
ln(1 ) 
 x
x
I
x
20
cos 1
lim
x
x
x
2
20
/ 2 1
lim
2 
x
x
x
2 3 2sin x x x 
Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
0
lim
Toåná hö õu haun caùc VCB
Toåná hö õu haun caùc VCB x x 0
lim
VCB baäc cuûa tö û
VCB baä
thaáp nhaát
thaáp nhaác cuûa m ãut a 
x x
2 3
3 2 2
2 3 ~ 3
sin 2 ~ 2
x x x x
x x x
VD: khi x 0
Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi .0 x
Ví dụ
3 2 31) ( ) f x x x
 2) ( ) sin 2 2 f x x
3) ( ) 2 1 xf x
3 44) ( ) 3sin f x x x
3
5) ( ) cos xf x e x
bậc 2/3.
bậc 1.
bậc 1/2.
bậc 3.
bậc 2.
 ~ , khi 0px ax x 
21 / ( ) sin( 2 )x x x 2~ 2x x ~ 2x 
22 / ( ) sin( tan 2 )x x x 
2~ tan 2x x 
2~ 2x x 
 a = −2, p = 1
 a = −2, p = 1
Tìm các hằng số a và p sao cho
3 / ( ) sin tan 2x x x 
~ 2x x x a = -1, p = 1
34 / ( ) ln 1 sin ( 1)xx e 
3~ sin ( 1)xe 
3~ ( 1)xe 3~ x a = 1, p = 3
VÍ DỤ
2x
3 / ( 1)( 1) sinxe x x 
21 / arctan sinx x 
x
24 / ln( 1) sinx x x 
x1x 2xx
x
x
x
 x x x
2 / tan sinx x 
Chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB 
ban đầu không tương đương
Ví dụ
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
là một vô cùng lớn khi vì x2( ) 2 3cos f x x x
2lim 2 3cos .
x
x x
Vô cùng lớn
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi .
0x x 
Giả sử
0
( )
lim .
( ) 
x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). k
( ) ( ( )) f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.1 k
( ) ( ) f x g x
Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp cao
0
lim
Toåná hö õu haun caùc VCL
Toåná hö õu haun caùc VCLx x 0
lim
VCL baäc cuûa tö û
VCL baäc
cao nhaát
cao cuûnh a ãaát maux x
2 3 32 3 ~ 2x x x x 
VD: khi x +∞
1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCL
2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác 
cấp tương đương với VCL bậc cao nhất
3. (x) ~ 1(x), khi x xo,
0
lim ( ) 0
x x
f x a
( ) ( )f x x ~ ( )a x 1~ ( )a x 
4. Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn: giống 
VCB
Nguyên tắc thay thế VCL
5. f(x) bị chận trong lân cận x0, (x) là VCL 
khi x x0 (x) + f(x)  (x) khi x x0.
1. Khi x + , m > n >0: 
xm là VCL bậc cao hơn xn.
2. Khi x + , p > 0, > 0, a > 1: 
ln  ≪  ≪ 
/2
1 / lim
x
xx
xe
x e 
/2
lim
x
xx
xe
e 
 /2lim xx
x
e 
/2
2lim 2 0
xx
x
e 
/2
2 / lim
x
xx
xe
x e 
/2
lim
x
x
xe
x 
/2lim 0x
x
e
Ví dụ
Liên tục của hàm số
Hàm được gọi là liên tục tại , nếu xác định( )y f x 
tại điểm này và
a
lim ( ) (a).
x a
f x f
Nếu hàm không liên tục tại , ta nói hàm gián đoạn tạia
điểm này.
Hàm liên tục tại một điểm
Hàm liên tục một phía tại một điểm
lim ( ) (a)
x a
f x f
lim ( ) (a)
x a
f x f
f liên tục phải tại a nếu:
f liên tục trái tại a nếu:
f liên tục tại a  f liên tục phải và trái tại a.
sin
, 0,
( )
1, 0.
x
x
xf x
x
0 0
sin
lim ( ) lim 1
x x
x
f x
x 
0 0
sin
lim ( ) lim 1
x x
x
f x
x 
VD
 f liên tục phải nhưng không liên
tục trái tại x = 0.
Điểm gián đoạn loại 1, loại 2
1) Điểm gián đoạn loại một:
Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số ( )y f x a
giới hạn trái f() và phải f() tồn tại và hữu hạn.
a là điểm khử được: f() = f()
2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một.
Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại
hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.
a là điểm nhảy: (a ) (a )f f 
bước nhảy: (a ) (a )h f f
(a ) lim ( )
x a
f f x
(a ) lim ( )
x a
f f x
x = 2 là điểm gián
đoạn loại một khử
được.
x = 0 là điểm gián đoạn
loại hai.
Tính chất của hàm số liên tục
Cho là hai hàm liên tục tại , khi đó( ), ( )y f x y g x a
liên tục tại .1) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x f x g x f x g x 
2) Nếu , thì liên tục tại .( ) 0g x 
( )
( )
f x
g x
Nếu f(x) liên tục tại a, g(y) liên tục tại b= f(a) thì
g(f(x)) liên tục tại a .
Phép hợp các hàm số liên tục
1.Hàm số f liên tục trên [a, b] 
f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b),
f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.
2.* f liên tục trên [a, b] thì f bị chận trên [a, b]
* f liên tục trên [a, b] thì f đạt gtln và gtnn trên [a, b]
Hàm số liên tục trên [a,b]
Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì
tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.
Định lý Bozano- Côsi ( giá trị nhị trung gian).
Nếu liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B( )y f x 
thì tồn tại sao cho[ , ]C A B  0 ,x a b 0( ) .f x C 
Hàm số liên tục trên [a,b]
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:
1/ hàm hằng 2/ hàm lũy thừa y x
3/ hàm mũ ; 0, 1
xy a a a 
4/ hàm logarit log ; ( 0, 1)ay x a a 
5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược
7/ hàm hyperbolic
Hàm sơ cấp cơ bản
Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản
bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia, khai căn và phép hợp.
1
sin3 ln
2
y x
x
Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
là hàm sơ cấp
Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.
Hàm sơ cấp
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
sin
0, ( )
x
x f x
x
 
Ví dụ
sin
, 0
( )
1, 0
x
x
f x x
x
Khảo sát tính liên tục
0 0
sin sin
lim 1 lim (0)
x x
x x
f
x x 
 Tại x = 0:
Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
sin
0, ( )
x
x f x
x
 
Ví dụ
sin
, 0
( )
1, 0
x
x
xf x
x
Khảo sát tính liên tục
0
sin
lim 1
x
x
x 
 Tại x = 0:
x = 0 là điểm nhảy.
0
sin
lim 1
x
x
x 
Bước nhảy: 0 0 1 ( 1) 2.h f f