Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố - Phan Văn Tân

10:10:14
LÝ THUYẾT 
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ 
TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
• Kết quả ngẫu nhiên của phép thử có thể đặc trưng định 
tính bởi sự kiện ngẫu nhiên
o Mô tả bằng lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp }
• Để đặc trưng định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của 
phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên
• Các định nghĩa:
o Một đại lượng nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng 
nào đó gọi là đại lượng ngẫu nhiên
o Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà khi tiến hành một loạt 
phép thử trong cùng một điều kiện như nhau có thể mỗi lần 
nhận được giá trị này hoặc giá trị khác hoàn toàn không biết 
trước được
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
• Cách gọi: 
o Nhiều khi đại lượng ngẫu nhiên còn được gọi là biến ngẫu 
nhiên Î Hai cách gọi tương đương nhau
• Ký hiệu: 
o Thông thường các đại lượng ngẫu nhiên (hay các biến ngẫu 
nhiên) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in hoa: X, Y, 
Z,, hoặc các ký tự Hylạp: ξ, η, ζ,
o Các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại 
lượng ngẫu nhiên có thể nhận) được ký hiệu bằng các chữ cái 
Latinh in thường tương ứng: x, y, z,
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
• Phân loại: 
 Căn cứ vào tập giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên người ta 
phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên
o Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể có của 
nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Ví dụ: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận được khi gieo 
một con xúc xắc. Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,, x6=6
o Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp các giá trị có thể của 
nó lấp đầy một khoảng nào đấy của trục số hoặc cả trục số, tức 
nó là tập hợp vô hạn và không đếm được
• Ví dụ: Gọi Y là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ không khí (oC) đo 
được ở Hà Nội. Vậy Y={y, y∈[-10; 50]}
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
• Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà các giá trị có thể của nó là
tập {x1, x2,, xn,} với P(X=xi) = pi, i=1,2,
o Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau
o Trong đó Σpi = 1, pi ≥ 0 ∀i=1,2,
• Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt nhau. Gọi X là biến 
ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy lập bảng phân bố của X
o Giải: Số lần xuất hiện mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, do đó X={0,1,2}
o Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5
o Sự kiện X=0: X=1: hoặc Sự kiện X=2: 
o Vì các Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25 
pn
xn
...pi ...p2p1 P
...xi...x2x1X
21 AA 21 AA 21AA 21AA
0.250.50.25P
210XÎ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
• Ví dụ 2: Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn từng phát cho tới khi 
hoặc trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi. Hãy lập bảng phân 
bố xác suất của số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích ở mỗi phát là
0.8
o Giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số đạn chi phí. Vậy X={ 1, 2, 3 }
o Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ nhất trúng đích (do đó không bắn tiếp nữa), Î
P(X=1) = p1= 0.8
o Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ nhất trượt và phát thứ hai trúng, 
P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16
o Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ nhất và thứ hai đều trượt (do đó cần bắn phát thứ
ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8)2 = 0,04
0.040.160.8P
321X
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
• Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A 
ở mỗi phép thử không đổi bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số
lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử. Hãy lập bảng phân bố xác 
suất của X.
o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3,, n }
o Xác suất của sự kiện X=k (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức Bernoulli
o Từ đó
 k
P
n10X
nkppCkPkXPp knkknnk ,...,1,0,)1()()( =−==== −
000 −n
n qpC
111 −n
n qpC
nnnn
n qpC
−
(q = 1-p)
Để ý đến hệ thức 
nhị thức Newton
knkk
n qpC
−
∑
=
−=+
n
k
knkk
n
n baCba
0
)(
ta có đẳng thức
1)(
00
=+== ∑∑
=
−
=
n
n
k
knkk
n
n
k
k qpqpCp
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
• Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà các giá trị có thể của nó lấp đầy một 
khoảng hoặc cả trục số. Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục
o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay 
hàm mật độ xác suất)
o Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu 
nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (a,b) được xác định bởi
∫
∞+
∞−
=
∞+−∞∈∀≥
1)()2
),(,0)()1
dxxf
xxf
∫=<<
b
a
dxxfbXaP )()(
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
• Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng
Hãy xác định giá trị của c.
o Giải: Theo định nghĩa, 
o Ta có:
o Vậy, 
⎩⎨
⎧
><
≤≤=
ba,xkhi x
bxakhic
xf
0
)(
1)( =∫
+∞
∞−
dxxf
∫ ∫ ∫
+∞
∞−
=−===
b
a
b
a
abccdxdxxfdxxf 1)()()(
ab
c −=
1
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
• Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x 
được xác định bởi F(x) = P(X < x)
o Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng
o Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể được xem như xác suất để khi 
gieo một điểm ngẫu nhiên thì điểm này rơi vào nửa bên trái trên trục số của x 
(hình vẽ) 
∑ ∑
< <
===
xx xx
ii
i i
pxXPxF )()(
x
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
• Các tính chất của hàm phân bố
1) Hàm phân bố xác định với ∀x∈(-∞, +∞)
2) 0 ≤ F(x) ≤ 1; F(-∞) = 0; F(+∞) = 1
3) Hàm phân bố là một hàm không giảm: Nếu x1<x2 thì F(x1) ≤ F(x2)
4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)
• Chứng minh:
o Các tính chất 1) và 2) suy ra từ định nghĩa: F(x)=P(X<x)
F(-∞) = P(X< -∞) ∼ P(V)=0; F(+∞) = P(X< +∞) ∼ P(U)=1
o Tính chất 3): Nếu x1<x2 Î {X<x2}={X<x1}+{x1≤X<x2}: Tổng 2 sự kiện 
xung khắc
Î P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2) (*)
Hay F(x2) = F(x1) + P(x1≤X<x2) Î F(x1) ≤ F(x2) 
o Tính chất 4): Thay vai trò của x1 và x2 trong (*) bởi a và b ta được
P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
• Ví dụ 1. Tiến hành bắn 3 phát súng độc lập vào bia; xác suất trúng 
đích của mỗi phát bằng 0.4. Lập hàm phân bố của số lần bắn trúng 
bia.
o Giải: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng bia, X có thể lấy 
các giá trị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Khi đó:
o p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0(1-0.4)3= 0.216
o p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1(1-0.4)2= 0.432
o p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C32(0.4)2(1-0.4)1= 0.288
o p4 = P(X=x4)=P(X=3) = C33(0.4)3(1-0.4)0= 0.064
0.216
0
0.0640.2880.432P
321X
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>=+++
≤<++
≤<+
≤<
≤
=
31064.0288.0432.0216.0
32288.0432.0216.0
21432.0216.0
10216.0
00
)(
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xF
∑
<
=
xx
i
i
pxF )(
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
• Đồ thị hàm phân bố
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>=+++
≤<++
≤<+
≤<
≤
=
31064.0288.0432.0216.0
32288.0432.0216.0
21432.0216.0
10216.0
00
)(
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xF
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
• Ví dụ 2. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X được cho dưới dạng
a) Giả thiết F(x) liên tục, tìm hệ số a và vẽ đồ thị của F(x); 
b) Tính xác suất P(1<X<2)
o Giải: a) Theo giả thiết F(x) liên tục, nên khi x = 3 ta có a(x - 1)2 =1, từ đó 
a=1/4. Đồ thì của F(x) là đường parabol F(x)=0,25(x-1)2 trên khoảng (1;3)
o b) Theo giả thiết P(X=1)=0 nên P(1<X< 2) = P(1≤X<2) = F(2)-F(1) = 1/4
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
31
31)1(
10
)( 2
xkhi
xkhixa
xkhi
xF
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
31
31)1(25.0
10
)( 2
xkhi
xkhix
xkhi
xF
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất
• Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc
o Các pi lập thành bảng phân bố xác suất
• Đối với biến ngẫu nhiên liên tục
o P(x≤X<x+Δx) = F(x+Δx)-F(x)
o Lập tỷ số
o Nếu hàm F(x) khả vi, lấy giới hạn đẳng thức trên khi Δx→0
o Giới hạn này, nếu tồn tại, được gọi là hàm mật độ xác suất
∑=
i
ipxF )(
)()( xXPxF <=
x
xFxxF
x
xxXxP
Δ
−Δ+=Δ
Δ+<< )()()( Được gọi là xác suất trung bình để X nhận giá trị trên một 
đơn vị độ dài của khoảng Δx
)()()(lim)(lim
00
xF
x
xFxxF
x
xxXxP
xx
′=Δ
−Δ+=Δ
Δ+<<
→Δ→Δ
dx
xdFxf )()( = ∫
∞−
=
x
dxxfxF )()(
)()( xFxf ′=
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất
• Tính chất:
1) f(x) ≥ 0 (theo định nghĩa)
2) (theo định nghĩa)
3)
Chứng minh:
1)( =∫
+∞
∞−
dxxf
∫=<≤
b
a
dxxfbXaP )()(
∫ ∫∫
∞−∞−
=−=−=<≤
a b
a
b
dxxfdxxfdxxfaFbFbXaP )()()()()()(
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất
• Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng
Hãy xác định f(x), F(x) và vẽ đồ thị của f(x), F(x)
o Giải: Từ ví dụ mục trước 
o Do đó:
⎩⎨
⎧
><
≤≤=
ba,xkhi x
bxakhic
xf
0
)(
∫ ∫ ∫
+∞
∞−
=−===
b
a
b
a
abccdxdxxfdxxf 1)()()(
ab
c −=
1
∫
∞−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤≤−
−
<
==
x
bxkhi
bxakhi
ab
ax
axkhi
dxxfxF
1
0
)()(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><
≤≤−=
ba,xkhi x
bxakhi
abxf
0
1
)(
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất
• Đồ thị hàm mật độ và hàm phân bố
∫
∞−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤≤−
−
<
==
x
bxkhi
bxakhi
ab
ax
axkhi
dxxfxF
1
0
)()(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><
≤≤−=
ba,xkhi x
bxakhi
abxf
0
1
)(
Biến ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân bố đều
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố nhị thức:
o Tiến hành n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép 
thử không đổi bằng P(A)=p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A 
trong n phép thử. Phân bố của X được gọi là phân bố nhị thức
• Phân bố Poisson
o Trong phân bố nhị thức, nếu giả thiết rằng, xác suất xuất hiện sự kiện A phụ
thuộc vào số lần thử n sao cho khi n→∞ mà P(A)=p→0 và np→λ=const, thì
phân bố nhị thức sẽ tiệm cận đến phân bố Poisson:
nkppCkXPkP knkknn ,...,1,0,)1()()( =−=== −
...2,1,0,
!
)()( ====
−
k
k
ekXPkP
kλλ
Nhận thấy: λ>0
Tham số λ được gọi là trung bình số lần xuất hiện
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Đồ thị của hân bố nhị thức và phân bố Poisson:
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố chuNn:
o Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất 
của nó có dạng
o Trong đó (-∞<x<+∞), μ và σ là các tham số của phân bố
o Î Ký hiệu X∈N(μ,σ)
o Đồ thị hàm mật độ là một đường cong đối xứng qua trục x=μ và có cực đại 
bằng 
o Trường hợp riêng, X∈N(0,1), khi đó hàm mật có dạng
o và biến X được gọi là có phân bố chuẩn chuẩn hóa
2
2
1
2
1)(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= σ
μ
πσ
x
exf
πσ 2
1
max =f
2
2
2
1)(
x
ex
−= πϕ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
o Đồ thị
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố chuNn:
o Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X có phân bố chuNn được xác định bởi
o Với phân bố chuNn chuNn hóa ta có: 
∫
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
x x
dxexF
2
2
1
2
1)( σ
μ
πσ
∫
∞−
−=
x x
dxex 2
2
2
1)( πφ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố mũ:
o Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố mũ nếu hàm mật độ xác suất của 
nó có dạng
o Và hàm phân bố có dạng
)0(
0
00
)( >
⎩⎨
⎧
>
≤= − λλ λ xkhie
xkhi
xf x
⎩⎨
⎧
>−
≤= − 01
00
)(
xkhie
xkhi
xF xλλ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố χ2 (Khi bình phương)
o N ếu Xi∈N (0,1), i=1..n, khi đó biến ngẫu nhiên 
 được gọi là có phân bố χ2
o Hàm mật độ và hàm phân bố xác suất của phân bố χ2 có dạng
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
≤
= −− 0
2
2
00
)( 2
2
1
2
xkhie
n
x
xkhi
xf
x
n
n
Tham số n 
được gọi là
số bậc tự do
∑
=
=
n
i
iXn
1
22 )(χ
∫ −−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
=
x tn
n dtetn
xF
0
2
1
2
2
2
2
1)(
∫+∞ −−=Γ
0
1)( dttex xt
π=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
=Γ
Γ=+Γ
2
1
1)1(
)()1( xxx
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Đồ thị hàm mật độ của phân bố χ2
Phụ thuộc vào số bậc tự do n
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố Student (phân bố t):
o N ếu 
o thì biến ngẫu nhiên 
 được gọi là có phân bố Student hay phân bố t
o Hàm mật độ của phân bố t có dạng
2
1
2
1
2
2
1
)(
+−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
=
n
n
x
nn
n
xf
π
Hàm mật độ là một hàm chẵn
Tham số n được gọi 
là số bậc tự do
n
nXNX )(),1,0( 21
χ∈∈
2
1
X
XX =
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
o Đồ thị hàm mật độ của phân bố t
- Đối xứng qua trục tung
- Phụ thuộc vào tham số n
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố F (Fisher)
o N ếu 
o thì biến ngẫu nhiên 
o được gọi là có phân bố F (hay phân bố Fisher) 
o Hàm mật độ xác suất của nó có dạng
Các tham số
n1, n2 được gọi 
là các bậc tự do
),,()(
)()2
()
2
(
)
2
(
)(
21,
2
21
1
2
21
212221
21
21
121
nnxfxf
nxn
x
nn
nnnn
xf
nn
nn
nnn
≡≡
+
+
= +
−
ΓΓ
Γ
2
2
2
2
1
1
2
1
)(,)(
n
nX
n
nX χχ ∈∈
22
2
11
2
2
1
/)(
/)(
nn
nn
X
XX χ
χ==
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Đồ thị hàm mật độ của phân bố F (Fisher)
Phụ thuộc vào hai tham số n1, n2
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
Một số khả năng ứng dụng các phân bố lý thuyết
• Đã xét các phân bố:
o Phân bố nhị thức
o Phân bố Poisson
o Phân bố chuNn
o Phân bố chuNn chuNn hóa
o Phân bố mũ
o Phân bố χ2 (Khi bình phương)
o Phân bố Student (t)
o Phân bố F (Fisher)
Dùng để xấp xỉ các 
phân bố thực nghiệm
Dùng làm phân bố
mẫu trong các bài toán 
kiểm nghiệm giả thiết 
thống kê
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
Sử dụng EXCEL để xác định các phân bố
o Phân bố nhị thức: BINOMDIST(k, n, p, Cumulative)
o Phân bố Poisson: POISSON(k, Lamda, Cumulative)
o Phân bố chuNn: NORMDIST(x, μ, σ, Cumulative)
o Phân bố chuNn chuNn  ... 
1)(
Đạo hàm 
theo p ∑= −−− −=+−
n
k
knkk
n
n qpCkkqpnn
0
22 )1())(1(
N hân hai vế với p2 ∑
=
−− −=+−
n
k
knkk
n
n qpCkkqpnnp
0
22 )1())(1(
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
???
0
== ∑
=
−n
k
knkk
nx qpkCm npmx =
2
00
222 )1())(1( pnnqpkCqpCkqpnnp
n
k
knkk
n
n
k
knkk
n
n −=−=+− ∑∑
=
−
=
−−
∑
=
−=
n
k
knkk
n qpCkXM
0
22 ][ nppnnXM +−=⇒ 22 )1(][
22222 )1(][ pnnppnnmXMD xx −+−=−=⇒
npqpnppnnpnppnDx =−=−+−= )1(22222
npqnpqD xx == σ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
5. Phân vị
• Định nghĩa: Phân vị cấp p của đại lượng ngẫu nhiên X là một số
có cùng thứ nguyên với X, ký hiệu là xp, và được xác định bởi 
F(xp) = p, trong đó F(x) là hàm phân bố của X
• N ếu p=0.5: F(x0.5) = 0.5 Î x0.5 = Mex = Trung vị
x0.25 x0.5 x0.75
Khi p=0.25: x0.25
Khi p=0.5: x0.5
Khi p=0.75: x0.75
Các phân vị này chia tập các 
giá trị của X thành 4 khoảng 
có cùng xác suất 0.25
Chúng được gọi là tứ vị
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
5. Phân vị
• Ví dụ: Biến ngẫu nhiên X phân bố đều có hàm mật độ và hàm 
phân bố được cho bởi:
Hãy xác định các tứ vị của X.
• Giải: Ta có
• x0.25: F(x0.25)=(x0.25-a)/(b-a)=0.25 Î x0.25=a+(b-a)/4
• x0.5: F(x0.5)=(x0.5-a)/(b-a)=0.5 Î x0.5=a+(b-a)/2
• x0.75: F(x0.75)=(x0.75-a)/(b-a)=0.75 Î x0.75=a+3(b-a)/4
∫
∞−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤≤−
−
<
==
x
bxkhi
bxakhi
ab
ax
axkhi
dxxfxF
1
0
)()(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><
≤≤−=
ba,xkhi x
bxakhi
abxf
0
1
)(
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
5. Phân vị
• Với a=1, b=5:
• x0.25=1+(5-1)/4=2
• x0.5=1+2(5-1)/4=3
• x0.75=1+3(5-1)/4=4
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
6. Mômen
• Định nghĩa 1: Mômen gốc bậc k của đại lượng ngẫu nhiên X là
một số ký hiệu là mk, và được xác định bởi mk=M[Xk]
• Từ đó
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑
∞+
∞−
tôc nliª lµX nÕu
r¹c rêi lµX nÕu
dxxfx
px
XMm
k
i
i
k
i
k
k
)(
][
N ếu k=1: m1 = M[X] = mxÎ Kỳ vọng là mômen gốc bậc 1
N ếu k=2: m2 = M[X2] Î Thường dùng trong tính toán trung gian
Ví dụ: Dx = D[X] = M[X2] – (M[X])2 = m2 – m12 = m2 – mx2
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
6. Mômen
• Định nghĩa 2: Mômen trung tâm bậc k của đại lượng ngẫu nhiên 
X là một số ký hiệu μk, và được xác định bởi μk=M[(X-M[X])k]
Từ đó
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
=−=
∫
∑
∞+
∞−
tôc nliª lµX nÕu
r¹c rêi lµX nÕu
dxxfmx
pmx
XMXM
k
x
i
i
k
xi
k
k
)()(
)(
]])[[(μ
])[(:4
])[(:3
])[(:2
0)][(:1
4
4
3
3
22
2
1
x
x
xxx
xxx
mXMk
mXMk
DmXMk
mmmXMk
−==
−==
==−==
=−=−==
μ
μ
σμ
μ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
6. Mômen
• Liên hệ giữa mômen gốc và mômen trung tâm
• Sử dụng nhị thức N ewton
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−= ∑
=
−k
i
i
x
iki
k
ik
xk mXCMmXM
0
)1(])[(μ
[ ]∑
=
−−=
k
i
ikii
k
i XMmC
0
1)1( ∑
=
−−=
k
i
ik
ii
k
i mmC
0
1)1(
∑
=
−−=
k
i
ik
ii
k
i
k mmC
0
1)1(μ
Ví dụ: Với k=2 ta có μ2 = m2 - 2(m1)2 + (m1)2 = m2 - (m1)2
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
6. Mômen
• N hận thấy: Khi r=2k-1, k=1,2,
• Î N ếu X có phân bố đối xứng đối với kỳ vọng thì mọi mômen 
trung tâm bậc lẻ đều bằng không (vì tích phân của hàm lẻ trên 
khoảng đối xứng). 
• Do đó người ta sử dụng mômen trung tâm bậc ba để đặc trưng 
cho mức độ bất đối xứng của phân bố
⎩⎨
⎧
≠=−= ∫
+∞
∞− l¹i ng−îc nÕu0
ch½n hµm lµm-f(x nÕu x )0)()( dxxfmx rxrμ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
6. Mômen
• Î Thứ nguyên của μ3 bằng thứ nguyên của X3Î Không so sánh 
được giữa các phân bố với nhau
• Î Thay cho μ3 người ta dùng đại lượng vô thứ nguyên 
])[( 33 xmXM −=μ
( ) ( )32
3
3
3
3
3
)[(
])[(
x
x
xx mXM
mXM
D
A
−
−=== μσ
μ Gọi là độ bất đối 
xứng hay hệ số
bất độ xứng
4
4
x
E σ
μ=• Đại lượng gọi là độ nhọn, đặc trưng cho mức độ
“nhọn” hơn hay “tù” hơn phân bố chuNn
10:10:14
Ý nghĩa của độ bất đối xứng
3
3
x
A σ
μ=
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 2 4 6 8 10
A=0
A>0 A<0
10:10:14
Ý nghĩa của độ nhọn
34
4 −=
x
E σ
μ
Nhọn hơn “chuẩn” hay tù hơn “chuẩn” !
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
• Ví dụ: Cho X∈N (μ,σ). Hãy xác định kỳ vọng, phương sai của X. 
Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|<3σ). 
Giải:
∫∫
∞+
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−∞+
∞−
== dxxedxxxfm
x
x
2
2
1
2
1)( σ
μ
πσ σ
μ−= xtĐặt
dtdxtx σσμ =+=⇒ ,
∫
+∞
∞−
−+= dtetm
t
x σσμπσ
2
2
)(
2
1
∫∫
+∞
∞−
−+∞
∞−
− += dttedtem
tt
x
22
22
2
1
2
1 σπμπ
=0 do t/p hàm lẻ
μππ
μ
π
μ === ∫
+∞
∞−
−
2
22
2
2
dtem
t
x μ=xm
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
22
1
222
2
2
1][ x
x
xx mdxexmXMD −=−= ∫
∞+
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− σ
μ
πσ σ
μ−= xtĐặt
∫∫
+∞
∞−
−+∞
∞−
− ++=+= dtettdtetXM
tt
σσμσμπσσσμπσ
22222222
22
)2(
2
1)(
2
1][
∫∫∫
+∞
∞−
−+∞
∞−
−+∞
∞−
− ++= dtetdttedte
ttt
22
2
22
2 222
22
2
2 π
σ
π
μσ
π
μ
=0 do t/p hàm lẻ
μ=xm
∫
+∞
∞−
−+= dtet
t
22
2
2
2
2π
σμ
π2)( 222222
22222
+=+−=−=
+∞
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
− ∫∫∫∫ ttttt tedtetedtdedtet
2222 σμσμ =−+=xD =0
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
• Ý nghĩa của hai tham số μ và σ của phân bố chuNn:
• μ là kỳ vọng của X, σ là độ lệch chuNn của X
μ=1, σ=2
μ=2, σ=2
μ=1, σ=1
μ=1, σ=2
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
• Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|<3σ). 
∫∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−==<≤
b
a
xb
a
dxedxxfbXaP
2
2
1
2
1)()( σ
μ
πσ σ
μ−= xtĐặt
dtdx
tx
σ
σμ
=
+= ,
σ
μ
σ
μ −=⇒=−=⇒= btbxatax ,
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Φ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Φ===<≤ ∫∫
−
−
−
−
−
−
σ
μ
σ
μ
πσπσ
σ
μ
σ
μ
σ
μ
σ
μ
abdtedtebXaP
b
a
t
b
a
t 22
2
1
2
1
2
1
2
1)(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Φ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−Φ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+Φ=
=+<<−=<−
σ
α
σ
α
σ
α
σ
μαμ
σ
μαμ
αμαμαμ
2
)()( XPXP
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
• Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|<3σ). 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=<−⇒ σ
ααμ 2)( XP
( ) 68.0122)( ≈Φ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=<−⇒ σ
σσμXP
( ) 95.02222)2( ≈Φ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=<−⇒ σ
σσμXP
( ) 9973.03232)3( ≈Φ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=<−⇒ σ
σσμXP Qui tắc ba 
xicma (3σ)
Nếu X có phân bố chuẩn thì hầu như chắc chắn X 
sẽ nhận trị số trong khoảng (μ−3σ ; μ+3σ)
10:10:14
• 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
Nếu X có phân bố chuẩn thì hầu như chắc chắn X 
sẽ nhận trị số trong khoảng (μ−3σ ; μ+3σ)
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Định nghĩa: Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng 
của biến ngẫu nhiên trong đó λ là một biến số thực
• N ếu X là rời rạc:
XieY λ=
][][)( XieMYMg λλ ==
∑=
k
k
xi peg kλλ)( ,...2,1),( === kxXPp kk
• N ếu X là liên tục 
có mật độ f(x) ∫
+∞
∞−
= dxxfeg xi )()( λλ
Công thức này được gọi là
phép biến đổi Fourier hàm f(x)
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Các tính chất:
1. N ếu gx(λ) là hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên X, thì hàm 
đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Y=aX+b bằng
)()( λλ λ ageg xiby =
)(][
][][][)(
)(
)(
λ
λ
λλλ
λλλλ
ageeMe
eeMeMeMg
x
biXaibi
aXibibaXiYi
y
==
==== +
• Chứng minh: Ta có
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Các tính chất:
2. Hàm đặc trưng của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng 
tích các hàm đặc trưng của từng hạng tử
• N ếu X1, X2, ..., Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có các hàm 
đặc trưng )(),...,(),(
21
λλλ
nxxx
ggg ∑
=
=
n
k
kXX
1
Giả sử
Khi đó:
[ ] ∏∏∏
===
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ∑= =
n
k
x
n
k
Xi
n
k
Xi
Xi
x k
kk
n
k
k
geMeMeMg
111
)()( 1 λλ λλλ
• Chứng minh:
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Các tính chất:
3. Giá trị của hàm đặc trưng bằng đơn vị khi λ=0
4. Hàm đặc trưng xác định duy nhất hàm mật độ
∫
+∞
∞−
−= λλπ
λ dgexf xi )(
2
1)(
( ) 1)(0 == ∫
+∞
∞−
dxxfg
• Chứng minh: Ta có
• Ta có ∫
+∞
∞−
= dxxfeg xi )()( λλ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Các ví dụ
1) Tìm hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X có phân bố được cho 
bởi
• Giải: Ta có
11
)1(][)( 10
+−=+−=
=+−=== ××∑
ppepep
pepepeeMg
ii
ii
k
k
xiXi k
λλ
λλλλλ
p1–pp
10X
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Các ví dụ
2) Cho các biến ngẫu nhiên Xk độc lập có phân bố:
Tìm hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
,...2,1,1][)( =+−== kppeeMg iXik k λλλ
p1–pp
10Xk
∑
=
=
n
k
kXX
1
• Giải: Theo tính chất 2, hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu 
nhiên độc lập bằng tích các hàm đặc trưng thành phần, do đó
ni
k
k
ppegg )1()( +−==⇒ Π λλ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.7 Hàm đặc trưng
• Các ví dụ
3) Cho X là biến ngẫu nhiên có phân bố chuNn chuNn hóa. Tìm hàm 
đặc trưng của X
• Giải: Vì X∈N (0,1) nên
2
2
1
2
1)(
x
exf
−= π
[ ] ∫∫∫
∫∫∫
∞+
∞−
−−∞+
∞−
−−−∞+
∞−
+−−
+∞
∞−
+−−−+∞
∞−
−−+∞
∞−
−
===
====⇒
dueedxeedxe
dxedxedxeeeMg
uixix
xixxixxxiXi
2
2
2
2
22
22222
2
1
2
)(
2
1
2
)(
2
1
)(
2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1][)(
λλλλλ
λλλλλλ
πππ
πππλ
Trong đó: u=x–iλ, dx=du
π222
1
=∫
+∞
∞−
−
due
u
Vì nên 22
22
2
2
1)(
λλ
ππλ
−− == eeg
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.8 Liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mômen
• Từ hệ thức định nghĩa hàm đặc trưng,
Lần lượt lấy đạo hàm hai vế một cách hình thức theo λ đến bậc k:
][)( XieMg λλ =
Cho λ=0 ta được
])[()(
...
])[()(
][)(
)(
2
Xikk
Xi
Xi
eiXMg
eiXMg
iXeMg
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
=′′
=′
k
kkk miiXMg
miXMg
imiXMg
==
−==′′
==′
])[()0(
...
])[()0(
][)0(
)(
2
2
1
,...2,1,)0(
)(
== k
i
gm k
k
k
N hân hai vế của biểu thức g(λ) với rồi lấy đạo hàm lần lượt 
theo λ, sau đó đặt λ=0, ta được
xmie λ−
[ ] ,...2,1,)(
0
)( ==
=
− kige k
kkmi x μλ
λ
λ
[ ] ,...2,1,)(1
0
)( ==⇒
=
− kge
i
kmi
kk
x
λ
λ λμ
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.8 Liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mômen
• Ví dụ: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuNn, ta có:
Ký hiệu
( )
( )
∫∫
∞+
∞−
−++−∞+
∞−
−− == dxedxeeg x
x
x
x
xx
x mxmxix
x
mx
xi
x
2
2
22
2
2
2
222
2
1
2
1 σσλσσλ
σπσπλ
( )
2
2
2
2
1)( x
xmx
x
exf σσπ
−−=
2
2
2
2
2 2
,
2
,
2
1
x
x
x
xx
x
mCmiBA σσ
λσ
σ =
+==
( ) ABACABAC
x
CBxAx
x
ee
A
dxeg
22
2
2
2
2
11
2
1 −−−−+∞
∞−
−+− ===⇒ ∫ πσπσπλ
22
2
2
)(
2
22
2
422
2
22
2
222
x
x
x
xxx
x
xx
x
x mimimim
A
BC
A
BAC σλλσ
σλλσ
σ
λσ
σ −=
−=++−=+−=−−
( ) 2
22
x
xmieg
σλλλ −=⇒
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.8 Liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mômen
• Ví dụ:
Mômen gốc bậc 1:
( ) 2
22
x
xmieg
σλλλ −=
x
x me
i
img
i
m ==′= = 001 )(
1
λλ
( ) 22
2222
xx
x
xx eeege
mimimi
σλσλλλλ λ −−−− ==
Mômen trung tâm: [ ] ,...2,1,)(1
0
)( ==
=
− kge
i
kmi
kk
x
λ
λ λμ
Khai triển thành chuỗi Macloren:
( ) ( ) ∑∑ ∞
=
∞
=
− =−=
0
2
22
0
2
2
!2!2
1
k
k
k
k
x
k
k
k
k
k
xkmi
k
i
k
ge x λσλσλλ
012 =⇒ −kμ
!2)!2(
22
2
2
k
i
k
i
k
k
x
k
k
k σμ = ,...2,1,
!2
)!2( 2
2 ==⇒ kk
k k
xkk σμ
4
4
2
2 3, xx σμσμ ==
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.9 Các định luật số lớn
1. Bất đẳng thức Tchebychev: N ếu đại lượng ngẫu nhiên X có kỳ
vọng và phương sai hữu hạn thì với mọi số ε>0 bất kỳ cho trước 
ta có trong đó mx=M[X]( ) 2 ][1 εε XDmXP x −≥<−
• Chứng minh: Giả sử X liên tục có f(x) ( ) ∫
≥−
=≥−⇒
ε
ε
||
)(
xmx
x dxxfmXP
1)()( 2
2
22 ≥−⇒≥−⇒≥− εεε
x
xx
mxmxmx
( )
2
2
2
||
2
2
][)()(1
)()(
εε
εε ε
XDdxxfmx
dxxfmxmXP
x
mx
x
x
x
=−≤
−≤≥−⇒
∫
∫
∞+
∞−
≥−
( ) ( ) 2 ][11 εεε XDmXPmXP xx −≥≥−−≤<−⇒
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.9 Các định luật số lớn
2. Định lý Tchebychev: N ếu X1, X2,, Xn là các biến ngẫu nhiên 
độc lập có phương sai bị chặn bởi một hằng số C nào đó thì với 
mọi số ε>0 bất kỳ cho trước ta có
1][11
11
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ <− ∑∑
==∞→
εn
i
i
n
i
i XMn
X
n
P
n
lim
• Chứng minh: Đặt ∑
=
=
n
i
iXn
X
1
1 ∑
=
=⇒
n
i
iXMn
XM
1
][1][ ∑
=
=
n
i
iXDn
XD
1
2 ][
1][
n
CnC
n
XDiCXD i =≤⇒∀≤ 21][,][Vì Áp dụng bất đẳng thức Tchebychev:
22 1
][1)|][(| εεε n
CXDXMXP −≥−≥<−
1)|][(| ≥<−⇒
∞→
εXMXP
n
lim
1][11
11
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ <− ∑∑
==∞→
εn
i
i
n
i
i XMn
X
n
P
n
limHay 
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.9 Các định luật số lớn
3. Định lý Bernoulli: N ếu mỗi phép thử trong n phép thử Bernoulli, 
sự kiện A xuất hiện với xác suất p không đổi thì xác suất để trị số
tuyệt đối của độ lệch giữa tần suất và xác suất của số lần xuất 
hiện A trong n phép thử bé hơn một số dương tùy ý ε cho trước 
sẽ dần tới 1 khi n→∞, tức
1=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ <−
∞→
εp
n
mP
n
lim
• Chứng minh: Gọi Xi là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện sự kiện 
A trong lần thử thứ i (Xi={0,1}). Khi đó Xi có phân bố
p1–pp
10Xi
N ếu trong n phép thử A xuất hiện m lần thì mX
n
i
i =∑
=1
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.9 Các định luật số lớn
3. Định lý Bernoulli:
1=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ <−
∞→
εp
n
mP
n
lim
Î Các Xi độc lập, có cùng kỳ vọng và có phương sai hữu hạn Î Áp 
dụng định lý Tchebychev:
Người ta gọi đây là “hội tụ theo xác suất”, và ký hiệu:
pppXM i =×+−×=⇒ 1)1(0][
( ) CpppppXMXMXD iii ≡<−=−×+−×=−= 1)1(1)1(0][][][ 22222
p
n
m
n
SX
)(
..
∞→
⎯→⎯
Định lý Bernoulli còn được gọi là luật số lớn dạng Borel
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.9 Các định luật số lớn
4. Định lý Markov: N ếu X1, X2,, Xn là dãy các đại lượng ngẫu 
nhiên bất kỳ có
• Chứng minh: Gọi
thì
∑
=
=
n
i
iXn
X
1
1
∞→→∑ nkhi
n
XD i 0
][
2
1][11
11
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ <− ∑∑
==∞→
εn
i
i
n
i
i XMn
X
n
P
n
lim
∑
=
=⇒
n
i
iXDn
XD
1
2 ][
1][
Theo bất đẳng thức Tchebychev
∞→→=≤>− ∑ nkhi
n
XDXDXMXP i 0
][][)|][(| 222 εεε
Do đó 1)][11( =<− ∑∑∞→ εi ii i XMnXnPnlim
10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
HẾT CHƯƠN G 3