Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Hệ các đại lượng ngẫu nhiên - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT 
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.1 Khái niệm
• Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình 
huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số (>1) 
đại lượng ngẫu nhiên 
• Khi đó ta nói có một “hệ các đại lượng ngẫu nhiên”
• Các tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được 
mô tả hết bởi những tính chất của các đại lượng ngẫu 
nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan 
hệ tương hỗ giữa các đại lượng ngẫu nhiên của hệ
• Giả sử xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, 
khi đó mỗi cặp giá trị có thể của X và Y được xem như 
các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.1 Khái niệm
• Tương tự, nếu có ba đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z khi đó
mỗi bộ ba giá trị có thể của X, Y, Z sẽ là các tọa độ của 
một điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều
• Nếu có đồng thời n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,,Xn
thì bộ n giá trị có thể (x1, x2,, xn) của X1, X2,,Xn là
tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều
• Vì vậy, có thể xem hệ các đại lượng ngẫu nhiên như là
biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu nhiên
• Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần là rời rạc ta có
hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại ta có hệ
các đại lượng ngẫu nhiên liên tục
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với 
X={xi, i=1,2,, n,}, Y={yj, j=1, 2,, m,}
• Ký hiệu pi=P(X=xi), qj=P(Y=yj), pij=P(X=xi, Y=yj)
...
pnmpn2pn1
p2mp22p21
p1mp12p11
xn
x2
x1
ymy2y1Y 
X
Bảng phân bố
xác suất của 
hệ hai đại 
lượng ngẫu 
nhiên rời rạc
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Nhận thấy: Các sự kiện (X=xi) xung khắc, (Y=yj) xung khắc
• Î Các sự kiện (X=xi)(Y=yj) là nhóm đầy đủ các sự kiện xung 
khắc nên Σpij = 1
• (X=xi)=Σj (X=xi)(Y=yj) Î P(X=xi)=P(Σj (X=xi)(Y=yj))=pi≡pi•
• (Y=yj)=Σi (X=xi)(Y=yj) Î P(Y=yj)=P(Σi (X=xi)(Y=yj))=qj≡p•j
1p•mp•2p•1∑
...
pnmpn2pn1
p2mp22p21
p1mp12p11
pn•
p2•
p1•
∑
xn
x2
x1
ymy2y1Y 
X1=∑∑
i j
ijp
•≡=∑ ii
j
ij ppp
jj
i
ij pqp •≡=∑
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Ví dụ 1: Gieo đồng thời một đồng tiền và một con xúc xắc. Gọi X 
và Y lần lượt là kết quả nhận được của việc gieo đó; X={S, N}, 
Y={1,2,3,4,5,6}. Hãy lập bảng phân bố xác suất của hệ (X,Y).
• Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)==P(Y=6)=1/6
• P(X=xi, Y=yj)=(1/2)*(1/6)=1/12
1/6
1/12
1/12
5
1/6
1/12
1/12
6
11/61/61/61/6∑
1/21/121/121/121/12N
1/21/121/121/121/12S
∑4321Y 
X
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Ví dụ 2: Tìm luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên X, Y khi 
biết phân bố đồng thời của chúng được cho bởi
• Giải: 
• q1=P(Y=y1)=0.10+0.06=0.16
• q2=P(Y=y2)=0.30+0.18=0.48
• q3=P(Y=y3)=0.20+0.16=0.36
• p1=P(X=x1)=0.10+0.30+0.20=0.60
• p2=P(X=x2)=0.06+0.18+0.16=0.40
0.160.180.06x2
0.200.300.10x1
y3y2y1Y 
X
0.360.480.16q
y3y2y1Y 
0.400.60p
x2x1X pi=pi •
qj=p•j
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 
• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) 
là hàm của hai đối số (x,y) được xác định bởi F(x,y)=P(X<x, Y<y)
• Ý nghĩa hình học của hàm phân bố:
x
y
M(X,Y)
X
Y
F(x,y) là xác suất để 
điểm ngẫu nhiên 
M(X,Y) rơi và hình 
chữ nhật vô hạn có 
đỉnh trên bên phải 
tại điểm có tọa độ
(x,y)
(x,y)
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Tính chất: )(),(),(lim 1 xFxFyxFy =+∞=+∞→
)(),(),(lim 2 yFyFyxFx =+∞=+∞→
1),(),(lim =+∞+∞=
+∞→+∞→
FyxF
y
x
0),(lim
0),(),(lim
0),(),(lim
=−∞−∞
=−∞=
=−∞=
−∞→−∞→
−∞→
−∞→
F
xFyxF
yFyxF
y
x
y
x
),(),(
),(),(
212
212
yxFyxFiy
yxFyxFix
≤<
≤<
 th y NÕu
 th x NÕu
1
1
1)
2)
3)
4)
),(),(),(),(),( δαδβγαγβγδβα FFFFYXP +−−=<≤<≤5)
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh: )(),(),(lim 1 xFxFyxFy =+∞=+∞→
)(),(),(lim 2 yFyFyxFx =+∞=+∞→
1)
• Sự kiện (X<x, Y<+∞) = (X<x)(Y<+∞) = (X<x)
• Î F(x,+∞) = P(X<x,Y<+∞) = P(X<x) = F1(x) 
• Tương tự: 
• Sự kiện (X<+∞, Y<y) = (X<+∞)(Y<y) = (Y<y)
• Î F(+∞,y) = P(X<+∞,Y<y) = P(Y<y) = F2(y) 
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
• Sự kiện (X<+∞, Y<+∞) = U
• Î F(+∞,+∞) = P(U) = 1
• Sự kiện (X<-∞ , Y<y)=(X<x, Y<-∞)=(X<-∞, Y<-∞)=V
• Î F(-∞,y) = F(x, -∞) = F(-∞, -∞) =P(V) = 0
1),(),(lim =+∞+∞=
+∞→+∞→
FyxF
y
x2)
0),(lim
0),(),(lim
0),(),(lim
=−∞−∞
=−∞=
=−∞=
−∞→−∞→
−∞→
−∞→
F
xFyxF
yFyxF
y
x
y
x
3)
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
• Vì (x1<x2) nên (X<x2)=(X<x1)+(x1≤ X<x2) (tổng hai sự kiện xung 
khắc)
• Î (X<x2, Y<y)=(X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)
• F(x2,y)=P(X<x2,Y<y)=P((X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)) = 
P(X<x1,Y<y) + P(x1≤ X<x2,Y<y) 
= F(x1,y)+ P(x1≤ X<x2,Y<y) ≥ F(x1,y)
• Tương tự đối với trường hợp 2
),(),(
),(),(
212
212
yxFyxFiy
yxFyxFix
≤<
≤<
 th y NÕu
 th x NÕu
1
1
4)
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
• (X<β)=(X<α)+(α≤X<β), (Y<γ)=(Y<δ)+(δ≤Y<δ),
• (X<β,Y<γ)=(X<β)(Y<γ)=
=[(X<α)+(α≤X<β)][(Y<δ)+(δ≤Y< γ)]=
=(X<α, Y<δ)+(X<α, δ≤Y< γ)+
+(α≤X<β, Y<δ)+(α≤X<β, δ≤Y< γ)
• (X<α, δ≤Y< γ)=(X<α,Y<γ)–(X<α,Y<δ)
• (α≤X<β, Y<δ)=(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ
• (X<β,Y<γ)=(X<α, Y<δ)+(X<α,Y<γ)–
–(X<α,Y<δ)+(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ)+
+(α≤X<β, δ≤Y< γ)
• F(β,γ)=F(α,δ)+F(α,γ)+F(β,δ) –F(α,δ) –F(α,δ)+P(α≤X<β, δ≤Y< γ)
• P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ)
),(),(),(),(),( δαδβγαγβγδβα FFFFYXP +−−=<≤<≤5)
α β
δ
γ
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 
• Định nghĩa: Hàm mật độ phân bố xác suất của hệ hai đại lượng 
ngẫu nhiên (X,Y) là đạo hàm riêng cấp hai của hàm phân bố xác 
suất đồng thời F(x,y), ký hiệu là f(x,y)
yx
yxFyxf ∂∂
∂= ),(),(
2
x x+Δx
y
y+Δy
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
Ý nghĩa: Từ hệ thức P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ)
• Thay α, β, δ, γ lần lượt bởi x, x+Δx, y, y+Δy ta được:
• P(x≤X<x+Δx, y≤Y<y+Δy)=F(x+Δx,y+Δy)–F(x+Δx,y)–F(x,y+Δy)+F(x,y)
• Chia hai vế cho diện tích miền chữ nhật và lấy giới hạn khi Δx→0, Δy→0
=ΔΔ
Δ+<<Δ+<<
→Δ →Δ yx
yyYyxxXxP
y
x
),(lim
0
0
),(),(
),(),(),(),(lim
2
0
0
yxf
yx
yxF
yx
yxFyxxFyyxFyyxxF
y
x
=∂∂
∂=
=ΔΔ
+Δ+−Δ+−Δ+Δ+=
→Δ →Δ
Từ đó ta có công thức gần đúng để tính xác suất:
P(x<X<x+Δx, y<Y<y+Δy) ≈ f(x,y).Δx.Δy
Một cách tổng quát, xác suất của điểm 
ngẫu nhiên (X,Y) rơi vào một miền D nào 
đó sẽ được xác định bởi
∫∫=∈
D
dxdyyxfDYXP ),()),((
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Tính chất:
0),( ≥yxf1) Tính chất này suy ra từ ý nghĩa của hàm mật độ
1),( =∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
dxdyyxf2) Ta có ∫∫=∈
D
dxdyyxfDYXP ),()),((
∫ ∫
∞− ∞−
=⇒
x y
dxdyyxfyxF ),(),( Lấy giới hạn khi x→+∞, y→+∞ và để ý 
đến tính chất 2) của hàm phân bố ta được
1),(),( ==+∞+∞ ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
dxdyyxfF
∫ ∫
∫ ∫
∞+
∞− ∞−
∞−
+∞
∞−
=+∞=
=+∞=
y
x
dxdyyxfyFyF
dxdyyxfxFxF
),(),()(
),(),()(
2
1
3)
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
==′
==′
dxyxfyfyF
dyyxfxfxF
),()()(
),()()(
22
11
Đạo hàm hai vế 
ta được:
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Ví dụ 1: Hệ đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phân bố xác 
suất 
Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào miền chữ nhật 
ABCD, với tọa độ của các đỉnh 
• Giải:
)1,1(),1,3(),0,3(),0,1( DCBA
)1)(1(
1),( 222 yx
yxf ++= π
=++=∈ ∫∫ABCD dxdyyxABCDYXP )1)(1(
1))(),(( 222π
∫∫ ++=
3
1
2
1
0
22 11
1
x
dx
y
dy
π dyy
dy )
43
(
1
1 1
0
22
ππ
π −+= ∫
48
1
412
.12 == πππ
)01)(
43
(12 arctgarctg −−= πππ
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Ví dụ 2: Hệ (X,Y) có mật độ phân bố xác suất được cho bởi 
• Tính các mật độ phân bố riêng f1(x) và f2(y)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
≤+
=
1
49
0
1
496
1
),(
22
22
yxkhi
yxkhi
yxf π
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Giải: ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
≤+
=
1
49
0
1
496
1
),(
22
22
yxkhi
yxkhi
yxf π
∫
+∞
∞−
= dyyxfxf ),()(1 149
22
≤+ yx )91(4
2
2 xy −≤⇒ )
9
1(2
2xy −≤⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤−== ∫
−+
−−
30
39
9
2
6
1
)(
2
9
12
9
12
1
2
2
xkhi
xkhixdy
xf
x
x
ππ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤−=
30
39
9
2
)(
2
1
xkhi
xkhix
xf π
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤−=
20
24
2
1
)(
2
2
ykhi
ykhiy
yf πTương tự
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Trong thực tế có thể xét đồng thời nhiều hơn hai đại lượng ngẫu 
nhiên, chẳng hạn 3, 4, đại lượng ngẫu nhiên
• Để tiện trình bày ta gọi đó là hệ n đại lượng ngẫu nhiên (n≥2)
• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,, Xn)
• Hệ này có thể được xem như một vector ngẫu nhiên n chiều
• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ n đại lượng ngẫu nhiên 
(X1, X2, , Xn) là hàm của n đối số (x1, x2,..., xn) được xác định 
bởi F(x1, x2,..., xn)=P(X1<x1, X2<x2,..., Xn<xn)
• Định nghĩa: Nếu hàm F(x1, x2,..., xn) tồn tại đạo hàm bậc n thì hệ
(X1, X2, , Xn) có hàm mật độ xác suất được xác định bởi
n
n
n
n xxx
xxxFxxxf ∂∂∂
∂=
...
),...,,(),...,,(
21
21
21
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Có thể suy ra rằng
• F(+∞,..., xi,...,+∞)=P(X1<+∞,..., Xi<xi,..., Xn<+∞)=Fi(xi), i=1,2,..,n 
được gọi là hàm phân bố riêng của Xi
• Hàm mật độ riêng của Xi cũng có thể nhận được bằng cách đạo 
hàm Fi(xi) theo xi hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời:
niinii dxdxdxdxxxxfxf ......),...,,(...)( 11121 +−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
∫ ∫ ∫=
• Đối với một hệ đại lượng ngẫu nhiên, từ phân bố đồng thời 
ta có thể xác định được các phân bố riêng của từng đại lượng 
ngẫu nhiên thành phần
• Từ các phân bố riêng ta có thể xác định được các đặc trưng 
riêng của chúng, như kỳ vọng, phương sai,
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Mỗi bộ gồm m (m<n) đại lượng ngẫu nhiên lấy từ hệ n đại lượng 
ngẫu nhiên ban đầu được gọi là một hệ con của hệ ban đầu
• Hàm phân bố và hàm mật độ xác suất của hệ con này có thể nhận 
được từ phân bố và mật độ đồng thời của hệ ban đầu
• Ví dụ: Phân bố của hệ con (X1, X2,,Xm): 
• F1,2,...,m(x1,..., xm)=F(x1,..., xm,+∞,...,+∞)=
= P(X1<x1,..., Xm<xm, Xm+1<+∞, ..., Xn<+∞)
m
mm
m
mm xx
xxxF
xxf ∂∂
∂=
...
),...,,(
),...,(
1
21,...,2,1
1,...,2,1
nmnmm dxdxxxxfxxf ...),...,,(...),...,( 1211,...,2,1 +
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
∫ ∫ ∫=
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Đối với mỗi hệ con gồm hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần 
khác nhau bất kỳ ta có phân bố đồng thời được xác định bởi
• F(+∞,..., xj,...,xk,..., +∞)=P(X1<+∞,..., Xj<xj,...,Xk<xk,..., Xn<+∞)=
=Fjk(xj,xk), j≠k, j,k=1,2,...,n
• Hàm mật độ đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên Xi, Xj cũng có
thể nhận được bằng cách đạo hàm Fjk(xj,xk) theo xj, xk hoặc suy ra 
từ hàm mật độ đồng thời:
),...,2,1,,(
.........),...,,(...),( 1111121
nkjkj
dxdxdxdxdxdxxxxfxxf nkkjjnkjjk
=≠
= +−+−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
∫ ∫ ∫
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,, Xn)
• Ký hiệu hệ này như một vector ngẫu nhiên n chiều 
X=(X1, X2,, Xn)
Khi đó:
• mx=M[X]=(M[X1], M[X2], ..., M[Xn])=(mx1, mx2,..., mxn) được gọi 
là vector kỳ vọng của X, trong đó các thành phần của vector này 
tương ứng là kỳ vọng của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần 
của vector ngẫu nhiên X
• Dx=D[X]=(D[X1], D[X2], ..., D[Xn])=(Dx1, Dx2,..., Dxn) được gọi là 
vector phương sai của X, trong đó các thành phần của vector này 
tương ứng là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần 
của vector ngẫu nhiên X
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Trong đó
njdxxfxXMm jjjjjx j ,...,2,1,)(][ === ∫
+∞
∞−( )
),...,2,1(
,)()(][][ 22
nj
dxxfmxmXMXDD jjjxjxjjx jjj
=
−=−== ∫
+∞
∞−
• Ngoài các đặc trưng riêng, khi xét hệ các đại lượng ngẫu 
nhiên vấn đề quan trọng hơn là xét mối quan hệ giữa chúng
• Mối quan hệ này được đặc trưng bởi mômen tương quan 
giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên thành phần
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Định nghĩa: Mômen tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, 
Y là đại lượng được ký hiệu bởi μxy và được xác định bởi
])[])([[( YMYXMXMxy −−=μ
)),((
))((
jiij
i j
ijyjxixy
yYxXPp
pmymx
===
−−= ∑∑μ
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−−= dxdyyxfmymx yxxy ),())((μ
Hệ rời rạc
Hệ liên tục
Ta có
yx
xy
XMXYMYM
YMYXMXM
μ
μ
=−−=
=−−=
]))[]([[(
])[])([[(
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Đối với mỗi cặp hai đại lượng (Xj, Xk) của hệ (X1, X2,, Xn) ta 
có
nkjXMXXMXM kkjjxxjk kj ,...,2,1,])],[])([[( =−−=≡ μμ
nkjdxdxxxfmxmx kjkjjkxkxjjk kj ,...,2,1,,),())(( =−−= ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
μ
Hay
Tập hợp các mômen tương quan μjk lập thành 
một ma trận gọi là ma trận tương quan
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Ma trận tương quan
( )
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
==∑
nnnn
n
n
jk
μμμ
μμμ
μμμ
μ
...
............
...
...
21
22221
11211
kjjjkk
kkjjjk
XMXXMXM
XMXXMXM
μ
μ
=−−=
=−−=
])][])([[(
])][])([[(
22 ][]])[[(
])][])([[(
jj xxjjj
jjjjjj
DXDXMXM
XMXXMXM
σ
μ
===−=
=−−=
Nhận thấy
ÎMa trận tương quan là ma trận thực, đối xứng
Khi j≡k:
Î Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận là 
phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần
CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Hệ số tương quan: Từ định nghĩa mômen tương quan giữa hai đại 
lượng ngẫu nhiên (X,Y) ta thấy:
• Thứ nguyên của μxy bằng tích thứ nguyên của X và thứ nguyên 
của Y. Do đó không thể so sánh mối quan hệ giữa các cặp đại 
lượng ngẫu nhiên khác nhau Î Vô thứ nguyên hóa ??
• Định nghĩa: Hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên 
(X,Y) là số vô thứ nguyên ρxy được xác định bởi
yx
xy
yx
xy
yx
xy DDDD
YM ... g số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Với hệ hai đại lượng ngẫu nhiên: X1≡X, X2≡Y
Ta có:
])][])([[( 221112 XMXXMXM −−=μ
Ma trận tương quan ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛==∑ 2
221
12
2
1
2221
1211
σμ
μσ
μμ
μμμ jk
Ma trận tương quan 
chuẩn hóa ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛==
1
1
21
12
2221
1211
ρ
ρ
ρρ
ρρρ jkP
( )
( ) 01
11
1det
22
2
2
1
2112
2
2
2
1
21
21
21
122
2
2
1
2
2
2
1
21122
2
2
12112
2
2
2
12
221
12
2
1
≥−=
=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−==∑
ρσσ
ρρσσσσ
μ
σσ
μσσ
σσ
μμσσμμσσσμ
μσ
11 ≤≤−⇒ ρ
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
Ý nghĩa của hệ số tương quan:
• Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ tương 
quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên
• Trị tuyệt đối của hệ số tương quan càng lớn thì mối quan hệ đó
càng chặt chẽ
• Hệ số tương quan bằng 0 khi hai biến không tương quan với nhau 
• Hệ số tương quan dương khi hai biến có quan hệ đồng biến
• Hệ số tương quan âm khi hai biến có quan hệ nghịch biến
11 ≤≤− xyρ
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Tóm tắt: Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,, Xn:
nkjXMXXMXM kjkkjjjk ,...,2,1,,])][])([[( ==−−= μμ
Ma trận tương quan
( )
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
==∑
2
21
2
2
221
112
2
1
21
22221
11211
...
............
...
...
...
............
...
...
nnn
n
n
nnnn
n
n
jk
σμμ
μσμ
μμσ
μμμ
μμμ
μμμ
μ
Ma trận tương quan 
chuẩn hóa
nkjkj
kj
jk
jk ,...,2,1,, === ρσσ
μρ
njjj ,...,2,1,1 ==ρ
( )
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
==
1...
............
...1
...1
21
221
112
nn
n
n
jkP
ρρ
ρρ
ρρ
ρ
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y). Giả sử X và Y là những 
đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Î (X,Y) là hệ các đại lượng ngẫu 
nhiên rời rạc
• X = {x1, x2, , xn,}, Y = {y1, y2, , ym,}
• Định nghĩa: Xác suất của sự kiện X=xj khi cho trước (hoặc đã 
biết trước) sự kiện Y=yk đã xảy ra được gọi là xác suất có điều 
kiện, và ký hiệu là p(xj/yk)=P(X=xj/Y=yk)
• Tương tự, xác suất của sự kiện Y=yk khi cho trước (hoặc đã biết 
trước) sự kiện X=xj đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và
ký hiệu là p(yk/xj)=P(Y=yk/X=xj)
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Từ công thức nhân xác suất
• Ta có pjk=P(X=xj,Y=yk)≡p(xj,yk) là xác suất đồng thời của các sự
kiện X=xj và Y=yk, tức (X=xj,Y=yk) = (X=xj)(Y=yk)
• pj=P(X=xj)≡p(xj), pk=P(Y=yk)≡p(yk)
• P((X=xj)(Y=yk))=P(X=xj)P(Y=yk/X=xj)=P(Y=yk)P(X=xj/Y=yk)
• Hay p(xj,yk)=p(xj)p(yk/xj)=p(yk)p(xj/yk)
• Vì p(xj)=Σkp(xj,yk)≡pj•, p(yk)=Σjp(xj,yk)≡p•k nên
)/()()/()()( BAPBPABPAPABP ==
∑∑
∑∑
≡==
≡==
k jk
jk
k kj
kj
j
kj
jj
j jk
jk
j kj
kj
k
kj
kj
p
p
yxp
yxp
xp
yxp
xyp
p
p
yxp
yxp
yp
yxp
yxp
),(
),(
)(
),(
)/(
),(
),(
)(
),(
)/(
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Từ hệ thức
∑∑
∑∑
≡=
≡=
k jk
jk
k kj
kj
jj
j jk
jk
j kj
kj
kj
p
p
yxp
yxp
xyp
p
p
yxp
yxp
yxp
),(
),(
)/(
),(
),(
)/(
1
),(
),(
)/(
1
),(
),(
)/(
=≡=
=≡=
∑
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑∑
k jk
k jk
k kj
k kj
k jj
j jk
j jk
j kj
j kj
j kj
p
p
yxp
yxp
xyp
p
p
yxp
yxp
yxp
• Các sự kiện (X=xj/Y=yk) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc
• Các sự kiện (Y=yj/X=xj) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc
• Ta có
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Ví dụ: Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có phân bố xác suất 
được cho trong bảng sau. Hãy xác định phân bố có điều kiện của 
X khi Y=y1
0.160.180.06y2
0.20.30.1y1
x3x2x1Y \ X
Giải: Ta có
• p(x1/y1)=p(x1,y1)/p(y1)=0.1/(0.1+0.3+0.2)=0.1/0.6=1/6
• p(x2/y1)=p(x2,y1)/p(y1)=0.3/(0.1+0.3+0.2)=0.3/0.6=3/6
• p(x3/y1)=p(x3,y1)/p(y1)=0.2/(0.1+0.3+0.2)=0.2/0.6=2/6
• Î p(x1/y1)+ p(x2/y1)+ p(x3/y1)=1/6+3/6+2/6=1
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• N ếu hệ (X,Y) là hệ đại lượng ngẫu nhiên liên tục có mật độ xác 
suất đồng thời f(x,y)
• Định nghĩa: Mật độ phân bố có điều kiện của X với điều kiện 
Y=y là hàm ký hiệu bởi f(x/y) và được xác định bởi
)(
),()/(
2 yf
yxfyxf =
• Tương tự, mật độ phân bố có điều kiện của Y với điều kiện X=x là
hàm ký hiệu bởi f(y/x) và được xác định bởi
)(
),()/(
1 xf
yxfxyf =
Trong đó ∫
+∞
∞−
=∂
∂= dyyxf
x
xFxf ),()()( 11 ∫
+∞
∞−
=∂
∂= dxyxf
y
yFyf ),()()( 22
tương ứng là các mật độ riêng của X và Y
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Ta có
1),(
)(
1
)(
),()/(
22
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
=== dxyxf
yf
dx
yf
yxfdxyxf
)()/()()/(),( 21 yfyxfxfxyfyxf ==
1),(
)(
1
)(
),()/(
11
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
=== dyyxf
xf
dx
xf
yxfdyxyf
0)/(
0)/(
≥
≥
xyf
yxf
∫
∞+
∞−
=
dxyxf
yxfyxf
),(
),()/(
∫
∞+
∞−
=
dyyxf
yxfxyf
),(
),()/(
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Ví dụ: Tìm phân bố có điều kiện của X và Y của hệ (X,Y) có mật 
độ đồng thời cho bởi
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤+=
222
222
2
0
1
),(
ryxkhi
ryxkhi
ryxf π
• Giải:
22 yrxKhi −≤ 2
22
22
21),()(
22
22 r
yrdx
r
dxyxfyfta
yr
yr
ππ
−=== ∫∫
−+
−−
∞+
∞−
 cã 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>
−≤−=−=⇒
22
22
22222
2
0
2
1
/2
/1
)/(
yrxkhi
yrxkhi
yrryr
r
yxf π
π
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>
−≤−=
22
22
22
0
2
1
)/(
xrykhi
xrykhi
xrxyfTương tự
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.6 Phân bố có điều kiện
• Tổng quát, hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,, Xn) có mật độ
xác suất đồng thời f(x1, x2,, xn)
• Định nghĩa: Luật phân bố có điều kiện của hệ con (X1, X2,...,Xm) 
là luật phân bố được tính với điều kiện các đại lượng còn lại 
(Xm+1,..., Xn) đã nhận các giá trị xác định xm+1, ..., xn:
),...,(
),...,,(),...,/,...,,(
1,....,1
21
121
nmnm
n
nmm xxf
xxxfxxxxxf
++
+ =
∫ ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
++ = mnnmnm dxdxdxxxxfxxf ...),...,,(...),...,( 21211,....,1Vì
∫ ∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
+ =⇒
mn
n
nmm
dxdxdxxxxf
xxxfxxxxf
...),...,,(...
),...,,(),...,/,...,(
2121
21
11
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.7 Kỳ vọng có điều kiện
• Xét hai hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (X,Y):
• X = {x1, x2, , xn,}, Y = {y1, y2, , ym,}
• Định nghĩa: Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X=xj là
một số được xác định bởi my(xj) = M[Y/X=xj]=Σkykp(yk/xj)
• Tương tự, kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y=yk là một 
số được xác định bởi mx(yk) = M[X/Y=yk]=Σjxjp(xj/yk)
• N ếu hệ (X,Y) là liên tục có các hàm mật độ có điều kiện tương 
ứng là f(x/y) và f(y/x), các kỳ vọng có điều kiện của X và Y lần 
lượt được xác định bởi ∫
+∞
∞−
=== dxyxxfyYXMymx )/(]/[)(
∫
+∞
∞−
=== dyxyyfxXYMxmy )/(]/[)(
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.7 Kỳ vọng có điều kiện
• Ví dụ 1: Cho hai hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (X,Y) có
phân bố xác suất được cho dưới đây. Hãy tính my(x1)=M[Y/X=x1]
0.070.030.100.306
0.010.250.060.153
8431Y \ X
)/()/(]/[)( 12211111 xypyxypyxXYMxmy +===Giải:
3
1
30.015.0
15.0
)(
),()/(
1
11
11 =+== xp
yxpxyp
3
2
30.015.0
30.0
)(
),()/(
1
21
12 =+== xp
yxpxyp
541
3
26
3
13)( 1 =+=×+×=⇒ xmy
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.7 Kỳ vọng có điều kiện
• Ví dụ 2: Cho hai hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục (X,Y) có
phân bố xác suất được cho dưới đây. Hãy tính my(x)=M[Y/X=x]
∫
+∞
∞−
=== dyxyyfxXYMxmy )/(]/[)(Giải:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤+=
222
222
2
0
1
),(
ryxkhi
ryxkhi
ryxf π
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>
−≤−=
22
22
22
0
2
1
)/(
xrykhi
xrykhi
xrxyf
Từ kết quả ở ví dụ
mục trước
0
22
1
2
1)(
22
22
22
22
2
2222
=−=−=⇒
−+
−−
−+
−−
∫
xr
xr
xr
xr
y
y
xr
ydy
xr
xm
X
Y
0
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.8 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập
• Định nghĩa: Hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập 
với nhau nếu phân bố có điều kiện của chúng bằng phân bố không 
điều kiện:
)()/();()/( kjkjkj ypxypxpyxp ==
)()/();()/( 21 yfxyfxfyxf ==
• N ếu X và Y là rời rạc:
• N ếu X và Y là liên tục:
• Định lý: Điều kiện cần và đủ để các đại lượng ngẫu nhiên X và Y 
độc lập với nhau là phân bố đồng thời của chúng bằng tích các 
phân bố riêng: )().(),( 21 yFxFyxF =
Chứng minh:
• Điều kiện cần: X, Y độc lập Î 
• Điều kiện đủ:
)().(),( 21 yFxFyxF =
)().(),( 21 yFxFyxF = Î X, Y độc lập
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.8 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập
Chứng minh:
• Điều kiện cần: Giả sử X, Y độc lập
• Điều kiện đủ: Giả sử có )().(),( 21 yFxFyxF =
)()(),(
)()())).(((),(
)).((),(
21 yFxFyxF
yYPxXPyYxXPyYxXP
yYxXyYxX
=⇒
<<=<<=<<⇒
<<=<<
• Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo x và y:
)()(),()()(),( 2121
2
yfxfyxf
y
yF
x
xF
yx
yxF =⇒∂
∂
∂
∂=∂∂
∂
)/(
)(
),()();/(
)(
),()(
1
2
2
1 xyfxf
yxfyfyxf
yf
yxfxf ====⇒
ÎPhân bố có điều kiện bằng phân bố không điều kiện Î X,Y độc lập
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.8 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập
• Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y 
độc lập với nhau là phân bố đồng thời bằng tích các phân bố riêng
• Định lý: Mômen tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên độc 
lập thì bằng 0
• Chứng minh: Vì X và Y độc lập nên X−mx và Y−my cũng độc lập
0)][()][()])([( =−−=−−=⇒ yxyxxy mYMmXMmYmXMμ
• Hệ quả: N ếu μxy ≠ 0 thì X và Y phụ thuộc lẫn nhau
• Định nghĩa: Hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y được gọi là tương 
quan với nhau nếu μxy ≠ 0. N gược lại, nếu μxy = 0 ta nói X và Y 
không tương quan
X và Y tương quan thì X, Y phụ thuộc lẫn nhau; X và Y không tương quan thì 
chưa chắc X, Y độc lập với nhau. Nói cách khác, nếu X và Y độc lập thì μxy=0, 
nhưng μxy=0 chưa chắc X và Y độc lập với nhau.
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.9 Phân bố chuẩn hai chiều
• Định nghĩa: Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) được gọi là tuân 
theo luật phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất có dạng
Trong đó: 
• μx và μy tương ứng là kỳ vọng của X và Y 
• σx và σy tương ứng là độ lệch chuNn của X và Y 
• ρ là hệ số tương quan giữa X và Y
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
−−×
×−=
yx
yx
y
y
x
x
yx
yxyx
yxf
σσ
μμρ
σ
μ
σ
μ
ρ
ρσπσ
))((2
)1(2
1exp
12
1),(
22
2
2
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.9 Phân bố chuẩn hai chiều
• N ếu hệ (X,Y) có phân bố chuNn thì khi X và Y không tương quan 
với nhau suy ra X và Y độc lập
• Ta có: 
Khi X và Y không tương quan: ρ=0
)()(
2
1exp
2
1
2
1exp
2
1
2
1exp
2
1),(
21
22
22
yfxf
yx
yxyxf
y
y
yx
x
x
y
y
x
x
yx
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=⇒
σ
μ
σπσ
μ
σπ
σ
μ
σ
μ
σπσ
Î X và Y độc lập
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.10 Phân bố chuẩn n chiều
• Định nghĩa: Hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,..., Xn) được gọi 
là tuân theo luật phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất có dạng
Trong đó: 
( ) ( )( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −Σ−−Σ= − μμπ xxxxxf Tnn 12/12/21 21exp)2( 1),...,,(
),...,,( 21 nxxxx = ),...,,( 21 nμμμμ =
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=∑
nnnn
n
n
μμμ
μμμ
μμμ
...
............
...
...
21
22221
11211
njXM jj ,...,2,1],[ ==μ
),...,2,1,(
),)([(
nkj
XXM kkjjjk
=
−−= μμμ
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.10 Phân bố chuẩn n chiều
• N ếu các đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,..., Xn) đôi một không tương 
quan với nhau thì chúng độc lập với nhau
Ta có: ( ) ( )( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −Σ−−Σ= − μμπ xxxxxf Tnn 12/12/21 21exp)2( 1),...,,(
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=∑⇒
2
2
2
2
1
...00
............
0...0
0...0
nσ
σ
σ),...,2,1,(
;0))([(
nkj
kjkhiXXM kkjjjk
=
≠=−−= μμμ
22
2
2
1 ... nσσσ=∑⇒
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=∑⇒ −
2
2
2
2
1
1
1...00
............
0...10
0...01
nσ
σ
σ
n
n σπσπσππ 2
1...
2
1
2
1
)2(
1
21
2/12/
=Σ⇒
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.10 Phân bố chuẩn n chiều
( ) ( )( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −Σ−−Σ= − μμπ xxxxxf Tnn 12/12/21 21exp)2( 1),...,,(
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−=−∑− −
nn
n
nn
T
x
x
x
xxxx
μ
μ
μ
σ
σ
σ
μμμμ
...
1...00
............
0...10
0...01
))(...)(()()( 22
11
2
2
2
2
1
11
1
)()...()(
)(...)(
2
1exp
2
1...
2
1),...,,(
2211
2
2
2
1
2
11
1
21
nn
n
nn
n
n
xfxfxf
xxxxxf
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−−= σ
μ
σ
μ
σπσπ
n
n σπσπσππ 2
1...
2
1
2
1
)2(
1
21
2/12/
=Σ
2
2
2
2
2
22
2
1
2
11 )(...)()(
n
nnxxx
σ
μ
σ
μ
σ
μ −++−+−=
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.10 Phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên
• Cho hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ xác suất đồng 
thời f(x,y). Xét đại lượng ngẫu nhiên Z=X+Y
• Gọi G(z) là hàm phân bố của đại lượng ngẫu nhiên Z, khi đó
)()()( zYXPzZPzG <+=<=
D
x
y
z = x + y
0
• Xem (X,Y) như một điểm ngẫu nhiên 
trên mặt phẳng thì P(X + Y < z) là xác 
suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào nửa mặt 
phẳng nằm phía dưới đường thẳng 
z=x+y
• Ký hiệu miền nửa mặt phẳng này là D
∫∫=∈=
D
dxdyyxfDYXPzG ),()),(()(
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.10 Phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên
D
x
y
z = x + y
0
• N hận thấy: khi x biến thiên từ –∞ đến +∞
thì y biến thiên từ –∞ đến z–x. Do đó:
∫ ∫∫∫
+∞
∞−
−
∞− ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧== dxdyyxfdxdyyxfzG
xz
D
),(),()(
• Đạo hàm hai vế theo z ta được:
∫
+∞
∞−
−=′= dxxzxfzGzg ),()()(
• Hàm g(z) được gọi là hàm mật độ xác suất của tổng X+Y
• Tương tự, khi cho y biến thiên từ –∞ đến +∞ thì x biến thiên từ –∞ 
đến z–y. Khi đó ta được dạng khác của hàm mật độ g(z):
∫
+∞
∞−
−= dyyyzfzg ),()(
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.10 Phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên
• N ếu X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì
∫
+∞
∞−
−= dxxzfxfzg )()()( 21
)()(),( 21 yfxfyxf =
Do đó:
∫
+∞
∞−
−= dyyfyzfzg )()()( 21
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.11 Hàm đặc trưng của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Hàm đặc trưng của hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2 ... Xn) hoặc 
vectơ ngẫu nhiên n chiều là hàm n tham số λ1, λ2,, λn, được xác 
định bởi công thức
• Đối với hệ các đại lượng ngẫu nhiên liên tục, đây là phép biến 
đổi Fourier n chiều của mật độ phân bố f(x1,x2 .... xn)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ∑= =
n
k
kk Xi
n eMg 1),...,,( 21
λλλλ
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
++= nnxxin dxdxdxxxxfeg nn ...),...,,(...),...,,( 2121)...(21 11 λλλλλ
• Mật độ phân bố f(x1,x2 .... xn) là biến đổi Fourier n lần đối với 
hàm đặc trưng g(λ1, λ2,, λn):
( ) ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
++−= nnxxinn dddgexxf nn λλλλλλπ
λλ ...),...,,(...
2
1),...,( 2121
)...(
1
11
CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN
4.11 Hàm đặc trưng của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• N ếu hệ (X1, X2 ... Xn) có phân bố chuNn:
• N ếu hệ (X1, X2 ... Xn) là độc lập:
HẾT CHƯƠNG 4
∑∑= ==
+−
n
j
jj
n
kj
kjjk mi
n eg 11,
2
1
21 ),...,,(
λλλμ
λλλ
∏
=
=
n
k
kxn k
gg
1
21 )(),...,,( λλλλ