Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 8: Lý thuyết tương quan và hồi quy - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT 
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 
Phan Văn Tân 
Bộ mô Khí tượng 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên 
•  Xét hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y 
•  Giả sử f(x,y) là phân bố đồng thời của hệ (X,Y) 
•  Khi đó có thể biểu diễn: f(x,y)=f(y/x).f1(x)=f(x/y).f2(y) 
•  Trong đó f(y/x), f(x/y) là các phân bố có điều kiện còn f1(x), f2(y) 
là các phân bố riêng 
),(),(,),(),(
2
yYxXPyxF
yx
yxFyxf <<=
∂∂
∂
=
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== dxyxfyfdyyxfxf ),()(,),()( 21
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
==
dxyxf
yxfyxf
dyyxf
yxfxyf
),(
),()/(,
),(
),()/(
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên 
•  Nếu X và Y độc lập với nhau: 
•  f(y/x)=f2(y), f(x/y)=f1(x) è f(x,y)=f1(x).f2(y) 
•  Tức là sự biến thiên của đại lượng này không ảnh hưởng đến sự 
biến thiên của đại lượng kia và ngược lại 
•  Nói chính xác hơn, xác suất để Y nhận giá trị nào đó không bị ảnh 
hưởng bởi việc cho trước giá trị x của X, và ngược lại 
•  Nếu X và Y không độc lập với nhau, khi đó ta nói X và Y phụ 
thuộc lẫn nhau 
•  Có hai khái niệm phụ thuộc giữa X và Y: 
–  Phụ thuộc hàm 
–  Phụ thuộc tương quan 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên 
•  Nếu X và Y phụ thuộc hàm với nhau, khi đó có thể biểu diễn: 
Y = f(X) hoặc X = g(Y) 
•  Điều đó có nghĩa là nếu X nhận giá trị x nào đó thì tương ứng Y 
nhận giá trị y=f(x), hoặc khi Y nhận giá trị y nào đó thì X nhận giá 
trị tương ứng x=g(y) 
•  Tuy nhiên, trong thực tế các đại lượng ngẫu nhiên thường phụ 
thuộc lẫn nhau phức tạp hơn nhiều 
•  Ví dụ: 
–  Quan hệ giữa nhiệt độ và độ ẩm tương đối không khí trong 
ngày: Qui luật chung là nhiệt độ tăng thì độ ẩm giảm, nhưng đó 
là mối quan hệ không đơn trị và không phải là quan hệ hàm 
–  Quan hệ giữa chiều cao và cân nặng của cơ thể người 
–   
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên 
Minh họa sự phụ thuộc 
giữa Y và X: Ứng với một 
giá trị x∈X có thể có 
nhiều giá trị của Y, và 
ngược lại – Không phải là 
quan hệ hàm 
X 
Y 
Tập giá trị Y/X=x (hoặc 
X/Y=y) sẽ tuân theo luật 
phân bố nào đó mà ta gọi 
là phân bố có điều kiện: 
f(y/x) (hoặc f(x/y) 
Sự phụ thuộc giữa Y và X trong trường hợp này được gọi là phụ thuộc 
ngẫu nhiên. Quan hệ giữa Y và X được gọi là quan hệ tương quan 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.2 Hệ số tương quan 
•  Một trong những đặc trưng quan trọng để nghiên cứu mối quan hệ 
tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên là hệ số tương quan 
•  Theo định nghĩa, hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên 
X, Y là số vô thứ nguyên được xác định bởi: 
yxyx
xy
yx
yx
xy
DD
YX
DDmYMmXM
mYmXM
YMYMXMXM
YMYXMXM
),cov(
])[(].)[(
)])([(
]])[[(].])[[(
])][])([[(
22
22
≡=
−−
−−
=
=
−−
−−
=≡
µ
ρρ
•  Một số ký hiệu thường gặp ),(),( XYYXxy ρρρρ =≡≡
),cov(),cov( XYYXxy =≡µ )var(22 XD xx ≡≡≡ σσ
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.2 Hệ số tương quan 
Một số tính chất của hệ số tương quan 
1)  Nếu Z1=aX+b, Z2=cY+d (a,b,c,d là các hằng số, a>0, c>0) thì 
ρ(Z1,Z2) = ρ(X,Y) 
2)  Trị số của hệ số tương quan nằm trong khoảng [–1,1]: |ρ| ≤ 1 
3)  Điều kiện cần và đủ để |ρxy| = 1 là Y và X thực sự có quan hệ hàm 
tuyến tính, tức Y=aX+b, hoặc X=cY+d. 
 ρxy = 1 khi và chỉ khi a>0, hoặc c>0, ρxy=–1 khi a<0 (c<0) 
4)  Nếu X và Y độc lập với nhau thì ρxy=0. Điều ngược lại không đúng 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.2 Hệ số tương quan 
Ý nghĩa của hệ số tương quan 
•  Từ các tính chất của hệ số tương quan suy ra rằng 
–  Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ 
tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y 
–  Hệ số tương quan bằng 0 thì hai biến không có quan hệ tương 
quan tuyến tính nhưng chưa chắc chúng độc lập với nhau (trừ 
chúng có phân bố chuẩn) 
–  Hệ số tương quan dương thì hai biến quan hệ đồng biến với 
nhau, hệ số tương quan âm hai biến quan hệ nghịch biến với 
nhau 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.3 Hệ số tương quan mẫu 
•  Hệ số tương quan ρ đã xét trên đây là hệ số tương quan lý thuyết 
giữa hai biến ngẫu nhiên. Nó là một hằng số chưa biết 
•  Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) và mẫu (X1,Y1),,(Xn,Yn) 
•  Hệ số tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là đại 
lượng được xác định bởi: 
yx
xy
yx
xy
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xy ss
R
DDYY
n
XX
n
YYXX
nrr ≡=
−−
−−
=≡
∑∑
∑
==
=
~~
~
)(1)(1
))((1
1
2
1
2
1 µ
•  Khác với hệ số tương quan lý thuyết ρ, hệ số tương quan mẫu 
r là một đại lượng thống kê nên nó là một biến ngẫu nhiên 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
Ví dụ: Tính hệ số tương quan 
TT x y x-xtb y-ytb (x-xtb)^2 (y-ytb)^2 (x-xtb)(y-ytb) 
1 26 0 1.4 -4.6 1.96 21.16 -6.44 
2 25 3 0.4 -1.6 0.16 2.56 -0.64 
3 19 9 -5.6 4.4 31.36 19.36 -24.64 
4 24 10 -0.6 5.4 0.36 29.16 -3.24 
5 24 4 -0.6 -0.6 0.36 0.36 0.36 
6 28 2 3.4 -2.6 11.56 6.76 -8.84 
7 20 9 -4.6 4.4 21.16 19.36 -20.24 
8 29 0 4.4 -4.6 19.36 21.16 -20.24 
9 22 4 -2.6 -0.6 6.76 0.36 1.56 
10 29 5 4.4 0.4 19.36 0.16 1.76 
24.6 4.6 112.4 120.4 -80.6 
S2x=11.24; S2y=12.04; Rxy=-8.06; rxy=Rxy/(S2x*S2y)1/2 =-0.6929 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.3 Hệ số tương quan mẫu 
•  Mật độ phân bố của r có dạng: 
•  Phân bố của r chỉ phụ thuộc vào dung lượng mẫu n và hệ số tương 
quan tổng thể ρ 
•  Khi n = 2 thì fn(r) = 0, phù hợp với sự kiện hệ số tương quan được 
tính từ tập mẫu chỉ có 2 quan trắc phải bằng ±1 
•  Kỳ vọng của hệ số tương quan mẫu r: M[r]=ρ 
•  Phương sai của hệ số tương quan mẫu r: 
∑
∞
=
−−− −+
−−
−
=
0
22
4
22
1
2
3
!
)2())
2
1(()1()1(
)2(
2)(
i
innn
n i
rinr
n
rf ρΓρ
Γπ
∫
−−
−−
−
= −
−−− 1
0
21
2
2
4
22
1
2
1)1(
)1()1(2)(
x
dx
rx
xrnrf n
nnn
n ρ
ρ
π
hoặc dạng khác 
)4442(
4
][
0211
13
2011
31
2
11
22
2020
22
2
02
04
2
20
40
2
µµ
µ
µµ
µ
µ
µ
µµ
µ
µ
µ
µ
µρ
−−+++=
n
rD
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.3 Hệ số tương quan mẫu 
•  Ước lượng khoảng của hệ số tương quan: 
Khi đó biến z có phân bố xấp xỉ chuẩn với trung bình và phương sai: 
Sử dụng phép biến đổi của Fisher: 
r
rz
−
+
=
1
1log
2
1
ρ
ρ
ζ
−
+
=
1
1log
2
1
)1(2
][
−
+=
n
zM ρζ
3
1][
−
=
n
zD
Và khoảng tin cậy của ζ với độ tin cậy 1-α là: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
−
−
−
−=
3
1
)1(2
,
3
1
)1(2
)ˆ,ˆ( 21 n
u
n
rz
n
u
n
rz ααζζ
trong đó uα nhận được từ phân bố chuẩn N(0,1): αα =≥ )( uuP
•  Cách xác định: 
–  Cho α tính được uα; từ r tính được z; 
–  Từ uα, r, z tính được )ˆ,ˆ( 21 ζζ )ˆˆ()ˆ,ˆ( 2121 ρρρρρ <<⇒⇒
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.3 Hệ số tương quan mẫu 
•  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: 
–  Trong thực tế, do độ lớn của mẫu (dung lượng mẫu) bị hạn chế 
nên có thể xảy ra tình huống mặc dù ρ=0 nhưng r≠0, và ngược lại 
–  Nói cách khác, trong tính toán thực hành nếu nhận được r = 0 thì 
điều đó không có nghĩa là ρ bằng 0. 
–  Ngược lại, nếu r≠0 thì cũng không hẳn là ρ khác 0 
–  Khi dung lượng mẫu nhỏ thì mặc dù ρ=0 nhưng giá trị của r lại 
có thể có ý nghĩa (lớn đáng kể) 
– Để xác minh xem ρ=0 hay ρ≠0 cần phải kiệm nghiệm độ rõ rệt 
của r (là ước lượng của ρ) 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.3 Hệ số tương quan mẫu 
•  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: 
– Để kiểm nghiệm, ta đặt giả thiết H0: ρ = 0 
–  Thay ρ ≈ r, với giới hạn tin cậy ban đầu d thì khi H0 đúng, xác 
suất phạm sai lầm loại 1 là α=≥ )( drP
2/1 2 −−
=
nr
rt
2/1 2 −−
=
nr
dtαĐặt 
Khi H0 đúng, t có phân bố Student với n–2 bậc tự do: t∈St(n–2) 
αα =≥=≥⇒ )()( ttPdrP
Từ đó, với α được chọn ta tính được tα từ St(n–2) 
Và kết luận: 
•  Nếu |t| ≥ tα thì bác bỏ H0 và đưa ra kết luật r lớn rõ rệt 
•  Nếu |t| < tα thì chấp nhận H0 và kết luận r không lớn rõ rệt 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.3 Hệ số tương quan mẫu 
•  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: 
–  Ví dụ: Từ tập mẫu {(xt, yt), t=1..11} ta tính được hệ số tương 
quan rxy=0.76. Hãy cho biết với giá trị nhận được như vậy thì hệ 
số tương quan có lớn rõ rệt không nếu chọn xác suất phạm sai 
lầm loại 1 là α=0.01? 
•  Với α=0.01, từ St(11-2) xác định được tα=3.25 < t nên bác bỏ giả 
thiết Ho và kết luận rxy lớn rõ rệt 
=
−−
=
2/1 2 nr
r
t xy 51.3
211/76.01
76.0
2
=
−−
Giải: Ta có 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.4 Khái niệm về hồi qui 
• Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) 
• Quan hệ giữa X và Y có thể là: 
–  Quan hệ hàm 
–  Quan hệ tương quan 
•  Khi X và Y có quan hệ tương quan: 
–  Mỗi giá trị x ∈ X tương ứng với một hàm phân bố (hoặc hàm 
mật độ) có điều kiện F(y/x) (hoặc f(y/x)) của Y, và ngược lại 
–  Nghiên cứu mối phụ thuộc tương quan cần xác định được các 
phân bố có điều kiện 
)(
),()/(
1 xf
yxfxyf =
)(
),()/(
2 yf
yxfyxf =
 Rất khó, phức 
tạp, và hầu như 
không thể thực hiện 
được 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.4 Khái niệm về hồi qui 
• Một cách làm khác: Chỉ giới hạn xét mối quan hệ phụ thuộc giữa 
X với một số đặc trưng có điều kiện của Y, như kỳ vọng, trung vị, 
mốt,.. 
• Phổ biến hơn cả là xét mối quan hệ giữa X và kỳ vọng có điều kiện 
của Y: my(x) = M[Y/X=x] 
•  Người ta gọi đây là sự phụ thuộc hồi qui: Hồi qui của Y lên X 
Y=my(X) hay y = my(x) 
•  Hồi qui này được gọi là hồi qui I: y = my(x) có thể là hàm tuyến 
tính hoặc phi tuyến 
•  Nói chung, y = my(x) là một hàm bất kỳ, phức tạp, và hầu như 
không biết được dạng giải tích 
∫
+∞
∞−
=== dyxyyfxXYMxmy )/(]/[)(
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.4 Khái niệm về hồi qui 
y=my(x) 
(xt,yt) 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
• Trong thực tế, để nghiên cứu mối quan hệ tương quan giữa Y và X, 
người ta thường xấp xỉ my(x) bởi một lớp hàm f(x) nào đó đã biết 
trước dạng giải tích (Chú ý: f(x) là một hàm nào đó, không phải là 
hàm mật độ của X) 
• Trong trường hợp này hàm hồi qui được gọi là hồi qui II 
• Nguyên tắc xác định hàm f(x) là cực tiểu hóa hệ thức: 
• Điều đó có nghĩa là tìm trong các hàm φ(X) thuộc lớp hàm Φ một 
hàm f(X) nào đó thỏa mãn 
)(~)()( xfyyxfxmy =≈⇒≈
)(~ XfYYHay =≈
]))([( 2XfYM −
]))([(]))([( 22 XYMXfYM ϕ
φϕ
−=−
∈(X)
min
•  Hàm hồi qui II được xác định bằng phương pháp này gọi là hồi qui 
bình phương trung bình 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
y=my(x) 
(xt,yt) 
 =f(x) y~
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
y=my(x) 
(xt,yt) 
 =f(x)=α+βx y~
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
•  Trường hợp đơn giản nhất của hồi qui bình phương trung bình là hồi 
qui bình phương trung bình tuyến tính - f(x) là hàm bậc nhất: 
 Y = f(X) = α + βX 
Hay y = f(x) = α + βx 
α, β là các hằng số. (Để đơn giản ta bỏ 
ký hiệu dấu “ngã” phía trên Y và y) 
•  Các hằng số α, β được gọi là các hệ số hồi qui 
•  Từ phương pháp bình phương tối thiểu ta có: 
]])[][][][[(
])[(]))([(
2
222
XMXMXYMYMYM
XYMXfYMR
βββα
βα
−+−−+−=
=−−=−=
( )[ ]2])[][(])[(])[( XMYMXMXYMYM βαβ −−+−−−=
[
]])[][])([(2
])[][])([(2])[])([(2
])[][(])[(])[( 2222
XMYMXMX
XMYMYMYXMXYMY
XMYMXMXYMYM
βαβ
βαβ
βαβ
−−−−
−−−−+−−−
−−−+−+−=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
[
]])[][])([(2
])[][])([(2])[])([(2
])[][(])[(])[( 22222
XMYMXMX
XMYMYMYXMXYMY
XMYMXMXYMYMR
βαβ
βαβ
βαβ
−−−−
−−−−+−−−
−−−+−+−=
[
]][][][][][
][.][.][][
][][][][.][.[2
),cov(2])[][(][][
2
2
222
XMXMXMYMXM
XMXXYMXYMXM
YMYMYMXMYYYMYM
YXXMYMXDYDR
ββαβ
ββαββ
αβα
ββαβ
−−+
+++−+
++−−−+
+−−−++=
2222
22
222
(2
),cov(2)(
xxyxxxyx
yxyyyxyy
xyxy
mmmmmmmm
mmmmmmmm
YXmmDDR
βαβββαββ
βαβα
ββαβ
−−+++−
−++−−−+
+−−−++=
xyxyxy mmDDR βµβαβ 2)(
222 −−−++=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
xyxyxy mmDDR βµβαβ 2)(
222 −−−++=
022)(2
0)(2
2
2
=−+−−−=
∂
∂
=−−−=
∂
∂
xyxxxy
xy
DmmmR
mmR
µββα
β
βα
α
0)(2 =−−− xy mm βα
xy mm βα −=⇒
0))((
022)(2
=−+−−−⇒
=−+−−−
xyxxxxyy
xyxxxy
Dmmmmm
Dmmm
µβββ
µββα
x
xy
xyx D
D
µ
βµβ =⇒=− 0
xy
x
xy mm
D
βα
µ
β −== , ][][,
)var(
),cov( XMYM
X
YX
βαβ −==
X
DD
mmXfY
x
xy
x
xy
xy
µµ
+−== )()( x
DD
mmy
x
xy
x
xy
xy
µµ
+−= )(hay 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
xy
x
xy mm
D
βα
µ
β −== ,
x
DD
mmyX
DD
mmXfY
x
xy
x
xy
xy
x
xy
x
xy
xy
µµµµ
+−=+−== )(,)()(
x
y
x
y
xy
x
y
yx
xy
y
y
x
xy
x
xy
x
xy
D σ
σ
ρ
σ
σ
ρ
σ
σ
σσ
µ
σ
σ
σ
µ
σ
µµ
β ≡===== 22
• Hệ số góc của đường thẳng hồi qui cùng dấu với hệ số tương quan 
–  Hệ số tương quan dương: Đường thẳng hồi qui có hướng “đi 
lên” từ trái sang phải 
–  Hệ số tương quan âm: Đường thẳng hồi qui có hướng “đi 
xuống” từ trái sang phải 
 Đây là phương trình đường thẳng 
hồi qui với hệ số góc β 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
x 
y 
x
y 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến 
xyxyxy mmDD
XYMXfYMR
βµβαβ
βα
2)(
]))([(]))([(
22
222
−−−++=
+−=−=
xy
x
xy mm
D
βα
µ
β −== ,
•  Sai số của phương pháp 
)1(12
2)(
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
4
2
22
ρσ
σσ
µ
σ
σ
µ
σ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
ββσ
σ
µ
σ
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=−+=
−−+−++=
y
yx
xy
y
x
xy
y
x
xy
x
xy
y
xy
x
xy
xxyyx
x
xy
y mmmmR
•  Vì |ρ|≤1 nên sai số R2 càng nhỏ khi |ρ| càng gần 1 
•  Nói cách khác, nếu Y và X quan hệ tuyến tính với nhau càng chặt 
chẽ thì sai số của phép xấp xỉ my(x) ≈ f(x) càng chính xác 
•  Khi hệ số tương quan |ρ|=1, ứng với trường hợp Y và X có quan hệ 
hàm tuyến tính, thì R2=0 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) 
•  Xét mối quan hệ tương quan giữa biến ngẫu nhiên Y với m biến 
ngẫu nhiên (X1,...,Xm) 
•  Quan hệ giữa Y và (X1,...,Xm) có thể được mô tả bởi các phân bố 
đồng thời f(y, x1,...,xm) hoặc phân bố có điều kiện f(y/x1,...,xm) 
•  Tuy nhiên, điều đó thường không thực hiện được, và thay cho điều 
đó người ta xét quan hệ giữa Y với (X1,...,Xm) thông qua các đặc 
trưng có điều kiện 
•  Ở đây ta xét kỳ vọng có điều kiện: 
my(x1,...,xm)=M[Y/X1=x1,...,Xm=xm] 
∫
+∞
∞−
== dyxxyyfxxmy mmy ),...,/(),...,( 11 ),...,( 1 my XXmY =
•  Đây được gọi là mặt hồi qui I giữa Y và (X1,...,Xm) 
•  Tương tự như trường hợp một biến, mặt hồi qui I my(x1,...,xm) là một 
hàm phức tạp và nói chung không thể xác định được 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) 
•  Do đó, thay cho hàm hồi qui I người ta xét hồi qui II là một hàm m 
biến  ... M
1
0
2
00
2
2
00
2
222
2
βββββββ
ββββ
⎥
⎦
⎤
+−++
⎢
⎣
⎡
−+−−−=
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= == == =
===
m
1j
kj
m
1j
jk
m
1j
kj
m
1j
j
m
1j
j
m
1j
j
2R
m
k
kjj
m
k
ky
m
k
kj
yjyjjy
XXXmmmm
mmmYXYmmYM
111
22
)(2
22)(2
ββββββ
βββ
•  Sai số của phương pháp 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) 
⎥
⎦
⎤
+−++
⎢
⎣
⎡
−+−−−=
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= == == =
===
m
1j
kj
m
1j
jk
m
1j
kj
m
1j
j
m
1j
j
m
1j
j
2R
m
k
kjj
m
k
ky
m
k
kj
yjyjjy
XXXmmmm
mmmYXYmmYM
111
22
)(2
22)(2
ββββββ
βββ
∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
= == === =
===
+−++
−+−+−=
m
1j
kjjk
m
1j
j
m
1j
kj
m
1j
j
m
1j
j
m
1j
j
2R
m
k
kj
m
j
jk
m
k
jy
m
k
kj
yjyjjy
XXMXMmXMmmm
mmmYXMYMmYMmYM
11 11
22
][][2][2
2][2][2][2][
βββββββ
βββ
∑∑∑∑
∑∑
= == =
==
+−
+−−=
m
1j
kj
m
1j
kj
m
1j
j
m
1j
j
2R
m
k
kj
m
k
kj
jyjy
XXMmm
mmYXMmYM
11
22
][
2][2][
ββββ
ββ
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) 
∑∑∑∑
∑∑
= == =
==
+−
+−−=
m
1j
kj
m
1j
kj
m
1j
j
m
1j
j
2R
m
k
kj
m
k
kj
jyjy
XXMmm
mmYXMmYM
11
22
][
2][2][
ββββ
ββ
∑∑∑
= ==
+−=
m
1j
kj
m
1j
j
2R
m
k
jkyjyD
1
2 µββµβ
yxxxB ∑∑=
−1
( ) ( ) ( )yxxxxx
T
yxxxyx
T
yxxxyD ∑∑∑∑∑+∑∑∑−=
−−− 11122R
( ) ( ) yxxxxx
T
yxxxyx
T
yxxxyD ∑∑∑∑∑+∑∑∑−=
−−− 11122R
( ) ( ) yx
T
yxxxyx
T
yxxxyD ∑∑∑+∑∑∑−=
−− 1122R
( ) yx
T
yxxxyD ∑∑∑−=
−12R
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) 
∑ ∑∑
= ==
+−=
m
1j
kj
m
1j
j
2R
m
k
jkyjyD
1
2 µββµβ
∑
=
−=
m
1j
j
2R yjyD µβ
)1()1( 2 ∑∑
==
−=−=
m
1j
j
m
1j
j
2R
y
j
yj
yj
y
y
yj
y D
D
σ
σ
σσ
µ
βσ
µ
β
)1(2 yj
y
j
y ρσ
σ
βσ ∑
=
−=
m
1j
j
2R
•  Cách biểu diễn khác 
mjjj ,...,2,1, =Δ
Δ
=β
yj
j
y
j
yj
y
j
my ρσ
σ
ρ
σ
σ
βρ ∑∑
==
• Δ
Δ
==
m
1j
m
1j
j...12•  Đại lượng 
được gọi là hệ số tương quan bội giữa Y và (X1,...,Xm) 
),..,1(, mkykjk ==∑
=
µµβ
m
1j
j
•  Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) và mẫu tương ứng (X1,Y1),...,(Xn,Yn) 
•  Ta cần tìm phương trình hồi qui tuyến tính giữa Y và X trên cơ sở tập 
mẫu đã có 
•  Từ lý thuyết: Y=α + βX, hay y=α + βx với 
•  Trên thực tế cả α và β đều chưa biết và ta cần ước lượng chúng từ tập 
mẫu 
•  Ký hiệu ước lượng của α và β tương ứng là a và b ta có: 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
xy
x
xy mm
D
βα
µ
β −== ,
• Trường hợp một biến 
bxayhaybXaY +=+= ˆˆ
•  Các hệ số a và b cần thỏa mãn điều kiện: 
min)()ˆ(
1
2
1
22 →−−=−= ∑∑
==
n
i
ii
n
i
ii bXaYYYR
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp một biến 
•  Xem R2 như là 
hàm của a và b: ∑∑ ==
−−=−=
n
i
ii
n
i
ii bXaYYYbaR
1
2
1
22 )()ˆ(),(
•  Để R2 →min điều kiện cần và đủ là: 0),(),(
22
=
∂
∂
=
∂
∂
b
baR
a
baR
•  Từ đó ta có: 
0)(2),(
1
2
=−−−=
∂
∂
∑
=
n
i
ii bXaYa
baR
0)(2),(
1
2
=−−−=
∂
∂
∑
=
n
i
iii XbXaYb
baR
0)(1
1
=−−∑
=
n
i
ii bXaYn
0)(1
1
=−−∑
=
n
i
iiiii XbXaXXYn
0=−− XbaY XbYa −=
xxy
n
i
iiiiii DbRXXbYXXYXbXXXbXYXYn
~)()()(1
22
1
−=−−−=−+−∑
=
x
xy
D
R
b ~=
x
y
xy
x
y
yx
xy
x
xy
s
s
r
s
s
ss
R
s
R
b === 2
x
y
xy s
s
rb =
( )∑
=
+−−++=
n
i
iiiiii abXXbYaYXbaYR
1
22222 222
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp một biến 
•  Sai số: ∑∑
==
−−=−=
n
i
ii
n
i
ii bXaYYYR
1
2
1
22 )()ˆ(
XbYa −=
2222222222 222222 XbYXbXYbYXbYXbXbXYbYYS −+−+−++−+=
( )∑
=
−+−−−+−+=
n
i
iiiiii bXXbYXbYYXbYXbXbYYR
1
22222 )(22)(2)(
•  Đặt S2 = R2/n 
XYbYXbXbXbYYS 22
2222222 −+−+−=
xyxy bRDbDS 2
~~ 22 −+=
x
y
xy s
s
rb =
2222
2
2
222 2 yxyyyxxy
x
y
xyx
x
y
xyy srsssrs
s
rs
s
s
rsS −=−+=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp một biến 
2222
2
2
222 2 yxyyyxxy
x
y
xyx
x
y
xyy srsssrs
s
rs
s
s
rsS −=−+=
)1( 222 xyy rsS −=
XYbYXbXbXbYYS 22
2222222 −+−+−=
xyxy bRDbDS 2
~~ 22 −+=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp một biến 
•  là tổng bình phương các độ lệch giữa quan trắc (giá trị mẫu) và ước 
lượng (tính được từ phương trình hồi qui) của Y 
∑∑
==
−−=−=
n
i
ii
n
i
ii bXaYYYR
1
2
1
22 )()ˆ(
•  là trung bình bình phương các độ lệch giữa quan trắc (giá trị mẫu) 
và ước lượng (tính được từ phương trình hồi qui) của Y 
•  Nó có thể được dùng làm thước đo độ chính xác của phép hồi qui 
•  Rõ ràng: Khi trị tuyệt đối của hệ số tương quan càng lớn (càng gần 
1) thì sai số càng nhỏ 
)1( 222 xyy rsS −=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp một biến 
•  Hãy so sánh 
•  Các hệ số của phương trình hồi qui mẫu, ước lượng của các hệ 
số hồi qui lý thuyết, được tính qua các đặc trưng mẫu tương 
ứng là ước lượng của các đặc trưng lý thuyết 
XbYa −=
x
xy
D
R
b ~=
x
y
xy s
s
rb =
x
xy
D
µ
β =
x
y
σ
σ
ρβ =
xy mm βα −=
)1( 222 xyy rsS −=
)1( 222 ρσ −= yR
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
TT	
   x	
   y	
   (x-xtb)	
   (y-ytb)	
   (x-xtb)^2	
   (y-ytb)^2	
   (x-xtb)(y-ytb)	
  
1	
   22	
   20	
   1.3	
   -2.3	
   1.69	
   5.29	
   -2.99	
  
2	
   23	
   28	
   2.3	
   5.7	
   5.29	
   32.49	
   13.11	
  
3	
   30	
   25	
   9.3	
   2.7	
   86.49	
   7.29	
   25.11	
  
4	
   29	
   28	
   8.3	
   5.7	
   68.89	
   32.49	
   47.31	
  
5	
   27	
   25	
   6.3	
   2.7	
   39.69	
   7.29	
   17.01	
  
6	
   14	
   21	
   -6.7	
   -1.3	
   44.89	
   1.69	
   8.71	
  
7	
   17	
   22	
   -3.7	
   -0.3	
   13.69	
   0.09	
   1.11	
  
8	
   15	
   18	
   -5.7	
   -4.3	
   32.49	
   18.49	
   24.51	
  
9	
   19	
   15	
   -1.7	
   -7.3	
   2.89	
   53.29	
   12.41	
  
10	
   11	
   21	
   -9.7	
   -1.3	
   94.09	
   1.69	
   12.61	
  
 	
   20.7	
   22.3	
   	
   	
   390.1	
   160.1	
   158.9	
  
Dx=	
   39.01	
   Dy=	
   16.01	
   Rxy=	
   15.89	
   rxy=	
   0.6358	
  
b = Rxy/Dx =	
   0.41	
   a = ytb - b*xtb =	
   13.87	
  
y = 13.87 + 0.41*x	
  
•  Xét hồi qui giữa biến ngẫu nhiên Y và m biến ngẫu nhiên (X1,...,Xm) 
với mẫu tương ứng (Y1,X11,..., X1m),...,(Yn,Xn1,..., Xnm) 
•  Ta cần tìm hàm hồi qui tuyến tính giữa Y và (X1,...,Xm) dưới dạng 
Y=β0+ β1X1 + β2X2++ βmXm hay y=β0+ β1x1 + β2x2++ βmxm 
•  Vì các βj, j=0,1,,m đều chưa biết nên ta cần ước lượng chúng từ 
tập mẫu 
•  Ký hiệu các ước lượng βj, j=0,1,,m tương ứng là a0, a1,,am ta có: 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑∑
==
+=+=
m
j
jj
m
j
jj xaayhayXaaY
1
0
1
0 ˆˆ
•  Các hệ số aj, j=0,1,,m, cần thỏa mãn điều kiện: 
min)()ˆ(
1
2
1
0
1
22 →−−=−= ∑ ∑∑
= ==
n
i
m
j
ijji
n
i
ii XaaYYYR
•  Tương tự như trường hợp một biến, ta xem R2 như là hàm của các hệ 
số hồi qui aj, j=0,1,,m: 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑ ∑
= =
−−==
n
i
m
j
ijjim XaaYaaaRR
1
2
1
010
22 )(),...,,(
•  Điều kiện cần và đủ 
để R2 →min là: 
),...,2,1(,0)(2
0)(2
1 1
0
2
1 1
0
0
2
mkXXaaY
a
R
XaaY
a
R
n
i
ik
m
j
ijji
k
n
i
m
j
ijji
==−−−=
∂
∂
=−−−=
∂
∂
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
),...,2,1(,0)(
0)(
1 1
0
1 1
0
mkXXaaY
XaaY
n
i
ik
m
j
ijji
n
i
m
j
ijji
==−−
=−−
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
),...,2,1(,0)(
0)(
1 1
0
1 1
0
mkXXaaY
XaaY
n
i
ik
m
j
ijji
n
i
m
j
ijji
==−−
=−−
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
011
1 1
0
1
=−− ∑∑∑
= ==
n
i
m
j
ijj
n
i
i Xan
aY
n
∑∑∑
= ==
−=
n
i
m
j
ijj
n
i
i Xan
Y
n
a
1 11
0
11
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0),...,2,1(,0)(
1 11
mkXXaXaYY
n
i
ik
m
j
ijj
m
j
jji ==−+−∑ ∑∑
= ==
),...,2,1(,0)(1
1 11
mkXXaXXaXYXY
n
n
i
m
j
ikijjik
m
j
jjikiki ==−+−∑ ∑∑
= ==
),...,2,1(,0)()(
1
mkXXXXaXYYX
m
j
kjkjjkk ==−−− ∑
=
),...,2,1(,0
1
mkRaR
m
j
jkjyk ==−∑
=
),...,2,1(,
1
mkRRa yk
m
j
jkj ==∑
=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
),...,2,1(,0)(
0)(
1 1
0
1 1
0
mkXXaaY
XaaY
n
i
ik
m
j
ijji
n
i
m
j
ijji
==−−
=−−
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
011
1 1
0
1
=−− ∑∑∑
= ==
n
i
m
j
ijj
n
i
i Xan
aY
n
∑∑∑
= ==
−=
n
i
m
j
ijj
n
i
i Xan
Y
n
a
1 11
0
11
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0),...,2,1(,0)(
1 11
mkXXaXaYY
n
i
ik
m
j
ijj
m
j
jji ==−+−∑ ∑∑
= ==
),...,2,1(,0)(1
1 11
mkXXaXXaXYXY
n
n
i
m
j
ikijjik
m
j
jjikiki ==−+−∑ ∑∑
= ==
),...,2,1(,0)()(
1
mkXXXXaXYYX
m
j
kjkjjkk ==−−− ∑
=
),...,2,1(,0
1
mkRaR
m
j
jkjyk ==−∑
=
),...,2,1(,
1
mkRRa yk
m
j
jkj ==∑
=
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0 ),...,2,1(,
1
mkRRa yk
m
j
jkj ==∑
=
•  Các hệ thức: 
•  Lập thành hệ phương trình đại số tuyến tính: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−=
=+++
=+++
=+++
mm
ymmmmm
ym
ym
aXaXYa
RaRaRaR
RaRaRaR
RaRaRaR
...
...
...
...
...
110
21
222221
111211
m21
m21
m21 •  Giải hệ này ta xác định 
được các hệ số a0,a1,...,am 
•  Có nhiều cách để giải hệ 
này: Khử Gauss, Crame, 
nghịch đảo ma trận, gần 
đúng (lặp),... 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ym
y
y
mmmm
m
m
R
R
R
a
a
a
RRR
RRR
RRR
......
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
m
2
1
yxxx RAR =yxxx RRA
1−=
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0
•  Phương pháp 
nghịch đảo ma 
trận 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
mmmm
m
m
xx
RRR
RRR
RRR
RD
...
............
...
...
det
21
22221
11211
==
mm
m
m
mj
j
j
ym
y
y
mj
j
j
m
j
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
D
...
...
...
...
...
.........
...
...
...
...
...
2
1
1
12
11
2
1
1
12
11
1
21
11
+
+
+
−
−
−
=
mj
D
D
a jj ,...,2,1, ==
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
•  Phương pháp Crame 
•  Sai số của ước lượng hồi qui 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑ ∑
= =
−−=
n
i
m
j
ijji XaaYR
1
2
1
0
2 )(
•  Tương tự như trường hợp một biến, ta sẽ sử dụng trung bình của 
tổng bình phương các độ lệch giữa quan trắc (mẫu) và ước lượng 
(tính được qua phương trình hồi qui) của Y làm thước đo độ chính 
xác của phương pháp 
là tổng bình phương các độ lệch 
∑ ∑∑∑∑
= === =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−++=
n
i
m
j
ijj
m
j
ijiji
m
j
m
k
ikijkji XaaXYaYaXXaaaYR
1 1
0
1
0
1 1
2
0
22 222
n
RS
2
2 = là trung bình của tổng bình phương các độ lệch 
•  Sai số của ước lượng hồi qui 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑ ∑∑∑∑
= === =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−++=
n
i
m
j
ijj
m
j
ijiji
m
j
m
k
ikijkji XaaXYaYaXXaaaYn
S
1 1
0
1
0
1 1
2
0
22 2221
∑∑∑∑
=== =
+−−++=
m
j
jj
m
j
jj
m
j
m
k
kjkj XaaYXaYaXXaaaYS
1
0
1
0
1 1
2
0
22 222
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
= ====
= == ==
−+−+−
++−+=
m
j
m
k
kjkj
m
j
jj
m
j
jj
m
j
jj
m
j
m
k
kjkj
m
j
m
k
kjkj
m
j
jj
XXaaXYaYXaXYaY
XXaaXXaaXYaYYS
1 1111
2
1 11 11
222
22222
2
∑∑∑
= ==
+−=
m
j
m
k
jkkj
m
j
yjjy RaaRaDS
1 11
2 2~
•  Sai số của ước lượng hồi qui 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑∑∑
= ==
+−=
m
j
m
k
jkkj
m
j
yjjy RaaRaDS
1 11
2 2~ ),...,2,1(,
1
mkRRa yk
m
j
jkj ==∑
=
∑ ∑∑
= ==
+−=
m
j
m
k
jkkj
m
j
yjjy RaaRaDS
1 11
2 2~ ∑
=
−=⇒
m
j
yjjy RaDS
1
2 ~
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=−= ∑∑∑
===
m
j
yj
y
xj
y
m
j
xyyj
j
y
m
j
xyyjjy rs
s
D
D
sssr
D
D
sssrasS
1
2
1
2
1
22 1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∑
=
m
j
yj
y
xj
y rs
s
D
D
sS
1
22 1 ∑
=
• =
m
j
yj
y
xj
my rs
s
D
D
r
1
...12
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu 
• Trường hợp nhiều biến (hồi qui bội) 
∑
=
−=
m
j
jj XaYa
1
0),...,2,1(,
1
mkRRa yk
m
j
jkj ==∑
=
∑
=
−=
m
1j
j0 ][][ jXMYM ββ),..,1(, mkykjk ==∑
=
µµβ
m
1j
j
•  Hãy so sánh 
•  Các hệ số của 
phương trình 
hồi qui mẫu, 
ước lượng 
của các hệ số 
hồi qui lý 
thuyết, được 
tính qua các 
đặc trưng 
mẫu tương 
ứng là ước 
lượng của các 
đặc trưng lý 
thuyết 
)1(2 yj
y
j
y ρσ
σ
βσ ∑
=
−=
m
1j
j
2R
yj
j
y
j
my ρσ
σ
ρ ∑
=
• Δ
Δ
=
m
1j
...12
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∑
=
m
j
yj
y
xj
y rs
s
D
D
sS
1
22 1
∑
=
• =
m
j
yj
y
xj
my rs
s
D
D
r
1
...12
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
TT	
   y	
   x1	
   x2	
  
1	
   26	
   17	
   23	
  
2	
   16	
   23	
   10	
  
3	
   15	
   10	
   20	
  
4	
   19	
   29	
   10	
  
5	
   27	
   16	
   14	
  
6	
   13	
   14	
   18	
  
7	
   18	
   19	
   14	
  
8	
   12	
   12	
   16	
  
9	
   30	
   18	
   22	
  
10	
   27	
   27	
   27	
  
TB	
   20.3	
   18.5	
   17.4	
  
 	
   y	
   x1	
   x2	
  
y	
   39.2	
   12.5	
   16.1	
  
x1	
   12.5	
   34.7	
   -4.9	
  
x2	
   16.1	
   -4.9	
   28.6	
  
D =	
  
34.7	
   -4.9	
  
= 968.37	
  
-4.9	
   28.6	
  
Dx1 =	
  
12.5	
   -4.9	
  
= 435.36	
  
16.1	
   28.6	
  
Dx2=	
  
34.7	
   12.5	
  
=618.18	
  
-4.9	
   16.1	
  
a1 =	
   Dx1/D = 	
   0.4496	
  
a2 =	
   Dx2/D =	
   0.6384	
  
a0 =	
   ytb-a1*x1tb-a2*x2tb = 	
   0.8751	
  
	
  	
  	
  y	
  =	
  a0	
  +	
  a1*x1	
  +	
  a2*x2	
  
	
  	
  	
  y	
  =	
  0.8751	
  +	
  0.4496*x1	
  +	
  0.6384*x2	
  
Ma trận tương quan 
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 
TT	
   y	
   x1	
   x2	
  
1	
   26	
   17	
   23	
  
2	
   16	
   23	
   10	
  
3	
   15	
   10	
   20	
  
4	
   19	
   29	
   10	
  
5	
   27	
   16	
   14	
  
6	
   13	
   14	
   18	
  
7	
   18	
   19	
   14	
  
8	
   12	
   12	
   16	
  
9	
   30	
   18	
   22	
  
10	
   27	
   27	
   27	
  
TB	
   20.3	
   18.5	
   17.4	
  
 	
   y	
   x1	
   x2	
  
y	
   39.2	
   12.5	
   16.1	
  
x1	
   12.5	
   34.7	
   -4.9	
  
x2	
   16.1	
   -4.9	
   28.6	
  
Dy Dx1 Dx2 
39.2	
   34.7	
   28.6	
  
Sy	
   Sx1	
   Sx2	
  
6.261	
   5.891	
   5.348	
  
 y x1 x2 
y 1 0.3389 0.4808 
x1 0.3389 1 -0.1555 
x2 0.4808 -0.1555 1 
KẾT THÚC CHƯƠNG TRÌNH