Bài giảng Phương pháp số ứng dụng - Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn - Nguyễn Thống

1PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: 
Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
2
NỘI DUNG MÔN HỌC
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
uốn)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. 
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad 
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB 
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. 
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. 
RAO 1989.
7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
4
LÝ THUYẾT 
CƠ BẢN VỀ DẦM
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
5
Xét dầm đơn chịu tải phân bố q(x):
x q(x)
x
y
d 
Trục trung hòa, dx
Đoạn dầm chiều dài 
vi phân dx chịu uốn
y
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
6
 khoảng cách từ trục trung hoà đến tâm
O của cung cong vi phân.
Chiều dài cung cong vi phân ds tại vị trí y
bất kỳ:
ds = ( - y)d
Biến dạng dài dọc trục tương đối do uốn:
 
  
 
y
d
ddy
dx
dxds
x
2PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
7
Quan hệ giữa chuyển vị dv(x) và góc
xoay :
dx
 Chuyển vị dv
Trục trung hòa 
sau khi chuyển vị
Trục trung hòa trước 
khi chuyển vị
)x(
dx
)x(dv
 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
8
Quan hệ giữa bán kính cong và chuyển
vị v:
Ta có dl = dx / cos(d/2) = d
d
x
d
dx
dl
dv
A
B
C
d/2 (góc BAC)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
9
Kết quả trước:
Ngoài ra:

 
 

 

18/dx/dv12/2/d1
2/2/d1
1
)2/dcos(
1
dx
d
212
2
2
2
dx
)x(vd
dx
)x(d
)x(
dx
)x(dv

  
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
10
Tóm lại:
Từ đó:
1
dx
)x(vd
2
2
2
2
x
dx
)x(vd
y
y
 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
11
Định luật Hooke 1D cho phép viết:
Phương trình trên cho thấy ứng suất
pháp biến đổi tuyến tính theo
khoảng cách tính từ trục trung hòa
(y).
2
2
xx
dx
)x(vd
EyE  
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
12
Từ đó xác định moment uốn M(x) tại một mặt
cắt bất kỳ xác định như sau:
Với IZ chỉ momen quán tính của tiết diện
( hình chữ nhật IZ=bh
3/12).
2
2
Z
A
2
2
2
A
x
dx
)x(vd
EI
dAy
dx
)x(vd
EdAy)x(M
  
3PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
13
 Đây là phương trình cơ bản trong
sức bền vật liệu.
Kết hợp với định luật Hooke ở
trước, ta cũng có thể viết:
Z
x
I
y.M
 
)x(M
dx
)x(vd
EI
2
2
Z 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
14
PHẦN TỬ 
CHỊU UỐN
(Chịu lực cắt & 
Momen ở 2 đầu mút)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
15
Các giả thiết:
 Phần tử có chiều dài L giới hạn
bởi 2 nút ở hai đầu mút.
 Phần tử nối với nhau tại các nút.
 Xét trường hợp tải chỉ tác dụng
lên tại nút
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
16
Biến quan tâm trong pp. PTHH:
 độ võng dầm, v(x)
 góc xoay của dầm, 
! Chú ý đến tính tương thích tại các nút.

v1 v2
F1
M1
F2
M2
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
17
Quy ước về dấu của chuyển vị và góc
xoay:
 > 0 khi xét với 1 điểm trong dầm nó quay
theo ngược chiều kim đồng hồ & ngược
lại.
x
y
v2v1
1
21 2L
x
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
18
Hàm chuyển vị: Chuyển vị tại vị trí x bất kỳ
trong thanh xác định bởi:
Với 4 tham số cần xác định ai
ai xác định từ các điều kiện biên:
3
3
2
210 xaxaxaa)x(v 
3
3
2
2102
01
LaLaLaav)Lx(v
av)0x(v
4PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
19
Các điều kiện biên (tt):
2
3212
Lx
11
0x
La3La2a
dx
dv
a
dx
dv
  
 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
20
4 pt cho phép xác định 4 ẩn số ai :
22
32
23
3
2
2
12
32
13
3
2
2
L
x
L
x
v
L
x2
L
x3
L
x
L
x2
xv
L
x2
L
x3
1)x(v
 
 
2423
1211
)x(Nv)x(N
)x(Nv)x(N)x(v
 
 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
21 
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
L
x
L
x
N;
L
x2
L
x3
N
L
x
L
x2
xN;
L
x2
L
x3
1N
     





 N
v
v
NNNN)x(v
2
2
1
1
4321
NI HÀM HERMITE
TRỰC GIAO NHAU)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
22
Ni Gọi là hàm hình dạng
Từ kết quả trước ta đã có:
2
2
xx
dx
)x(vd
EyE  
 
    
2
2
xx
dx
Nd
EyE
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
23
Về momen Thay đổi tuyến tính theo chiều
dài dầm với giả thiết chỉ có ngoại lực ở đầu
nút: F1 F2
M1 M2
-M1
(F1L - M1)
(F1L - M1+M2)Mz
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
24
Bài tập 1:
1. Hãy kiểm nghiệm tính chất của các hàm
Ni:
N1(0) = N3(L) = 1;
2. Biểu diễn định tính (lưu ý các giá trị đạo
hàm ở biên) các hàm Ni lên đồ thị.
1
dx
)L(dN
dx
)0(dN 42 
5PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
25
THIẾT LẬP 
MA TRẬN 
ĐỘ CỨNG 
PHẦN TỬ 
CHỊU UỐN
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
26
Từ kết quả Chương 6, ma trận độ cứng phần
tử ke được xác định như sau:
Trong đó [B] được định nghĩa (xem B ở sau):
      dV.BDBk
T
V
e
i
  )e(x uB 
Biến dạng Chuyển vị
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
27
[D] ma trận biểu diễn định
luật Hooke.
Bài toán 1D [D] = E (module
đàn hồi Young)
 Xem xác định ma trận [B] ở
sau 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
28
Ta có:
. Dr. Nguyễn Thống
 
 
  
   





  
 
B
v
v
L2x6LL6x12L4x6LL6x12
L
y
dx
xNd
v
dx
xNd
dx
xNd
v
dx
xNd
y
dx
Nd
y
dx
vd
y
2
2
1
1
3
22
4
2
22
3
2
12
2
2
12
1
2
2
2
2
2
x
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
29
Thay vào và tích phân ta có:
      
     dxdABDB
dV.BDBk
L
0
A
T
T
V
e
i



Thể tích
Tiết diện
Chiều dài
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
30
 
L
0
2
4
L
0
34
L
0
24
L
0
14
L
0
43
L
0
2
3
L
0
23
L
0
13
L
0
42
L
0
32
L
0
2
2
L
0
12
L
0
41
L
0
31
L
0
21
L
0
2
1
e
dxNdxNNdxNNdxNN
dxNNdxNdxNNdxNN
dxNNdxNNdxNdxNN
dxNNdxNNdxNNdxN
EI
k
6PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
31
Ma trận độ cứng phần tử thanh chịu lực
(momen) ở 2 đầu (ma trận đối xứng,
symétric):
 
2
22
3e
L4symsymsym
L612symsym
L2L6L4sym
L612L612
L
EI
k
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
32
Trong đó:
A
2dAyI
Momen quán tính của tiết 
diện đối với trục
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
33
Tóm lại, phương trình cân bằng lực của phần tử
trong hệ tọa độ địa phương của thanh dầm là:
   )e()e(e fk 
 





 
2
2
1
1
)e(
v
v
Vectơ chuyển vị nút
 



2
2
1
1
)e(
M
F
M
F
f Vectơ lực nút
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
34
F1 F2
M1
M2
Loại phần tử dầm chỉ 
chịu lực ở 2 đầu nút
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
35
Ví dụ: Cho dầm chịu tải trọng như
sau: P
L/2 L/2

1
2
3
v1 v2
v3
3
2
1 (1) (2)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
36
Ma trận độ cứng phần tử:
   
2
22
3
)2(
e
)1(
e
Lsymsymsym
L312symsym
2/LL3Lsym
L312L312
L
EI
kk
7PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
37
Các điều kiện biên: 0vv 131  
Chuyển vị trong 
hệ tọa độ chung
C/vị nút pt. (1) 
trong địa phương
C/vị nút pt. (2) 
trong địa phương
1 (v1) 1
2 (1) 2
3 (v2) 3 1
4 (2) 4 2
5 (v3) 3
6 (3) 4
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
38
Hệ phương trình tổng thể:









3
3
2
1
1
3
3
2
2
1
1
2
22
22
3
M
F
M
P
M
F
v
v
v
L8.....
L2496....
L4L24L16...
L24960192..
00LL24L8.
00L2496L2496
L
EI
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
39
Đưa các điều kiện biên vào:








0
0
Pv
L8L4L24
L4L160
L240192
L
EI
3
2
2
22
22
3
EI32
PL
;
EI128
PL
;
EI768
PL7
v
2
3
2
2
3
2   
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
40
Thay vào trên xác định phản lực nút:
16
P5
L24L24v96
L
EI
F
16
PL3
L4Lv24
L
EI
M
16
P11
L24v96
L
EI
F
32233
2
2
231
2231
   
  
  
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
41
Lực nút thanh (1) xác định bởi:
  






  



32
PL5
16
P11
16
PL3
16
P11
EI128
PL
EI768
PL7
0
0
*
L...
L312..
2/LL3L.
L312L312
L
EI8
k
M
F
M
F
2
3
2
22
3
)1()1(
e
)1(
2
)1(
2
)1(
1
)1(
1
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
42
Lực nút thanh (2) xác định bởi:
  






  



0
16
P5
32
PL5
16
P5
EI128
PL
0
EI128
PL
EI768
PL7
*
L...
L312..
2/LL3L.
L312L312
L
EI8
k
M
F
M
F
2
2
3
2
22
3
)2()2(
e
)2(
2
)2(
2
)2(
1
)2(
1
8PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
43
CHÚ Ý
PFF )2(1
)1(
2 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
44
BÀI TẬP
DẦM 
CHỊU LỰC 
2 ĐẦU
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
45
Bài tập 2: Xác định:
1. Ma trận độ cứng phần tử
2. Ma trận độ cứng toàn kết cấu
3. Chuyển vị nút.
P=5kN
6m 2m
E=2.105MPa, I=4.10-6m4
1 2 3
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
46
Bài tập 2bis: Xác định:
1. Ma trận độ cứng phần tử
2. Ma trận độ cứng toàn kết cấu
3. Chuyển vị nút các phản lực tại 1,3,5.
P
1 3 4
M
2
5
L L L L
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
47
Bài tập 3: Xác định chuyển vị nút cho các
kết cấu sau:
5kN
3m
E=200GPa, I=4.10-6m4
5kN
2m 1m
E=200GPa, I=4.10-6m4
2m 1m
5kN
E=200GPa, I=4.10-6m4
5kN
1m 1m
E=200GPa, I=4.10-6m4
(a) (b)
(c) (d)
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
48
Bài tập 4: Xác định chuyển vị nút cho các
kết cấu sau:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
5kN
1m
E=200GPa, I=4.10-6m4
5kN-m
1m 1m
E=200GPa, I=4.10-6m4
1m 1m
5kN
E=200GPa, I=4.10-6m4
5kN-m
1m 1m
E=200GPa, I=4.10-6m4
1m
5kN
(a)
(b)
(c) (d)
9PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
49
DẦM CHỊU
TẢI PHÂN BỐ
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
50
Xét sơ đồ dầm chịu lực sau:
Công của ngoại lực phân bố:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
X
Y q(x)
x
L
0
dx).x(v).x(qW
Chuyển vị
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
51
Công của lực nút tương đương:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
2q22q21q11q1
L
0
MvFMvFdx).x(v).x(qW   
Lực nút tương 
đương tại nút 1
Chuyển vị tịnh 
tiến tại nút 2
Chuyển vị xoay 
tại nút 2
Momen tương 
đương tại nút 1
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
52
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
L
x
L
x
N;
L
x2
L
x3
N
L
x
L
x2
xN;
L
x2
L
x3
1N
     





 N
v
v
NNNN)x(vwith
2
2
1
1
4321
Sử dụng kết quả:
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
53
Và cân bằng 2 vế ta có:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L
0
4q2
L
0
2q1
L
0
3q2
L
0
1q1
dx)x(N).x(qM
dx)x(N).x(qM
dx)x(N).x(qF
dx)x(N).x(qF
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
54
Xét trường hợp đặc biệt với phân bố đều:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
qL/2 qL/2
qL2/12qL2/12
q
L
1 2
10
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
55
Ta có:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
 12/qLdxL/xL/xqM
2/qLdxL/x2L/x3qF
12/qLdxL/xL/x21qM
2/qLdxL/x2L/x31qF
2
L
0
223
q2
L
0
3322
q2
2
L
0
232
q1
L
0
3322
q1
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
56
XÁC ĐỊNH 
NỘI LỰC 
TRONG DẦM
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
57
Về nguyên tắc một khi ta đã quy
đổi lực phân bố về lực nút
tương đương (Momen & lực
cắt) Ta trở về bài toán dầm
cơ bản như đã đề cập ở phần
trước.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
58
Xét trường hợp tổng quát, phương trình cân
bằng tổng thể có dạng:
 lực nút tương đương (tải phân bố
hoặc tải tập trung tác dụng lên vị trí không
trùng với nút phần tử) được viết trong hệ
tọa độ chung.
 ngoại lực tác dụng trực tiếp lên nút
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
     0FUKF 
 0F
 F
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
59
Trong từng phần tử (e) phương trình trên
có dạng:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
      )e()e()e(0)e(r)e(  ... à
ngàm.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 2
3
[1] [2]
4m 4m
bxh=0.3x0.4m
E=4.109 N/m2
q=1000N/m M3=1000N-mM2=500N-m
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
66
MA TRẬN 
ĐỘ CỨNG 
PHẦN TỬ 
CHỊU UỐN & 
LỰC DỌC TRỤC
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
12
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
67
Về nguyên tắc đây là phần tử chịu lực có
dạng tổ hợp (cộng tác dụng) của hai loại
dầm chịu lực mà ta đã giới thiệu:
 Thanh dàn (chịu lực dọc trục, lò xo!)
 Thanh dầm với Momen và lực cắt ở hai
đầu mút (đã quy đổi lực tác dụng trong
thanh về lực nút tương đương)
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
68
[Ma trận độ cứng phần tử]
=
[Ma trận độ cứng cấu kiện chịu lực 
dọc trục (thanh dàn)]
+
[Ma trận độ cứng cấu kiện chịu uốn 
(dầm)]
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
69
Vectơ chuyển vị nút sẽ có 3
thành phần:
 u: chuyển vị dọc trục
 v: chuyển vị thẳng góc trục
 : chuyển vị xoay.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
70
Mô tả bởi đồ thị:
Vec tơ chuyển vị 
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
u1
v1
1
u2
v2
2Y X
 





 
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
 
L
EI4
.....
L
EI6
L
EI12
....
00
L
AE
...
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
..
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
.
00
L
AE
00
L
AE
k
23
2
2323
)e(
Ma trận độ cứng phần tử chịu uốn nén (kéo):
71
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
Phần tử 
dàn (lò xo)
Phần tử dầm
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
72
MA TRẬN 
ĐỘ CỨNG 
PHẦN TỬ 
CHỊU UỐN & 
LỰC DỌC TRỤC TRONG 
HỆ TỌA ĐỘ CHUNG
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
13
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
73
Xét hệ tọa độ địa phương & tọa độ chung
sau:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
u1v1
1
u1 u2
v2
x
2
y
X
Y
U1
U2
U3
U4
U5
U6
Tọa độ địa phương Tọa độ chung
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
74
Ta có:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
62
542
542
31
211
211
U
cosUsinUv
sinUcosUu
U
cosUsinUv
sinUcosUu
 
 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
75
Dạng ma trận:
C=cos & S=sin 
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
  UR
U
U
U
U
U
U
100000
0CS000
0SC000
000100
0000CS
0000SC
v
u
v
u
6
5
4
3
2
1
2
2
2
1
1
1








PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
76
Thay vào pt. cân bằng phần tử trong hệ
tọa độ địa phương:
     )e()e( fURk 
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
Vectơ lực 
trong tọa độ 
địa phương
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
77
Biến đổi ta có:
           FfRURkR )e(T)e(T 
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
Vectơ lực trong tọa 
độ chung
        
      RkRKwith
FfRUK
)e(T
)e(T
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
78
Ma trận độ cứng phần tử thanh dầm trong hệ
tọa độ chung:
. Dr. Nguyễn Thống
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
 
I4.....
S
L
I6
C
L
I12
AS....
S
L
I6
CS
L
I12
AS
L
I12
AC...
I2S
L
I6
S
L
I6
I4..
S
L
I6
C
L
I12
ASCS
L
I12
AS
L
I6
C
L
I12
AS.
S
L
I6
CS
L
I12
AS
L
I12
ACS
L
I6
CS
L
I12
AS
L
I12
AC
x
L
E
K
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
14
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
79
VÍ DỤ
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
80
Cho khung chịu lực sau:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
20in
20in
O
B
10lb/in
X
Y
U1
U2
U3
U4U5
U6 U7
U8
U9
[1]
[2]
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
81
Số liệu:
 Tiết diện ngang: A=b*h=1.*1=1 inch2
 Momen quan tính đối với trục z:
I=bh3/12=0.083inch4
 Độ cứng dọc trục:
AE/L=1.107/20=lb/inch
 Độ cứng chịu uốn:
EI/L3=107*0.083/203=104.2 lb/inch
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
82
Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ
địa phương:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
   
166720.....
125044.1250....
0010...
83360125040166720..
125044.12500125044.1250.
0010.50010.5
kk
5
55
)1()1(
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
83
Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ
chung:
 Phần tử [1] xoay +900
 Phần tử [2] có hai tọa độ địa
phương và chung trùng nhau.
[K(2)] =[k(2)]
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
84
Ma trận độ cứng phần tử [1] trong
hệ tọa độ chung:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
      RkRK )e(T)1( 
Ma trận xoay
15
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
85
Ta có:
. Dr. Nguyễn Thống
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
 
166720.....
010.5....
1250404.1250...
83360012504166720..
010.50010.5.
1250404.12501250404.1250
K
5
55
)1(
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
Toạ độ chung Phần tử [1] Phần tử [2]
1 1
2 2
3 3
4 4 1
5 5 2
6 6 3
7 4
8 5
9 6
86
Quan hệ chuyển vị 2 hệ tọa độ:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
87
Tổng hợp ta xác định ma trận độ
cứng tổng:
. Dr. Nguyễn Thống
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
 
166720.......
125044.1250.......
0010.5......
83360125040333440.....
125044.12500125044.501250....
0010.51250404.501250...
000833360012504166720..
000010.50010.5.
000125040125041250404.1250
K
5
5
55
ĐX
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
88
Biến đổi tương đương lực phân bố trên phần
tử [2] về các nút:
. Dr. Nguyễn Thống
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
 3.333dxL/xL/xqM
100dxL/x2L/x3qF
3.333dxL/xL/x21qM
100dxL/x2L/x31qF
L
0
223
q2
L
0
3322
q2
L
0
232
q1
L
0
3322
q1
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
89
Hệ p/trình cân bằng:
. Dr. Nguyễn Thống
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
 












3.333M
100R
R
3.333
100
0
M
R
R
3.333
100
0
3.333
100
0
0
0
0
M
R
R
0
0
0
M
R
R
U
U
U
U
U
U
U
U
U
K
3R
3Y
3X
1R
1Y
1X
3R
3Y
3X
1R
1Y
1X
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Phản lực tại ngàm O
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
90
Đưa các điều kiện biên: U1=U2=U3=U7=U7=U9=0
Ta có:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
rad10*94.9U
inch10*75.1U
inch10*48.2U
3.333
100
0
U
U
U
333440..
125044.501250.
1250404.501250
4
6
4
5
5
4
6
5
4






16
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
91
Từ đó chuyển vị nút phần tử 1:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn











4
5
4
4
4
5
2
2
2
1
1
1
10.94.9
10.48.2
10.75.1
0
0
0
10.94.9
10.75.1
10.48.2
0
0
0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
v
u
v
u
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
92
Có Ui (kể cả điều kiện biên) Phản lực gối
tựa:
(Nhân ma trận độ cứng tổng & vectơ Ui)
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn






38.418
65.112
4.12
55.82
35.87
46.12
M
R
R
M
R
R
3R
3Y
3X
1R
1Y
1X
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
93
Nội lực
trong
phần
tử [1]:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
   
  






  



42.165
4.12
35.87
17.83
4.12
35.87
10.9.9
10.48.2
10.75.1
0
0
0
k
fk
M
R
R
M
R
R
4
5
4
)1(
)1(
0
)1()1(
)1(
2
)1(
2y
)1(
2x
)1(
1
)1(
1y
)1(
1x
=0
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
94
Nội lực
trong
phần tử [2]:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
   
 









  



38.418
65.112
4.12
42.165
35.87
4.12
3.333
100
0
3.333
100
0
0
0
0
10.9.9
10.75.1
10.48.2
k
fk
M
R
R
M
R
R
4
4
5
)2(
)2(
0
)2()2(
)2(
2
)2(
2y
)2(
2x
)2(
1
)2(
1y
)2(
1x
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
95
Bài tập 3(*): Tìm vectơ tải nút tương đương:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L
q
x
y
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
96
Bài tập 4: Tìm vectơ tải nút tương đương:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
a
L
P
x
y
17
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
97
Bài tập 5: Xác định ma trận độ cứng kết cấu,
chuyển vị nút, phản lực gối tựa :
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L
w
x
y
A
B
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
98
Bài tập: Cho khung chịu lực sau:
Xác định: Chuyển vị tại B, phản lực gối tựa.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
20in
20in
O
B
10lb/in
X
Y
U1
U2
U3
U4U5
U6 U7
U8
U9
[1]
[2]
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
99
Bài tập: Cho khung chịu lực sau:
Xác định:Chuyển vị, phản lực gối tựa.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 4
M=2kN-m
q=5kN/m
[2]
[1]
2 3
[3]
b*h=0.3*0.4m
E=8.109N/m2
L=4m L=4m L=4m
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
100
Bài tập: Cho khung chịu lực sau:
Xác định chuyển vị, phản lực gối tựa.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L=4m
1
2
3
M=2kN-m
[1]
[2]
450
q=5kN/m
b*h=0.3*0.4m2
E=8.109N/m2
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
101
Bài tập: Cho khung chịu lực sau:
Xác định chuyển vị, phản lực gối tựa.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L=4m
1
2
3
M=2kN-m
[1]
[2]
450
q=5kN/m
b*h=0.3*0.4m
E=8.109N/m2
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
102
HƯỚNG DẪN
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
18
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
103
Bài tập 1: Biểu diễn định tính lên đồ thị.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
N1
1
x
N2
tg( )=1 x
x
N3
x1
tg( )=1
N4
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
104
Bài tập 2:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 2 3
(1) (2)5kN
 
2
22
3e
L4symsymsym
L612symsym
L2L6L4sym
L612L612
L
EI
k
 
144symsymsym
3612symsym
7236144sym
36123612
6
10.8.0
k
3
6
)1(
e
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
105
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 2 3
(1) (2)5kN
 
16symsymsym
1212symsym
81216sym
12121212
2
10.8.0
k
3
6
)2(
e
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
106
Bài tập 2: Ma trận
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 2 3
(1) (2)5kN
 
6.1.....
2.12.1....
8.02.1133.2...
2.12.1067.1244.1..
00266.0133.0533.0.
00133.0044.0133.0044.0
10K 6
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
107
Bài tập 2: Ma trận
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 2 3
(1) (2)5kN









3
3
3
1
1
3
3
2
2
1
1
6
M
F
0
10.5
M
F
v
v
v
6.1.....
2.12.1....
8.02.1133.2...
2.12.1067.1244.1..
00266.0133.0533.0.
00133.0044.0133.0044.0
10
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
108
Bài tập 2: Với v1=v3=1= 3=0
 Dùng kết qủa chuyển vị xác định các phản lực
gối tựa.
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
1 2 3
(1) (2)
5kN
rad00352.0;m007037.0v
0
10.5v
133.2067.1
067.1244.1
10
22
3
2
26
  






 
19
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
109
Bài tập 2bis:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L96
P
;
96
P5
v
L24
P
L96
P
L8
M
;
96
P
v
44
3
222
  
 
  
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
110
Bài tập 3:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
5kN
3m
5kN
2m 1m
2m 1m
5kN 5kN
1m 1m
(a) (b)
(c)
(d)
)rad(EI/5.22
)m(EI/45v
2
2
 
)rad(10.625.0
)m(10.521.0v
)rad(10.3125.0
4
3
4
3
4
2
 
 
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
111
Bài tập 3:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L
q
x
y
R1 R2
M1
M2
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
L
x
L
x
N;
L
x2
L
x3
N
L
x
L
x2
xN;
L
x2
L
x3
1N
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
112
Bài tập 3:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn









L
0
2
2
4
3
2
1
2
2
1
1
12/qL
2/qL
12/qL
2/qL
dx)q(
N
N
N
N
M
R
M
R
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
113
Bài tập 4:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn









P
L
a
L
a
P
L
a
2
L
a
3
P
L
a
L
a
2a
P
L
a
2
L
a
31
)P(
)a(N
)a(N
)a(N
)a(N
M
R
M
R
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
4
3
2
1
2
2
1
1
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
114
Bài tập 5: Xác định ma trận độ cứng kết cấu,
chuyển vị nút, phản lực gối tựa :
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn
L
w
x
y
A
B
 
2
22
3e
L4symsymsym
L612symsym
L2L6L4sym
L612L612
L
EI
k
20
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
115
Chuyển vị nút:
. Dr. Nguyễn Thống
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn











20/wL
20/wL7
30/wL
20/wL3
0M
R
0M
R
v
v
L4symsymsym
L612symsym
L2L6L4sym
L612L612
L
EI
2
2
B
B
A
A
2
2
1
1
2
22
3
















45
w
360
w7
EI
L
20/wL
30/wL
L4L2
L2L4
L
EI
0vv
3
2
1
2
2
2
1
22
22
3
21
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
116
Có 1, 2 thay vào trên xác định RA và RB:
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn














0
3/wL
0
6/wL
20/wL
20/wL7
30/wL
20/wL3
0
0
L4symsymsym
L612symsym
L2L6L4sym
L612L612
L
EI
0M
R
0M
R
2
2
2
1
2
22
3
B
B
A
A
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
PGS. TS. Nguyễn Thống
117
HẾT
h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn