Bài giảng Quản lý danh mục đầu tư - Chương 3: Xác định đường biên hiệu quả - Phạm Hoàng Thạch

Quản Lý
Danh Mục Đầu Tư
Th. S Phạm Hoàng Thạch
Chương 3 Xác định đường biên 
hiệu quả
1-2
Mục tiêu học tập chương 3
Xác định đường biên hiệu quả trong các trường hợp sau:
1. Được phép bán khống, cho vay và đi vay ở mức lãi suất của tài 
sản phi rủi ro
2. Được phép bán khống, không thể cho vay và đi vay ở mức lãi 
suất của tài sản phi rủi ro
3. Bán khống không được phép, cho vay ở mức lãi suất của tài 
sản phi rủi ro
4. Bán khống không được phép, không thể cho vay và đi vay ở 
mức lãi suất của tài sản phi rủi ro
1-3
Ôn lại các khái niệm
• Bán khống: mượn chứng khoán để bán trước
• Tài sản phi rủi ro: tài sản có tỷ suất sinh lợi chắc chắn
• Lãi suất phi rủi ro: lãi suất của trái phiếu chính phủ
• Tài sản rủi ro: tài sản có tỷ suất sinh lợi không chắc chắn
• Cho vay: mua chứng khoán có thu nhập cố định (trái phiếu)
• Đi vay: bán chứng khoán thu nhập cố định
• Đường biên hiệu quả: DMĐT trên đường này có rủi ro thấp nhất 
nếu cùng TSSL, hoặc TSSL lớn nhất với cùng độ rủi ro
• Tối đa hóa: lợi nhuận, phần bù rủi ro
• Tối thiểu hóa: rủi ro
1-4
TH1: Được phép bán khống, đi vay và cho vay ở mức lãi suất 
phi rủi ro
• DMĐT nằm trên đường RF-B được 
ưa thích hơn (tối ưu hơn) DMĐT 
nằm trên đường RF-A. Tại sao
– DMĐT RF-B có TSSL cao hơn 
với cùng mức rủi ro
– DMĐT RF-B có mức rủi ro thấp 
hơn với cùng mức TSSL
B F
C F P
B
R R
R R 

• RF-B, RF-A: đường phân bổ vốn 
đầu tư (CAL)
1-5
Đường biên hiệu quả: bán khống được phép, đi vay và cho 
vay ở mức lãi suất phi rủi ro
• Tồn tại mức lãi suất cho vay và đi vay phi rủi ro ngụ ý rằng DMĐT 
B được ưa thích hơn tất cả các DMĐT vào các tài sản rủi ro khác
• Đường biên hiệu quả là toàn bộ tia đi qua RF-B
• Tia RF-B có độ dốc lớn nhất
1-6
Tối đa hóa hàm mục tiêu
• Đường biên hiệu quả được xác định bằng cách tìm DMĐT có tỷ 
số TSSL vượt trội so với độ lệch chuẩn là lớn nhất (tỷ số Sharpe 
lớn nhất)
max
RR
P
FP 

 
• Thỏa mãn điều kiện tổng tỷ lệ đầu tư vào mỗi tài sản bằng 1
1X
N
1i
i 
1-7
Chứng minh
2/1
ij
N
1i
N
ji,1j ji
2
i
N
1i
2
i
N
1i Fi
P
FP
]XXX[
)RR(RR
 

 
 

Để tìm điểm tối đa, giải hệ thống phương trình sau
0
X
;...;0
X
;0
X
;0
X N321








1-8
Chứng minh (tt)
0])RR(X][X2X2[x
]XXX[
2
1
]XXX[
RR
X
N
1i Fiikj
N
ji,1j j
2
kk
2/3
ij
N
1i
N
ji,1j ji
2
i
N
1i
2
i
2/1
ij
N
1i
N
ji,1j ji
2
i
N
1i
2
i
Fk
k
  
  
 



 
 
0
XXX
]XX][)RR(X[
)RR(
ij
N
1i
N
ji,1j ji
2
i
N
1i
2
i
kj
N
ji,1j j
2
kk
N
1i Fii
Fk 
 
  
 

1-9
Chứng minh (tt)
ij
N
1i
N
ji,1j ji
2
i
N
1i
2
i
N
1i Fii
XXX
)RR(X
 
 
 

0)X...XXX()RR(
X
NkNk22k11
2
kkFk
k
     


0)XX()RR(
X
N
kj,1j kjj
2
kkFk
k
   


 
1-10
Chứng minh (tt)
0)Z...ZZZ()RR(
X
NkNk22k11
2
kkFk
k
     


 
N
1i ikk
ZZX
Hệ thống phương trình phải giải như sau:
2
1 1 1 2 12 3 13 1
2
2 1 12 2 2 3 23 2
2
1 1 2 2 3 3
( ) ( ... )
( ) ( ... )
( ) ( ... )
F N N
F N N
N F N N N N N
R R Z Z Z Z
R R Z Z Z Z
R R Z Z Z Z
   
   
   

kk XZ  
1-11
Ví dụ: Tìm DMĐT tối ưu
Cổ phiếu TSSL (%) Độ lệch chuẩn (%)
Colonel Motors (1) 14 6
Separated Edison (2) 8 3
Unique Oil (3) 20 15
Hiệp phương sai (%)
(Hệ số tương quan)
Colonel Motors (1) Separated Edison (2) Unique Oil (3)
Colonel Motors (1) 0,36
Separated Edison (2) 0,09 (0,5) 0,09
Unique Oil (3) 0,18 (0.2) 0,18 (0,4) 2,25
Lãi suất phi rủi ro = 5%
1-12
Ví dụ: Tìm DMĐT tối ưu (tt)
Thay số:
133122
2
11F1 ZZZRR    
233
2
22211F2 ZZZRR    
2
33322311F3 ZZZRR    
1-13
Ví dụ: Tìm DMĐT tối ưu (tt)
=>
3
1 ii
Z
 
 
N
1i ikk
ZZX
P
R 
2
P 
 
1
2
3
Z
Z
Z
1
2
3
X
X
X
=>
1-14
TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở 
mức lãi suất phi rủi ro
• Giả sử rằng tồn tại nhiều mức lãi
suất phi rủi ro khác nhau
• Tìm những DMĐT để tối đa hóa tỷ 
số Sharpe (như trường hợp 1). Sử 
dụng cùng phương pháp giống 
trường hợp 1 để tìm các điểm 
DMĐT tối ưu khác nhau tại các mức 
lãi suất phi rủi ro khác nhau
• Đường cong nối các DMĐT là
đường biên hiệu quả (ABC)
1-15
TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở 
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Trong trường hợp 1, các thông số ER(i), RF, бi
2, бij được thay vào
hệ phương trình để giải tìm Zk. Trong trường hợp này, ta sẽ để
RF như 1 tham số trong hệ phương trình khi giải tìm Zk. Ta có:
Fk1k0k RCCZ 
• C0k và C1k là những hằng số
1 2 314% 0,36% (0,5)(6%)(3%) (0,2)(6%)(15%)FR Z Z Z 
1 2 38% (0,5)(6%)(3%) 0,09% (0,4)(3%)(15%)FR Z Z Z 
1 2 320% (0,2)(6%)(15%) (0,4)(3%)(15%) 2,25%FR Z Z Z 
1-16
TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở 
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Giải hệ phương trình trên ta được:
RF = 5% =>
RF = 2% =>
1 200 9Z 
2 100 63Z 
3 100 21Z 
1Z 
2Z 
3Z 
1 200 9Z 
2
11.800 2.300
189 189
FZ R 
3
400 100
189 189
FZ R 
1-17
TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở 
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
RF = 5% =>
RF = 2% =>
18141 X
1812 X
1833 X
1
X 
2
X 
3
X 
=>
=>
3
2
14 PR
2 4533 *10
6
P
P
R 
2
P 
1-18
TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở 
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Giả sử đầu tư ½ vào mỗi DMĐT ở trên. Tỷ lệ đầu tư vào mỗi cổ phiếu:
''
1
''
2
''
3
(1 2)(7 20) (1 2)(14 18) 203 360
(1 2)(12 20) (1 2)(1 18) 118 360
(1 2)(1 20) (1 2)(3 18) 39 360
X
X
X
• Phương sai của DMĐT mới:
2 2 22
4
203 360 36 118 360 9 39 360 225 2 203 360 118 360 9
2 203 360 39 360 18 2 118 360 39 360 18 21.859*10
P
1-19
TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở 
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Phương sai DMĐT mới
1221
2
2
2
2
2
1
2
1
2  XXXXP 
2 22 4
121 2 203 6 1 2 5481 400 2 1 2 1 2 21.859*10P 
4
12 19.95*10
• Tìm được TSSL, phương sai, hiệp phương sai của 2 DMĐT, áp
dụng kỹ thuật phân tích giá trị trung bình – phương sai để tìm
đường biên hiệu quả
1-20
TH3: Không được phép bán khống, cho vay ở mức lãi suất
phi rủi ro
• Sử dụng kỹ thuật phân tích tương tự như trên
• DMĐT tối ưu là danh mục kết hợp với tài sản phi rủi ro có tỷ số
Sharpe lớn nhất
• Hàm mục tiêu và các ràng buộc khi tìm DMĐT tối ưu
max
RR
P
FP 

 
1X
N
1i
i 
iX i  ,0
1-21
TH4: Không được phép bán khống, không thể đi vay và cho
vay ở mức lãi suất phi rủi ro
• Hàm mục tiêu và các ràng buộc khi tìm DMĐT tối ưu
min
1 1
2
1
22 
ijj
N
i
N
ji
j
ii
N
i
iP XXX 
1X
N
1i
i 
iX i  ,0
 P
N
i
ii RRX 
 1
1-22