Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 3: Phân tích biến lượng

Chương 3
Phân tích biến lượng
 Mục tiêu của ANOVA
 ANOVA một chiều
 ANOVA hai chiều
 Qui hoạch hình vuông La tin
 Qui hoạch hình vuông La tin- Hy lạp
 Qui hoạch khối La Tin
3.1. Mục tiêu của ANOVA
 ANOVA nghiên cứu ảnh hưởng của các yếu tố đến sự 
thay đổi giá trị của đáp ứng qua việc đánh giá sự thay 
đổi của giá trị trung bình của chúng
 ANOVA sử dụng tính cộng của biến lượng của các 
biến ngẩu nhiên
 ANOVA là một công cụ rất mạnh khi khảo sát nhiều 
yếu tố đồng thời (phù hợp với qui hoạch thực nghiệm)
 Cơ sở của ANOVA là tách biến lượng tổng thành các 
biến lượng thành phần, mỗi thành phần này tương ứng 
với một nguồn thay đổi
 Biến lượng của mẩu tương ứng sẽ được so sánh với 
biến lượng do sai số ngẩu nhiên
 Kiểm nghiệm được sử dụng là kiểm nghiệm F
 Tính toán dựa trên các giả thiết
 Sai số quan sát ngẩu nhiên được phân bố theo hàm phân bố 
bình thường (hàm phân bố Gauss).
 Các yếu tố chỉ ảnh hưởng đến sự thay đổi giá trị trung bình. 
Biến lượng quan sát vẫn không thay đổi.
 Các thực nghiệm có độ chính xác như nhau.
 Trong ANOVA, biến lượng được tính qua bình phương 
trung bình (MSS). Bình phương trung bình là tỉ số của 
tổng bình phương (SS) và độ tự do (DF)
 Có 3 loại tổng bình phương
 Tổng bình phương chung: SST
 Tổng bình phương yếu tố: SSA
 Tổng bình phươg sai số : SSE
Các thành phần SS
SS 
do giá trị TB
GTSS 
SSA 
do yếu tốA 
SST 
SSB
do yếu tố B 
SSE 
do sai số
etc. 
Các thành phần độ tự do (DF)
1 
SS do giá trị TB
n
(# mức dộ) -1 
Yếu tố A 
n-1 
(# mức độ) -1 
Yếu tố B 
DF 
Sai số 
etc. 
n = số giá trị xi
Cách tính tổng bình phương
 Tổng bình phương toàn phần 
 Tổng bình phương do trung bình
 Tổng bình phương chung 
 Tổng bình phương do yếu tố
 Tổng bình phương do sai số SSE
 Bằng 0 nếu không có thí nghiệm lập 
 Ước tính bằng phương pháp gộp (pooling). Gộp các yếu 
tố có đóng góp thấp nhất vào TSS 
2SSM n 
2
1
n
i
i
GTSS x
 
2 2 2
A1 2 3# A ASSA replication m m m   
2
1
n
i
i
SST x 
 
F-statistic
• F=1 ảnh hưởng của yếu tố ngang với sai số
• F=2 ảnh hưởng của yếu tố sát biên 
• F>4 ảnh hưởng của yếu tố đáng kể
 toá yeáu cuûa DF
 toá yeáu cuûa SS
 toá yeáu cuûa bìnhtrung phöôngBình 
 soá sai löôïng Bieán
 toá yeáu bìnhtrung phöôngBình
F 
 soá sai cuûa dotöï ñoä
 soá sai cuûa SS
 soá sai löôïng Bieán 
3.2. ANOVA một chiều
 ANOVA một chiều dùng để kiệm nghiệm sự đồng nhất 
của hai hay nhiều giá trị trung bình của mẫu thống kê
 ANOVA một chiều sử dụng kiểm nghiệm F nên thường gọi là 
ANOVA F
 Đây là sự mở rộng của kiểm nghiệm t đối với 2 mẫu 
độc lập
 Trường hợp chỉ có 2 nhóm thì kiểm nghiệm t và 
ANOVA một chiều giống nhau và luôn luôn cho cùng 
giá trị p
 ANOVA giúp nhà phân tích tránh rủi ro sai số loại I 
quá lớn khi khảo sát nhiều giá trị trung bình
 Khi so sánh nhiều giá trị trung bình sử dụng kiểm 
nghiệm t thì phải tiến hành một loạt kiểm nghiệm t (vì 
kiểm nghiệm t một lần chỉ kiểm nghiệm chỉ 2 giá trị 
trung bình)
 Mặc dù mỗi kiểm nghiệm chỉ thực hiện với một mức ý 
nghĩa , nhưng mức ý nghĩa sẽ tích lũy theo loạt kiểm 
nghiệm do đó ở kiểm nghiệm cuối cùng sẽ có mức ý 
nghĩa rất lớn
 ANOVA cho phép kiểm nghiệm sự khác biệt của các 
giá trị trung bình trong một giả thuyết chỉ dùng một giá 
trị , do đó mức ý nghĩa sẽ nằm ở mức độ kiểm soát 
được
 Nếu cần kiểm nghiệm theo từng cặp thì mỗi kiểm 
nghiệm sẽ sử dụng mức ý nghĩa bằng chia cho số 
kiểm nghiệm ( /n kiểm nghiệm)
 Thí dụ nếu quan sát viên cần đánh giá điểm kiểm tra của sinh 
viên trong lớp theo vị trí trong lớp (bên trái, ở giữa và bên 
phải) thì sẽ so sánh giá trị trung bình theo từng cặp với mức ý 
nghĩa là 0.05/3 = 0.017
ANOVA một chiều
Yếu tố 
1 2 3 4 5






































Các biến trong ANOVA một chiều
 Biến đáp ứng hay biến phụ thuộc là biến mà chúng ta 
dùng so sánh các nhóm
 Biến yếu tố hay biến độc lập là biến quyết định sử 
dụng để định nghĩa nhóm (mẫu)
 Giả sử có k nhóm, thì k là số mức độ của yếu tố
 ANOVA được gọi là một chiều vì các giá trị sắp xếp 
theo một chiều (chỉ có một biến yếu tố)
Đặt giả thuyết.
 H0: 1 = 2 = 3 = . = k
Thí dụ có 3 nhóm H0: 1 = 2 = 3
 H1: có ít nhất một giá trị  khác với các giá trị khác 
Điều này không có nghĩa là H1: 1 2 3 
X
f(X)

1
 = 
2
 = 
3
X
f(X)

1
 = 
2

3
Tính các tổng bình phương
 Tổng bình phương chung
SST = SXtotal
2 - (SXtotal)
2 / N 
 Tổng bình phương giữa các nhóm
SSB= S[(SXk)
2 / Nk] - (SXtotal)
2 / N
 Tổng bình phương trong nhóm. Tính cho từng nhóm 
và cộng lại
SSWk = SXk
2 - (SXk)
2 / Nk
N : tổng số dữ liệu; Nk : số dữ liệu trong nhóm
k : số nhóm : N = Nk * k
 Ta có: SST = SSB + SSW
 Độ tự do
 Độ tự do của SST là (N-1)
 Độ tự do của SSB là (k-1)
 Độ tự do của SSE là (N-k)
 Tính bình phương trung bình
 MSB = SSB / (k-1)
 MSE = SSE / (N-k)
 Tính giá trị Fstat
 Fstat = MSB / MSE
 So sánh Fstat và Ftab. Kết luận
3.3. ANOVA hai chiều
 ANOVA hai chiều cho phép khảo sát 2 yếu tố đồng 
thời, mỗi yếu tố có nhiều mức độ
 ANOVA hai chiều còn cho phép đánh giá được tương 
tác giữa 2 yếu tố
ANOVA hai chiều
Yếu tố A
1 2 3 4
Y
ế
u
tố
 B
1




















2




















Fa = MSA/MSE
Fb = MSB/MSE
Bài tập
806,94
3.4. Qui hoạch hình vuông Latin
 Qui hoạch yếu tố hình vuông Latin là qui hoạch hình 
vuông trong đó mỗi phần tử được sắp xếp để chỉ xuất 
hiện 1 lần theo cột hoặc theo hàng
thí dụ hình vuông Latin 3x3
A B C
B C A
C A B
 Trong qui hoạch hình vuông Latin các yếu có cùng số 
mức độ
 Qui hoạch hình vuông Latin 2x2 có thể dùng khảo sát 
3 yếu tố, trong đó ảnh hưởng của các tương tác bị lẫn 
vào ảnh hưởng của các yếu tố. Nói cách khác khi dùng 
qui hoạch hình vuông Latin thì phải dự đoán trước là 
các yếu tố không quan trọng.
 Bảng qui hoạch hình vuông Latin 2x2 khảo sát 3 yếu 
tố
Yếu tố B
b1 b2
Y
ế
u
tố
 A
a1 c1 c2
a2 c2 c1
 Bảng qui hoạch hình vuông Latin 3x3 khảo sát 3 yếu 
tố
Yếu tố B
b1 b2 b3
Y
ế
u
tố
 A
a1 c1 c2 c3
a2 c2 c3 c1
a3 c3 c1 c2
 Việc phân tích biến lượng của hình vuông Latin tương 
đương phân tích biến lượng 2 chiều. Đối với yếu tố thứ 
2 (yếu tố C) việc phân tích biến lượng sẽ tính tương tự 
như yêu tố A hoặc B. Ở đây yếu tố C lẫn với tương tác 
AB.
Để đơn giản hơn việc phân tích biến lượng tiến hành 
theo tuần tự như sau:
 Tính tổng theo hàng (cho A) theo cột (cho B) và cho C.
 Tính tổng bình phương tất cả các dữ liệu: SS1
 Tính tổng bình phương chung cho hàng chia cho số dữ 
liệu trong một hàng: SS2
 Tính tổng bình phương chung cho cột chia cho số dữ 
liệu trong một cột: SS3
 Tính tổng bình phương chung cho C chia cho số dữ 
liệu trong một loạt C: SS4
 Tính tổng bình phương toàn thể: GTSS = SS5
 Tổng bình phương cho hàng: SSA = SS2 – SS5
 Tổng bình phương cho cột: SSB = SS3 – SS5
 Tổng bình phương cho C: SSC = SS4 – SS5
 Tổng bình phương chung: SST = SS1 – SS5
 Tổng bình phương sai số: 
SSE = SST – SSA – SSB – SSC
 Tính MSA, MSB, MSC và MSE
 Tính giá trị FA, FB, FC
 So sánh với giá trị bảng và kết luận
 Bảng ANOVA của qui hoạch hình vuông Latin
Nguồn
biến
Độ tự do
Tổng bình 
phương
Bình phương trung bình Giá trị F
A n - 1 SSA = SS2 – SS5 SA
2 = SSA /(n – 1) SA
2 / SE
2
B n - 1 SSB = SS3 – SS5 SB
2 = SSB / (n – 1) SB
2 / SE
2
C n - 1 SSC= SS4 – SS5 SC
2 = SSC / (n –1) SC
2 / SE
2
Sai số (n – 1)(n – 2) SSE SE
2 = SSE / [(n - 1) (n - 2)]
Tổng n2 -1 SST = SS1 – SS5 
3.5. Qui hoạch khối La tin
 Qui hoạch 3 yếu tố, n mức độ (n>2) được thực hiện 
qua khối vuông. Ba cạnh của khối vuông biều thị các 
yếu tố A, B, và C, các mức độ được biểu thị trên các 
trục.
 Nếu dùng khối vuông Latin để khảo sát 4 yếu tố thì 
yếu tố thứ 4 – yếu tố D thì mức độ của yếu tố D sẽ 
được biểu thị tại các điểm tương ứng trên khối vuông 
và ta có khối Latin bậc nhất.
 Khối latin bậc nhất có thể biểu thị bằng các mặt phẳng 
song song với mặt trục qua các bảng hoạch định 
Khối Latin bậc nhất 3 x 3 x 3
B
A 0 1 2
C
 =
 0
0 0 1 2
1 2 0 1
2 1 2 0
B
A 0 1 2
C
 =
 1
0 2 0 1
1 1 2 0
2 0 1 2
B
A 0 1 2
C
 =
 2
0 1 2 0
1 0 1 2
2 2 0 1
No A B C D y
1 0 0 0 0 Y1
2 0 1 0 1 Y2
3 0 2 0 2 Y3
4 1 0 0 2 Y4
5 1 1 0 0 Y5
6 1 2 0 1 Y6
7 2 0 0 1 Y7
8 2 1 0 2 Y8
9 2 2 0 0 Y9
10 0 0 1 2 Y10
11 0 1 1 0 Y11
12 0 2 1 1 Y12
13 1 0 1 1 Y13
14 1 1 1 2 Y14
No A B C D y
15 1 2 1 0 Y15
16 2 0 1 0 Y16
17 2 1 1 1 Y17
18 2 2 1 2 Y18
19 0 0 2 1 Y19
20 0 1 2 2 Y20
21 0 2 2 0 Y21
22 1 0 2 0 Y22
23 1 1 2 1 Y23
24 1 2 2 2 Y24
25 2 0 2 2 Y25
26 2 1 2 0 Y26
27 2 2 2 1 Y27
Cách phân tích biến lượng tiến hành tuần tự như sau:
 Tính tổng của các yếu tố ở từng mức độ
 Ai (i = 0, 1, 2, , n-1)
 Bj (j = 0, 1, 2, , n-1)
 Cq (q = 0, 1, 2, , n-1)
 Dl (l = 0, 1, 2, , n-1)
 Tính tổng bình phương tất cả các số liệu: SS1
 Tính tổng bình phương chung cho yếu tố A chia cho 
n2: SS2
 Tính tổng bình phương chung cho yếu tố B chia cho 
n2: SS3
 Tính tổng bình phương chung cho yếu tố C chia cho 
n2: SS4
 Tính tổng bình phương chung cho yếu tố D chia cho 
n2: SS5
 Tính tổng bình phương toàn thể: GTSS = SS6
 Tổng bình phương cho yếu tố A: SSA = SS2 – SS6
 Tổng bình phương cho yếu tố B: SSB = SS3 – SS6
 Tổng bình phương cho yếu tố C: SSC = SS4 – SS6
 Tổng bình phương cho yếu tố D: SSD = SS5 – SS6
 Tổng bình phương chung: SST = SS1 – SS6
 Tổng bình phương sai số: 
SSE = SST – SSA – SSB – SSC - SSD
 Tính MSA, MSB, MSC, MSD và MSE
 Tính giá trị FA, FB, FC
 So sánh với giá trị bảng và kết luận
 Bảng ANOVA của qui hoạch khối Latin
Nguồn
biến
Độ tự do Tổng bình phương Bình phương trung bình Giá trị F
A n - 1 SSA = SS2 – SS6 SA
2 = SSA /(n – 1) SA
2 / SE
2
B n - 1 SSB = SS3 – SS5 SB
2 = SSB / (n – 1) SB
2 / SE
2
C n - 1 SSC= SS4 – SS6 SC
2 = SSC / (n –1) SC
2 / SE
2
D n - 1 SSC= SS5 – SS6 SC
2 = SSD / (n –1) SD
2 / SE
2
Sai số n3 – 4n + 3 SSE SE
2 = SSE / (n3 – 4n +3)
Tổng n3 -1 SST = SS1 – SS6 
STT T (A) Áp suất (B) Thời gian (C) Hiệu suất
1 100 20 10 2
2 200 20 10 6
3 100 60 10 4
4 200 60 10 8
5 100 20 20 10
6 200 20 20 18
7 100 60 20 8
8 200 60 20 12
SS1 (Bình phương đáp ứng) = 752
SS2 (Tổng bình phương A/4) = (242 + 442)/4 = 628
SS3 (Tổng bình phương B/4) = (362 + 322)/4 = 580
SS4 (Tổng bình phương C/4) = (202 + 482)/4 =676
SS5 (Tổng đáp ứng)2/8 = (2+6+4+8+10+18+8+12)2/8 = 578
SST = SS1 – SS5 = 752 – 578 = 174 (df =7) 
SSA = SS2 – SS5 = 628 – 578 = 50 (df=1) MSA = 50 FA = 50/6 = 8,33 
SSB = SS3 – SS5 = 580 – 578 = 2 (df=1) MSB = 2 FB = 2/6 = 0,33 
SSC = SS4 – SS5 = 676 – 578 = 98 (df=1) MSC = 98 FC = 98/6 = 16,33 
SSE= SST –SSA –SSB –SSC = 174 – 50 -2 -98 = 24 (df=4) MSE = 6
F (bảng) (0.05, 1, 4)=7,7
Thí dụ: