Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 4: Quy hoạch yếu tố 2 mức độ

Chương 4
Qui hoạch yếu tố 2 mức độ
 Khái niệm chung
 Qui hoạch yếu tố toàn phần
 Qui hoạch yếu tố phần
 Tối ưu hóa bằng phương pháp leo dốc đứng
4.1. Khái niệm chung
Mô hình thực nghiệm.
 Nhằm mục đích dùng phương pháp toán học tiên đoán 
điểm tối ưu của thực nghiệm.
 Các biến ngẩu nhiên thường có mối quan hệ theo cách 
khi thay đổi biến này kéo theo sự thay đổi phân bố của 
biến kia.
 Sự thay đổi của biến ngẩu nhiên Y khi thay đổi biến 
ngẩu nhiên X thường chứa 2 thành phần: thành phần 
phụ thuộc và thành phần ngẩu nhiên.
 Nếu không có thành phần ngẩu nhiên, quan hệ giữa Y 
và X sẽ được thể hiện qua một hàm tương quan. 
 Nếu cả hai thành phần cùng hiện diện thì quan hệ giữa 
chúng là quan hệ gần đúng.
 Có nhiều chỉ số dùng để biểu diển quan hệ phụ thuộc. 
Trong đó hệ số tương quan quan trọng hơn cả.
 Hệ số quan hệ được định nghĩa
r = E[(X - µx)(Y - µy)]/xy
Nếu X và Y không có quan hệ thì r = 0
Trường hợp chung -1 < r < +1
 Mối quan hệ giữa hai biến ngẩu nhiên được xác định 
bởi một hàm phân bố có điều kiện. Tuy nhiên hàm này 
khó sử dụng. Người ta thường sử dụng giá trị trung 
bình µc và biến lượng c
2. Trong mối quan hệ với x thì 
mối quan hệ giữa µc và x thường sử dụng hơn và được 
gọi là hồi qui của µc theo x.
 Trong thực nghiệm chúng ta thường tìm phương trình 
hồi qui gần đúng; đánh giá mức độ và độ không chắc 
chắn của phương trình. Bài toán này đưa về tìm 
phương trình hồi qui và đánh giá sai số thường được 
gọi là “Phân tích hồi qui và tương quan”
Phân tích hồi qui ở dạng ma trận
Xem mô hình qui hoạch có dạng
y = b0x0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + .... + bkxk
dưới dạng ma trận có thể viết
Y = XB
Giải phương trình tìm B
B = (XTX)-1XTY
(XTX)-1 là ma trận đảo của ma trận (XTX)
Trường hợp ma trận qui hoạch là ma trận trực giao thì 
các ma trận (XTX) và (XTX)-1 là ma trận chéo. Khi đó 
giá trị các thành phần của ma trận đảo là nghịch đảo 
giá trị thành phần tương ứng của ma trận thuận
nkkk
n
n
T
xxx
xxx
xxx
X
..
.....
.....
..
..
10
21202
11101
ny
y
y
Y
.
.
2
1
kb
b
b
B
.
.
2
1
nknn
k
k
xxx
xxx
xxx
X
..
.....
.....
..
..
21
11211
00201
 Ma trân qui hoạch có đặc tính



Đặc tính thứ nhất chính là đặc tính trực giao của qui 
hoạch. Nó cho phép trong xây dựng phương trình hồi 
qui có thể kiểm nghiệm độc lập riêng từng hệ số của 
phương trình
kxx
N
iuji ,0 ju ; j u ; 0
1
 
k1, j ; 0
1
  
N
jix
k0, j ; 
1
2  
N
ji Nx
Ưu điểm của qui hoạch yếu tố 2 mức độ
 Đây là qui hoạch trực giao nên tính toán đơn giản vì tất cả
các hệ số hồi qui không phụ thuộc nhau, nên khi bỏ đi các
hệ số hồi qui không có nghĩa thì không phải tính lại các hệ
số hồi qui có nghĩa
 Qui hoạch tối ưu D, nghĩa là định thức của ma trận thông
tin XTXcó giá trị cực đại NN. Vì vậy thông tin do qui hoạch
đưa ra là lớn nhất và tất cả các hệ số đều tính theo tất cả các
thí nghiệm
 Qui hoạch là tâm quay, nghhĩa lả thông tin ở tâm lả nhiều
nhất. Lượng thông tin tỉ lệ nghịch với bình phương bán
kính; vì vậy chỉ cần làm thí nghiệm lập tại tâm
1.2. Qui hoạch yếu tố toàn phần 
 Trong qui hoạch này các yếu tố được kết hợp ở tất cả 
các mức độ. Số thí nghiệm N
N = nk
n: số mức độ
k: số yếu tố
 Trường hợp các yếu tố được khảo sát ở 2 mức độ, số 
thí nghiệm là:
N = 2k
Nếu số yếu tố khảo sát là 3 thì số thí nghiệm là 8
 Bảng qui hoạch toàn phần 23
STT
X0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3
Đáp ứng
y
1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 Y1
2 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 Y2
3 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 Y3
4 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 Y4
5 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 Y5
6 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 Y6
7 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 Y7
8 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 Y8
 Phương trình hồi qui
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b14x2x3 + 
b123x1x2x3
 Tính giá trị các hệ số.

N
i
ijij yx
N
b
1
1

N
i
iuijiju yxx
N
b
1
1
 Kiểm định tính ý nghĩa của các hệ số của phương trình 
hồi qui
Vì tính chất trực giao của ma trận qui hoạch, độ lệch 
chuẩn của hệ số bj – sbj = se/N
tính ý nghĩa của hệ số bj được kiểm nghiện theo tiêu 
chuẩn student t
 Tính tương thích của phương trình hồi qui được kiểm 
định theo tiêu chuẩn Fisher F
l: số hệ số có ý nghĩa
bjjstat sbt / 
lN
yy
S
ii
res

2
2
ˆ
 Trường hợp có thí nghiệm lập lại và số thí nghiệm lạp 
lại của từng thí nghiệm là m thì biến lượng sai số được 
tính từ biến lượng của từng thí nghiệm, có độ tự do là 
N(m-1)
và biến lượng của các hệ số bj là
 
N
ie S
N
S
1
22 1
NmSS ebj /
22 
4.3. Qui hoạch yếu tố phần
 Hoạch định yếu tố phần là hoạch định cho phép khảo 
sát nhiêu yếu tố hơn với cùng số thí nghiệm như hoạch 
định toàn phần.
 Để xây dựng qui hoạch yếu tố phần cần xác định các 
“Quan hệ xác định” hoặc “tương phản xác định”.
“Quan hệ xác định” biểu diển mối quan hệ định trước 
khi xây dựng qui hoạch
“Tương phản xác định” là dạng của “quan hệ xác 
định” với vế bên trái của biểu thức là I.
 Số tương phản xác định của qui hoạch 2k-p là 2p-1
 Việc xác định “quan hệ xác định” cần chú ý để các yếu 
hoặc tương tác cần xác định không bị trùng lắp với các 
tương tác khác.
 Qui hoạch yếu tố phần có thể là 1/2, 1/4, 1/8. 
 Số thực nghiệm N trong qui hoạch yếu tố phần nên 
thỏa bất đẳng thức
k + 1 N < 2k
 Qui hoạch yếu tố toàn phần sẽ là tập họp đầy đủ các 
qui hoạch yếu tố phần của chúng, nghĩa là qui hoạch 
yếu tố toàn phần sẽ gồm 2 qui hoạch yếu tố bán phần 
hoặc 4 qui hoạch yếu tố 1/4 
Xem qui hoạch yếu tố toàn phần 23.
STT
X0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3
Đáp ứng
y
1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 Y1
2 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 Y2
3 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 Y3
4 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 Y4
5 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 Y5
6 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 Y6
7 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 Y7
8 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 Y8
 Qui hoạch này có thể chia thành 2 qui hoạch bán phần
STT X0 X1 X2 X3 Đáp ứng Y
1 +1 +1 +1 +1 Y1
2 +1 +1 -1 -1 Y4
3 +1 -1 +1 -1 Y6
4 +1 -1 -1 +1 Y7
STT X0 X1 X2 X3 Đáp ứng Y
1 +1 +1 +1 -1 Y2
2 +1 +1 -1 +1 Y3
3 +1 -1 +1 +1 Y5
4 +1 -1 -1 -1 Y8
 Trong qui hoạch thứ nhất ta có x3 = x1x2
Trong qui hoạch thứ hai ta có x3 = - x1x2
 Biểu thức x3 =x1x2 được gọi là “quan hệ xác định” Khi 
nhân 2 vế với x3 ta có
1 = x1x2x3
Biểu thức trên được gọi là “tương phản xác định”. Như 
vậy tương phản xác định sẽ là cơ sở để hoạch định.
x1 = x1
2x2x3 = x2x3
x2 = x1x2
2x3 = x1x3
x3 = x1x2x3
2 = x1x2
 Như vậy với hoạch định yếu tố 23-1 các tương tác sẽ 
lẫn với các yếu tố, nghĩa là ta không biết hiệu ứng là 
do tương tác hay yếu tố. Chỉ áp dụng được khi biết 
chắc chắn tương tác là không đáng kể
 Độ phân giải của một qui hoạch yếu tố phần là một đại 
lượng nói lên mức độ “trùng lẫn” giữa các yếu tố khảo 
sát. Khi số yếu tố khảo sát không đổi thì độ phân giải 
càng cao thì mức độ trùng lẫn càng ít đi
 Độ phân giải V hay cao hơn: an toàn khi sử dụng (đánh 
giá tố yếu tố chính và tương tác bậc 1)
 Độ phân giải IV: cần cân nhắc khi tiến hành thực 
nghiệm (đánh giá tố yếu tố chính, tương tác bậc 1 lẫn 
với nhau khó đánh giá)
 Độ phân giải III: Cần cân nhắc thật kỹ (yếu tố chính 
lẫn với tương tác bậc 1)
Tuy nhiên độ phân giải càng cao thì càng phải thực 
hiện nhiều thực nghiệm, tốn thời gian và chi phí
 Chọn lựa qui hoạch yếu tố phần
Số yếu 
tố
2 3 4 5 6 7 8
Số TN
4 Full 1/2(III) - - - - -
8 2 repl Full 1/2(IV) 1/4(III) 1/8(III) 1/16(III) -
16 4 repl 2 repl Full 1/2(V) 1/4(IV) 1/8(IV) 1/16(IV)
32 8 repl 4 repl 2 repl Full 1/2(VI) 1/4(IV) 1/8(IV)
64 16 repl 8 repl 4 repl 2 repl Full 1/2(VII) 1/4(V)
128 32 repl 16 repl 8 repl 4 repl 2 repl Full 1/2(VIII)
 Phương thức
thực hiện
các bước 
tiết theo
hoạch định
yếu tố phần
Xem qui hoạch yếu tố phần 24-1
 Chọn tương phản xác định là 1 = x1x2x3x4
Ta có:
x1 = x2x3x4 ; x2 = x1x3x4 ; x3 = x1x2x4
x4 = x1x2x3
x1x2 = x3x4 ; x1x3 = x2x4 ; x1x4 = x2x3
Các tương tác bậc cao thường không đáng kể. Do đó ta 
có thể đán giá được các yếu tố chính, nhưng các tương 
tác thì lẫn với nhau nên khó xác định ảnh hưởng của 
tương tác.
 Chọn tương phản bất kỳ 1 = x2x3x4
Ta có
x1 = x1x2x3x4 ; x2 = x3x4 ; x3 = x2x4 ; x4 = x2x3
x1x2 = x1x3x4 ; x1x3 = x1x2x4 ; x1x4 = x1x2x3
Với việc chọn tương phản xác định nầy thì ta có thể 
đánh giá các tương các x1x2; x1x3; x1x4. Tuy nhiên các 
yếu tố chính lại lẫn với các tương tác bậc 1, do đó có 
thể đưa đến kết luận sai
Xem qui hoạch 1/4 của qui hoạch 5 yếu tố: 25-2
 Để xây dựng qui hoạch 1/4 ta cần thêm 1 tương phản 
xác định thứ hai, tức phải có 2 tương phản xác định. 
Thí dụ: 1 = x1x2x3x4 = x1x2x5 = x3x4x5
Ta có: x1 = x2x3x4 = x2x5 = x1x3x4x5
x2 = x1x3x4 = x1x5 = x2x3x4x5
x3 = x1x2x4 = x1x2x3x5 = x4x5
x4 = x1x2x3 = x1x2x4x5 = x3x5
x5 = x1x2x3x4x5 = x1x2 = x3x4
x1x3 = x2x4 = x2x3x5 = x1x4x5
x1x4 = x2x3 = x2x4x5 = x1x3x5
4.4. Phương pháp leo dốc đứng 
 Leo dốc đứng là phương pháp tìm điểm tối ưu của đáp 
ứng bằng cách tiến hành thí nghiệm theo phương thẳng 
góc với đường bao của mặt đáp ứng.
 Đây là hướng ngắn nhất để tới điểm tối ưu
 Khi đạt cực đại cục bộ đôi khi cần hoạch định yếu tố 
lại để xác định hướng leo dốc tiếp theo
 Khi gần vùng cực trị thì mô hình tuyến tính không phù 
hợp, phải dùng mô hình bậc hai
Hướng 
leo dốc đứng
Các đường bao
của mô hình bậc 1
Thẳng góc với 
đường bao
Vùng xác định 
mô hình bậc 1
29
Đáp ứng Điều kiện tối 
ưu chọn được
B
A
Mô hình giả định
B
A
Mô hình thực tế
30
B
A
Quá trình sẽ tiến hành từng các bước theo lộ trình này.
Đáp ứng Y sẽ được đo lường và so sánh với giá trị mục tiêu.
31
B
A
Một số trường hợp khi đạt đến cực đại cục bộ để có được điểm tối ưu cần tiến 
hành hoạch định yếu tố khác để xác định hướng leo dốc tiếp theo
Models
Xa điểm tối ưu:
Mô hình bậc 1
tương thích
Gần vùng tối ưu:
Mô hình bậc 1
không tương thích
Gần vùng tối ưu:
Mô hình bậc hai
Các bước tiến hành
 Bước 1. Xác định hệ số của phương trình hồi qui từ 
hoạch định yếu tố
 Bước 2. Chọn yếu tố chính
 Có hệ số lớn nhất (nên chọn)
 Khó thay đổi nhất
 Các mức rời rạc
 Bước 3. Xác định dộ lớn của bước leo dốc mà ta sẽ 
thực hiện trên yếu tố chính
3322110 XbXbXbbY 
 Bước 4. Tính các bước leo dốc của các yếu tố còn lại
 Bước 5. Lập bảng biểu diển lộ trình leo dốc. Tiến hành 
thực nghiệm theo lộ trình này đến khi đạt được đáp 
ứng tối ưu hay đạt được tối ưu cục bộ.
 Bước 6. Nếu cần thiết tiến hành hoạch định mới tại 
điểm tối ưu cục bộ và thực hiện leo dốc dứng từ bước 
1 đến bước 5.
37
StDev
Term Effect Coef Coef T P
Constant 52.354 0.3013 173.79 0.000
B 3.187 1.594 0.3013 5.29 0.006
C -5.367 -2.684 0.3013 -8.91 0.001
B*C 0.412 0.206 0.3013 0.68 0.531
Y=52.35 + 1.59*B - 2.68*C + error (in coded units)^
Example of Projection Vector Method
Step 1: 
Obtain the coefficients for the prediction equation from a factorial DOE
The above example equation was obtained from your last DOE and we want to 
remember our practical problem of increasing Y.
In this case let’s select C as the primary variable:
• 3 reasons for selecting the primary variable.
• Largest coefficient (This is recommended)
• Most difficult to adjust
• Discrete levels
Step 2: 
Select the base factor
38
Choosing Step Size
We choose to move in the C direction in steps of 1.0 coded units and start at the 
center of the original DOE design. Remember we want to increase our output, Y, 
so we must reduce C. Look at our equation and see the negative coefficient for 
factor C.
Step 3: 
Determine the step size for the base factor
Y=52.35 + 1.59*B - 2.68*C + error (in coded units)^
0
.5 1
B
C
1.0
2.0
39
Other Factor Step Size
 Use the ratio of the coefficients to determine the step size in the 
direction of the other factors
0.59 
-1.0*
2.68-
1.59
Step*
Coeff
Coeff
Step C
C
B
B
0
.5 1
B
C
1.0
2.0
Step 4: Determine the step size for the other factors
40
B
C
4.25
Original
Experiment
4.15
4.05
3.95
140 155
15 units
0.10
units
Projected direction
of Steepest Ascent
Coding Increment 1 Unit
Base Factor - C B
Coding Unit 0.05 Coding Unit 7.5
Coefficient -2.684 Coefficient 1.594
Coded Uncoded Coded Uncoded
0 4.20 0.0 147.5
-1 4.15 0.6 152.0
-2 4.10 1.2 156.4
-3 4.05 1.8 160.9
-4 4.00 2.4 165.3
-5 3.95 3.0 169.8
-6 3.90 3.6 174.2
-7 3.85 4.2 178.7
-8 3.80 4.8 183.1
-9 3.75 5.3 187.6
-10 3.70 5.9 192.0
-11 3.65 6.5 196.5
-12 3.60 7.1 201.0
Trial
Results
56.1
62.8
69.0
73.7
77.4
80.6
82.1
82.7
82.5
80.9
78.6
74.3
69.7
Axis of 
“real world” units 
Axis of 
“real world” units Deg F
Solution
Concentration
It is easy to work with 
coded units but we must 
know what
settings to put our 
process.
Other Factor Step Size
Use file
Ascent.mtw
Step 5: 
Move along the path and run 
the process at each step
41
Factor 2
50.0
55.0
60.0
65.0
70.0
75.0
80.0
85.0
145.0 155.0 165.0 175.0 185.0 195.0 205.0
Factor 2
R
e
s
p
o
n
s
e
Base Factor
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
3.50 3.70 3.90 4.10
Factor Level
R
e
s
p
o
n
s
e
Base Factor C
Factor B
As Factor C is decreased and Factor B 
is increased, we notice Y increases 
until reaching a maximum near 82.5 and 
then decreases. If we set the operation 
to run at C=3.85 and B=180 in uncoded 
units, we should be able to increase the 
response values to about 82.5. 
Process Results from Steepest Ascent
Step 5: 
Move along the path and run 
the process at each step
Coding Increment 1 Unit
Base Factor - C B
Coding Unit 0.05 Coding Unit 7.5
Coefficient -2.684 Coefficient 1.594
Coded Uncoded Coded Uncoded
0 4.20 0.0 147.5
-1 4.15 0.6 152.0
-2 4.10 1.2 156.4
-3 4.05 1.8 160.9
-4 4.00 2.4 165.3
-5 3.95 3.0 169.8
-6 3.90 3.6 174.2
-7 3.85 4.2 178.7
-8 3.80 4.8 183.1
-9 3.75 5.3 187.6
-10 3.70 5.9 192.0
-11 3.65 6.5 196.5
-12 3.60 7.1 201.0
Trial
Results
56.1
62.8
69.0
73.7
77.4
80.6
82.1
82.7
82.5
80.9
78.6
74.3
69.7