Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 2: Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm - Trần Minh Tú

July 2010 tpnt2002@yahoo.com1
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
®
¹
i
h
ä
c
July 102
Chương 2
THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
3(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Chương 2. Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
NỘI DUNG
2.1. Định nghĩa - nội lực
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
2.5. Thế năng biến dạng đàn hồi
2.6. Ứng suất cho phép và hệ số an toàn
– Điều kiện bền
2.7. Bài toán siêu tĩnh
4(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.1. Định nghĩa
™Định nghĩa: Thanh được gọi là chịu kéo hoặc nén
đúng tâm nếu trên mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại
một thành phần ứng lực là Nz (Nz>0 – đi ra khỏi mặt
cắt ngang)
bar pin
hanger
cable
5(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
6(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
7(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
8(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.1. Định nghĩa
™Biểu đồ lực dọc:
Phương pháp mặt cắt, xét cân bằng một
phần thanh, lực dọc trên đoạn thanh
đang xét xác định từ phương trình cân
bằng
0 ...zZ N= ⇒ =∑
9(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
1. Thí nghiệm
Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đường thẳng // trục thanh
thớ dọc
- Hệ những đường thẳng ┴ trục thanh
mặt cắt ngang
2. Quan sát
- Những đường thẳng // trục thanh
=> vẫn // trục thanh, k/c hai đường
kề nhau không đổi
- Những đường thẳng ┴ trục thanh
=> vẫn ┴ , k/c hai đường kề nhau thay đổi
Giả thiết biến dạng
10(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3. Các giả thiết về biến dạng
GT 1- Giả thiết mặt cắt ngang phẳng
(Bernouli)
Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng
và vuông góc với trục thanh, sau biến
dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục
GT 2 - Giả thiết về các thớ dọc
Các lớp vật liệu dọc trục không có tác
dụng tương hỗ với nhau (không chèn
ép, xô đẩy lẫn nhau)
Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi (tuân theo định luật
Hooke)
11(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
4. Công thức xác định ứng suất
„ Giả thiết 1 => τ =0
„ Giả thiết 2 => σx = σy =0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σz
ƒ Theo định nghĩa - Lực dọc trên mặt cắt ngang: 
Theo định luật Hooke: 
Mà theo gt1: εz = const => σz = const 
z zEσ ε=( )
z z
A
N dAσ= ∫
 z zN Aσ= zz NAσ =
12(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
™ Thanh chiều dài L chịu
kéo đúng tâm
ΔL - độ dãn dài tuyệt đối
™ Phân tố chiều dài dz có
độ dãn dài tuyệt đối Δdz
(biến dạng dọc)
™ Biến dạng dài tỉ đối
zN c
A
onst
E
=
dz
Δdz
z
dz
dz
ε Δ= zdz dzεΔ =
0 0
σεΔ = =∫ ∫L L zz dzL dz E
0
Δ = ∫L zN dzL EA zN LL EAΔ =
EA -
độ cứng
13(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
™ Thanh gồm nhiều đoạn chiều dài, độ cứng và lực
dọc trên mỗi đoạn thứ i là Li, (EA)i, Nzi
( )zi i
N
EA
const= ( )
n
zi i
i 1 i
N LL
EA=
Δ =∑
14(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
HỆ SỐ POISSON
ƒ Theo phương z trục thanh –
biến dạng dọc εz
ƒ Theo hai phương x, y vuông
góc với z – biến dạng ngang
εx, εy
ƒ Poisson tìm dược mối liên hệ:
x y zε ε με= = −
μ - hệ số Poisson
15(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Hệ số Poisson
Vật liệu Hệ số Vật liệu Hệ số
Thép 0,25-0,33 Đồng đen 0,32-0,35
Gang 0,23-0,27 Đá hộc 0,16-0,34
Nhôm 0,32-0,36 Bê tông 0.08-0,18
Đồng 0,31-0,34 Cao su 0,47
16(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Bài 1: Cho các thanh chịu lực như hình vẽ. 
Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị
của các mặt cắt ngang. 
Biết a=1m; A3=1,5A2=2A1=15cm2; F1=25kN; 
F2=60 kN; q=10kN/m; E=104kN/cm2
Giải:
1 45( )AN R kN= − = −
2) Nội lực trong các đoạn thanh:
 - Đoạn AB:
1) Xác định phản lực:
Giải phóng liên kết ngàm tại A: RA
1 2 . 0AZ R F F q a= + − − =∑
2 1. 60 10.1 25 45( )AR F q a F kN⇒ = + − = + − =
2 2 60 45 15( )AN F R kN= − = − =
- Đoạn BC:
A3
BA
A2
F2 F1
A1
q
RA
C D
a aa
A
RA N1
BA
F2RA N2
Ví dụ 2.1 (1)
17(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.1 (2)
- Mặt cắt trong đoạn CD: 0 ≤ z ≤ a
3 2 . 15 10AN F R q z z= − + = +
4. Tính ứng suất trên các tiết diện:
 - Đoạn AB:
2
3
45 3( / )
15
AB
AB
N kN cm
A
σ = = − = −
- Đoạn BC:
2
2
15 1,5( / )
10
BC
BC
N kN cm
A
σ = = =
- Đoạn CD:
2
1
2
1
0 15( )
15 2( / )
7,5
1( ) 25( )
25 3,33( / )
7,5
CD
CD
C
CD
CD
D
z N kN
N kN cm
A
z m N kN
N kN cm
A
σ
σ
= ⇒ =
⇒ = = =
= ⇒ =
⇒ = = =
a aa
BA
A2
F2 F1
A1
q
RA
C D
A3
z
BA
F2
q
RA
C
N3
3. Vẽ biểu đồ lực dọc
45
15 25
N
kN
18(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.1 (3)
4. Tính chuyển vị tại các đoạn:
- Chuyển vị đoạn AB: 0 ≤ z1 ≤ 100(cm)
1
41
1 A 1 14
30
45.w w 0 3.10 ( )
. 10 .15.
z
ABN zdz z cm
E A
−−= + = + = −∫
- Chuyển vị đoạn BC: 0 ≤ z2 ≤ 100(cm)
- Chuyển vị đoạn CD: 0 ≤ z3 ≤ 100(cm)
3 3
3 C 3 3
10 0
2
3 3
3
4
'
3 3
4
''
3
(15 10 )w w 0,015
. 75000
15 5w 0,015 ( )
75000
2.10w (3 2 )
3
4.10w 0
3
z z
CDN zdz dz
E A
z z cm
z
−
−
+= + = − +
+= − +
= +
= > ⇒
∫ ∫
a aa
BA
A2
F2 F1
A1
q
RA
C D
A3
2
2
2 B 2 4
20
4
2 2
15.w w 0,03
. 10 .10
w 0,03 1,5.10 ( )
z
BCN zdz
E A
z cm
= + = − +
= − +
∫
Hàm lõm quay xuống dưới.
3
1,5
σ
kN/cm2
2 3,33
0,03− 0,015−
0,01167
w
cm
19(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
™Đặc trưng cơ học của vật liệu:
„ Là các thông số đánh giá khả năng chịu lực, chịu biến
dạng của vật liệu trong từng trường hợp chịu lực cụ
thể
™Để xác định các đặc trưng cơ học của
vật liệu: tiến hành các thí nghiệm với
các loại vật liệu khác nhau
™Vật liệu Vật liệu dẻo
Vật liệu dòn
Phá hủy khi biến dạng lớn
Phá hủy khi biến bé
20(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Vật liệu dẻo, vật liệu giòn
Rất dẻo Dẻo vừa DònĐặc điểmphá hủy:
Lớn Trung bìnhĐặc điểm biến dạng: Bé
• Phân loại:
Báo trước Khôngbáo trướcLuôn báo trướcDự báo biến dạng:
21(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
TensileTestingofPlastic.mp4
Vật liệu dẻo, vật liệu giòn
22(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Vật liệu dẻo, vật liệu giòn
(c)2003 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.
(Giòn)
(Dẻo vừa)
(Rất dẻo)
Đồ thị ứng suất - biến dạng
23(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Mục tiêu làm thí nghiệm:
ƒ Xác định khả năng chịu lực
ƒ Xác định khả năng chịu biến dạng
ƒ Xác định các “tính chất vật liệu”
9 Đặc trưng cơ học (g.h tỉ lệ, g.h chảy, g.h bền)
9 Độ cứng, độ mềm, 
9 Độ bền uốn, độ bền phá hủy,..
9 Nhiệt độ, độ ẩm,
ƒ Đồ thị ứng suất – biến dạng: không phụ thuộc vào
kích thước mẫu thí nghiệm => Xác định cơ tính của
vật liệu
24(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Các loại máy thí nghiệm.
„ Điện - Cơ.
„ Thủy lực.
„ Một chiều.
„ Nhiều chiều
Các dạng thử nghiệm.
„ Load control – apply force/time.
„ Stroke control – apply displacement/time
„ Torsion (torque control or angle control)
Đo lực bằng “load cell”
Đo biến dạng và chuyển vị
„ Khung trượt lực
„ Cảm biến chuyển vị (Extensometer)
„ Cảm biến điện trở (single, rosette, array, ) 
„ Cảm biến quang học (Optical 
extensometers)
Các phương pháp thực nghiệm (*)
25(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Các phương pháp thực nghiệm (*)
™Thí nghiệm kéo – nén
9 Mẫu thí nghiệm: hình dạng, kích thước qui định
theo tiêu chuẩn (TCVN, ISO, ASTM,)
9 Kẹp mẫu vào ngàm kẹp
9 Gia tải, chú ý tốc độ gia tải chậm
9 Ghi lại quan hệ lực kéo (nén) và biến dạng dài
tương ứng
9 Suy ra đồ thị quan hệ ứng suất pháp – biến dạng
dài tỉ đối
26(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Thí nghiệm kéo – nén (*)
Máy đa năng
Mẫu kéo
Mẫu nén
27(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
MẪU 
THÍ
NGHIỆM 
VÀ
MÁY
KÉO -
NÉN
ĐÚNG
TÂM
28(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
1. Thí nghiệm kéo mẫu vật liệu dẻo
(
c
)
2
0
0
3
B
r
o
o
k
s
/
C
o
l
e
,
a
d
i
v
i
s
i
o
n
o
f
T
h
o
m
s
o
n
L
e
a
r
n
i
n
g
,
I
n
c
.
T
h
o
m
s
o
n
L
e
a
r
n
i
n
g
™
i
s
a
t
r
a
d
e
m
a
r
k
u
s
e
d
h
e
r
e
i
n
u
n
d
e
r
l
i
c
e
n
s
e
.
29(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đồ thị kéo mẫu vật liệu dẻo
qui ước (A0 không đổi)
thực (A0 thay đổi)
30(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đồ thị chia 3 giai đoạn
1. Giai đoạn tỉ lệ: ứng suất tỉ lệ bậc nhất với biến dạng dài tỉ đối
Ứng suất lớn nhất - giới hạn
tỉ lệ σtl
Giới hạn chảy σch –
giá trị ứng suất lớn nhất
2. Giai đoạn chảy: ứng suất
không tăng nhưng biến dạng
tăng
3. Giai đoạn củng cố: quan
hệ ứng suất - biến dạng là
phi tuyến (CDE)
Giới hạn bền σb –
giá trị ứng suất lớn nhấtσtl, σch, σb - đặc trưng cơ họccủa vật liệu
31(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
σtl, σch, σb - đặc trưng về tính bền của vật liệu. 
Đặc trưng cho tính dẻo:
™ Biến dạng dài tỷ đối
™ Độ thắt tỷ đối
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
1 0
0
100%L L
L
ε −=
1 0
0
A 100%
A
Aψ −=
L1 - Chiều dài mẫu sau khi đứt
L0 - Chiều dài mẫu trước khi đứt
A1 - Diện tích chỗ thắt khi đứt
A0 - Diện tích tiết diện trước khi đứt
32(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Material Densit
y ρ
(kg/m3
)
Young’s Modulus 
E
(109N/m2)
Ultimate Strength 
σb
(106N/m2)
Yield Strength 
σch
(106N/m2)
Steel 7860 200 400 250
Aluminum 2710 70 110 90
Glass 2190 65 50 ⎯
Concrete 2320 30 40 ⎯
Wood 525 13 50 ⎯
Bone 1900 9 170 ⎯
Polystyrene 1050 3 48 ⎯
Các đặc trưng cơ học của một số vật liệu
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
33(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
34(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Đồ thị kéo vật liệu dẻo
35(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
2. Thí nghiệm nén mẫu vật liệu dẻo
σ
εO
Nén
F
F
Kéo
σch
36(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
3. Thí nghiệm kéo - nén mẫu vật liệu giòn
- Không xác định được giới hạn tỉ lệ
và giới hạn chảy, chỉ xác định được
giới hạn bền
σ
ε
Nén
Kéo
37(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Xác định môđun đàn hồi kéo (nén)
• Định luật Hooke
Eσ ε=
• E – mô đun đàn hồi
(mô đun Young)
ϕ
E = tg ϕ
38(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
KẾT LUẬN
™Vật liệu dẻo: khả năng chịu kéo và nén
như nhau
™Vật liệu dòn: Khả năng chịu nén lớn
hơn nhiều so với khả năng chịu kéo
39(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.5. Thế năng biến dạng đàn hồi
• Xét thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
• Phân tố công ngoại lực trên chuyển vị dz
công này bằng phần diện tích trên đồ thị trong
khoảng dz.
dA Pdz=
• Công ngoại lực cho biến dạng z1:
1
0
x
A P dz= ∫
1
21 1
1 1 12 2
0
z
A kz dz kz P z= = =∫
• Trong miền đàn hồi
40(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.5. Thế năng biến dạng đàn hồi
™ Trong miền đàn hồi, nếu bỏ nguyên nhân gây biến dạng => vật thể
trở về hoàn toàn hình dạng ban đầu
™ Năng lượng làm cho vật thể phục hồi hình dạng ban đầu: thế năng
biến dạng đàn hồi U
™ Định luật bảo toàn năng lượng
21
2 2
P LU A P L
EA
= = Δ =
™ Thế năng biến dạng đàn hồi trên một đơn vị thể tích –
Thế năng biến dạng đàn hồi riêng
1
2
Uu
A
σε= =
Năng lượng mà hệ nhận được từ bên
ngoài sẽ hoàn toàn chuyển hoá thành
thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ
trong hệ
41(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an 
toàn – Điều kiện bền
™ Thí nghiệm => ứng suất nguy hiểm σ0 – tương ứng
với thời điểm vật liệu mất khả năng chịu lực
σ0
σch – vật liệu dẻo
σb – vật liệu dòn
- Khi tính toán, không bao giờ tính theo ứng suất nguy hiểm: vật liệu
không đồng nhất, điều kiện làm việc thực tế khác với PTN, tải trọng
vượt quá thiết kế,=> Hệ số an toàn
σ0
Nguy hiểm
- Vật liệu làm việc an toàn khi ứng suất xuất hiện chưa vượt quá ứng
suất nguy hiểm
42(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an 
toàn – Điều kiện bền
™ Dùng trị số ứng suất cho phép để tính toán:
n - hệ số an toàn - đặc trưng cho khả năng dự
trữ về mặt chịu lực (n>1)
n = n1.n2.n3
• n1- hệ số kể đến sự đồng nhất của vật liệu
• n2 - hệ số kể đến điều kiện làm việc, phương pháp
tính toán,
• Các hệ số lấy theo qui phạm
[ ] 0
n
σσ =
43(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an 
toàn – Điều kiện bền
™Điều kiện để thanh làm việc an toàn => Điều
kiện bền
„ Vật liệu dẻo:
„ Vật liệu dòn: 
{ } [ ] chzmax zminmax , n≤ = σσ σ σ
[ ] kbzmax k n
σσ σ≤ =
[ ] nbzmin n n
σσ σ≤ =
44(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an 
toàn – Điều kiện bền
™ Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm:
™ Ba bài toán cơ bản
a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền
b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang
c. Bài toán tìm giá trị cho phép của tải trọng
[ ]z 0N
A n
σσ σ= ≤ =
[ ].zN Aσ≤
[ ]z
N
A σ≥
45(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.7. Bài toán siêu tĩnh
™Hệ siêu tĩnh: là hệ mà ta không thể xác
định được hết các phản lực liên kết và
nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào các
phương trình cân bằng tĩnh học
™Số ẩn số > số phương trình cân bằng
viết thêm phương trình bổ sung
phương trình biến dạng
™Ví dụ
46(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Bài 2.2: Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc 
bị ngàm cứng hai đầu, chịu lực P và lực ph
ân bố đều có cường độ q = P/a như hình v
ẽ. Mô đun đàn hồi của vật liệu là E, diện tí
ch mặt cắt ngang của các đoạn ghi trên hì
nh vẽ. Vẽ biểu đồ nội lực của thanh. 
Tính σmax, wB, wC.
Giải:
A
RA
A B C D
0,6A 0,8A
a/3 a/3 a/3
P
q
RD
1. Giả sử phản lực tại ngàm A, D là RA, RD
Phương trình cân bằng:
. 4
3 3A D
q a PR R P+ = + = (1) ⇒Bài toán siêu tĩnh
1 2 3 0ADL L L LΔ = Δ + Δ + Δ = (2)
Điều kiện biến dạng:
123
3
31 1 2 2
1 2 30
0
l
AD
N dzN l N lL
EA EA EA
Δ = + + =∫ (3)
Ví dụ 2.2 (1)
47(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.2 (2)
B C D
P
q
RDN3
z
* Bằng phương pháp mặt cắt, xác định nội lực 
trong các đoạn
1 DN R=
2 DN R P= −
* Đoạn AB: 0≤z ≤a/3 3 D PN R P za= − −
Thay vào (3) ta có: 
/ 3 / 3
3
3
30 0
7( ) ( )
6
0.6 0.6 3
a a D D
PR P z R PN aaL dz dz
EA EA EA
− − −
Δ = = =∫ ∫
7( )( / 3).( / 3) ( ).( / 3) 6 0
0.8 0.6
D
D D
AD
R P aR a R P aL
EA EA EA
Δ
−−⇒ = + + =
RDN1
C
P RDN2
D
RA
A
B
C D
0,6A 0,8A
a/3 a/3 a/3
P
q RD
12
3
0,8156DR P⇒ = 0,5177AR P⇒ =
48(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
*Từ đó ta có biểu đồ lực dọc 
như hình bên
A B C D
0,6A 0,8A
a/3 a/3 a/3
P
q
RD
A
0,8156P
0,1844P
0,5177P
2 2
B
2
0,1844
3W W 0,2718 0,3486
0,8C
aPN l Pa Pa
EA EA EA EA
= + = + =
1 1
C D
1
. 0,8156W W 0,2718
3
N L Pa Pa
EA EA EA
= + = =
Ứng suất lớn nhất:
Chuyển vị điểm B và C là:
1 0,8156N P=
2 0,1844N P= −
3 0,1844
PN P z
a
= − − ( )0 / 3z a≤ ≤
1
1max
1
0,8156N P
A A
σ = =
2
2 max
2
0,1844 0,2305
0,8
N P P
A A a
σ = = =
3
3 max
3
0,5177 0,8628
0,6
N P P
A A a
σ = = =
max 0,8628
P
a
σ⇒ =
(Chuyển dịch sang trái)
(Chuyển dịch sang trái)
N
kN
Ví dụ 2.2 (3)
49(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.3 (1)
Bài 2.3: Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ. 
Xác định lực dọc trong các thanh và chuyển 
vị điểm C. Biết độ cứng các thanh là EA, 
chiều cao h
Giải: EA
EA
α
P
D
C
E
1. Xác định lực dọc:
Tách nút C: Lực dọc N1, N2
Phương trình cân bằng:
1 2
1 2
0 sin sin 0X N N
N N
= ⇔ − + =
⇒ =
∑ α α
(1)
1 2
1
0 os o 0
2 os
Y N c N c P
N c P
= ⇔ + − =
⇒ =
∑ α α
α (2)
1 2(1) (2) 2cos
PN N+ ⇒ = = α
P
C
N1 N2
α h
α α
50(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.3 (2)
2. Xác định chuyển vị tại C:
EA EA
α
D
C
E
α h
C’
Do hệ đối xứng, C di chuyển theo phương
thẳng đứng xuống C’.
Khi đó ta có:
1LΔ
yCα
1
C
Ly
cos
Δ= α 1 11
N LL
EA
Δ =
1 2cos
PN = α
Mà
1 cos
hL = α
1 22
PhL
EAcos
⇒Δ = α
32C
Phy
EAcos
⇒ = α
51(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Bài 2.4: Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ. 
Xác định lực dọc trong các thanh.Tìm chuyển vị
 điểm C. Biết A=5cm2 , E =2.104kN/cm2, 
P= 50kN, H=4m
Giải:
1. Xác định lực dọc:
Tách nút C ta được N1, N2, N3
Phương trình cân bằng:
1 3
1 3
0 sin 30 sin 30 0o oX N N
N N
= ⇔ − + =
⇒ =
∑
(1)
(2)
1 3 2
1 2
0 ( ). os30 0
3
oY N N c N P
N N P
= ⇔ + + − =
⇒ + =
∑
N3
30o 30o
C
N1
N2
P
Điều kiện biến dạng
o
1 3 2 2
3os30
2
L L L c LΔ = Δ = Δ = Δ
1 2
1 2
2 .3 3
2 43
N H N H N N
EAEA
= ⇒ =
A A
30o 30o
C
A
P
H
(3)
A A
30o 30o
C
A
P
H
2LΔ
1LΔ
Ví dụ 2.4 (1)
52(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.4 (2)
1 3
2
0,3263 16,315( )
0, 435 21,75( )
N N P kN
N P kN
= = =
= =
2
2 4
. 21,75.400' 0,087( )
2.10 .5C
N Hy CC L cm
EA
= = Δ = = =
Chuyển vị điểm C là:
Từ (1)(2)(3) ta giải ra được lực dọc trong các thanh là
53(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
4. Câu hỏi ???
54(54)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering